7.1正切同步练习（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
7.1正切
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，点A（-1，0），点B（-4，0），平行四边形ABCD的顶点D在第二象限，反比例函数y=（k<0）图像过点D和BC边的中点E，若∠C=α，则k的值（用含α的式子表示为）（ ）
A．-4tanα B．-3tanα C．tanα D．tanα
2．下列调查适合做抽样调查的是（ ）
A．对六名同学身高情况进行调查 B．对全国中学生目前的睡眠情况进行调查
C．对搭乘飞机的乘客进行安全检查 D．审核《初中数学课程标准》中的错别字
3．掷一个骰子时，点数小于2的概率是（ ）.
A． B． C． D．0
4．下列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（ ）
A．对全市中学生每天阅读时间的调查 B．对某批次洗衣机的使用寿命的调查
C．对某批次手机的防水功能的调查 D．对某校八年级学生肺活量情况的调查
5．在下列调查中，适合采用全面调查的是（ ）
A．了解我市中学生身高情况 B．调查央视《焦点访谈》栏目的收视率
C．检测一批电灯泡的使用寿命 D．了解我市某校某班学生体温情况
6．下列调查方式合适的是（ ）
A．通过抽样调查了解学校七年级1000名学生心理健康情况
B．通过抽样调查了解新款能源汽车的抗撞击能力
C．通过全面调查检测城市的空气质量
D．通过对学校田径队学生一周的锻炼时间的调查了解全校学生一周参加体育锻炼时间情况
7．以下调查中，适宜抽样调查的是（　　）
A．了解某班学生的身高情况 B．机场对登记人员的安检
C．检查一批飞行员的视力情况 D．了解全国中学生的健康状况
8．如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE的值是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在中，，，，则下列三角函数表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．地球上的太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋称为四大洋，总面积为36100万平方公里，其中太平洋占，大西洋占，印度洋占，北冰洋占四大洋面积占比．要反映上述信息，宜采用的统计图是（ ）
A．条形统计图 B．折线统计图 C．扇形统计图 D．频数直方图
11．如图是某中学学生上学方式的统计图，如果骑车的人有840人，那么乘地铁的人数有（ ）
A．2000个 B．420个 C．840个 D．740个
12．下列调查方式合适的是（ ）．
A．为了了解炮弹的杀伤力，采用普查的方式
B．为了了解全国中学生的睡眠状况，采用普查的方式
C．为了了解人们保护水资源的意识，采用抽样调查的方式
D．对载人航天飞船“神舟”五号零部件的检查，采用抽样调查的方式
二、填空题
13．如图，扇形OAB的圆心角为，点P为弧AB上一点，将此扇形翻折，当点O和点P重合时折痕恰巧过点B，且，则正切值为 ．
14．某中学为了迎接某届世乒赛，在九年级举行了“乒乓球知识竞赛”，从全年级600名学生的成绩中随机抽选了100名学生的成绩，根据测试成绩绘制成以下不完整的频数分布表，若测试成绩不低于90分的同学可以获得这届世乒赛吉祥物“乒宝”，请你估计该校九年级有 位同学可以获得“乒宝”．
组别 成线x分 频数（人数）
第1组 8
第2组 16
第3组 a
第4组 32
第5组 20
15．为了解“双减”后南宁市七年级学生每天做家庭作业所用的时间．现从全市七年级学生中随机抽取600名学生进行调查．在这个抽样调查中，样本容量是 ．
16．“新冠肺炎”的英语“Novel coronavirus pneumonia”中，字母“o”出现的频率是 ．
17．小强调查“每人每天的用水量”这一问题时，收集到60个数据，最大数据是64升，最小数据是45升，若取组距为4，则应分为 组绘制频数分布表．
三、解答题
18．某中学准备搬迁校舍，在迁入新校舍之前，同学们就该校学生如何到校问题进行了一次调查，其调查结果如下表．计算各种到校方式人数占总人数的比例，并绘制扇形统计图．
某中学学生到校方式的统计表
步行 骑自行车 乘公共汽车 其他
19．某班同学响应“阳光体育运动”号召，利用课外时间积极参加体育锻炼，每位同学从长跑、铅球、立定跳远、篮球定时定点投篮中任选一项进行训练，训练后进行了测试，现将项目选择情况及训练后篮球定时定点投篮进球数进行整理，作出了如下统计图表：
训练后蓝球定时定点投篮测试进球数统计表
