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期末专项09 一次函数的应用（六大模型）
题型01 与路程有关的一次函数应用
题型02 与阶梯收费有关的一次函数应用
题型03 与销售利润有关的一次函数应用
题型04 与物理（跨学科）有关的一次函数应用
题型05 探究任务型一次函数应用
题型06 与其他实际生活有关的一次函数应用
题型01 与路程有关的一次函数应用
1．（2023秋 海曙区校级期末）如图，甲、乙两人分别骑自行车和摩托车，从同一地点沿相同的路线前往距离的某地．如图，分别表示甲、乙两人离开出发地的距离与行驶时间之间的函数关系．问乙出发 后两人相遇．
A．小时 B．小时 C．小时 D．1.5小时
2．（2023秋 东阳市期末）小明和爸爸从家里出发，沿同一路线到学校．小明匀速跑步先出发，2分钟后，爸爸骑自行车出发，匀速骑行一段时间后，在途中商店购买水果花费了5分钟，这时发现小明已经跑到前面，爸爸骑车速度增加60米分钟，结果与小明同时到达学校．小明和爸爸两人离开家的路程（米与爸爸出发时间（分钟）之间的函数图象如图所示．则下列说法错误的是
A．
B．小明的速度是150米分钟
C．爸爸从家到商店的速度为200米分钟
D．爸爸出发7分钟追上小明
3．（2023秋 鄞州区期末）某校八年级同学到距学校8千米的某地参加社会实践活动，一部分同学步行，另一部分同学骑自行车，沿相同路线前往，如图，，分别表示步行和骑车前往目的地所走的路程（千米）与所用时间（分之间的函数图象，根据图象提供的信息，下面选项中正确的个数是
①骑车的同学比步行的同学晚出发30分钟；②骑车的同学和步行的同学同时到达目的地；③步行的速度是7.5千米时；④汽车的同学从出发到追上步行的同学用了18分．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2023秋 滨江区校级期末）甲、乙两人分别从、两地同时出发，相向而行，匀速前往地、地，两人相遇时停留了，又各自按原速前往目的地，甲、乙两人之间的距离与甲所用时间之间的函数关系如图所示．有下列说法：
①、之间的距离为；
②乙行走的速度是甲的1.5倍；
③；
④．
以上结论正确的有
A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②④
5．（2023秋 嵊州市期末）甲、乙两车从地出发，匀速驶向地．已知甲车先出发，乙车才沿相同路线行驶．又过了3小时，甲乙两车同时到达途中某修理厂处，乙未作停留，甲停留后，按原速度继续行驶，到达终点地停止．在此过程中，两车之间的距离与乙车出发的时间之间的函数关系如图所示．有下列结论：①乙车的速度是；②两地相距；③；④当两车相距时，的值分别为0，3.75，7．其中结论正确的是
A．①② B．①②④ C．①②③ D．①③④
6．（2023秋 吴兴区期末）小明早晨从家里出发步行去学校（学校与家的距离是1000米），4分钟后爸爸发现小明数学书没带，骑电瓶车去追赶，追上小明并将数学书交给他（交接时间忽略不计），交接完成后爸爸放慢速度原路返回，小明到达学校，同时爸爸也正好到家．如图，线段与折线分别表示小明和爸爸离开家的距离（米关于时间（分钟）的函数图象，下列说法错误的是
A．小明步行的速度为每分钟100米
B．爸爸出发时，小明距离学校还有600米
C．爸爸回家时的速度是追赶小明时速度的一半
D．和时，父子俩均相距200米
7．（2023秋 北仑区期末）甲、乙两位同学周末相约去游玩，沿同一路线从地出发前往地，甲、乙分别以不同的速度匀速前行乙比甲晚出发，并且在中途停留后，按原来速度的一半继续前进．此过程中，甲、乙两人离地的路程与甲出发的时间之间的关系如图．下列说法：①，两地相距；②甲比乙晚到地；③乙从地刚出发时的速度为；④乙出发与甲第三次相遇．其中正确的有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2023秋 瓯海区校级期末）一辆快车和一辆慢车将一批物资从甲地运往乙地，其中快车送达后立即沿原路返回，且往返速度不变．两车离甲地的距离与慢车行驶时间的函数关系如图所示，那么两车先后两次相遇的间隔时间为
A． B． C． D．
9．（2024春 玉环市期末）学校利用课后服务时间开展趣味运动项目训练．在直线跑道上，甲同学从处匀速跑向处，乙同学从处匀速跑往处，两人同时出发，到达各自终点后立即停止运动．设甲同学跑步的时间为（秒，甲、乙两人之间的距离为（米，与之间的函数关系如图所示，则图中的值是 ．
10．（2023秋 西湖区期末）如图，图中的折线反映了圆圆从家到学校所走的路程与时间的函数关系，其中，所在直线的表达式为，所在直线的表达式为，则 ．
11．（2023秋 新昌县期末）双休日，张老师从家出发，骑自行车去南街碳水王国游玩，途中仅在经过大佛城路口时遇到红灯，他本次骑自行车所经过的路程米与所用时间分钟的函数图象如图所示，请根据图象提供的信息回答下列问题：
（1）张老师家到南街碳水王国的路程是 米；在大佛城路口遇红灯停留了 分钟；
（2）如果骑车速度超过300米分钟就存在安全隐患，那么张老师从通过大佛城红绿灯后到南街碳水王国，这段时间的平均速度是否存在安全隐患？请说明理由．
12．（2023秋 江北区期末）现有一段20千米长，可供长跑爱好者跑步的笔直跑道，已知甲、乙两人都从点出发，甲跑到途中的点后原地休息了20分钟，之后继续跑到点，共用时间2小时；乙虽然比甲晚出发半小时，但和甲同时到达点．假设两人跑步时均为匀速，在甲出发后的2小时内两人离开点的距离（千米）与时间（小时）的函数关系如图所示．请回答下列问题：
（1）图中点的坐标为
（2）甲从点跑到点的速度为 千米时；
（3）求图中线段的表达式．并写出定义域．
13．（2023秋 滨江区期末）甲、乙两车分别从相距的，两地相向而行，乙车比甲车先出发小时，两车分别以各自的速度匀速行驶．甲从地出发，行驶80千米到达地，，三地在同一直线上）时，因有事停留了小时后，按原速度继续前往地，乙车从地经过4小时直达地的同时，甲车也到达了地．甲、乙两车距地的路程分别记为，，它们与乙车行驶的时间的函数关系如图所示．
（1）分别求出甲、乙两车的速度及关于的函数表达式．
（2）试求乙车在出发多长时间后与甲车相遇．
14．（2023秋 义乌市期末）小亮和小明准备一同从学校出发去科技馆参观．小亮先从学校步行前往，过了12分钟后小明骑自行车同路前往，途经科技馆后小明继续向前骑了一段路到快递点先取了快递，随后加速骑行到科技馆与小亮汇合．已知小明从快递点到科技馆骑行的速度比原来增加了．如图所示，设小亮步行的时间为，线段及折线分别表示小亮和小明离学校的路程与时间的关系图象．
（1）求小亮步行的速度及科技馆离学校的距离．
（2）求小明骑车从学校到快递点所用的时间及此时与小亮的距离．
（3）在小明出发后至到达快递点前的过程中，当他们相距300米时，求小亮步行的时间．
15．（2023秋 东阳市期末）小聪和小慧沿图1中的风景区游览，约好在飞瀑见面．小聪驾驶电动汽车从宾馆出发，小慧也于同一时间骑电动自行车从塔林出发．图2中的图象分别表示两人离宾馆的路程与时间的函数关系，试结合图中信息回答：
（1）飞瀑与宾馆相距 ，小聪出发时与宾馆的距离 ；
（2）若小聪出发后速度变为小慧的2倍，则小聪追上小慧时，他们是否已经过了草甸？
16．（2023秋 余姚市期末）已知甲、乙两城市之间每隔有一列动车组列车以相同的速度从甲城开往乙城．如图，是第一列动车组列车离开甲城的路程与运行时间的函数图象，是一列从乙城开往甲城的普通快车距甲城的路程与运行时间的函数图象．请根据图中的信息，解答下列问题：
（1）从图象可知，动车组列车的行驶速度为 ；
（2）请直接在图中画出第二列动车组列车离开甲城的路程与时间的函数图象；
（3）若普通快车的速度为，问第一列动车组列车出发多长时间后与这列普通快车相遇？
17．（2023秋 慈溪市期末）公司派甲车把货物从地运往地，出发几分钟后，公司发现甲车忘带货物清单，于是派乙车去追赶甲车，乙车刚出发2分钟，甲车也发现清单忘在公司，立刻原路返回，几分钟后遇到乙车，乙车把清单交给甲车后，两车同时掉头返回，在行驶6分钟后甲车到达地，乙车回到地．已知甲、乙两车距地的路程与甲车出发的时间之间的关系如图所示，整个过程中甲、乙两车速度不变，请结合图象回答下列问题：
（1）甲的速度为 米分，乙的速度为 米分；
（2）求的值；
（3）求乙车在送清单途中距离甲车5250米时的值．
18．（2023秋 柯桥区期末）、两地相距，甲、乙两人驾车沿同一条公路从地出发到地．甲、乙离开地的路程与时间的函数关系如图所示．
（1）分别求出甲、乙离开地的路程与时间的函数解析式；
（2）乙出发多少时间后追上甲？
19．（2023秋 鄞州区校级期末）“低碳环保，绿色出行”的理念得到广大群众的接受，越来越多的人喜欢选择自行车作为出行工具．小军和爸爸同时从家骑自行车去图书馆，爸爸先以150米分的速度骑行一段时间，休息了5分钟，再以米分的速度到达图书馆，小军始终以同一速度骑行，两人行驶的路程（米与时间（分钟）的关系如图，请结合图象，解答下列问题：
（1） ， ， ；
（2）若小军的速度是120米分，求小军在途中与爸爸第二次相遇时，距图书馆的距离；
（3）在（2）的条件下，爸爸自第二次出发后至到达图书馆前，何时与小军相距100米，请求出此时小军骑行的时间．（直接写出答案）
20．（2023秋 鄞州区期末）已知甲，乙两地相距，一辆轿车从甲地出发前往乙地，到达乙地后立即按原路原速返回甲地．一辆货车与轿车同时出发，以的速度沿同一条公路从乙地前往甲地，途经服务区时货车停车装货耗时30分钟．待装货完毕，货车立即调整车速继续匀速前往甲地，最后与轿车同时到达甲地．如图是两车离乙地的距离与货车行驶时间之间的函数图象，结合图象回答下列问题：
（1）轿车的速度是 ， ；
（2）在图中补全货车行驶过程的函数图象．
（3）在装货完毕后，货车与轿车何时相距？
21．甲乙两人同时登山，甲、乙两人距离地面的高度（米与时间（分之间的函数图象如图所示．根据图象提供的信息，完成下列问题．
（1）求甲距离地面的高度米与时间分之间的函数关系式；
（2）当时，求乙距离地面的高度米与时间分之间的函数关系式；
（3）当为何值时，甲乙距离地面的高度相差20米．
22．（2023秋 滨江区校级期末）在一条笔直的公路上有，，三地，地位于，两地之间，甲车从地沿这条公路匀速驶向地，乙车从地沿这条公路匀速驶向地，在甲车出发至甲车到达地的过程中，甲、乙两车与地的距离（单位：，（单位：与甲车行驶时间（单位：之间的函数关系如图．请根据所给图象解答下列问题：
