7.3特殊角的三角函数同步练习（含解析）

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7.3特殊角的三角函数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．的值等于（ ）
A．1 B． C． D．2
2．下列选项中是有理数的是（　　）
①；
②；
③；
④；
⑤．
A．①② B．①③ C．①④ D．①⑤
3．如果，那么锐角A的度数是 （ ）
A．60° B．45° C．30° D．20°
4．若∠A，∠B都是锐角，且tanA＝1，sinB＝，则△ABC不可能是（　　）
A．等腰三角形 B．等腰直角三角形
C．锐角三角形 D．直角三角形
5．在△ABC中，，则△ABC一定是（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．锐角三角形
6．计算：（　　）
A． B．1 C． D．
7．α为锐角，且关于x的一元二次方程x2－sin α·x＋1＝0有两个相等的实数根，则α＝（　　）
A．30° B．45° C．30°或150° D．60°
8．4cos60°的值为（ ）
A． B．2 C． D．
9．如图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O是小正方形顶点，的半径为1，P是上的点，且位于右上方的小正方形内，则等于（ ）
A． B． C． D．1
10．当时，以下结论正确的是（ ）
A．11．在△ABC中，若|sinA－|＋(－tanB)2＝0，则∠C的度数为( )
A．120° B．90° C．60° D．30°
12．下列四个数中，是无理数的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．计算： cos30°= ．
14．计算 ．
15．已知，则锐角 ．
16．计算：
17．tan60°+＝ ．
三、解答题
18．计算：
19．已知：图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为，点、点在小正方形的顶点上．
(1)在图1中画出平行四边形（点、在小正方形的顶点上），使平行四边形的面积为；
(2)在图2中画出（点在小正方形的顶点上），使是等腰三角形且，直接写出线段的长．
20．（1）计算：．
（2）如图，某班上体育课，甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时，乙的影子恰好与甲影子在同一条直线上，已知甲身高米，乙身高米，甲的影长是6米，求甲、乙两同学相距是多少米．
21．（1）计算：
（2）解方程：．
22．计算下列各题．
(1)
(2)
23．如图，BC为等边△ABM的高，AB＝，点P为射线BC上的动点（不与点B，C重合），连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转60°，得到线段PD，连接MD，BD．
（1）如图①，当点P在线段BC上时，求证：BP＝MD；
（2）如图②，当点P在线段BC的延长线上时，求证：BP＝MD；
（3）若点P在线段BC的延长线上，且∠BDM＝30°时，请直接写出线段AP的长度．

