5.5用二次函数解决问题同步练习（含解析）

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5.5用二次函数解决问题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系为、若此炮弹在第8秒与第16秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（　　）
A．第8秒 B．第10秒 C．第12秒 D．第15秒
2．如图，有一块边长为6cm的正三角形纸板，在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是（ ）
A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2
3．用一张宽为x的矩形纸片剪成四个全等的直角三角形，如图1，然后把这四个全等的直角三角形纸片拼成一个赵爽弦图；如图2，若弦图的大正方形的边长为6，中间的小正方形面积为S，请探究S与x之间是什么函数关系（ ）．
A．一次函数 B．二次函数 C．反比例函数 D．其它函数
4．一个球从地面竖直向上弹起时的速度为，经过秒时球的高度为米，和满足公式： (表示球弹起时的速度，表示重力系数，取)，则球离地面的最大高度是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，用长的铁丝网围成一个一面靠墙的矩形养殖场，其养殖场的最大面积为（ ）
A．45 B．50 C．60 D．65
6．如图，将一根长的铁丝弯成一个长方形(铁丝正好全部用完且无损耗)，设这个长方形的一边长为，它的面积为，则y与x之间的函数关系式为 （ ）
A． B．
C． D．
7．一位运动员在离篮筐水平距离4m处起跳投篮，球运行路线可看作抛物线，当球离开运动员的水平距离为1m时，它与篮筐同高，球运行中的最大高度为3.5m，最后准确落入篮筐，已知篮筐到地面的距离为3.05m，该运动员投篮出手点距离地面的高度为（ ）
A．1.5m B．2m C．2.25m D．2.5m
8．如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条拋物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：m）与飞行时间（单位：）之间具有函数关系．有下列结论：①小球从飞出到落地用时为；②小球飞行的最大高度为；③小球的飞行高度为时，小球飞行的时间是．其中，正确结论的个数是（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3
9．若方程x2+（m+2）x+m+5=0的一个根大于1，另一个根小于1，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在四边形中，，，．E为的中点，F为的中点，P是一动点，从点A开始沿匀速运动，到达点C即止，记点P运动的时间为x、四边形的面积为y，y与x关系所反映的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在中，，，点从点出发沿方问以向点匀速运动，过点作于点．以所在直线为对称轴，将折叠，点的对应点为，移动过程中与重叠部分的面积为，运动时间为，则与之间函数关系的图象大致是（　　）

A． B． C． D．
12．如图，正方形OABC的一个顶点O在平面直角坐标系的原点，顶点A，C分别在y轴和x轴上，P为边OC上的一个动点，且BP⊥PQ，BP=PQ，当点P从点C运动到点O时，可知点Q始终在某函数图象上运动，则其函数图象是（ ）.
A．线段 B．圆弧
C．抛物线的一部分 D．不同于以上的不规则曲线
二、填空题
13．飞机着陆后滑行的距离与滑行的时间之间的关系式为，则飞机滑行 停下．
14．行驶中的汽车刹车后，由于惯性的作用，还会继续向前滑行一段距离，这段距离称“刹车距离”．某轿车的刹车距离与车速之间有下述函数关系式：，现该车在限速为的杭甬高速公路上出了交通事故，事后交警部门测得刹车距离为，请推断：刹车时，汽车 超速（填“是”或“不是”）．
15．炮弹从炮口射出后，飞行的高度与飞行的时间之间的函数关系是，其中是炮弹发射的初速度，是炮弹的发射角，当， 时，炮弹飞行的最大高度是 ．
16．如图，一座拱桥的下方轮廓是抛物线型，拱高8米，跨度24米，相邻两支柱间的距离均为6米，则支柱的长度为 米．