（1）求甲、乙两车的行驶速度；
（2）求乙车与地的距离与甲车行驶时间之间的函数关系式；
（3）求乙车出发多少小时，两车相遇？
23．（2023秋 宁波期末）已知，两地相距，甲、乙两人沿同一条公路从地出发匀速运动到地，先到地的人原地休息，甲开轿车，乙骑摩托车．已知乙先出发，然后甲再出发．设在这个过程中，甲、乙两人的距离与乙离开地的时间之间的函数关系如图所示．
（1）乙比甲先出发 小时，甲开轿车的速度是 ，第一次相遇的时间在乙出发 小时；
（2）求线段对应的函数表达式；
（3）当甲、乙两人只有一人在行驶，且两人相距时，求此时乙行驶的时间．
题型02 与阶梯收费有关的一次函数应用
1．（2023秋 武义县期末）甲、乙两家快递公司关于普通小件物品的收费标准如表：
及以内 超过的部分
甲 8元 2元（不足按计）
乙 6元 3元
设邮件的质量为，甲、乙两公司的快递费分别为元，元．
（1）若，则的取值范围为 ．
（2）若，则的取值范围为 ．
2．（2023秋 舟山期末）为节约用水，某市居民生活用水按级收费，水价分三个等级：第一级为月用水量及以下（含；第二级为月用水量超过，不到；第三级为月用水量及以上（含，如图是某住户收到的一张自来水总公司水费专用发票．
自来水总公司水费专用发票
发票联
计费日期：至
上期抄见数 本期抄见数 加原表用水量 本期用水量
587 607 20
自来水费（含水资源费） 污水处理费
用水量 单价（元 金额（元 用水量 单价（元 金额（元
阶梯一：171.7529.75 阶梯二：32.36.9 170.457.65 30.61.8
本期实付金额（大写） 肆拾陆元壹角整￥46.10
注：（居民生活用水水价自来水费污水处理费）
（1）若某用户的月用水量为，应付的水费为元，求关于的函数表达式；
（2）若下个月份该用户收到的自来水发票实付金额为69.3元，则下个月份该用户的用水量为多少？
（3）根据该发票信息，你能计算月用水量超过时应付的水费吗？如果能，请计算月用水量超过时，应付的水费元与月用水量的函数表达式；如果不能，请你思考：通过哪些渠道可以获取信息，得到该用户水费的计算方式．
题型03 与销售利润有关的一次函数应用
1．（2024春 路桥区期末）如图，某超市的消费卡售价（元与面值（元之间满足正比例函数关系，使用这张消费卡，在该超市可以购买任意商品．
（1）求与之间的函数解析式；
（2）小张购买了一张面值为2000元的消费卡，求小张购买这张消费卡时实际支付了多少元？
2．（2024春 玉环市期末）夏日将至，防暑药开始热销，某药店防暑药总存量（盒与销售天数的关系如图所示，热销期间为了供应充足，进行一次补货，请根据图象回答：
（1）补货在第 天，补货 盒．
（2）求补货前该药店防暑药总存量（盒与销售天数（天的函数关系式，并写出的取值范围．
（3）补货后比补货前每天平均销售量增加2盒，求补货后药总存量（盒与销售天数（天的函数关系式，并求从销售开始第几天后总存量将不足10盒？
3．（2023秋 宁波期末）某商场销售，两种型号智能手机，这两种手机进价和售价如下表：
型号
进价（万元部） 0.44 0.20
售价（万元部） 0.5 0.25
该商场计划购进，两种型号手机共60部进行销售．
（1）求，两种型号手机全部销售后所获利润（万元）与购进型手机的数量的关系式．提示：利润（售价进价）销售量．
（2）若该商场此次用于购进手机的总资金不超过15.6万元．若两种手机都按售价全部售完，问：该商场应该怎样进货，使全部销售后获得的利润最大，最大利润是多少．
4．（2023秋 海曙区期末）疫情放开之后，商场为刺激消费推出了两种购物方案．方案一：非会员购物所有商品价格可获九五折优惠，方案二：如交纳300元会费成为该商场会员，则所有商品价格可获九折优惠．
（1）以（元表示商品价格，（元表示支出金额，分别写出两种购物方案中关于的函数解析式；
（2）若某人计划在商场购买价格为7000元的电视机一台，请分析选择哪种方案更省钱？
5．（2023秋 鄞州区期末）2023年杭州亚运会期间，吉祥物徽章受到了众多人的喜爱．某网店直接从工厂购进款礼盒120盒，款礼盒50盒，两款礼盒全部售完．两款礼盒的进货价和销售价如下表：
类别 款礼盒 款礼盒
进货价（元盒） 30 25
销售价（元盒） 45 33
（1）求该网店销售这两款礼盒所获得的总利润．
（2）网店计划用第一次所获的销售利润再次去购买、两款礼盒共80盒．该如何设计进货方案，使网店获得最大的销售利润？最大销售利润是多少？
6．（2023秋 鄞州区期末）为迎接新春佳节的到来，一水果店计划购进甲、乙两种新出产的水果共160千克，这两种水果的进价、售价如表所示：
进价（元千克） 售价（元千克）
甲种 5 8
乙种 9 13
（1）若该水果店预计进货款为1000元，则这两种水果各购进多少千克？
（2）若该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍，应怎样安排进货才能使水果店在销售完这批水果时获利最多？此时利润为多少元？
7．（2023秋 新昌县期末）某商店经营2023杭州亚运会吉祥物“宸宸、琮琮和莲莲”钥匙扣礼盒装，销售10套型和20套型礼盒的利润和为400元，销售20套型和10套型礼盒的利润和为350元．
（1）分别求销售每套型礼盒和型礼盒的利润．
（2）该商店计划一次性购进两种型号的礼盒共100套，其中型礼盒的进货量不超过型礼盒的2倍，设购进型礼盒套，全部售出这100套礼盒的总利润为元．
①求关于的函数表达式．
②该商店购进型、型礼盒各多少套，才能使总利润最大？最大利润是多少？
8．（2023秋 衢江区期末）“书香中国，读领未来”，4月23日是世界读书日，我市某书店同时购进，两类图书，已知购进3本类图书和4本类图书共需160元；购进6本类图书和2本类图书共需170元．
（1），两类图书每本的进价各是多少元？
（2）该书店计划用2000元购进这两类图书，设购进类本，类本．
①求关于的关系式；
②进货时，类图书的购进数量不少于50本，已知类图书每本的售价为28元，类图书每本的售价为40元，如何进货才能使书店所获利润最大？最大利润为多少元？
9．（2023秋 海曙区校级期末）某市为助力新能源汽车产业的健康发展，打造新能源交通生态城市，近几年在全市范围内安装电动汽车充电桩．2021年该市投入资金1250万元，安装型充电桩200个和型充电桩300个；2022年又投入2000万元，安装型充电桩250个和型充电桩500个．已知这两年安装、两种型号的充电桩单价不变．
（1）求安装型充电桩和型充电桩的单价各是多少万元？
（2）为适应电动汽车快速发展的需要，市政府计划2023年再安装、两种型号的充电桩共200个．考虑到充电容量等综合因素，决定安装型充电桩的数量不多于型充电桩的一半．在安装单价不变的前提下，当安装型充电桩多少个时，所需投入的总费用最少，最少费用是多少万元？
10．（2023秋 武义县期末）某学校要购买甲、乙两种消毒液，用于预防新型冠状病毒．若购买9桶甲消毒液和6桶乙消毒液，则一共需要615元；若购买8桶甲消毒液和12桶乙消毒液，则一共需要780元．
（1）每桶甲消毒液、每桶乙消毒液的价格分别是多少元？
（2）若该校计划购买甲、乙两种消毒液共30桶，其中购买甲消毒液桶，且甲消毒液的数量至少比乙消毒液的数量多5桶，又不超过乙消毒液的数量的2倍．怎样购买，才能使总费用最少？并求出最少费用．
11．（2023秋 江北区期末）某文具店准备购进、两种品牌的文具袋进行销售，若购进品牌文具袋和品牌文具袋各5个共花费120元，购进品牌文具袋3个和品牌文具袋4个共花费88元．
（1）求购进品牌文具袋和品牌文具袋的单价；
（2）若该文具店购进了，两种品牌的文具袋共100个，其中品牌文具袋售价为12元，品牌文具袋售价为23元，设购进品牌文具袋个，获得总利润为元．
①求关于的函数关系式；
②要使销售文具袋的利润最大，且所获利润不低于进货价格的，请你帮该文具店设计一个进货方案，并求出其所获利润的最大值．
12．市场上甲种商品的采购价为60元件，乙种商品的采购价为100元件，某商店需要采购甲、乙两种商品共15件，且乙种商品的件数不少于甲种商品件数的2倍．设购买甲种商品件，购买两种商品共花费元．
（1）求出与的函数关系式（写出自变量的取值范围）；
（2）试利用函数的性质说明，当采购多少件甲种商品时，所需要的费用最少？
13．（2023秋 东阳市期末）某土特产公司组织20辆汽车装运甲、乙、丙三种土特产共120吨去外地销售．按计划20辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一种土特产，且必须装满，根据下表提供的信息，解答以下问题：
土特产品种 甲 乙 丙
每辆汽车运载量（吨 8 6 5
每吨土特产获利（百元） 12 16 10
（1）设装运甲种土特产的车辆数为，装运乙种土特产的车辆数为，求与之间的函数关系式．
（2）如果装运每种土特产的车辆都不少于3辆，那么车辆的安排方案有几种并写出每种安排方案．
（3）若要使此次销售获利最大，应采用（2）中哪种安排方案？并求出最大利润的值．
题型04 与物理（跨学科）有关的一次函数应用
1．（2024春 三门县期末）一个弹簧不挂重物时长，挂上重物后伸长的长度与所挂重物的质量成正比．如果挂上的物体后，弹簧伸长，弹簧的总长度 与所挂物体的质量 的函数表达式是 ．
【2．（2023秋 松阳县期末）某校项目化学习小组研究“自制弹簧测力计”的课题，需先了解在弹性限度内，弹簧长度与所挂物体质量的关系，并后根据实验数据制作弹簧测力计．经过测量，他们得到一组数据如下表：
物体 1 2 3 4 5
弹簧长度 16 17 18 19 20
（1）在直角坐标系中画出以表中各对与的对应值为坐标的各点，观察这些点是否在同一直线上．
（2）求出关于的函数表达式．
（3）在弹性限度内，当弹簧长度是时，所挂物体质量是多少？
3．（2024春 椒江区期末）学习了弹力及弹簧测力计的相关知识后，小明知道在弹性限度内，弹簧的长度与它受到的拉力成一次函数关系．小明想进一步探究“某个弹簧的长度与它所受到的拉力之间的关系”，他通过悬挂不同质量的物体，分别测量对应的弹簧长度．实验中，他收集到了如下数据：
弹簧受到的拉力 0 1 2 3 10
弹簧的长度 2 3.4 4.8 6.2 16
（1）根据表格数据，求出弹簧的长度关于它所受到的拉力的函数解析式；
（2）小明第一次悬挂物体的拉力读数为，记录对应的弹簧长度为，第二次悬挂物体的拉力读数为，记录对应的弹簧长度为．若，求的值．