进球数（个） 8 7 6 5 4 3
人数 2 1 4 7 8 2
请你根据图表中的信息回答下列问题：
（1）训练后篮球定时定点投篮人均进球数为 个；
（2）选择长跑训练的人数占全班人数的百分比是 ，该班共有学生 人；
（3）根据测试数据，参加篮球定时定点投篮的学生训练后比训练前人均进球数增加了25%，求参加训练之前的人均进球类数．
20．镇政府想了解李家庄的经济情况，用简单的随机抽样方法抽取了户调查过去一年收入（单位：万元），结果如下：
，，，，，，，，，．
，，，，，，，，，．
，，，，，，，，，
(1)这组数据最大值与最小值差为________，选组距为万元．则可分成________组；
(2)在（1）的条件下列频数分布表，并画出频数分布直方图．
21．某中学一次作文比赛后，将所有参赛作文按成绩分为甲、乙、丙、丁四个等次，其频率依次为0.15，0.35，0.30，x，其中频率为x的频数是40，求获得甲等级作文的学生有多少人？
22．远洋电器城中，某品牌电视有四种不同型号供顾客选择，它们每
台的价格（单位：元）依次分别是：2500，4000，6000，10000．为做好下阶段的销售工作，
商场调查了一周内这四种不同型号电视的销售情况，并根据销售情况，将所得的数据制成
统计图，现已知该品牌一周内四种型号电视共售出240台，每台的销售利润占其价格的百分
比如下表：
型号 A B C D
利润 10% 12% 15% 20%
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）请补全统计图；
（2）通过计算，说明商场这一周内该品牌哪种型号的电视总销售利润最大；
（3）谈谈你的建议．
23．如图1，在菱形ABCD中，AB＝，tan∠ABC＝2，点E从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿着射线DA的方向匀速运动，设运动时间为t（秒），将线段CE绕点C顺时针旋转一个角α（α＝∠BCD），得到对应线段CF．
（1）求证：BE＝DF；
（2）当t＝_____秒时，DF的长度有最小值，最小值等于________；
（3）如图2，连接BD、EF、BD交EC、EF于点P、Q，当t为何值时，△EPQ是直角三角形？
24．如图①，线段，交于点，若与，与中有一组内错角成两倍关系，则称与为倍优三角形，其中成两倍关系的内错角中，较大的角称为倍优角．
(1)如图②，在四边形中，对角线，交于点，，为等边三角形，求证：与为倍优三角形．
(2)如图③，正方形边长为，点为边上一动点（不与点，重合）连接和，对角线和交于点，当与为倍优三角形时，求的正切值．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B A D D A D A D C
题号 11 12
答案 D C
1．D
【分析】过点D作DH⊥OB于H，过点E作EF⊥x轴于F，根据平行四边形的对边相等可得DA=CB，然后求出DA=2EB，再求出HA=2FB，设FB=a，表示出点E、D的坐标，然后根据EF、DH的关系列方程求出a的值，再求出HA、DH，然后利用∠DAH的正切值列式整理即可得解．
【详解】解：如图，过点D作DH⊥OB于H，过点E作EF⊥x轴于F，
在平行四边形ABCD中，DA=CB，
∵E为边BC的中点，
∴DA=CB=2EB，DH=2EF，
∴AH=2FB，
设FB=a，∵点C、D都在反比例函数上，
∴D( 2a 1,k 2a 1)，
∵B( 4,0)，
∴点E( a-4,)，
∴，解得a= ，
∴FB=a=，EF=，
∵∠C=α，∴tan∠EBF=tan∠α=，
即tanα=，k=tanα．
故选D．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，锐角三角函数，根据点C、D的纵坐标列出方程是解题的关键．
2．B
【分析】本题考查抽样调查和全面调查的应用，解题的关键是准确区分抽样调查和全面调查，一般的由全面调查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的结果比较近似．一般来说对于具有破坏性的调查，无法进行全面调查或全面调查意义不大时，应选用抽样调查，对于调查结果要求较高的，事关重大的调查往往选用全面调查．
【详解】解：A、对六名同学身高情况进行调查，范围小，适合全面调查，故本选项不符合题意；
B、对全国中学生目前的睡眠情况进行调查，适合抽样调查，故本选项符合题意；
C、对搭乘飞机的乘客进行安全检查，适合全面调查，故本选项不符合题意；
D、审核《初中数学课程标准》中的错别字，必须准确，适合全面调查，故本选项不符合题意．
故选：B．
3．A
【详解】试题分析：点数小于2的只有一面，即为1，所以概率为.