17．在某市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为，由此可知该生此次实心球训练的成绩为 米．
三、解答题
18．如图一，平面直角坐标系中有一张矩形纸片OABC，O为坐标原点，A点坐标为(10，0)，C点坐标为(0，6)，D是BC边上的动点(与点B，C不重合)，现将△COD沿OD翻折，得到△FOD；再在AB边上选取适当的点E，将△BDE沿DE翻折，得到△GDE，并使直线DG、DF重合．
(1)如图二，若翻折后点F落在OA边上，求直线DE的函数关系式；
(2)设D(a，6)，E(10，b)，求b关于a的函数关系式，并求b的最小值；
(3)一般地，请你猜想直线DE与抛物线的公共点的个数，在图二的情形中通过计算验证你的猜想；如果直线DE与抛物线始终有公共点，请在图一中作出这样的公共点．
19．某乒乓球馆使用发球机进行辅助训练，出球口在桌面中线端点A处的正上方，如果每次发出的乒乓球的运动路线固定不变，且落在中线上，在乒乓球从发射出到第一次落在桌面的运行过程中，设乒乓球与端点A的水平距离为x（米），距桌面的高度为y（米），运行时间为t（秒），经多次测试后，得到如下部分数据：
t（秒） 0 0.16 0.2 0.4 0.6 0.64 0.8 …
x（米） 0 0.4 0.5 1 1.5 1.6 2 …
y（米） 0.25 0.378 0.4 0.45 0.4 0.378 0.25 …
（1）如果y是t的函数，
①如图，在平面直角坐标系tOy中，描出了上表中y与t各对对应值为坐标的点．请你根据描出的点，画出该函数的图象；
②当t为何值时，乒乓球达到最大高度？
（2）如果y是关于x的二次函数，那么乒乓球第一次落在桌面时，与端点A的水平距离是多少？
20．某广场计划修建一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管OA喷出，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上（水流喷出的高度y（米）与水平距离x（米）之间近似满足二次函数关系），以水管下端点O为坐标原点，建立平面直角坐标系，某方向上抛物线路径的形状如图所示．
(1)经实验测量发现：当OA长为2米时，水流所形成的抛物线路径的最高点距地面3米，距OA所在直线1米，求抛物线的解析式；
(2)计划在小型喷泉周围建一个半径为米的圆形水池，在不改变抛物线路径形状的情况下，仅改变水管OA出水口点A的高度，以保证水流的落地点B不会超出水池边缘，则水管OA最多可以设计为几米？
21．某公司计划生产甲、乙两种产品，公司市场部根据调查得出：甲种产品所获年利润y1（万元）与投入资金n（万元）成正比例；乙种产品所获年利润y2（万元）与投入资金n（万元）的平方成正比例，并得到如下表格中的数据．设公司计划共投入资金m（万元）（m为常数且m0）生产甲、乙两种产品，其中投入乙种产品的资金为x（万元）（其中0≤x≤m），全年所获总利润W（万元）为y1与y2之和，
n 2
y1 1
y2 0.1
（1）分别求出y1、y2关于n的函数解析式
（2）求W关于x的函数解析式（用含m的式子表示）．
（3）当m=50时公司市场部预判公司全年总利润W的最大值与最小值恰好相差40万元，请你通过计算说明该预判是否正确
（4）公司从全年总利润W中扣除投入乙种产品的资金的k倍(0k≤3)用于其它产品的生产后，得到剩余W剩余（万元），若W剩余随x的增大而减小，请直接写出k的取值范围．
22．某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出件，问题如下：
(1)若获得的利润为1000元，应该如何定价？
(2)如何定价才能使利润最大？
23．如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在BD上，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，点E在点F的左侧．
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；
(2)设AB=x，BD=10，∠ABD=45°，求四边形AECF的面积S与x的函数表达式，并求当S随x增大而减小时x的取值范围．
24．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过坐标原点和点，顶点为点．
