江苏省南京市六校2024-2025学年高一（上）月考数学试题（12月份）（PDF版，含答案）

江苏省南京市六校 2024-2025 学年高一（上）月考数学试题（12 月份）
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.函数 ( ) = ln(3 + ) + √ 1 的定义域为( )
A. [ 3,0] B. [ 3,0) C. ( 3,0] D. ( 3,0)
4
2.已知 是第二象限的角， ( , 8)为其终边上的一点，且sin = ，则 =( )
5
32 32
A. 6 B. ±6 C. ± D.
3 3
3.若扇形面积为1 2，圆心角为2 ，那么该扇形的弧长为( )
A. 1 B. √ 2 C. 2 D. 2√ 2
| |
4.函数 = 2 的图象大致为( ) 1
A. B.
C. D.
5.设 = 0. 42.5， = 0.42.50.4， = 2. 5 ，则 、 、 的大小关系为( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
6.函数 ( ) = 2( 2 + 2)的单调递减区间为( )
3
1 1 1 1
A. ( ∞, ) B. ( 2, ) C. ( , +∞) D. ( , 1)
2 2 2 2
2| 1|, < 3
7.已知函数 ( ) = { ，且 ( ) = 1，则 (3 )的值为( )
2 1 7, ≥ 3
A. 0 B. 1 C. 3 D. 0或1
2
8.已知幂函数 = 2 3( ∈ )的图象关于 轴对称，且在(0, +∞)上单调递减，则满足( + 1) 5 > (3

2 ) 5的实数 的取值范围为( )
第 1 页，共 8 页
2 3 2
A. ( ∞, 1) ∪ ( , ) B. ( ∞, )
3 2 3
2 3 3
C. ( 1, ) ∪ ( , +∞) D. (0, )
3 2 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的有( )
A. 命题 : ∈ , 2 + 3 + 4 < 0，则命题 的否定是 ∈ , 2 + 3 + 4 > 0
( 2)
B. ( ) = 2与 ( ) = 不是同一个函数

C. 定义在 上的函数 = ( )为奇函数的充要条件是 (0) = 0
D. “ > 1且 > 1”是“ > 1”的充分不必要条件
1 2
10.若 > 0， > 0，且 + = 1，则下列说法正确的有( )

A. 的最小值是8 B. + 的最大值是3 + 2√ 2
1 4 1
C. + 的最小值是 D. ( 1)的最小值是3 + 2√ 2
2 2 2
+
11.若定义在( 1,1)上不恒为0的 ( )，对于 , ∈ ( 1,1)都满足 ( ) + ( ) = ( )，且当 ∈ ( 1,0)时，
1+
( ) > 0，则下列说法正确的有( )
A. (0) = 0 B. ( )为奇函数
1 1 1
C. ( ) + ( ) > ( ) D. ( )在(0,1)上单调递减
3 4 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若 < 0， > 0，则角 是第 象限角．
13.若函数 = ( + ) + ( > 0，且 ≠ 1)的图象恒过定点(5,2)，则 + = ．
| 2( 1)|, 1 < ≤ 3
14.已知函数 ( ) = {1 2 10 ，若关于 的方程 ( ) = 有4个不同的实根 、 、 、 ， + 8, > 3 1 2 3 4
3 3
( +
且 < < 1 2
) 3 4
1 2 3 < 4，则 的取值范围为 ． 1 2
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知集合 = { |3 < 3 1 < 81√ 3}， = { | 2 < < 2 3}.
(1)当 = 3时，求 ∩ 与 ∪ ( )；
(2)若 ∪ = ，求实数 的取值范围．
16.(本小题12分)
第 2 页，共 8 页
已知函数 ( ) = ( > 0,且 ≠ 1)，若函数 ( )在区间[1,4]上的最大值与最小值之和为2．
1
(1)求函数 ( )解析式，并求出关于 的不等式 ( ) < 1的解集；
+1

(2)求函数 ( ) = ( ) (2 )， ∈ [1,4]的值域，并求出取得最值时对应的 的值．
4
17.(本小题12分)
为了号召并鼓励学生利用课余时间阅读名著，学校决定制定一个课余时间阅读名著考核评分制度，建立一
个每天得分 (单位：分)与当天阅读时间 (单位：分钟)的函数关系，要求如下：
( )函数的部分图象接近图示；
( )每天阅读时间为0分钟时，当天得分为0分；
( )每天阅读时间为30分钟时，当天得分为50分；
( )每天最多得分不超过100分.
现有以下三个函数模型供选择：
① = + ( > 0)；