考点：随机事件的概率.
4．D
【分析】依题意，依据全面调查的方式的事件的要求：需要全面可靠的数据，耗费人力、物力财力和时间过多，不具有破坏性等；
【详解】A选项对全市中学生每天的阅读时间的调查，全面调查费时费力，且只需要了解该数据大概范围即可，适宜用抽样调查；
B选项对某批次洗衣机的使用寿命的调查，调查对洗衣机的具有破坏性，适宜用抽样调查；
C选项对某次手机的防水功能的调查，调查手机的防水功能具有破坏性，适宜使用抽样调查；
D对某校八年级学生肺活量情况的调查，该数据比较容易实现全面调查，适宜使用全面调查；
故选：D
【点睛】本题考查数据的全面调查和抽样调查的区别，关键在理解全面调查的要求；
5．D
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似进行解答即可．
【详解】解：A、了解我市中学生身高情况，适合抽样调查，故此选项不符合题意；
B、调查央视《焦点访谈》栏目的收视率，适合抽样调查，故此选项不符合题意；
C、检测一批电灯泡的使用寿命，适合抽样调查，故此选项不符合题意；
D、了解我市某校某班学生体温情况，适合采用全面调查，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查；对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．理解和掌握抽样调查和全面调查的意义是解题的关键．
6．A
【分析】本题考查了调查方式的选取：普查还是抽样调查；选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．根据普查与抽样调查的特征进行判断即可．
【详解】解：A、适合抽样调查，故A符合题意；
B、不适用调查，故B不符合题意；
C、不适用全面调查，适用抽样调查，故C不符合题意；；
D、调查不具有代表性，故D不符合题意．
故选：A．
7．D
【分析】根据抽样调查的适用范围进行判断．
【详解】解：A、了解某班学生的身高情况适合用全面调查，不符合题意；
B、机场对登记人员的安检，意义重大，适用全面调查，不符合题意；
C、检查一批飞行员的视力情况适合用全面调查，不符合题意；
D、了解全国中学生的健康状况，人数众多，意义不大，适合用抽样调查，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了全面调查和抽样调查的区别，解题的关键是：知道对于精确度要求较高的调查，事关重大的调查往往选择全面调查适用．
8．A
【分析】证明△BEF∽△DAF，得出EF=AF，EF=AE，由矩形的对称性得：AE=DE，得出，设EF=x，则DE=3x，由勾股定理求出再由三角函数定义即可得出答案．
【详解】∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵点E是边BC的中点，
∴BE=BC=AD，
∴△BEF∽△DAF，
∴，
∴EF=AF，
∴EF=AE，
∵点E是边BC的中点，
∴由矩形的对称性得：AE=DE，
∴EF=DE，设EF=x，则DE=3x，
∴DF=x，
∴tan∠BDE= .
故选A．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，三角函数等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．
9．D
【分析】先利用勾股定理求出AC的长，然后根据锐角三角函数的定义对各选项分别进行计算，再利用排除法求解即可．
【详解】∵∠C=90°，AB=5，BC=4，
∴AC=,
∴tanA=.
故选D.
【点睛】考查了锐角三角函数的定义，勾股定理的应用，熟记在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边是解题的关键．
10．C
【分析】本题考查了统计图的特点，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；折线统计图则反映数据的增减变化情况；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小，但一般不能直接从图中得到具体的数据；频数分布直方图反映各部分频数的多少．根据统计图的特点解答即可．
【详解】解：∵题中信息是反映各大洋的百分比，
∴宜采用扇形统计图．
故选C．
11．D
【分析】根据扇形统计图中的数据，可以计算出本次调查的总人数，然后即可计算出乘地铁的人数．
【详解】解：由统计图可得，
调查的总人数为：840÷42%=2000，
乘地铁的人数有：2000×（1-42%-21%）=2000×37%=740，
故选：D．
【点睛】此题考查扇形统计图的特点及作用，并且能够根据统计图提供的信息，解决有关的实际问题．
12．C
【分析】普查和抽样调查的选择．调查方式的选择需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析，普查结果准确，所以在要求精确、难度相对不大，实验无破坏性的情况下应选择普查方式，当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查．
【详解】解：选项A中，了解炮弹的杀伤力，由于具有破坏性，应当使用抽样调查，故本选项错误；
选项B中，了解全国中学生的睡眠状况，人数多，耗时长，应当采用抽样调查的方式，故本选项错误；
选项C中，了解人们保护水资源的意识，普查耗时长，故应当采用抽样调查，故本选项正确；
选项D中，对载人航天器“神舟五号”零部件的检查，由于零部件数量有限，每一个零部件都关系到飞行安全，故应当采用全面调查，故本选项错误；
故选C.