（1）求抛物线的关系式及点的坐标；
（2）点是直线下方的抛物线上一动点，连接，，当的面积等于时，求点的坐标；
（3）将直线向下平移，得到过点的直线，且与轴负半轴交于点，取点，连接，求证：．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C B A B B C C A A
题号 11 12
答案 A A
1．C
【分析】本题需先根据题意求出抛物线的对称轴，即可得出顶点的横坐标，从而得出炮弹所在高度最高时x的值．
【详解】解：∵此炮弹在第8秒与第16秒时的高度相等，
∴抛物线的对称轴是：，
∴炮弹所在高度最高的是第12秒．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，在解题时要能根据题意求出抛物线的对称轴得出答案是本题的关键．
2．C
【详解】∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC．
∵筝形ADOK≌筝形BEPF≌筝形AGQH，
∴AD=BE=BF=CG=CH=AK．
∵折叠后是一个三棱柱，
∴DO=PE=PF=QG=QH=OK，四边形ODEP、四边形PFGQ、四边形QHKO都为矩形．
∴∠ADO=∠AKO=90°．
连结AO，
在Rt△AOD和Rt△AOK中，
，
∴Rt△AOD≌Rt△AOK（HL）．
∴∠OAD=∠OAK=30°．
设OD=x，则AO=2x，
由勾股定理就可以求出AD=x，
∴DE=6-2x，
∴纸盒侧面积=3x（6-2x）=-6x2+18x，
=-6（x-）2+，
∴当x=时，纸盒侧面积最大为．
故选：C．
【点睛】考点：1．二次函数的应用；2．展开图折叠成几何体；3．等边三角形的性质．
3．B
【分析】先由AAS证明△AEF≌△DHE，得出AE=DH=x，AF=DE=（6-x），再根据勾股定理，求出EF2，即可得到S与x之间的函数关系式．
【详解】解：∵四边形ABCD是边长为6的正方形，
∴∠A=∠D=90°，AD=6．
∵四边形EFGH为正方形，
∴∠FEH=90°，EF=EH．
∠AEF=∠DHE=90° ∠DEH，
在△AEF与△DHE中，
∵，
∴△AEF≌△DHE（AAS），
∴AE=DH=x，AF=DE=（6-x），
∴S=EF2=AE2+AF2=x2+（6-x）2=2x2-12x+36，
即S与x之间是二次函数关系；
故选：B．
【点睛】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，难度适中，证明△AEF≌△DHE是解题的关键．
4．A
【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的最值．熟练掌握二次函数的应用，二次函数的最值是解题的关键．
由题意知，，由，求最值即可．
【详解】解：由题意知，，
∵，
∴当时，，
故选：A．
5．B
【详解】试题分析：设矩形靠墙一面的长为xm，则两端的长为，根据矩形面积公式求面积表达式，再根据性质求最值．
设矩形靠墙的一面长为xm，面积为sm2
根据题意得
∴函数有最大值
当x=10时，s最大为50．
故选B.
考点：本题考查的是二次函数的应用
点评：此题关键在得出面积的表达式，将实际问题转化为函数问题解答，渗透了数学建模的思想．
6．B
【分析】本题考查求二次函数关系式，根据这个长方形的一边长为，可得另一条边长为，再利用矩形的面积公式求解即可．
【详解】解：由题意得，，
故选：B．
7．C
【分析】根据图象，求得图象上点的坐标，设出函数解析式，代入点求出，进一步求得问题的解．
【详解】解：如图，以地面为横轴，距离运动员右侧2.5米处的点O画纵轴，建立平面直角坐标系
由题意可知，点C的坐标为（0，3.5），点B的坐标为（1.5，3.05），
设函数解析式为y=ax2+3.5，
代入B（1.5，3.05）得，2.25a+3.5=3.05
解得，a=-0.2，
因此函数解析式为：y=-0.2x2+3.5，
当x=-2.5时，y==2.25；
所以，球出手时离地面2.25米时才能投中．
故选C．
【点睛】此题主要考查根据函数的特点，用待定系数法求函数解析式，再进一步利用解析式解决问题．
8．C
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．分别求出和时，的值即可判断①正确，③错误；求出的最大值即可判断②正确，由此即可得．