② = 215 + ( > 0)；

③ = 2 ( + 2) + ( > 0)． 5
(1)请你根据函数图像性质从中选择一个合适的函数模型，不需要说明理由；
(2)根据你对(1)的判断以及所给信息完善你的模型，给出函数的解析式；
(3)已知学校要求每天的得分不少于75分，求每天至少阅读多少分钟？
18.(本小题12分)
2 +1
已知定义在 上的函数 ( ) = 是奇函数．
2 +1
(1)求函数 ( )的解析式；
(2)判断 ( )的单调性，并用单调性定义证明；
1
(3)若存在 > 0，使得关于 的不等式 ( 2 + 2) + ( ) > 0能成立，求实数 的取值范围．
19.(本小题12分)
第 3 页，共 8 页
对于两个定义域相同的函数 ( )和 ( )，若存在实数 ， ，使 ( ) = ( ) + ( )，则称函数 ( )是由
“基函数 ( )和 ( )”生成的．
4 1 1 4
(1)若 ( ) = 9 + 是由“基函数 ( ) = 2 + 和 ( ) = + 2”生成的，求 的值；
2
1
(2)试利用“基函数 ( ) = (4 2 + 1)和 ( ) = + 1”生成一个函数 ( )，满足 ( )为偶函数，且 (0) =2
1．
①求函数 ( )的解析式；
②已知 ≥ 3, ∈ , 0 = 1, = 1，对于( 1,1)上的任意值 1, 2, ， 1( 1 < 2 < < 1)，记 =
∑ =1| ( ) ( 1)|，求 的最大值. (注：∑

=1 = 1 + 2 + + . )
第 4 页，共 8 页
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】三
13.【答案】 2
14.【答案】(21,24)
11
15.【答案】解：(1) = { |3 < 3 1 < 81√ 3} = { |2 < < }，
2
当 = 3时， = { |1 < < 3}， = ( ∞, 1] ∪ [3, +∞)，
所以 ∩ = { |2 < < 3}， ∪ = ( ∞, 1] ∪ (2, +∞)．
(2)因为 ∪ = ，所以 ，
若 = ， 2 ≥ 2 3， ≤ 1满足题意，
若 ≠ ， 2 < 2 3， > 1，
2 ≥ 2 17
由{ 11，得4 ≤ ≤ ，
2 3 ≤ 4
2
17
综上： ≤ 1或4 ≤ ≤ ．
4
16.【答案】解：(1)函数 ( ) = 定义域为(0, +∞)，且 ( )在(0, +∞)上单调，
由函数 ( )在区间[1,4]上的最大值与最小值之和为2，
得 1 + 4 = 2，即2 2 = 2 ，解得 = 2，
于是 ( ) = 2 ；
第 5 页，共 8 页
1 1 1
( ) < 1 2 < 22 0 < < 2， +1 +1 +1
1
解 > 0，得 < 1或 > 1；
+1
1 +3
解 < 2，即 > 0，得 < 3或 > 1，
+1 +1
因此 < 3或 > 1，
1
所以不等式 ( ) < 1的解集{ | < 3或 > 1}．
+1

(2)由(1)知， ( ) = ( ) (2 ) = 2( ) 22 = ( 2 2) (
2
2 + 1) = ( 2 ) 2 2， 4 4
1 9
令 2 = ，由 ∈ [1,4]，得 ∈ [0,2]， ( ) =
2 2 = ( )2 ，
2 4
1 9
当 = 时， ( )min = ，此时 = √ 2；当 = 2时， ( )max = 0，此时 = 4， 2 4
9
所以函数 ( )的值域为[ , 0]，取最小值时 = √ 2，取最大值时 = 4．
4
17.【答案】解：(1)从题图看应选择先快后慢增长的函数模型，

故选 = 2 ( + 2) + ． 5
(2)将(0,0)，(30,50)代入解析式，
+ = 0
得到{ ，解得 = 25， = 25，
3 + = 50

即 = 25 2 ( + 2) 25 5

令 = 100，可得25 2 ( + 2) 25 = 100， 5
解得， = 150，

25 ( + 2) 25,0 ≤ ≤ 150
所以函数的解析式为 = { 2 5 ．
100, > 150

(3)由 = 25 2 ( + 2) 25 ≥ 75，即 2 ( + 2) ≥ 4 = 216， 5 5

即 + 2 ≥ 16，解得 ≥ 70，
5
所以每天得分不少于75分，至少需要阅读70分钟．
2
18.【答案】解：(1) ∵ ( )是定义在 上的奇函数，∴ (0) = = 0，∴ = 2，
1+1
2 1 2 2 1 2 ( ) ( ) 2(2 1)
此时 ( ) = ， ( ) = = = ( )， 1+2 1+2 2 +1
第 6 页，共 8 页
2 2 +1
∴ ( )是奇函数，满足题意，∴ ( ) = ．
1+2
(2) ( )是 上的减函数；
2 2 +1 2
∵ ( ) = = 2 ( 1)， 1, 2 ∈ 且 1 < 2， 1+2 1+2