【点睛】本题主要考查了全面调查与抽样调查，掌握全面调查与抽样调查是解题的关键.
13．
【分析】设为折痕，作于，交弧于，设，，根据折叠的性质得，由于，根据垂径定理得，弧弧，则，在中，先根据勾股定理计算出，然后根据正切的定义求解．
【详解】解：为折痕，作于，交弧于，如图，
，
设，，
点和点重合时折痕恰巧过点，
，
，
，弧弧，
，
在中，，
．
即．
故答案为．
【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了勾股定理、垂径定理和正切的定义．
14．120
【分析】用全年级的总人数乘以成绩不低于90分的同学所占的百分比即可得出答案．
【详解】解：根据题意得：
（人），
答：该校九年级有120人可以获得“乒宝”．
故答案为：120．
【点睛】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力、用样本估计总体．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
15．600
【分析】本题考查了样本的容量，从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本；一个样本包括的个体数量叫做样本容量，据此解答即可．
【详解】解：由题意，在这个抽样调查中，样本的容量是600，
故答案为：600．
16．
【分析】根据频率=频数÷样本容量计算即可．
【详解】∵英语“Novel coronavirus pneumonia”中，样本容量为25， 字母“o”出现的频数为4，
∴字母“o”出现的频率是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了频率的计算，熟练掌握频率=频数÷样本容量是解题的关键．
17．5
【分析】根据分组数的确定方法：组距=（最大值-最小值）÷组数计算．
【详解】解：应分（64-45）÷4=4.75，
∵第一组的下限应低于最小变量值，最后一组的上限应高于最大变量值，
∴应分5组．
故本题答案为：5．
【点睛】本题考查组距，分组数的确定方法：组距=（最大值-最小值）÷组数．第一组的下限应低于最小变量值，最后一组的上限应高于最大变量值．
18．见解析
【分析】根据画扇形统计图的步骤先确定使用不同交通方式的同学的人数，再求使用不同交通方式的同学占全体的百分比，并求出所画扇形对应的圆心角，根据圆心角画出扇形统计图并写出名称即可．
【详解】解：各部分占总体的百分比为：
步行：，
骑自行车：，
坐公共汽车：，
其他：．
所对应扇形圆心角的度数分别为：，，，．
扇形统计图如图，
．
【点睛】本题考查了制作扇形统计图的能力，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
19．（1）5 ；
（2）10%， 40 ；
（3）参加训练之前的人均进球数是4个．
【详解】试题分析：（1）利用加权平均数的公式进行计算即可；
由扇形统计图可得1-10%-20%-60%=10%，由统计表可知参加篮球的人数为：2+1+4+7+8+2=24，占60%，用24÷60%即可．
（3）设参加训练之前的人均进球数为x个，根据等量关系：参加篮球定时定点投篮的学生训练后比训练前人均进球数增加了25%，即可列出方程，解之即得．
试题解析：（1）5 ；
（2）10%， 40 ；
（3）设参加训练之前的人均进球数为x个，则x（1＋25%）＝5，解得 x＝4，
即参加训练之前的人均进球数是4个．
考点：1．统计表；2．扇形统计图；3．一元一次方程．
20．(1)，
(2)见解析
【分析】（1）极差为最大值-最小值，故极差为9-2=7；极差为7，组距1分．需分8个小组．
（2）组中值分别为1.95～2.95，2.95～3.95，3.95～4.95，4.95～5.95，5.95～6.95，6.95～7.95，7.95～8.95，8.95～9.95；依此画出频数分布直方图．
【详解】（1）这组数据最大值与最小值差为9-2=7，选组距为1万元．则可分成8组；
故答案为：，．
（2）1.95～2.95有3户，2.95～3.95有14户，3.95～4.95有8户，4.95～5.95有4户，5.95～6.95有0户，6.95～7.95有0户，7.95～8.95有0户，8.95～9.95有1户，
频数分布直方图如图所示：

【点睛】本题考查了频数分布直方图的画法．掌握组距、组数的确定方法是解题的关键．
21．30人.
【分析】根据一组数据的各频率之和为1即可求出x的值；接下来结合关系式“=数据总数”可得到参赛的总人数即可得解.