【详解】解：当时，，
解得或，
则小球从飞出到落地用时为，结论①正确；
，
则小球飞行的最大高度为，结论②正确；
当时，，
解得或，
则小球的飞行高度为时，小球飞行的时间是或，结论③错误；
综上，正确结论的个数是2个，
故选：C．
9．A
【分析】将方程解的条件化为函数的取值，从而求出m的取值范围．
【详解】∵方程x2+（m+2）x+m+5=0的一个根大于1，另一个根小于1，
令f（x）=x2+（m+2）x+m+5，
则f（1）=1+m+2+m+5＜0，
解得，m＜-4．
故选A．
【点睛】本题考查了函数与方程之间的互相转化，属于基础题．
10．A
【分析】本题考查函数与图象的关系、四边形面积与点运动的位置关系，分类讨论，学会用排除法解决函数图象问题．四边形的面积的面积的面积，设的面积为，分两种情形讨论与的关系即可，用排除法即可．
【详解】解：设的面积为m，
点在上时，因为不一定平行，所以的面积是变化的，故可以排除．
当点在上时，，由题意是定值，是的一次函数，所以也是的一次函数，故、可以排除，
故选：A．
11．A
【分析】分两种情况讨论：①当时，，可以求出抛物线解析式，从而得到函数图像；②当时，，可以求出抛物线解析式，从而得到函数图像．
【详解】解：∵，，
∴当点D在中点时，和B重合，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵点速度是，运动时间为，
∴，
∴，
①当时，
由题意可得：，
此时，S与之间函数关系的图像是顶点在原点，开口向上的抛物线；
②当时，如图所示，

此时，
∵，，
∴，，
∵，
同理可得：，
∴，
∴当时，S有最大值，最大值为2，
此时，S与之间函数关系的图象是开口向下的抛物线，且当时，S有最大值，
故选：A．
【点睛】本题考查动点问题的函数图像，关键是分段求出S与之间函数解析式．
12．A
【分析】作QH⊥x轴，并交x轴于点H，连接QO，可推出△QHP≌△PCB，结合正方形OABC再得出QH=HO，进而可得出Q点的轨迹是在直线y=﹣x上的一条线段．
【详解】如图，作QH⊥x轴，并交x轴于点H，连接QO，
∵∠BCP=90°，∠BPQ=90°，
∴∠CBP+∠BPC=90°，∠HPQ+∠BPC=90°，
∴∠CBP=∠HPQ，
∵∠QHP=∠PCB=90°，QP=PB，
在△QHP和△PCB中，
，
∴△QHP≌△PCB（AAS），
∴QH=PC，HP=CB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OC=CB，
∴HP=OC，
∴HO=PC，
∴QH=HO，
∴Q点的轨迹是在直线y=﹣x上的一条线段，
故选A．
考点：轨迹．
13．20
【分析】本题考查了二次函数的顶点式的运用，掌握二次函数的顶点式的实际意义是解题的关键．
把二次函数一般式化为顶点式即可求解．
【详解】解：，
∴当时间为时，滑行了，
∴飞机滑行了停下，
故答案为： ．
14．是
【分析】将S=35.6代入函数解析式，求出车速x，与120km/h比较即可得出答案．
【详解】由题意得：S=35.6，代入函数解析式得：35.6=x2+x，解得：x≈131，即刹车时的速度大约为130km/h＞120km/h，故可判断刹车时，汽车超速．
故答案为是．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是将S的值代入，解一元二次方程，注意将实际问题转化为数学模型．
15．1125m
【详解】考点：二次函数的应用．
分析：本题需先根据题意求出当v0=300（m/s），sinα= 时，飞行的高度h（m）与飞行的时间t（s）之间的函数关系式，再求出函数的最大值即可．
解；∵当v0=300（m/s），sinα=时
h=300×t-5t2，
=150t-5t2
∴炮弹飞行的最大高度是：=1125m．
故答案为1125．
点评：本题主要考查了二次函数的应用，在解题时要能根据函数的解析式求出最大值是本题的关键．
16．4
【分析】如图所示，建立坐标系，然后求出抛物线解析式，然后求出N点纵坐标，即可求解．
本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键在于能够根据题意正确建立坐标系求解．
【详解】解：如图所示，建立平面直角坐标系，
由题意得A点坐标，B点坐标为，C点坐标为，N点横坐标为6，