4．（2023秋 衢江区期末）秤是我们传统的计重工具．如图1，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为时，秤钩所挂物重为（斤，则是的一次函数．下表中为若干次称重时所记录的一些数据．
1 2 4 7 11 12
（斤 0.75 1.00 1.50 2.25 3.25 4.00
（1）在表中，的数据中，发现有一对数据记录错误．在图2中，通过描点的方法，观察判断哪一对是错误的？
（2）根据（1）的发现，问秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为时，秤钩所挂物重是多少？
5．（2023秋 义乌市期末）在平面直角坐标系中，放置一面平面镜，如图所示，其中，，从点发射光线，其解析式为．
（1）点为平面镜的中点，若光线恰好经过点，求的值；
（2）若入射光线与平面镜有公共点，求的取值范围；
（3）光线经过平面镜反射后，反射光线与轴交于点，直接写出点的纵坐标的最大值．
6．（2023秋 鄞州区期末）如图，在两个完全相同的甲、乙容器中，最初，容器甲有高的水，容器乙放了一个长方体，且容器底面积是长方体底面积的4倍．从甲容器向乙容器用虹吸原理注水（虹吸装置的体积忽略不计），当注满时，容器乙中液面与长方体上底面相平．设容器甲中的液面高为（单位：，容器乙中的液面高为（单位：．小科绘制了、关于时间（单位：的函数图象如图2所示．回答下列问题：
（1）的值为 ；容器甲的液面下降速度是
（2）求的值以及关于的函数表达式；
（3）当容器甲中的液面高与容器乙中的液面高相差时，求此时的值．
题型05 探究任务型一次函数应用
1．（2024春 路桥区期末）根据以下素材，探索完成任务．
训练与心率的关系研究
素材1 研究表明，运动时心跳速率通常和人的年龄有关．最大心率是指正常情况下这个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数，最大心率（次分）与年龄（岁之间满足一次函数关系．一个年龄为30岁的人，他的最大心率为190次分；一个年龄为40岁的人，他的最大心率为180次分．
素材2 靶心率是指在有氧运动时心率的一个特定范围．在此范围内运动才有训练效果，一般而言，越接近靶心率的最大值，训练效果越佳．
素材3 靶心率为最大心率的（包含两端点）．运动时，心跳速率超过最大心率，会有生命危险．
解决问题
任务1 求与之间的函数解析式；
任务2 求一个年龄为岁的人在有氧运动时的靶心率；
任务3 小明今年16岁，为了在体育中考中取得佳绩，需要加强训练，训练时测得心率为210次分，小明的运动有生命危险吗？若有，请说明理由，并利用素材中训练与心率的关系为他设计合理的运动方案．（心率结果取整数）
2．（2023秋 西湖区期末）综合与实践
【情境描述】
圆圆想把一些相同规格的塑料杯，尽可能多地放入高的柜子里（如图．她把杯子按如图这样整齐地叠放成一摞（如图，但她不知道一摞最多能叠几个可以一次性放进柜子里．
【观察发现】
圆圆测量后发现，按这样叠放，这摞杯子的总高度随着杯子数量的变化而变化，记录的数据如下表所示：
杯子的数量（只 1 2 3 4 5 6
总高度 10 11.4 12.8 14.2 15.6 17
【建立模型】
（1）请根据上表中的信息，在平面直角坐标系中描出对应点，观察这些点的分布规律，试求关于的函数表达式．
（2）当杯子的数量为12只时，求这摞杯子的总高度．
【解决问题】
请帮圆圆算一算，一摞最多能叠几个杯子，可以一次性放进柜子里？
3．（2024春 临海市期末）根据以下素材，完成任务．
探究获奖设置和奖品采购的方案
某学校举办七年级数学知识竞赛，分别设置一等奖、二等奖和三等奖若干名，需考虑获奖人数以及奖品购买方案．
素材1 获奖总人数初定为150人，各档获奖人数要求为：一等奖名额最少，三等奖名额最多，且三等奖获奖人数是一等奖的4倍．
素材2 为获一、二、三等奖的同学分别购买，，三种奖品，价格如下表：各如下表： 等次奖品单价（元一等奖120二等奖50三等奖40
素材3 学校购买奖品的预算为9000元．
问题解决
任务1 确定人数范围 获奖总人数为150人时，求获一等奖人数的取值范围．
任务2 确定购买方案 获奖总人数为150人时，如何设置一、二、三等奖的获奖人数，使得购买奖品花费最少？最少花费多少元？
任务3 优化购买方案 为提高同学们参赛积极性，学校决定增加获奖人数．在符合各档获奖人数要求的前提下，请你设置一个合理的一、二、三等奖的获奖人数方案，要求恰好花完9000元预算且获奖总人数最多．
4．（2023秋 上城区期末）综合与实践
生活中的数学：如何确定单肩包最佳背带长度
素材1 如图是一款单肩包，背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．使用时可以通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，使背带的总长度加长或缩短（总长度为单层部分与双层部分的长度和，其中调节扣的长度忽略不计）．
素材2 对于该背包的背带长度进行测量，设双层的部分长度是 ，单层部分的长度是 ，得到如下数据： 双层部分长度261014单层部分长度1161081009270
素材3 单肩包的最佳背带总长度与身高比例为
素材4 小明爸爸准备购买此款背包．爸爸自然站立，将该背包的背带调节到最短提在手上，背带在背包的悬挂点离地面的高度为；已知爸爸的臂展和身高一样，且肩宽为，头顶到肩膀的垂直高度为总身高的．
任务1 在平面直角坐标系中，以所测得数据中的为横坐标，以为纵坐标，描出所表示的点，并用光滑曲线连接，根据图象思考变量、是否满足一次函数关系．如果是，求出该函数的表达式，直接写出值并确定的取值范围．
任务2 设人身高为，当单肩包背带长度调整为最佳背带总长度时，求此时人身高与这款背包的背带双层部分的长度之间的函数表达式．
任务3 当小明爸爸的单肩包背带长度调整为最佳背带总长度时．求此时双层部分的长度．
5．（2023秋 金东区期末）葡萄是本地区重要农业经济产业，种植葡萄能增加农民的收入．根据提供的材料解决问题．
材料一 （斤
某商贸公司经销甲、乙两个品种的葡萄，甲种葡萄进价为5元斤：乙品种葡萄的进货总金额（单位：元）与乙品种葡萄的进货量（单位：斤）之间的关系如图所示，经过试销，在城市销售甲、乙两个品种葡萄的售价分别为7元斤和14元斤．
材料二 在葡萄节开节当日，该商贸公司收购了甲、乙两个品种的葡萄共20000斤，其中乙品种的收购量不低于4000斤，且不高于10000斤．
材料三 葡萄运到城市，商场发现顾客对甲、乙两个品种葡萄都很喜欢，于是决定把两种葡萄进行混合销售，并适当让利给消费者．
任务一 求图中直线函数解析式．
任务二 若从收购点运到商场的其他各种费用还需要18000元，收购的葡萄能够全部卖完，设销售完甲、乙两个品种的葡萄所获总利润为元（利润销售额成本）．求出（单位：元）与乙品种葡萄的进货量（单位：斤）之间的函数关系式，并为该商贸公司设计出获得最大利润的收购方案．
任务三 在任务二获得的最大利润的基础上，商场把最大利润的让利给购买者，那么混合销售葡萄的销售价应定为多少？
6．（2023秋 长兴县期末）某校八年级学生在数学课上进行了项目化学习研究，某小组研究如下：
【提出驱动性问题】机场监控问题．
【设计实践任务】选择“素材1”“素材2”，设计了“任务1”“任务2”“任务3”的实践活动．请你尝试帮助他们解决相关问题．
机场监控问题的思考
素材1 如图是某机场监控屏显示两飞机的飞行图象，1号指挥机（看成点始终以的速度在离地面高的上空匀速向右飞行．
素材2 2号试飞机（看成点一直保持在1号机的正下方从原点处沿角爬升，到高的处便立刻转为水平飞行，再过到达处开始沿直线降落，要求后到达处．
问题解决
任务1 求解析式和速度 求出段关于的函数解析式，直接写出2号机的爬升速度；
任务2 求解析式和坐标 求出段关于的函数解析式，并预计2号机着陆点的坐标；
任务3 计算时长 通过计算说明两机距离不超过的时长是多少．
题型06 与其他实际生活有关的一次函数应用
1．（2023秋 海曙区校级期末）时，时钟中时针与分针的位置如图所示（分针在射线上），设经过 ，时针、分针与射线所成角的度数分别为、，则、与之间的函数关系图象是
A． B．
C． D．
2．（2023秋 南浔区期末）如图，平面直角坐标系中，线段的两端点坐标为，，某同学设计了一个动画：在函数中，分别输入和的值，便得到射线，其中；当时，会从处弹出一个光点，并沿飞行；当有光点弹出，并击中线段上的整点（横、纵坐标都是整数）时，线段就会发光，则此时整数的个数为 个
A．5 B．6 C．8 D．9
3．（2023秋 上虞区期末）蜿蜒如虹，飘逸秀美．2023年11月4日上午9时30分，历时近两年建设的上虞曹娥江城市人行桥正式开通启用（如图），市民争相打卡体验，成为上虞新晋“网红打卡点”．桥身之美中不乏具有“对称美”，桥中间成半球形的景观中出现了很多的“等腰三角形”，现把这样的一个等腰三角形放置到平面直角坐标系中，使其关于轴对称，且有一腰与轴相交于点，已知该等腰三角形其中一腰所在的直线为，则的值为 ．
4．（2023秋 滨江区校级期末）游泳池应定期换水．某游泳池在一次换水前存水900立方米，换水时打开排水孔，以每小时300立方米的速度将水放出．设放水时间为小时，游泳池内存水量为立方米．
（1）求关于的函数表达式和自变量的取值范围；
（2）放水多少小时后，游泳池内存水量小于300立方米？
5．（2023秋 开化县期末）某种机器油箱容量为，工作前先将空油箱加满，然后停止加油立即开始工作．下表记录了整个过程60分钟内5个时刻的油箱里的油量．其中（单位：表示油箱里的油量，（单位：表示时间．
10 20 40 50 60
30 25 15 10 5
（1）在平面直角坐标系中描出表中数据对应点，再选出最符合实际的函数模型，求出机器工作时关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围．
（2）求出油箱中油量为时的值．
6．（2023秋 莲都区期末）为了鼓励学生在家多劳动，甲、乙两所学校采取发放“劳动奖章”的办法．折线和射线分别表示甲、乙两所学校学生获得劳动奖章的个数（个和学生每周的劳动时间（分周）之间的函数关系图象．
请根据图象解决下列问题；
（1）当学生劳动时间为40（分周）时，求甲学校学生获得“劳动奖章”的个数；
（2）求所在直线的函数表达式．
（3）对于相同劳动时间（分周），设甲、乙两所学校发放劳动奖章相差的个数为，当时，求的值．
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期末专项09 一次函数的应用（六大模型）
