2024-2025学年湖南省长沙市长沙铁路一中高一（上）期中数学试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 2024-2025学年湖南省长沙市长沙铁路一中高一（上）期中数学试卷（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 36.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-12-13 08:31:59 | ||
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文档简介
2024-2025学年湖南省长沙铁路一中高一（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知实数，，则“”是“”的( )
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2.若是的充分不必要条件，则下列判断正确的是( )
A. 是的必要不充分条件 B. 是的必要不充分条件
C. 是的必要不充分条件 D. 是的必要不充分条件
3.已知枝玫瑰与枝康乃馨的价格之和大于元，而枝玫瑰与枝康乃馨的价格之和小于元，那么枝玫瑰和枝康乃馨的价格的比较结果是( )
A. 枝玫瑰的价格高 B. 枝康乃馨的价格高
C. 价格相同 D. 不确定
4.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
5.下列命题中：
，；
，；
函数是单调递增函数．
真命题的个数是( )
A. B. C. D.
6.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
7.函数的最大值是( )
A. B. C. D.
8.下列集合中，结果是空集的是( )
A. B. 或
C. D. 且
二、多选题：本题共4小题，共24分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，且，则下列结论正确的是( )
A. B. 的最小值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
10.已知条件：；条件：若是的必要条件，则实数的值可以是( )
A. B. C. D.
11.已知函数的定义域为，满足，且，则( )
A. B. 为奇函数
C. D.
12.已知函数是偶函数，在区间上单调，若，则有( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
13.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则 ______．
14.写出一个同时具有下列性质的函数______．
；
当时，；
15.已知集合，，则 ______．
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
设是定义在上的函数，用分点：将区间任意划分成个小区间，如果存在一个常数，使得和恒成立，则称为上的有界变差函数．
函数在上是否为有界变差函数？请说明理由；
设函数是上的单调递减函数，证明：为上的有界变差函数；
若定义在上的函数满足：存在常数，使得对于任意的、时，证明：为上的有界变差函数．
17.本小题分
已知，，．
当时，解关于的不等式；
若存在，使得成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知函数．
Ⅰ求不等式的解集；
Ⅱ若不等式的解集包含，求实数的取值范围．
19.本小题分
设函数．
当时，解不等式；
若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围．
20.本小题分
对于函数，若存在正常数，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“同比不减函数”．
求证：对任意正常数，都不是“同比不减函数”；
若函数是“同比不减函数”，求的取值范围；
是否存在正常数，使得函数为“同比不减函数”；若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．
21.本小题分
已知，，．
若恒成立，求实数的取值范围；
证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.答案不唯一
15.
16.解：在上单调递增，
对任意划分：，
取常数，则和式恒成立
所以函数在是有界变差函数
函数是上的单调递减函数
任意的划分：，
，
一定存在一个常数，使
故为上有界变差函数．
存在常数，使得对于任意的、时，
对任意的划分：，
，
取常数，
由有界变差函数定义知为有界变差函数．
17.解：当时，由，解得，
所以不等式的解集为；
，
当时，，不存在实数，使得成立；
当时，函数在上单调递增，显然在上也单调递增，而，
所以当时，，故不存在，使得成立；
当时，因为函数在上单调递增，所以在时也单调递增，
，所以此时不成立；
当时，即时，要想在有解，
只需，即，解得或，而，
因此，
当时，即时，要想在有解，
只需，即，解得，即，
综上所述：实数的取值范围为．
18.解：Ⅰ函数；
当时，不等式为，解得，即；
当时，不等式为恒成立，即；
当时，不等式为，解得，即；
综上知，不等式的解集为；
Ⅱ不等式的解集包含，
即时，不等式恒成立；
即时，不等式恒成立；
设，，
则，即，
解得；
所以实数的取值范围是．
19.解：依题意得：，当时，不等式化简为，令，
整理得，解得，故．
所以．
由于函数在区间上是增函数，令，由知函数为单调递增函数，
所以在上也单调递增，
当时，满足条件．
当时，则由耐克函数得：，
所以，
综上所述．
20.解：，
，
由于与的小无法比较，
不一定成立，
对任意正常数，都不是“同比不减函数，
函数是“同比不减函数，
恒成立，
，
，
，
图象如图所示，由图象可知，只要把图象向左至少平移个单位，即对任意的，都有成立，
．
21.解：因为，，．
所以，
当且仅当时取等号，由，解得，．
因为恒成立，
即恒成立，
当时，去绝对值化简得，解得，即；
当时，去绝对值化简得，解得，即；
当时，去绝对值化简得，解得，即无解；
综上可知，满足的解集为．
证明：
，
因为，代入上式可得：
，
当且仅当时取等号，由，解得，
所以成立．
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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知实数，，则“”是“”的( )
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2.若是的充分不必要条件，则下列判断正确的是( )
A. 是的必要不充分条件 B. 是的必要不充分条件
C. 是的必要不充分条件 D. 是的必要不充分条件
3.已知枝玫瑰与枝康乃馨的价格之和大于元，而枝玫瑰与枝康乃馨的价格之和小于元，那么枝玫瑰和枝康乃馨的价格的比较结果是( )
A. 枝玫瑰的价格高 B. 枝康乃馨的价格高
C. 价格相同 D. 不确定
4.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
5.下列命题中：
，；
，；
函数是单调递增函数．
真命题的个数是( )