设抛物线解析式为，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为，
∴当时，，
∴支柱的高度为：米，
故答案为：4．
17．10
【分析】根据铅球落地时，高度，把实际问题可理解为当时，求x的值即可．
【详解】解：当时，，
解得，（舍去），．
故答案为10．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，解析式中自变量与函数表达的实际意义；结合题意，选取函数或自变量的特殊值，列出方程求解是解题关键．
18．（1）y=-x+12（2）当a=5时，b最小值=（3）见解析
【详解】（1）解：∵∠DFO＝∠DCO＝∠COF＝90°，OC∥DF，
∵CD∥OA，
∴四边形COFD是矩形，
∵根据△COD沿OD翻折，得到△FOD，
∴OC＝OF＝6，
∴四边形COFD是正方形，
同理四边形BDGE是正方形，
∴CD＝OF＝DF＝6，OA＝10，AE＝6 4＝2，
∴D（6，6），E（10，2），
设直线DE的解析式是y＝kx＋b，
代入得： ，
解得：k＝ 1，b＝12，
∴直线DE的函数关系式是y＝ x＋12．
（2）依题意有：CD＝a，BD＝10 a，BE＝6 b．
∵∠ODE＝90°，∠OCD＝90°，
∴∠CDO＋∠COD＝∠CDO＋∠BDE＝90°
∴∠COD＝∠BDE
∵∠OCD＝∠B＝90°
∴△OCD∽△DBE
∴
∴
∴b＝a2 a＋6＝（a 5）2＋，
当a＝5时，b最小值＝.
（3）猜想：直线DE与抛物线y＝ x2＋6只有一个公共点．
证明：由（1）可知，DE所在直线为y＝ x＋12．
代入抛物线，得 x2＋6＝ x＋12
化简得x2 24x＋144＝0，
∴△＝242 4×144＝0．
∴直线DE与抛物线y＝ x2＋6只有一个公共点．
解得：x＝12，
∴y＝0，
公共点为：（12，0）．
∴延长OF交DE于点H，点H即为公共点．
19．（1）①见解析；②t=0.4（秒），乒乓球达到最大高度；（2）m．
【分析】（1）①根据描出了上表中y与t各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象即可；
②利用网格中数据直接得出乒乓球达到最大高度时的时间；
（2）首先求出函数解析式，进而求出乒乓球落在桌面时，与端点A的水平距离．
【详解】解：（1）①如图所示，
②由表格中数据可得，t=0.4（秒），乒乓球达到最大高度；
（2）由表格中数据，可设y=a（x﹣1）2+0.45，
将（0，0.25）代入，可得：a=﹣，
则y=﹣（x﹣1）2+0.45，
当y=0时，0=﹣（x﹣1）2+0.45，
解得：x1=，x2=﹣（舍去），
即乒乓球与端点A的水平距离是m．
【点睛】考点：二次函数的应用．
20．(1)
(2)米
【详解】解：（1）由题意，得：抛物线顶点为
∵
∴
设抛物线解析式为
∴
∴
∴
（2）∵抛物线平移后的形状不变，对称轴不变，对称轴为直线
∴设平移后的抛物线为
∴由题意：得：抛物线过点
∴
∴
∴
当时，
∴此时点A坐标为
∴水管最多可以设计为米
21．（1）＝n，＝；（2）W＝（m x）＋＝-x+m；（3）公司全年总利润W的最高值与最低值相差恰好是40万元，是正确的；（4）2≤k≤3．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）由题意得：W＝（m x）＋＝-x+m；
（3）对于W＝-x+25（0≤x≤50），利用函数的性质求解即可；
（4）由题意得：＝W-kx＝-x+25-kx=-(+k)x+25，根据函数的增减性即可求解．
【详解】解：（1）设＝n，＝，
将（2，1）、（2，0.1）分别代入上述两式得
，解得 ，
故和关于n的函数关系式分别为＝n，＝；
（2）设投入乙种产品资金为x万元，则投入甲产品的资金为（m x）万元，
由题意得：W＝（m x）＋＝-x+m；
（3）当m＝50时，W＝-x+25（0≤x≤50），
对于W＝-x+25（0≤x≤50），
函数的对称轴为x＝ ＝10，
∵＞0，故W有最小值，当x＝10时，＝22.5，
当x＝50时，W有最大值，此时＝＋25＝62.5，
-＝62.4 22.5＝40（万元），
故公司全年总利润W的最高值与最低值相差恰好是40万元，是正确的；
(4)由题意得：W＝W kx＝-x+25-kx=-(+k)x+25，
函数的对称轴为x＝ ＝10＋20k，
∵＞0，故当x＜10＋20k时，W随x的增大而减小，