题型01 与路程有关的一次函数应用
题型02 与阶梯收费有关的一次函数应用
题型03 与销售利润有关的一次函数应用
题型04 与物理（跨学科）有关的一次函数应用
题型05 探究任务型一次函数应用
题型06 与其他实际生活有关的一次函数应用
题型01 与路程有关的一次函数应用
1．（2023秋 海曙区校级期末）如图，甲、乙两人分别骑自行车和摩托车，从同一地点沿相同的路线前往距离的某地．如图，分别表示甲、乙两人离开出发地的距离与行驶时间之间的函数关系．问乙出发 后两人相遇．
A．小时 B．小时 C．小时 D．1.5小时
【答案】
【解析】由图象可得，
甲的速度为：，
乙的速度为：，
设乙出发小时后两人相遇，
则，
解得，
乙出发小时后两人相遇．
故选：．
2．（2023秋 东阳市期末）小明和爸爸从家里出发，沿同一路线到学校．小明匀速跑步先出发，2分钟后，爸爸骑自行车出发，匀速骑行一段时间后，在途中商店购买水果花费了5分钟，这时发现小明已经跑到前面，爸爸骑车速度增加60米分钟，结果与小明同时到达学校．小明和爸爸两人离开家的路程（米与爸爸出发时间（分钟）之间的函数图象如图所示．则下列说法错误的是
A．
B．小明的速度是150米分钟
C．爸爸从家到商店的速度为200米分钟
D．爸爸出发7分钟追上小明
【答案】
【解析】线段是爸爸买水果的时间5分钟，，故不符合题意；
由图象可得小明的速度是（米分钟），故不符合题意；
设爸爸从家到商店的速度是米分钟，则从商店到学校的速度是米分钟，
依题意得，，
解得，
所以爸爸从家到商店的速度是200米分钟，故不符合题意；
爸爸追上小明得时间是（分钟），故符合题意．
故选：．
3．（2023秋 鄞州区期末）某校八年级同学到距学校8千米的某地参加社会实践活动，一部分同学步行，另一部分同学骑自行车，沿相同路线前往，如图，，分别表示步行和骑车前往目的地所走的路程（千米）与所用时间（分之间的函数图象，根据图象提供的信息，下面选项中正确的个数是
①骑车的同学比步行的同学晚出发30分钟；②骑车的同学和步行的同学同时到达目的地；③步行的速度是7.5千米时；④汽车的同学从出发到追上步行的同学用了18分．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】
【解析】由函数图象可知，骑车的同学比步行的同学晚出发30分钟，
①正确；
根据函数图象，骑车的同学于54分时到达目的地，而步行的同学于64分时到达目的地，
②不正确；
步行的速度为（千米时），
③正确；
骑车的速度为（千米时），
设骑车的同学从出发到追上步行的同学用了小时，
则，解得，
（分，
④正确；
综上，正确的有①③④，共3个，
故选：．
4．（2023秋 滨江区校级期末）甲、乙两人分别从、两地同时出发，相向而行，匀速前往地、地，两人相遇时停留了，又各自按原速前往目的地，甲、乙两人之间的距离与甲所用时间之间的函数关系如图所示．有下列说法：
①、之间的距离为；
②乙行走的速度是甲的1.5倍；
③；
④．
以上结论正确的有
A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②④
【答案】
【解析】①当时，，
、之间的距离为，结论①正确；
②乙的速度为，
甲的速度为，
，
乙行走的速度是甲的1.5倍，结论②正确；
③，结论③错误；
④，结论④正确．
故选：．
5．（2023秋 嵊州市期末）甲、乙两车从地出发，匀速驶向地．已知甲车先出发，乙车才沿相同路线行驶．又过了3小时，甲乙两车同时到达途中某修理厂处，乙未作停留，甲停留后，按原速度继续行驶，到达终点地停止．在此过程中，两车之间的距离与乙车出发的时间之间的函数关系如图所示．有下列结论：①乙车的速度是；②两地相距；③；④当两车相距时，的值分别为0，3.75，7．其中结论正确的是
A．①② B．①②④ C．①②③ D．①③④
【答案】
【解析】由图象可知，乙出发时，甲乙相距，则说明甲每小时行驶，3小时后，乙车追上甲．则说明乙每小时比甲快，则乙的速度为．①正确；
由图象可得第6小时，乙由到达，，两地相距；②正确；
当甲在相遇点休息时，乙前进，则点坐标为，
点代表乙到达地，从相遇点到地，甲行驶了小时，共行驶了，乙行驶了小时，共行驶了，甲乙相距，点坐标为，
甲到达地，还需要行驶小时，
则，③错误；
当甲车先出发时，两车相距时，此时的值为0，
当两车相遇之后，甲停留时，乙前进时，两车相距，此时的值为，
当乙到达地后，甲行驶到达地过程中，甲行驶时，两车相距时，此时的值为7．④正确．
正确的有：①②④，
故选：．
6．（2023秋 吴兴区期末）小明早晨从家里出发步行去学校（学校与家的距离是1000米），4分钟后爸爸发现小明数学书没带，骑电瓶车去追赶，追上小明并将数学书交给他（交接时间忽略不计），交接完成后爸爸放慢速度原路返回，小明到达学校，同时爸爸也正好到家．如图，线段与折线分别表示小明和爸爸离开家的距离（米关于时间（分钟）的函数图象，下列说法错误的是
A．小明步行的速度为每分钟100米
B．爸爸出发时，小明距离学校还有600米
C．爸爸回家时的速度是追赶小明时速度的一半
D．和时，父子俩均相距200米
【答案】
【解析】小明步行的速度为（米分），
故正确，不符合题意；
爸爸出发时小明离学校还有（米，
故正确，不符合题意；
由题意知，爸爸用两分钟追上小明，
爸爸追赶小明时的速度为（米分），
爸爸回家的速度为：（米分），
爸爸回家时的速度是追赶小明时速度的一半，
故正确，不符合题意；
设小明出发分钟时父子俩相距200米，
根据题意得：或，
解得或，
和分30秒时，父子俩均相距200米，
故错误，符合题意．
故选：．
7．（2023秋 北仑区期末）甲、乙两位同学周末相约去游玩，沿同一路线从地出发前往地，甲、乙分别以不同的速度匀速前行乙比甲晚出发，并且在中途停留后，按原来速度的一半继续前进．此过程中，甲、乙两人离地的路程与甲出发的时间之间的关系如图．下列说法：①，两地相距；②甲比乙晚到地；③乙从地刚出发时的速度为；④乙出发与甲第三次相遇．其中正确的有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】
【解析】从图中可以看出，，两地相距，甲比乙晚到地，
故①②正确，符合题意；
设从地刚出发时的速度为 ，
则，
解得，
乙从地刚出发时的速度为，
故③正确，符合题意；
根据图象可知，甲的速度为，乙在途中停留后，二者第三次相遇，
乙中途停留前运动时间为，
设乙继续前进小时后二者相遇，
根据题意得：，
解得，
故第三次相遇为乙出发后，
故④正确．符合题意．
故选：．
8．（2023秋 瓯海区校级期末）一辆快车和一辆慢车将一批物资从甲地运往乙地，其中快车送达后立即沿原路返回，且往返速度不变．两车离甲地的距离与慢车行驶时间的函数关系如图所示，那么两车先后两次相遇的间隔时间为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】设．
过，
．
解得：．
；
快车送达后立即沿原路返回，且往返速度不变．
快车到达乙地的时间为：时．
当时，设．
过，，
．
解得：．
．
当时，设．
过，，
．
解得：．
．
①时，．
解得：．
②当时，．
解得：．
间隔的时间．
故选：．
9．（2024春 玉环市期末）学校利用课后服务时间开展趣味运动项目训练．在直线跑道上，甲同学从处匀速跑向处，乙同学从处匀速跑往处，两人同时出发，到达各自终点后立即停止运动．设甲同学跑步的时间为（秒，甲、乙两人之间的距离为（米，与之间的函数关系如图所示，则图中的值是 ．
【答案】．
【解析】由图象可得，
甲的速度为（米秒），
乙的速度为：（米秒），
则，
故答案为：．
10．（2023秋 西湖区期末）如图，图中的折线反映了圆圆从家到学校所走的路程与时间的函数关系，其中，所在直线的表达式为，所在直线的表达式为，则 50 ．
【答案】50．
【解析】把代入得：；
把，代入得：
，
解得，
．
故答案为：50．
11．（2023秋 新昌县期末）双休日，张老师从家出发，骑自行车去南街碳水王国游玩，途中仅在经过大佛城路口时遇到红灯，他本次骑自行车所经过的路程米与所用时间分钟的函数图象如图所示，请根据图象提供的信息回答下列问题：
（1）张老师家到南街碳水王国的路程是 2000 米；在大佛城路口遇红灯停留了 分钟；
（2）如果骑车速度超过300米分钟就存在安全隐患，那么张老师从通过大佛城红绿灯后到南街碳水王国，这段时间的平均速度是否存在安全隐患？请说明理由．
【解析】（1）由图可知，南街碳水王国的纵坐标为2000，张老师家的纵坐标为0，张老师家到南街碳水王国的路程是2000米；
张老师在大佛城路口遇红灯停留为从（3分）到（4分）
故在大佛城路口遇红灯停留了1分钟．
故答案为2000；1
（2）不存在安全隐患．理由如下：
这段时间的平均速度
．
不存在安全隐患．
12．（2023秋 江北区期末）现有一段20千米长，可供长跑爱好者跑步的笔直跑道，已知甲、乙两人都从点出发，甲跑到途中的点后原地休息了20分钟，之后继续跑到点，共用时间2小时；乙虽然比甲晚出发半小时，但和甲同时到达点．假设两人跑步时均为匀速，在甲出发后的2小时内两人离开点的距离（千米）与时间（小时）的函数关系如图所示．请回答下列问题：
（1）图中点的坐标为 ，
（2）甲从点跑到点的速度为 千米时；
（3）求图中线段的表达式．并写出定义域．
【解析】（1）由题意可得，
点的横坐标为：，纵坐标为：15，
点的坐标为，，
故答案为：，；
（2）甲从点跑到点的速度为：千米时，
故答案为：7.5；
（3）由题意可得，点的坐标为，点的坐标为，
设线段的函数函数表达式为，
，得，
即线段的表达式是．
13．（2023秋 滨江区期末）甲、乙两车分别从相距的，两地相向而行，乙车比甲车先出发小时，两车分别以各自的速度匀速行驶．甲从地出发，行驶80千米到达地，，三地在同一直线上）时，因有事停留了小时后，按原速度继续前往地，乙车从地经过4小时直达地的同时，甲车也到达了地．甲、乙两车距地的路程分别记为，，它们与乙车行驶的时间的函数关系如图所示．
（1）分别求出甲、乙两车的速度及关于的函数表达式．
（2）试求乙车在出发多长时间后与甲车相遇．
【解析】（1）甲车速度为；乙车的速度为；
根据题意，；
（2）当甲车行驶80千米到达地时，，
此时乙车行驶的路程为，
甲车有事停留了小时，
甲车停留时，乙车又行驶了，
，
乙车在甲车停留时和甲车相遇；
，
乙车在出发后与甲车相遇．