A. B. C. D.
6.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
7.函数的最大值是( )
A. B. C. D.
8.下列集合中，结果是空集的是( )
A. B. 或
C. D. 且
二、多选题：本题共4小题，共24分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，且，则下列结论正确的是( )
A. B. 的最小值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
10.已知条件：；条件：若是的必要条件，则实数的值可以是( )
A. B. C. D.
11.已知函数的定义域为，满足，且，则( )
A. B. 为奇函数
C. D.
12.已知函数是偶函数，在区间上单调，若，则有( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
13.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则 ______．
14.写出一个同时具有下列性质的函数______．
；
当时，；
15.已知集合，，则 ______．
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
设是定义在上的函数，用分点：将区间任意划分成个小区间，如果存在一个常数，使得和恒成立，则称为上的有界变差函数．
函数在上是否为有界变差函数？请说明理由；
设函数是上的单调递减函数，证明：为上的有界变差函数；
若定义在上的函数满足：存在常数，使得对于任意的、时，证明：为上的有界变差函数．
17.本小题分
已知，，．
当时，解关于的不等式；
若存在，使得成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知函数．
Ⅰ求不等式的解集；
Ⅱ若不等式的解集包含，求实数的取值范围．
19.本小题分
设函数．
当时，解不等式；
若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围．
20.本小题分
对于函数，若存在正常数，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“同比不减函数”．
求证：对任意正常数，都不是“同比不减函数”；
若函数是“同比不减函数”，求的取值范围；
是否存在正常数，使得函数为“同比不减函数”；若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．
21.本小题分
已知，，．
若恒成立，求实数的取值范围；
证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.答案不唯一
15.
16.解：在上单调递增，
对任意划分：，
取常数，则和式恒成立
所以函数在是有界变差函数
函数是上的单调递减函数
任意的划分：，
，
一定存在一个常数，使
故为上有界变差函数．
存在常数，使得对于任意的、时，
对任意的划分：，
，
取常数，
由有界变差函数定义知为有界变差函数．
17.解：当时，由，解得，
所以不等式的解集为；
，
当时，，不存在实数，使得成立；
当时，函数在上单调递增，显然在上也单调递增，而，
所以当时，，故不存在，使得成立；
当时，因为函数在上单调递增，所以在时也单调递增，
，所以此时不成立；
当时，即时，要想在有解，
只需，即，解得或，而，
因此，
当时，即时，要想在有解，
只需，即，解得，即，
综上所述：实数的取值范围为．
18.解：Ⅰ函数；
当时，不等式为，解得，即；
当时，不等式为恒成立，即；
当时，不等式为，解得，即；
综上知，不等式的解集为；
Ⅱ不等式的解集包含，
即时，不等式恒成立；
即时，不等式恒成立；
设，，
则，即，
解得；
所以实数的取值范围是．
19.解：依题意得：，当时，不等式化简为，令，
整理得，解得，故．
所以．
由于函数在区间上是增函数，令，由知函数为单调递增函数，
所以在上也单调递增，
当时，满足条件．
当时，则由耐克函数得：，
所以，
综上所述．
20.解：，
，
由于与的小无法比较，
不一定成立，
对任意正常数，都不是“同比不减函数，
函数是“同比不减函数，
恒成立，
，
，
，
图象如图所示，由图象可知，只要把图象向左至少平移个单位，即对任意的，都有成立，
．
21.解：因为，，．
所以，
当且仅当时取等号，由，解得，．
因为恒成立，
即恒成立，
当时，去绝对值化简得，解得，即；
当时，去绝对值化简得，解得，即；
当时，去绝对值化简得，解得，即无解；
综上可知，满足的解集为．
证明：
，
因为，代入上式可得：
，
当且仅当时取等号，由，解得，
所以成立．
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