则50≤10＋20k，解得k≥2，
故k的取值范围为2≤k≤3．
【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．
22．(1)50元/件或80元/件
(2)65元/件
【分析】（1）先利用销量每件利润得出y与x的函数关系式，再利用y＝1000，解方程求出即可；
（2）利用配方法求二次函数最值，解出即可．
【详解】（1）解：由题意可得：
令，
解得：，
∴当售价为50元/件或80元/件时，利润可达1000元；
（2）由题意可得：
，
∴当时，函数有最大值1225，
∴当定价为65元/件时，利润最大．
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程的应用，正确得出y与x的函数关系式是解题关键．
23．(1)见解析
(2)S=-x +5x；≤x＜5
【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，可得AB=CD，AB∥CD，又由AE⊥BD，CF⊥BD，即可得AE∥CF，∠AEB=∠CFD=90°，然后利用AAS证得△AEB≌△CFD，即可得AE=CF，由有一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，即可证得四边形AECF是平行四边形；
（2）先根据等腰直角三角形的性质求出，再表示出四边形AECF的面积S与x的函数表达式，最后求出自变量x的取值范围即可．
【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABE=∠CDF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AE∥CF，∠AEB=∠CFD=90°，
在△AEB和△CFD中，
，
∴△AEB≌△CFD（AAS），
∴AE=CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
（2）由（1）知，△和△为直角三角形，
∵∠，
∴∠，
由勾股定理得，
同理可得，
又
∴抛物线的对称轴为直线，
∵
∴抛物线开口向下，
∵S随x增大而减小，
∴
又
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质以及根据几何图形的面积求函数关系式，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．
24．（1），；（2）或；（3）证明见解析．
【分析】（1）先根据直线求出点的坐标，再将点和原点坐标代入抛物线的解析式即可得；
（2）如图（见解析），先求出直线与抛物线的另一个交点的坐标为，再设点的坐标为，从而可得点的坐标为，然后分和两种情况，分别利用三角形的面积公式可得一个关于的一元二次方程，解方程即可得；
（3）如图（见解析），先根据一次函数图象的平移规律求出直线的解析式为，再利用待定系数法求出直线的解析式，从而可得点的坐标，然后利用两点之间的距离公式可得的长，根据等腰直角三角形的判定与性质可得，最后根据三角形的外角性质即可得证．
【详解】解：（1）对于函数，
当时，，解得，即，
当时，，即，
将点和原点代入得：，
解得，
则抛物线的关系式为，
将化成顶点式为，
则顶点的坐标为；
（2）设直线与抛物线的另一个交点为点，
联立，解得或，
则，
过点作轴的平行线，交直线于点，
设点的坐标为，则点的坐标为，
，
由题意，分以下两种情况：
①如图，当时，
则，
，
因此有，
解得或，均符合题设，
当时，，即，
当时，，即；
②如图，当时，
则，
，
因此有，
解得或，均不符题设，舍去，
综上，点的坐标为或；
（3）由题意得：，
将点代入得：，解得，
则直线的解析式为，
如图，过点作于点，
可设直线的解析式为，
将点代入得：，解得，
则直线的解析式为，
联立，
解得，即，
，
，
，
，
又，
是等腰直角三角形，，
由三角形的外角性质得：，
．
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合、一次函数图象的平移、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（2），正确分两种情况讨论是解题关键．
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