14．（2023秋 义乌市期末）小亮和小明准备一同从学校出发去科技馆参观．小亮先从学校步行前往，过了12分钟后小明骑自行车同路前往，途经科技馆后小明继续向前骑了一段路到快递点先取了快递，随后加速骑行到科技馆与小亮汇合．已知小明从快递点到科技馆骑行的速度比原来增加了．如图所示，设小亮步行的时间为，线段及折线分别表示小亮和小明离学校的路程与时间的关系图象．
（1）求小亮步行的速度及科技馆离学校的距离．
（2）求小明骑车从学校到快递点所用的时间及此时与小亮的距离．
（3）在小明出发后至到达快递点前的过程中，当他们相距300米时，求小亮步行的时间．
【解析】（1）根据函数图象可知，小亮步行1200米所用时间为，
小亮步行的速度为；
科技馆离学校的距离：；
（2）小明骑车的速度为：
，
小明骑车从学校到快递点所用的时间为：
；
此时与小亮的距离为：
；
（3）设在小明出发后至到达快递点前的过程中，当他们相距300米时，小亮步行的时间为，
当小亮在小明前方时，，
解得：；
当小明在小亮前方时，，
解得：；
综上分析可知，小亮步行的时间为或．
15．（2023秋 东阳市期末）小聪和小慧沿图1中的风景区游览，约好在飞瀑见面．小聪驾驶电动汽车从宾馆出发，小慧也于同一时间骑电动自行车从塔林出发．图2中的图象分别表示两人离宾馆的路程与时间的函数关系，试结合图中信息回答：
（1）飞瀑与宾馆相距 30 ，小聪出发时与宾馆的距离 ；
（2）若小聪出发后速度变为小慧的2倍，则小聪追上小慧时，他们是否已经过了草甸？
【解析】（1）由图可知两个图象的终点纵坐标为30，
飞瀑与宾馆相距；
小聪出发时路程为，
时与宾馆距离．
故答案为：30；3；
（2）小慧的速度为，直线解析式为，小聪的速度是小慧的2倍，为，直线解析式为．联立得：
，
解得：，
点，
因此，
草甸到宾馆距离，
他们没有过了草甸．
16．（2023秋 余姚市期末）已知甲、乙两城市之间每隔有一列动车组列车以相同的速度从甲城开往乙城．如图，是第一列动车组列车离开甲城的路程与运行时间的函数图象，是一列从乙城开往甲城的普通快车距甲城的路程与运行时间的函数图象．请根据图中的信息，解答下列问题：
（1）从图象可知，动车组列车的行驶速度为 200 ；
（2）请直接在图中画出第二列动车组列车离开甲城的路程与时间的函数图象；
（3）若普通快车的速度为，问第一列动车组列车出发多长时间后与这列普通快车相遇？
【解析】解（1）由图象可知，普通列车发车时间比第一列动车组晚，点纵坐标600实际意义为甲、乙两城市之间的距离为，
动车组的速度为．
故答案为：200；
故答案为：晚；甲、乙两城市之间的距离为；；
（2）根据题意得：
（3）设第一列动车组列车出发小时后与普通快车相遇，由题意得：
，
解得，
答：第一列动车组列车出发小时后与普通快车相遇．
17．（2023秋 慈溪市期末）公司派甲车把货物从地运往地，出发几分钟后，公司发现甲车忘带货物清单，于是派乙车去追赶甲车，乙车刚出发2分钟，甲车也发现清单忘在公司，立刻原路返回，几分钟后遇到乙车，乙车把清单交给甲车后，两车同时掉头返回，在行驶6分钟后甲车到达地，乙车回到地．已知甲、乙两车距地的路程与甲车出发的时间之间的关系如图所示，整个过程中甲、乙两车速度不变，请结合图象回答下列问题：
（1）甲的速度为 500 米分，乙的速度为 米分；
（2）求的值；
（3）求乙车在送清单途中距离甲车5250米时的值．
【解析】（1）甲车的速度为（米分），
乙车速度为（米分），
故答案为：500，750；
（2）如图所示：
由题意可知，甲车走段路程用时（分钟），
段路程为（米，
点纵坐标为，
甲车在段所用时间为（分，
；
（3）乙车往返的速度相同，
乙车往返所用时间相同，
，，，
①设乙车出发分钟时与甲车相距5250米，
根据题意得：，
解得，
此时；
②两车分别分钟时相距5250米，
根据题意得：，
解得，
此时，
综上，的值为12或21.2．
18．（2023秋 柯桥区期末）、两地相距，甲、乙两人驾车沿同一条公路从地出发到地．甲、乙离开地的路程与时间的函数关系如图所示．
（1）分别求出甲、乙离开地的路程与时间的函数解析式；
（2）乙出发多少时间后追上甲？
【解析】（1）设甲离开地的路程与出发的时间函数表达式，
由图可知图象过点，
，
解得：，
，
设乙离开地的路程与甲出发的时间的函数表达式，
由图可知图象过点，，
则，
解得：，
．
（2）当乙追上甲时，两人距离地的路程相等，即，
则，
解得：，
由图可知：乙比甲晚出发0.5小时，
乙追上甲的时间为：（小时），
答：乙出发1小时后追上甲．
19．（2023秋 鄞州区校级期末）“低碳环保，绿色出行”的理念得到广大群众的接受，越来越多的人喜欢选择自行车作为出行工具．小军和爸爸同时从家骑自行车去图书馆，爸爸先以150米分的速度骑行一段时间，休息了5分钟，再以米分的速度到达图书馆，小军始终以同一速度骑行，两人行驶的路程（米与时间（分钟）的关系如图，请结合图象，解答下列问题：
（1） 10 ， ， ；
（2）若小军的速度是120米分，求小军在途中与爸爸第二次相遇时，距图书馆的距离；
（3）在（2）的条件下，爸爸自第二次出发后至到达图书馆前，何时与小军相距100米，请求出此时小军骑行的时间．（直接写出答案）
【解析】（1）由题意得，
，
（米分），
故答案为：10，15，200．
（2）设所在直线解析式为，
将，代入得：
，
解得，
，
小军速度为120米分，
所在直线解析式为，
联立方程，
解得，
（米，
小军在途中与爸爸第二次相遇时，距离图书馆750米．
（3）由题意得当时，，
解得，
当时，，
解得．
爸爸自第二次出发至到达图书馆前，小军骑行时间为17.5或20分钟时，两人相距100米．
20．（2023秋 鄞州区期末）已知甲，乙两地相距，一辆轿车从甲地出发前往乙地，到达乙地后立即按原路原速返回甲地．一辆货车与轿车同时出发，以的速度沿同一条公路从乙地前往甲地，途经服务区时货车停车装货耗时30分钟．待装货完毕，货车立即调整车速继续匀速前往甲地，最后与轿车同时到达甲地．如图是两车离乙地的距离与货车行驶时间之间的函数图象，结合图象回答下列问题：
（1）轿车的速度是 160 ， ；
（2）在图中补全货车行驶过程的函数图象．
（3）在装货完毕后，货车与轿车何时相距？
【解析】（1）轿车的速度是，，
故答案为：160，120；
（2）补全货车行驶过程的函数图象如图：
（3），
点的坐标为．
设货车在段与的函数关系式为、为常数，且．
将，和，代入，
得，解得，
货车在段与的函数关系式为；
当时，设轿车与的函数关系式为、为常数，且．
将，和，代入，
得，解得，
；
当时，设轿车与的函数关系式为、为常数，且．
将，和，代入，
得，解得，
；
综上，轿车与的函数关系式为．
当时，当货车与轿车何时相距时，，
经整理，得，即或，解得或（不符合题意，舍去）；
当时，当货车与轿车何时相距时，，
经整理，得，即或，解得（不符合题意，舍去）或4；
综上，或4，
在装货完毕后，货车与轿车在或时相距．
21．甲乙两人同时登山，甲、乙两人距离地面的高度（米与时间（分之间的函数图象如图所示．根据图象提供的信息，完成下列问题．
（1）求甲距离地面的高度米与时间分之间的函数关系式；
（2）当时，求乙距离地面的高度米与时间分之间的函数关系式；
（3）当为何值时，甲乙距离地面的高度相差20米．
【解析】（1）设甲距离地面的高度米与时间分之间的函数关系式为，
点，在函数图象上，
，
解得，
甲距离地面的高度米与时间分之间的函数关系式为；
（2）根据图象，乙前2分的速度为：（米分），
当时，，
当时，设乙距离地面的高度米与时间分之间的函数关系式为，
点，在函数图象上，
，
解得，
乙距离地面的高度米与时间分之间的函数关系式为；
（3）根据图象，甲的速度为：（米分），
分两种情况：
①甲乙相遇前：，
解得，
②甲乙相遇后：，
解得，
当为或时，甲乙距离地面的高度相差20米．
22．（2023秋 滨江区校级期末）在一条笔直的公路上有，，三地，地位于，两地之间，甲车从地沿这条公路匀速驶向地，乙车从地沿这条公路匀速驶向地，在甲车出发至甲车到达地的过程中，甲、乙两车与地的距离（单位：，（单位：与甲车行驶时间（单位：之间的函数关系如图．请根据所给图象解答下列问题：
（1）求甲、乙两车的行驶速度；
（2）求乙车与地的距离与甲车行驶时间之间的函数关系式；
（3）求乙车出发多少小时，两车相遇？
【解析】（1）甲车行驶速度是，乙车行驶速度是，
甲车行驶速度是，乙车行驶速度是；
（2）当时，；
当时，设，
图象过点，，，
，
，
；
当时，
，
图象过点，
设，
图象过点，，，
，
，
．
；
（3）设乙车出发小时，两车相遇，由题意得：
，
解得：．
乙车出发小时，两车相遇．
23．（2023秋 宁波期末）已知，两地相距，甲、乙两人沿同一条公路从地出发匀速运动到地，先到地的人原地休息，甲开轿车，乙骑摩托车．已知乙先出发，然后甲再出发．设在这个过程中，甲、乙两人的距离与乙离开地的时间之间的函数关系如图所示．
（1）乙比甲先出发 1 小时，甲开轿车的速度是 ，第一次相遇的时间在乙出发 小时；
（2）求线段对应的函数表达式；
（3）当甲、乙两人只有一人在行驶，且两人相距时，求此时乙行驶的时间．
【解析】（1）由图象可知，乙比甲先出发1小时；
由图象知，甲2小时到达地，
甲开轿车的速度为（千米小时）；
由图象知，乙的速度为千米小时，
设第一次相遇的时间在乙出发小时，
根据题意得：，
解得，
第一次相遇的时间在乙出发1.8小时．
故答案为：1；60；1.8；
（2）根据题意，，
，
设线段对应的函数表达式为，
把，坐标代入解析式得：，
解得，
线段对应的函数表达式为；
（3）①甲没有出发时，
根据题意得：，
解得，
不合题意；
②甲到达地时，
根据题意得：，
解得．
综上所述，当甲、乙两人只有一人在行驶，且两人相距时，乙行驶的时间为小时．
题型02 与阶梯收费有关的一次函数应用
1．（2023秋 武义县期末）甲、乙两家快递公司关于普通小件物品的收费标准如表：
及以内 超过的部分
甲 8元 2元（不足按计）
乙 6元 3元
设邮件的质量为，甲、乙两公司的快递费分别为元，元．
（1）若，则的取值范围为 4 ．
（2）若，则的取值范围为 ．
【解析】（1）由题意可得，
，，
当时，，
解得：，
故答案为：4，
（2）当时，
，解得：，
故答案为：．
2．（2023秋 舟山期末）为节约用水，某市居民生活用水按级收费，水价分三个等级：第一级为月用水量及以下（含；第二级为月用水量超过，不到；第三级为月用水量及以上（含，如图是某住户收到的一张自来水总公司水费专用发票．
自来水总公司水费专用发票
发票联
计费日期：至
上期抄见数 本期抄见数 加原表用水量 本期用水量
587 607 20
自来水费（含水资源费） 污水处理费