4 4 4(2 2 2 1)
则 ( 1) ( 2) = = ， 1+2 1 1+2 2 (1+2 1)(1+2 2)
∵ < ，∴ 2 2 > 2 1，1 + 2 1 > 0，1 + 2 21 2 > 0，
∴ ( 1) ( 2) > 0，
即 ( 1) > ( 2)，∴ ( )是 上的减函数．
1 1
(3) ∵ ( )是 上的奇函数，∴不等式 ( 2 + 2) + ( ) > 0即为 (
2 + ) > ( ) =
2

( + )，

1 1
∵ ( )是 上的减函数，∴ 2 +
2
< + = ( + )在 > 0时能成立；

1 1 1
令 = + , ( > 0)，则 = + ≥ 2√ = 2，当且仅当 = 1时取等号，

2
1 2
+ 12 ( + ) 2 2
故 > =
2 2
1 1 = = 在 ≥ 2时能成立，
+ +

2
所以 > ( ) ( ≥ 2)，
min
2 2
令 ( ) = ，∵ = , = 在[2, +∞)上均单调递增，

2
∴ ( ) = 在[2, +∞)上单调递增，∴ ( )min = (2) = 2 1 = 1，
故 > 1．
4 1 1 4
19.【答案】解：(1)由已知，可得 ( ) = 9 + = (2 + ) + ( + 2)，
2
4 4
则9 + = (2 + ) + + 2 ，
2

2 + = 9 = 4
2
则{4 = 4 ，解得{ = 2 ,
2 = 0 = 1
所以实数 的值为1．
1
(2)①设 ( ) = 2(4
+ 1) + ( + 1)，
2

因为 ( )为偶函数，所以 ( ) = (4 2 + 1) + ， 2
第 7 页，共 8 页

由 ( ) = ( )，可得 (4 2 + 1) + + =

2(4 + 1) + ， 2 2
4 +1
整理可得 2( ) = ，即 4

2 = ，所以2
= 4 ，
4 +1
所以 = 2 对任意 恒成立，所以 = 2 ，

所以 ( ) = 2(4
+ 1) 2 ( + 1) = [ (4 2 + 1) ] 2 ， 2
又因为 (0) = 1，所以 22 2 = 1，所以 = 1，
故函数 ( )的解析式为 ( ) = 2(4 + 1) 2．
4 +1
②由①知 ( ) = 2(4 + 1) 2 = 2 2． 2
在[0,1]内任取 1, 2，且 1 < 2，
4 1+1 4 2+1 (4 1+1)2 2
则 ( 1) ( 2) = 2 2 2 + 2 = 2 ， 2 1 2 2 (4 2+1)2 1
因为(4 1 + 1)2 2 (4 2 + 1)2 1 = (2 2 2 1) + (22 1+ 2 2 1+2 2)
= (2 2 2 1) + 2 1+ 2(2 1 2 2) = (2 2 2 1)(1 2 1+ 2)， 1 < 2，
所以2 2 2 1 > 0，2 1+ 2 > 1，所以1 2 1+ 2 < 0，
(4 1+1)2 2
所以(2 2 2 1)(1 2 1+ 2) < 0，即0 < < 1， (4 2+1)2 1
(4 1+1)2 2
所以 2 (4
< 0，即 (
2+1)2 1 1
) < ( 2)，
所以函数 ( )在[0,1]上是增函数，同理可证，函数 ( )在[ 1,0]上是减函数．
设 ≤ 0 ≤ +1( ≠ +1), = 0,1,2,3, , 1，
则 ( 0) > ( 1) > > ( ), ( +1) < ( +2) < < ( )，
所以∑ =1| ( ) ( 1)| = ( 0) ( 1) + ( 1) ( 2) + + ( 1) ( ) + | ( +1) ( )|
+ ( +2) ( +1) + ( +3) ( +2) + + ( ) ( 1)
= ( 0) ( ) + | ( +1) ( )| + ( ) ( +1)
= ( 1) + (1) ( ) ( +1) + | ( +1) ( )|，
5
当且仅当 = 0或 +1 = 0时，∑

=1| ( ) ( 1)|有最大值2 (1) 2 (0) = 2 2 ， 4
5
故 的最小值为2 2 ． 4
第 8 页，共 8 页