【详解】解：1－0.15－0.35－0.30＝0.2；40÷0.2×0.15＝30(人)
【点睛】本题主要考查了一组数据中各频率之和等于1的应用及频率的计算公式，解题的关键是熟练的掌握一组数据中各频率之和等于1的应用及频率的计算公式.
22．（1）详见解析；（2）商场在这一周内该品牌C型号的电视总销售利润最大；（3）从进货角度、宣传角度等方面答对即可．
【分析】（1）因为共有240台，所以240-50-70-20=100台，把条形统计图补充完整即可．
（2）根据条形统计图所给的台数和表格所给的每台的销售利润，可求出商场这一周内该品牌哪种型号的电视总销售利润最大．
（3）从进货角度、宣传角度等方面答对即可
【详解】解：（1）240-50-70-20=100台，补全统计图如图所示
（2）10%×2500×50=12500，
12%×4000×100=48000，
15%×6000×70=63000，
20%×10000×20=40000，
∴商场在这一周内该品牌C型号的电视总销售利润最大；
（3）多宣传C型号的电视机，从而多销售C型号的电视机．
【点睛】本题考查画条形统计图以及从条形统计图和表格获得信息的能力，从而使问题得解．
23．（1）见解析；（2）t＝（6+6），最小值等于12；（3）t＝6秒或6秒时，△EPQ是直角三角形
【分析】（1）由∠ECF＝∠BCD得∠DCF＝∠BCE，结合DC＝BC、CE＝CF证△DCF≌△BCE即可得；
（2）作BE′⊥DA交DA的延长线于E′．当点E运动至点E′时，由DF＝BE′知此时DF最小，求得BE′、AE′即可得答案；
（3）①∠EQP＝90°时，由∠ECF＝∠BCD、BC＝DC、EC＝FC得∠BCP＝∠EQP＝90°，根据AB＝CD＝6，tan∠ABC＝tan∠ADC＝2即可求得DE；
②∠EPQ＝90°时，由菱形ABCD的对角线AC⊥BD知EC与AC重合，可得DE＝6.
【详解】（1）∵∠ECF＝∠BCD，即∠BCE+∠DCE＝∠DCF+∠DCE，
∴∠DCF＝∠BCE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DC＝BC，
在△DCF和△BCE中，
,
∴△DCF≌△BCE（SAS），
∴DF＝BE；
（2）如图1，作BE′⊥DA交DA的延长线于E′．
当点E运动至点E′时，DF＝BE′，此时DF最小，
在Rt△ABE′中，AB＝6，tan∠ABC＝tan∠BAE′＝2，
∴设AE′＝x，则BE′＝2x，
∴AB＝x＝6，x＝6，
则AE′＝6
∴DE′＝6+6，DF＝BE′＝12，
时间t=6+6，
故答案为：6+6，12；
（3）∵CE＝CF，
∴∠CEQ＜90°，
①当∠EQP＝90°时，如图2①，
∵∠ECF＝∠BCD，BC＝DC，EC＝FC，
∴∠CBD＝∠CEF，
∵∠BPC＝∠EPQ，
∴∠BCP＝∠EQP＝90°，
∵AB＝CD＝6，tan∠ABC＝tan∠ADC＝2，
∴DE＝6，
∴t＝6秒；
②当∠EPQ＝90°时，如图2②，
∵菱形ABCD的对角线AC⊥BD，
∴EC与AC重合，
∴DE＝6，
∴t＝6秒，
综上所述，t＝6秒或6秒时，△EPQ是直角三角形．
【点睛】此题是菱形与动点问题，考查菱形的性质，三角形全等的判定定理，等腰三角形的性质，最短路径问题，还考查了根据正切值求边长，注意（3）中的直角没有明确时应分情况讨论解答．
24．(1)证明见解析
(2)的正切值为或
【分析】（1）根据等边三角形的性质得出，对顶角相等得出，进而得出，根据倍优三角形的定义即可求解；
（2）由题意，，，分两种情况讨论，①若，②若，画出图形分别讨论，根据正切的定义即可求解．
【详解】（1）证明：∵是等边三角形，
，
又，
，
，
，
与为倍优三角形；
（2）由题意，，．
①若，如图③，过点作于，
则，
平分，
又，，
，
设，
则．
则，
，
，
；
②若，如图③，过点作交于，
则，
，
，
则，
故，
．
综上，的正切值为或；
【点睛】本题考查了几何新定义，等边三角形的性质，求角的正切值，正方形的性质，熟练掌握以上知识，分类讨论是解题的关键．
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