用水量 单价（元 金额（元 用水量 单价（元 金额（元
阶梯一：171.7529.75 阶梯二：32.36.9 170.457.65 30.61.8
本期实付金额（大写） 肆拾陆元壹角整￥46.10
注：（居民生活用水水价自来水费污水处理费）
（1）若某用户的月用水量为，应付的水费为元，求关于的函数表达式；
（2）若下个月份该用户收到的自来水发票实付金额为69.3元，则下个月份该用户的用水量为多少？
（3）根据该发票信息，你能计算月用水量超过时应付的水费吗？如果能，请计算月用水量超过时，应付的水费元与月用水量的函数表达式；如果不能，请你思考：通过哪些渠道可以获取信息，得到该用户水费的计算方式．
【解析】（1）由题意得：，
所以关于的函数表达式为．
（2）设下个月份该用户的用水量为 ，
因为，，
所以，
则，
解得，
答：下个月份该用户的用水量为．
（3）因为根据该发票信息，不知道阶梯三对应的自来水费和污水处理费的单价，
所以不能计算月用水量超过时应付的水费，
通过收集自来水总公司水费专用发票、询问自来水公司等途径获取信息，得到该用户水费的计算方式．
题型03 与销售利润有关的一次函数应用
1．（2024春 路桥区期末）如图，某超市的消费卡售价（元与面值（元之间满足正比例函数关系，使用这张消费卡，在该超市可以购买任意商品．
（1）求与之间的函数解析式；
（2）小张购买了一张面值为2000元的消费卡，求小张购买这张消费卡时实际支付了多少元？
【解析】（1）由题意，设解析式为，把代入得：
．
．
所求函数关系式为．
（2）由题意，结合（1），
令时，．
小张购买这张消费卡实际花费1700元．
2．（2024春 玉环市期末）夏日将至，防暑药开始热销，某药店防暑药总存量（盒与销售天数的关系如图所示，热销期间为了供应充足，进行一次补货，请根据图象回答：
（1）补货在第 3 天，补货 盒．
（2）求补货前该药店防暑药总存量（盒与销售天数（天的函数关系式，并写出的取值范围．
（3）补货后比补货前每天平均销售量增加2盒，求补货后药总存量（盒与销售天数（天的函数关系式，并求从销售开始第几天后总存量将不足10盒？
【解析】（1）由图象得：补货在第3天，补货盒，
故答案为：3，52；
（2）补货前每天的销量为：，
；
（3）补货后每天的销量为：，从地天开始，
，
当时，，
解得：，
的最小值为7，
答：从销售开始第7天后总存量将不足10盒．
3．（2023秋 宁波期末）某商场销售，两种型号智能手机，这两种手机进价和售价如下表：
型号
进价（万元部） 0.44 0.20
售价（万元部） 0.5 0.25
该商场计划购进，两种型号手机共60部进行销售．
（1）求，两种型号手机全部销售后所获利润（万元）与购进型手机的数量的关系式．提示：利润（售价进价）销售量．
（2）若该商场此次用于购进手机的总资金不超过15.6万元．若两种手机都按售价全部售完，问：该商场应该怎样进货，使全部销售后获得的利润最大，最大利润是多少．
【解析】（1）设购进型手机部，则购进型手机部，
根据题意得：，
所获利润（万元）与购进型手机的数量的关系式为；
（2）该商场此次用于购进手机的总资金不超过15.6万元，
，
解得，
，
随的增大而增大，
当时，有最大值，最大值为3.15，
此时，
当购买型手机15部，购进型手机45部时，全部销售后获得的利润最大，最大利润是3.15万元．
4．（2023秋 海曙区期末）疫情放开之后，商场为刺激消费推出了两种购物方案．方案一：非会员购物所有商品价格可获九五折优惠，方案二：如交纳300元会费成为该商场会员，则所有商品价格可获九折优惠．
（1）以（元表示商品价格，（元表示支出金额，分别写出两种购物方案中关于的函数解析式；
（2）若某人计划在商场购买价格为7000元的电视机一台，请分析选择哪种方案更省钱？
【解析】（1）根据题意，方案一中关于的函数解析式为；
方案二中关于的函数解析式为．
（2）当时：
方案一实际付款；
方案二实际付款，
，
选择方案二更省钱．
5．（2023秋 鄞州区期末）2023年杭州亚运会期间，吉祥物徽章受到了众多人的喜爱．某网店直接从工厂购进款礼盒120盒，款礼盒50盒，两款礼盒全部售完．两款礼盒的进货价和销售价如下表：
类别 款礼盒 款礼盒
进货价（元盒） 30 25
销售价（元盒） 45 33
（1）求该网店销售这两款礼盒所获得的总利润．
（2）网店计划用第一次所获的销售利润再次去购买、两款礼盒共80盒．该如何设计进货方案，使网店获得最大的销售利润？最大销售利润是多少？
【解析】（1）（元，
答：该网店销售这两款礼盒所获得的总利润为2200元；
（2）设购进盒款礼盒，则购进盒款礼盒，网店所获利润为元，
根据题意得：，
又，
，
，
随的增大而增大，
当时，有最大值，最大值为920，
该网店购进款礼盒和款礼盒各40盒网店获得最大的销售利润，最大利润为920元．
6．（2023秋 鄞州区期末）为迎接新春佳节的到来，一水果店计划购进甲、乙两种新出产的水果共160千克，这两种水果的进价、售价如表所示：
进价（元千克） 售价（元千克）
甲种 5 8
乙种 9 13
（1）若该水果店预计进货款为1000元，则这两种水果各购进多少千克？
（2）若该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍，应怎样安排进货才能使水果店在销售完这批水果时获利最多？此时利润为多少元？
【解析】（1）设甲种水果购进千克，则乙种水果购进千克，
由题意可得：，
解得，
，
答：甲种水果购进110千克，则乙种水果购进50千克；
（2）设购进甲种水果千克，则乙种水果购进千克，获得的利润为元，
由题意可得：，
随的增大而减小，
该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍，
，
解得，
当时，取得最大值，此时，，
答：安排购买甲种水果，乙种水果120千克，才能使水果店在销售完这批水果时获利最多，此时利润为600元．
7．（2023秋 新昌县期末）某商店经营2023杭州亚运会吉祥物“宸宸、琮琮和莲莲”钥匙扣礼盒装，销售10套型和20套型礼盒的利润和为400元，销售20套型和10套型礼盒的利润和为350元．
（1）分别求销售每套型礼盒和型礼盒的利润．
（2）该商店计划一次性购进两种型号的礼盒共100套，其中型礼盒的进货量不超过型礼盒的2倍，设购进型礼盒套，全部售出这100套礼盒的总利润为元．
①求关于的函数表达式．
②该商店购进型、型礼盒各多少套，才能使总利润最大？最大利润是多少？
【解析】（1）设型礼盒的利润为元，型礼盒的利润为元．由题意得，
，
解得：，
答：每套型礼盒和型礼盒的利润分别为10元和15元；
（2）①购进型礼盒套，
购进型礼盒套，
，
且有，
解得，，
；
②由①得，
，
随的增大而减少，
为正整数，
当时，取到最大值，
（元，
答：该商店购进型34套、型礼盒66套时，才能使总利润最大为1330元．
8．（2023秋 衢江区期末）“书香中国，读领未来”，4月23日是世界读书日，我市某书店同时购进，两类图书，已知购进3本类图书和4本类图书共需160元；购进6本类图书和2本类图书共需170元．
（1），两类图书每本的进价各是多少元？
（2）该书店计划用2000元购进这两类图书，设购进类本，类本．
①求关于的关系式；
②进货时，类图书的购进数量不少于50本，已知类图书每本的售价为28元，类图书每本的售价为40元，如何进货才能使书店所获利润最大？最大利润为多少元？
【解析】（1）设类图书每本的进价是元，类图书每本的进价是元，根据题意得：
，
解得：，
答：类图书每本的进价是20元，类图书每本的进价是25元；
（2）①根据题意得：，
关于的关系式为；
②设书店所获利润为元，根据题意得：
，
随的增大而减小，
类图书的购进数量不少于50本，
，
当时，由最大值，最大值为，
此时，
答：购进类图书50本，类图书40本时，才能使书店所获利润最大，最大利润为1000元．
9．（2023秋 海曙区校级期末）某市为助力新能源汽车产业的健康发展，打造新能源交通生态城市，近几年在全市范围内安装电动汽车充电桩．2021年该市投入资金1250万元，安装型充电桩200个和型充电桩300个；2022年又投入2000万元，安装型充电桩250个和型充电桩500个．已知这两年安装、两种型号的充电桩单价不变．
（1）求安装型充电桩和型充电桩的单价各是多少万元？
（2）为适应电动汽车快速发展的需要，市政府计划2023年再安装、两种型号的充电桩共200个．考虑到充电容量等综合因素，决定安装型充电桩的数量不多于型充电桩的一半．在安装单价不变的前提下，当安装型充电桩多少个时，所需投入的总费用最少，最少费用是多少万元？
【解析】（1）设安装型充电桩的单价为万元，型充电桩的单价万元，根据题意，
得，
解这个方程组，得；
答：安装型充电桩和型充电桩的单价分别是1万元和3.5万元．
（2）设型充电桩安装了个，则型充电桩安装了个，投入的总费用为万元，根据题意，得
．
解这个不等式，得．
投入的总费用．
，
，
随增大而减小，
为正整数，当取最大值66时，的最小值为（万元）．
答：当型充电桩安装66个时，所需投入的总费用最少，最少的费用为535万元．
10．（2023秋 武义县期末）某学校要购买甲、乙两种消毒液，用于预防新型冠状病毒．若购买9桶甲消毒液和6桶乙消毒液，则一共需要615元；若购买8桶甲消毒液和12桶乙消毒液，则一共需要780元．
（1）每桶甲消毒液、每桶乙消毒液的价格分别是多少元？
（2）若该校计划购买甲、乙两种消毒液共30桶，其中购买甲消毒液桶，且甲消毒液的数量至少比乙消毒液的数量多5桶，又不超过乙消毒液的数量的2倍．怎样购买，才能使总费用最少？并求出最少费用．
【解析】（1）设每桶甲消毒液价格为元，每桶乙消毒液的价格为元，
由题意可得：，
解得，
答：每桶甲消毒液价格为45元，每桶乙消毒液的价格为35元；
（2）由题意可得，
，
随的增大而增大，
甲消毒液的数量至少比乙消毒液的数量多5桶，又不超过乙消毒液的数量的2倍，
，
解得，
为整数，
当时，取得最小值，此时，，
答：购买甲消毒液18桶，乙消毒液12桶时，才能使总费用最少，最少费用是1230元．
11．（2023秋 江北区期末）某文具店准备购进、两种品牌的文具袋进行销售，若购进品牌文具袋和品牌文具袋各5个共花费120元，购进品牌文具袋3个和品牌文具袋4个共花费88元．
（1）求购进品牌文具袋和品牌文具袋的单价；
（2）若该文具店购进了，两种品牌的文具袋共100个，其中品牌文具袋售价为12元，品牌文具袋售价为23元，设购进品牌文具袋个，获得总利润为元．
①求关于的函数关系式；
②要使销售文具袋的利润最大，且所获利润不低于进货价格的，请你帮该文具店设计一个进货方案，并求出其所获利润的最大值．
【解析】（1）设购进品牌文具袋的单价为元，品牌文具袋的单价为元，
，得
答：购进品牌文具袋的单价为8元，品牌文具袋的单价为16元；
（2）①由题意可得，
，
即关于的函数关系式为；
②所获利润不低于进货价格的，
，
解得，，
为整数，，
当时，取得最大值，此时，，
答：购进品牌文具袋34个，品牌文具袋66个时，可以获得最大利润，最大利润是598元．
12．市场上甲种商品的采购价为60元件，乙种商品的采购价为100元件，某商店需要采购甲、乙两种商品共15件，且乙种商品的件数不少于甲种商品件数的2倍．设购买甲种商品件，购买两种商品共花费元．
（1）求出与的函数关系式（写出自变量的取值范围）；
（2）试利用函数的性质说明，当采购多少件甲种商品时，所需要的费用最少？
【解析】（1），
，
，
即；
（2），
随的增大而减小．即当取最大值5时，最小；
此时，
当采购5件甲种商品时，所需要的费用最少．
13．（2023秋 东阳市期末）某土特产公司组织20辆汽车装运甲、乙、丙三种土特产共120吨去外地销售．按计划20辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一种土特产，且必须装满，根据下表提供的信息，解答以下问题：
土特产品种 甲 乙 丙
每辆汽车运载量（吨 8 6 5
每吨土特产获利（百元） 12 16 10
（1）设装运甲种土特产的车辆数为，装运乙种土特产的车辆数为，求与之间的函数关系式．
（2）如果装运每种土特产的车辆都不少于3辆，那么车辆的安排方案有几种并写出每种安排方案．
（3）若要使此次销售获利最大，应采用（2）中哪种安排方案？并求出最大利润的值．
【解析】（1），
．
与之间的函数关系式为． （3分）
（2）由，，即可得，
又为正整数，
，4，5． （5分）
故车辆的安排有三种方案，即：
方案一：甲种3辆乙种11辆丙种6辆；
方案二：甲种4辆乙种8辆丙种8辆；
方案三：甲种5辆乙种5辆丙种10辆．（7分）
（3）设此次销售利润为百元，
．
随的增大而减小，又，4，5
当时，（百元）万元．
答：要使此次销售获利最大，应采用（2）中方案一，即甲种3辆，乙种11辆，丙种6辆，最大利润为16.44万元．（10分）
题型04 与物理（跨学科）有关的一次函数应用
1．（2024春 三门县期末）一个弹簧不挂重物时长，挂上重物后伸长的长度与所挂重物的质量成正比．如果挂上的物体后，弹簧伸长，弹簧的总长度 与所挂物体的质量 的函数表达式是 ．
【答案】．
【解析】挂上的物体后，弹簧伸长，
挂上 的物体后，弹簧伸长 ，
弹簧总长．
即弹簧的总长度 与所挂物体的质量 的函数表达式是，
故答案为：．
2．（2023秋 松阳县期末）某校项目化学习小组研究“自制弹簧测力计”的课题，需先了解在弹性限度内，弹簧长度与所挂物体质量的关系，并后根据实验数据制作弹簧测力计．经过测量，他们得到一组数据如下表：
物体 1 2 3 4 5
弹簧长度 16 17 18 19 20
（1）在直角坐标系中画出以表中各对与的对应值为坐标的各点，观察这些点是否在同一直线上．
（2）求出关于的函数表达式．
（3）在弹性限度内，当弹簧长度是时，所挂物体质量是多少？
【解析】（1）如图所示，各点均在同一条直线上．
（2）设关于函数表达式为，
把点，代入得：，
解得：，，
关于函数表达式为；
（3）由（2）得：关于函数表达式为，
当时，解得．
3．（2024春 椒江区期末）学习了弹力及弹簧测力计的相关知识后，小明知道在弹性限度内，弹簧的长度与它受到的拉力成一次函数关系．小明想进一步探究“某个弹簧的长度与它所受到的拉力之间的关系”，他通过悬挂不同质量的物体，分别测量对应的弹簧长度．实验中，他收集到了如下数据：
弹簧受到的拉力 0 1 2 3 10
弹簧的长度 2 3.4 4.8 6.2 16
（1）根据表格数据，求出弹簧的长度关于它所受到的拉力的函数解析式；
（2）小明第一次悬挂物体的拉力读数为，记录对应的弹簧长度为，第二次悬挂物体的拉力读数为，记录对应的弹簧长度为．若，求的值．
【解析】（1）设，
则：，
解得：，
弹簧的长度关于它所受到的拉力的函数解析式为；
（2），
．
4．（2023秋 衢江区期末）秤是我们传统的计重工具．如图1，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为时，秤钩所挂物重为（斤，则是的一次函数．下表中为若干次称重时所记录的一些数据．
1 2 4 7 11 12
（斤 0.75 1.00 1.50 2.25 3.25 4.00
（1）在表中，的数据中，发现有一对数据记录错误．在图2中，通过描点的方法，观察判断哪一对是错误的？
（2）根据（1）的发现，问秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为时，秤钩所挂物重是多少？
【解析】（1）描点画出图象如下：
观察图象可知，当时，，
，这组数据是错误的．
（2）设，由表格得：
，
解得：，
，
当时，，
所以秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为时，秤钩所挂物重是7.5斤．
5．（2023秋 义乌市期末）在平面直角坐标系中，放置一面平面镜，如图所示，其中，，从点发射光线，其解析式为．
（1）点为平面镜的中点，若光线恰好经过点，求的值；
（2）若入射光线与平面镜有公共点，求的取值范围；
（3）光线经过平面镜反射后，反射光线与轴交于点，直接写出点的纵坐标的最大值．
【解析】（1），，点为的中点，
，
直线过点和，
，
①②得：；
（2）当入射光线经过点，时，
，
解得：，
当入射光线经过点，时，
，
解得：，
的取值范围是；
（3）作点关于的对称点，则点的坐标是，
作直线交轴于点，
设直线的解析式为，
过点，，
，
解得：，
作直线交轴于点，
设直线的解析式为，
过点，，
，
解得：，
设点的坐标是，
则，
所以点的纵坐标的最大值为．
6．（2023秋 鄞州区期末）如图，在两个完全相同的甲、乙容器中，最初，容器甲有高的水，容器乙放了一个长方体，且容器底面积是长方体底面积的4倍．从甲容器向乙容器用虹吸原理注水（虹吸装置的体积忽略不计），当注满时，容器乙中液面与长方体上底面相平．设容器甲中的液面高为（单位：，容器乙中的液面高为（单位：．小科绘制了、关于时间（单位：的函数图象如图2所示．回答下列问题：
（1）的值为 10 ；容器甲的液面下降速度是
（2）求的值以及关于的函数表达式；
（3）当容器甲中的液面高与容器乙中的液面高相差时，求此时的值．
【解析】（1）根据题意可得容器甲有高的水，
故，
根据图象可得容器甲的水放完，故容器甲的液面下降速度是，
故答案为：10；1；
（2）根据图像可得为容器甲放完水时，容器乙中水面高度，
设长方体底面积为 ，则容器底面积为 ，
水的体积为 ，
容器乙实际可装水的底面积为 ，
容器乙中水面高度为，即，
设，把代入，得：
，
解得，
；
（3）设，把，代入函数解析式得：
，
解得，
，
①当时，可得，
解得；
②当时，可得，
解得，
当容器甲中的液面高与容器乙中的液面高相差时，此时的值为或．
题型05 探究任务型一次函数应用
1．（2024春 路桥区期末）根据以下素材，探索完成任务．
训练与心率的关系研究
素材1 研究表明，运动时心跳速率通常和人的年龄有关．最大心率是指正常情况下这个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数，最大心率（次分）与年龄（岁之间满足一次函数关系．一个年龄为30岁的人，他的最大心率为190次分；一个年龄为40岁的人，他的最大心率为180次分．
素材2 靶心率是指在有氧运动时心率的一个特定范围．在此范围内运动才有训练效果，一般而言，越接近靶心率的最大值，训练效果越佳．
素材3 靶心率为最大心率的（包含两端点）．运动时，心跳速率超过最大心率，会有生命危险．
解决问题
任务1 求与之间的函数解析式；
任务2 求一个年龄为岁的人在有氧运动时的靶心率；
任务3 小明今年16岁，为了在体育中考中取得佳绩，需要加强训练，训练时测得心率为210次分，小明的运动有生命危险吗？若有，请说明理由，并利用素材中训练与心率的关系为他设计合理的运动方案．（心率结果取整数）
【解析】任务1：设，
则：，
解得：，
与之间的函数解析式为：；
任务2：当时，，
年龄为岁的人在有氧运动时的靶心率为；
任务3：小明的运动有生命危险；
理由：当时，，
小明的运动有生命危险；
，
小明运动时的心率为163次分，效果最佳．
2．（2023秋 西湖区期末）综合与实践
【情境描述】
圆圆想把一些相同规格的塑料杯，尽可能多地放入高的柜子里（如图．她把杯子按如图这样整齐地叠放成一摞（如图，但她不知道一摞最多能叠几个可以一次性放进柜子里．
【观察发现】
圆圆测量后发现，按这样叠放，这摞杯子的总高度随着杯子数量的变化而变化，记录的数据如下表所示：
杯子的数量（只 1 2 3 4 5 6
总高度 10 11.4 12.8 14.2 15.6 17
【建立模型】
（1）请根据上表中的信息，在平面直角坐标系中描出对应点，观察这些点的分布规律，试求关于的函数表达式．
（2）当杯子的数量为12只时，求这摞杯子的总高度．
【解决问题】
请帮圆圆算一算，一摞最多能叠几个杯子，可以一次性放进柜子里？
【解析】建立模型
（1）描点，连线，
根据点的分布规律可知，关于的函数关系式满足一次函数，
设关于的函数关系式为，
则，
解得，
关于的函数关系式为；
（2）当时，，
这摞杯子的总高度；
解决问题
当时，，
解得，
一摞最多能叠22个杯子，可以一次性放进柜子里．
3．（2024春 临海市期末）根据以下素材，完成任务．
探究获奖设置和奖品采购的方案
某学校举办七年级数学知识竞赛，分别设置一等奖、二等奖和三等奖若干名，需考虑获奖人数以及奖品购买方案．
素材1 获奖总人数初定为150人，各档获奖人数要求为：一等奖名额最少，三等奖名额最多，且三等奖获奖人数是一等奖的4倍．
素材2 为获一、二、三等奖的同学分别购买，，三种奖品，价格如下表：各如下表： 等次奖品单价（元一等奖120二等奖50三等奖40
素材3 学校购买奖品的预算为9000元．
问题解决
任务1 确定人数范围 获奖总人数为150人时，求获一等奖人数的取值范围．
任务2 确定购买方案 获奖总人数为150人时，如何设置一、二、三等奖的获奖人数，使得购买奖品花费最少？最少花费多少元？
任务3 优化购买方案 为提高同学们参赛积极性，学校决定增加获奖人数．在符合各档获奖人数要求的前提下，请你设置一个合理的一、二、三等奖的获奖人数方案，要求恰好花完9000元预算且获奖总人数最多．
【解析】任务一：由题意，设一等奖，二等奖，三等奖的人数分别为人，人，人，
，
．
任务二：由题意得，购买奖品的费用为：，
又 且为整数，
当时，购买奖品的费用最少，为8010元．
答：设置一、二、三等奖的获奖人数分别为17人、65人、68人时，购买奖品花费最少，最少花费为8010元．
任务三：由题意，设增加后的获奖人数为人，
．
．
又由题意，，
．
．
．
，要为整数，且要尽可能使获奖人数多，
当时，即一等奖20人，二等奖68人，三等奖80人．
4．（2023秋 上城区期末）综合与实践
生活中的数学：如何确定单肩包最佳背带长度
素材1 如图是一款单肩包，背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．使用时可以通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，使背带的总长度加长或缩短（总长度为单层部分与双层部分的长度和，其中调节扣的长度忽略不计）．
素材2 对于该背包的背带长度进行测量，设双层的部分长度是 ，单层部分的长度是 ，得到如下数据： 双层部分长度261014单层部分长度1161081009270
素材3 单肩包的最佳背带总长度与身高比例为
素材4 小明爸爸准备购买此款背包．爸爸自然站立，将该背包的背带调节到最短提在手上，背带在背包的悬挂点离地面的高度为；已知爸爸的臂展和身高一样，且肩宽为，头顶到肩膀的垂直高度为总身高的．
任务1 在平面直角坐标系中，以所测得数据中的为横坐标，以为纵坐标，描出所表示的点，并用光滑曲线连接，根据图象思考变量、是否满足一次函数关系．如果是，求出该函数的表达式，直接写出值并确定的取值范围．
任务2 设人身高为，当单肩包背带长度调整为最佳背带总长度时，求此时人身高与这款背包的背带双层部分的长度之间的函数表达式．
任务3 当小明爸爸的单肩包背带长度调整为最佳背带总长度时．求此时双层部分的长度．
【解析】任务1：描点并作图如图所示：
根据图象可知，变量、满足一次函数关系．
设、为常数，且，
将，和，代入，
得，解得，
．
将和代入，
得，解得；
当背带都为单层部分时，；
当背带都为双层部分时，，即，解得，
的取值范围是．
任务背带的总长度为单层部分与双层部分的长度和，
总长度为，
当单肩包背带长度调整为最佳背带总长度时，得，
．
任务3：由素材可知，当背包的背带调节到最短时都为双层部分，即，．
背包提在手上，且背包的悬挂点距地面高度为，
手到地面的距离为，即．
设小明爸爸的身高为 ．
臂展和身高一样，且肩宽为，
小明爸爸一条胳膊的长度为，
，解得，
根据任务2，得，解得，
此时双层部分的长度为．
5．（2023秋 金东区期末）葡萄是本地区重要农业经济产业，种植葡萄能增加农民的收入．根据提供的材料解决问题．
材料一 （斤
某商贸公司经销甲、乙两个品种的葡萄，甲种葡萄进价为5元斤：乙品种葡萄的进货总金额（单位：元）与乙品种葡萄的进货量（单位：斤）之间的关系如图所示，经过试销，在城市销售甲、乙两个品种葡萄的售价分别为7元斤和14元斤．
材料二 在葡萄节开节当日，该商贸公司收购了甲、乙两个品种的葡萄共20000斤，其中乙品种的收购量不低于4000斤，且不高于10000斤．
材料三 葡萄运到城市，商场发现顾客对甲、乙两个品种葡萄都很喜欢，于是决定把两种葡萄进行混合销售，并适当让利给消费者．
任务一 求图中直线函数解析式．
任务二 若从收购点运到商场的其他各种费用还需要18000元，收购的葡萄能够全部卖完，设销售完甲、乙两个品种的葡萄所获总利润为元（利润销售额成本）．求出（单位：元）与乙品种葡萄的进货量（单位：斤）之间的函数关系式，并为该商贸公司设计出获得最大利润的收购方案．
任务三 在任务二获得的最大利润的基础上，商场把最大利润的让利给购买者，那么混合销售葡萄的销售价应定为多少？
【解析】任务一：设直线函数解析式为、为常数，且．
将和代入，
得，解得，
直线函数解析式为．
任务二：乙品种葡萄的进货量为斤，甲品种葡萄的进货量为斤；乙品种葡萄的进货总金额为元，甲品种葡萄的进货总金额为元；乙品种葡萄的销售总金额为元，甲品种葡萄的销售总金额为元．
，
．
．
，
随的增大而增大，
，
当时，最大，的最大值为．
（斤，
甲、乙两个品种的葡萄各收购10000斤时获得的利润最大．
任务三：混合销售葡萄获得的利润是（元，
乙品种葡萄的进货总金额为（元，甲品种葡萄的进货总金额为（元，
总成本为（元，
混合销售葡萄的销售价应定为（元．
6．（2023秋 长兴县期末）某校八年级学生在数学课上进行了项目化学习研究，某小组研究如下：
【提出驱动性问题】机场监控问题．
【设计实践任务】选择“素材1”“素材2”，设计了“任务1”“任务2”“任务3”的实践活动．请你尝试帮助他们解决相关问题．
机场监控问题的思考
素材1 如图是某机场监控屏显示两飞机的飞行图象，1号指挥机（看成点始终以的速度在离地面高的上空匀速向右飞行．
素材2 2号试飞机（看成点一直保持在1号机的正下方从原点处沿角爬升，到高的处便立刻转为水平飞行，再过到达处开始沿直线降落，要求后到达处．
问题解决
任务1 求解析式和速度 求出段关于的函数解析式，直接写出2号机的爬升速度；
任务2 求解析式和坐标 求出段关于的函数解析式，并预计2号机着陆点的坐标；
任务3 计算时长 通过计算说明两机距离不超过的时长是多少．
【解析】任务1：设段关于的函数解析式为，
，
，
当时，，
段关于的函数解析式为；
2号机从点到达点飞行的路程为，所用时间为，
号机的爬升速度为．
任务点的横坐标为，
点的坐标为．
设段关于的函数解析式为、为常数，且．
将坐标和分别代入，
得，解得，
段关于的函数解析式为．
当时，，解得，
预计2号机着陆点的坐标为．
任务3：当2号机在段，且时，，解得；
当2号机在段，且时，，解得，
根据图象可知，当时，两机距离不超过，
两机距离不超过的时长是．
题型06 与其他实际生活有关的一次函数应用
1．（2023秋 海曙区校级期末）时，时钟中时针与分针的位置如图所示（分针在射线上），设经过 ，时针、分针与射线所成角的度数分别为、，则、与之间的函数关系图象是
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】由题意，得
，
，
得出是一次函数，随的增大而僧大，与轴的交点是，是正比例函数，随的增大而增大，
答案正确，故选：．
2．（2023秋 南浔区期末）如图，平面直角坐标系中，线段的两端点坐标为，，某同学设计了一个动画：在函数中，分别输入和的值，便得到射线，其中；当时，会从处弹出一个光点，并沿飞行；当有光点弹出，并击中线段上的整点（横、纵坐标都是整数）时，线段就会发光，则此时整数的个数为 个
A．5 B．6 C．8 D．9
【答案】
【解析】设直线的解析式为，
把，代入，得，
解得，
直线的解析式为；
由题意直线经过点，
；
由题意，可设线段上的整数点为，则，
，
，
，
为整数，也是整数，
或或或，即或0或3或或4或或7或，
，
或0或3或或或，
，；，；，；，；，；，；
综上所述，的值为5或或2或或或．
故选：．
3．（2023秋 上虞区期末）蜿蜒如虹，飘逸秀美．2023年11月4日上午9时30分，历时近两年建设的上虞曹娥江城市人行桥正式开通启用（如图），市民争相打卡体验，成为上虞新晋“网红打卡点”．桥身之美中不乏具有“对称美”，桥中间成半球形的景观中出现了很多的“等腰三角形”，现把这样的一个等腰三角形放置到平面直角坐标系中，使其关于轴对称，且有一腰与轴相交于点，已知该等腰三角形其中一腰所在的直线为，则的值为 3或 ．
【答案】3或．
【解析】如图，点关于轴对称的点的坐标为；
当经过时，，即；
当经过时，，即；
故的值为3或．
故答案为：3或．
4．（2023秋 滨江区校级期末）游泳池应定期换水．某游泳池在一次换水前存水900立方米，换水时打开排水孔，以每小时300立方米的速度将水放出．设放水时间为小时，游泳池内存水量为立方米．
（1）求关于的函数表达式和自变量的取值范围；
（2）放水多少小时后，游泳池内存水量小于300立方米？
【解析】（1）设放水时间为小时，
以每小时300立方米的速度将水放出，共放出立方米，
存水900立方米，
游泳池内存水量为；
（2）当时，，
解得．
5．（2023秋 开化县期末）某种机器油箱容量为，工作前先将空油箱加满，然后停止加油立即开始工作．下表记录了整个过程60分钟内5个时刻的油箱里的油量．其中（单位：表示油箱里的油量，（单位：表示时间．
10 20 40 50 60
30 25 15 10 5
（1）在平面直角坐标系中描出表中数据对应点，再选出最符合实际的函数模型，求出机器工作时关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围．
（2）求出油箱中油量为时的值．
【解析】（1）描点如图所示：
这些点分布在一条直线上，
机器工作时是的一次函数．
设机器工作时关于的函数解析式为、为常数，且．
将，和，分别代入，得，解得，
机器工作时关于的函数解析式为．
（2）在加油的过程中，设油箱里的油量与时间的关系式为为常数，且．
将坐标代入，
得，
解得，
在加油的过程中，与的关系式为．
在加油过程中，当时，得，
解得；
在机器工作过程中，当时，得，
解得；
或30．
6．（2023秋 莲都区期末）为了鼓励学生在家多劳动，甲、乙两所学校采取发放“劳动奖章”的办法．折线和射线分别表示甲、乙两所学校学生获得劳动奖章的个数（个和学生每周的劳动时间（分周）之间的函数关系图象．
请根据图象解决下列问题；
（1）当学生劳动时间为40（分周）时，求甲学校学生获得“劳动奖章”的个数；
（2）求所在直线的函数表达式．
（3）对于相同劳动时间（分周），设甲、乙两所学校发放劳动奖章相差的个数为，当时，求的值．
【解析】（1）根据函数图象可知，当学生劳动时间为40（分周）时，甲学校学生获得“劳动奖章”的个数为10个；
（2）设所在直线的函数表达式为，
把，代入得：，
解得，
所在直线的函数表达式为；
（3）设直线的解析式为：，把代入得：
，
解得：，
直线的解析式为：，
当时，，
解得：；
当时，时，
解得：，
时，
解得：（舍去）；
综上分析可知，当或时，甲、乙两所学校发放劳动奖章相差40个．
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