24．如图，为圆O的直径，C，E为圆O上的两点，平分，于F，于D．

(1)求证：为圆O的切线；
(2)若，求图中阴影部分的面积．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C A C A C B B B A
题号 11 12
答案 A C
1．B
【分析】根据特殊角的正切值计算求值即可．
【详解】解：的值等于，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记是解题关键．
2．C
【分析】根据特殊角的三角函数值，零指数幂，同角三角函数的关系，实数的运算等分别计算即可．
【详解】解：①
，是有理数，故①符合题意；
②，是无理数，故②不符合题意；
③，是无理数，故③不符合题意；
④，是有理数，故④符合题意；
⑤，是无理数，故⑤不符合题意，
综上所述，有理数有①④，
故选：C．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，同角的三角函数的关系，零指数幂，有理数和无理数，熟练掌握这些知识是解题的关键．
3．A
【分析】根据特殊角的三角函数值即可求解．
【详解】解：∵，
∴锐角A的度数是60°，
故选：A．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
4．C
【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．
【详解】解：∵∠A，∠B都是锐角，且tanA＝1，sinB＝，
∴∠A=45°，∠B=45°．
∴∠C=180°-∠A-∠B=90°，
∴△ABC不可能是锐角三角形
故选：C．
【点睛】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
5．A
【分析】根据平方和绝对值的非负性，得，从而求出，根据特殊角的三角函数的值，得，，即可得到答案．
【详解】∵
∴，
解得：，
∴，，
∴
故一定是钝角三角形．
故选：A．
【点睛】本题考查非负数的性质，特殊角的三角函数的值；解题的关键是掌握平方和绝对值的非负性，并熟记特殊角的函数值．
6．C
【分析】根据直接解答即可．
【详解】解：．
故选：C．
【点睛】本题考查了特殊角度的三角函数值，属于基础题，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
7．B
【详解】试题解析：关于x的一元二次方程x2－sin α·x＋1＝0有两个相等的实数根，
整理得：
α为锐角，
故选B.
8．B
【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．
【详解】解：，
故选：．
【点睛】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
9．B
【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，圆周角定理，根据同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半得到即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
．
故选：B．
10．A
【分析】根据特殊角的正弦余弦正切余切的值进行判断
【详解】sin30=，sin60=，故【点睛】牢记特殊角的三角函数值并灵活运用.
11．A
【详解】根据题意可得：sinA－=0，－tanB=0，
∴sinA=，tanB=，
∴∠A=30°，∠B=30°，
∴∠C=120°.
故选A.
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，绝对值和偶次方的非负性，熟练掌握非负数的性质和特殊角的三角函数是解此题的关键.
12．C
【分析】对各项进行化简,再由无理数的概念即可判定．
【详解】解：A. 为无限循环小数，故为有理数;
B. =2, 故为有理数;
C. =,故为无理数;
D. =1,故为有理数
故应选C
【点睛】此题主要考查了无理数的定义,零指数幂以及特殊角三角函数值等知识,解答关键是根据相关定义进行判定.
13．
【分析】先将括号内二次根式化为最简二次根式，将cos30°=代入，再根据二次根式的混合运算法则计算即可．
【详解】解： cos30°
故答案为：
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
14．
【分析】先分别计算特殊角的三角函数值，负整数指数幂，再合并即可得到答案．
【详解】解：
故答案为：
【点睛】本题考查的是特殊角三角函数的计算，负整数指数幂的运算，掌握以上知识点是解题的关键．
15．
【分析】利用计算器求正切值．
【详解】解：根据已知一个角的正切值求这个角的算法：先按，选择模式；再键入数字，最后按和；得到这三个角的度数．
答案为．
【点睛】本题要求同学们能熟练应用计算器，会用科学记算器进行三角函数计算．
16．/
【分析】根据特殊角三角函数代入求解即可得到答案；
【详解】解：原式，
故答案为：．
【点睛】本题考查特殊角三角函数混合运算，解题的关键是熟练掌握特殊角三角函数值．
17．4
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及二次根式的性质分别化简得出答案．
【详解】原式＝+3
＝4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值以及二次根式的性质，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键．
18．
【分析】利用绝对值的性质，负指数幂的运算法则，二次根式的化简，特殊角的三角函数，零指数幂的运算法则即可解答．
【详解】解：
；
【点睛】本题考查了绝对值的性质，负指数幂的运算法则，二次根式的化简，特殊角的三角函数，零指数幂的运算法则，掌握对应法则是解题的关键．
19．(1)见解析
(2)见解析,
【分析】本题考查了正切的定义，等腰三角形，平行四边形的性质，勾股定理与网格作图；
（1）根据题意作出底边为，高为的平行四边形，由勾股定理可得，则作，即可求解；
（2）根据，结合网格的特点作等腰直角三角形，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，四边形即为所求；
∵，
∴平行四边形的面积为；
（2）解：如图所示，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，则．
20．（1）；（2）甲、乙两同学相距是1米
【分析】本题主要考查了相似三角形的实际应用，求特殊角三角形函数值，二次根式的加减计算，负整数指数幂：
（1）先计算特殊角三角函数值，负整数指数幂，再去绝对值和化简二次根式，最后根据二次根式的加减计算法则求解即可得到答案；
（2）设两个同学相距x米，则米，证明，则，据此代值计算即可得到答案．
【详解】解：（1）
；
（2）设两个同学相距x米，则米，
由题意得，，
∴，
∴，即，
解得：，
∴甲、乙两同学相距是1米．
21．（1）；（2），
【分析】此题考查了零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握以上运算法则．
（1）先化简二次根式，负整数指数幂，零指数幂，代入特殊角三角函数值，然后再计算；
（2）利用公式法解一元二次方程．
【详解】解：（1）
=
=；
（2）
，，
，
∴原方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，．
22．(1)
(2)4
【分析】本题主要考查了实数的综合运算能力，解决此类题目的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值、二次根式等考点的运算．
（1）本题涉及特殊角的三角函数值、二次根式化简2个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果；
（2）本题涉及特殊角的三角函数值、二次根式化简．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
23．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）AP＝5
【分析】（1）由旋转定理，可得AP＝DP，结合∠APD＝60°，可推导出△APD是等边三角形；再通过角度之间加减关系，推导出∠BAP＝∠MAD，结合等边△ABM的性质，可证明△BAP≌△MAD，即完成BP＝MD证明；
（2）由旋转定理，可得AP＝DP，结合∠APD＝60°，可推导出△APD是等边三角形；再通过角度之间加减关系，推导出∠BAP＝∠MAD，结合等边△ABM的性质，可证明△BAP≌△MAD，即完成BP＝MD证明；
（3）由△BAP≌△MAD和BC为等边△ABM的高，计算得∠DBM＝60°，从而证明点D在BA的延长线上，再利用Rt△BMD和特殊角度三角函数，计算得到答案．
【详解】（1）如图①，连接AD

∵△ABM是等边三角形
∴AB＝AM，∠BAM＝60°
由旋转的性质可得：AP＝DP，∠APD＝60°
∴△APD是等边三角形
∴PA＝PD＝AD，∠PAD＝∠BAM＝60°
∴∠BAP＝∠BAC﹣∠CAP，∠MAD＝∠PAD﹣∠CAP
∴∠BAP＝∠MAD
∵
∴△BAP≌△MAD（SAS）
∴BP＝MD；
（2）如图②，连接AD

∵△AMB是等边三角形
∴AB＝AM，∠BAM＝∠AMB＝60°
由旋转的性质可得：AP＝DP，∠APD＝60°
∴△APD是等边三角形
∴PA＝PD＝AD，∠PAD＝∠BAM＝60°
∴∠BAP＝∠BAC+∠CAP，∠MAD＝∠PAD+∠CAP
∴∠BAP＝∠MAD
在△BAP与△MAD中
∵
∴△BAP≌△MAD（SAS）
∴BP＝MD；
（3）∵BC为等边△ABM的高
∴∠ABC＝30°
∵△BAP≌△MAD
∴∠ABP＝∠AMD＝30°
∴∠BMD＝∠AMB+∠AMD＝90°
∴∠BMD＝90°
∵∠BDM＝30°
∴∠DBM＝60°
∴点D在BA的延长线上
如图③

∵∠BDM＝30°,∠BMD＝90°
∴BD＝2BM＝10
∴AD＝BD﹣AB＝5
∵PA＝PD＝AD
∴AP＝AD＝5．
【点睛】本题考查了全等三角形、旋转、特殊角度三角函数等知识点；求解的关键在于结合图形，熟练掌握运用等边三角形、旋转的性质，推导证明全等三角形和直角三角形，并运用特殊角度三角函数计算得到答案．
24．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据等腰三角形的性质，角平分线的定义得出，进而得出，再根据平行线的性质得出即可；
（2）根据相似三角形的判定和性质，求出的半径，进而求出圆心角的度数，由进行计算即可．
【详解】（1）证明：如图，连接，

∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
（2）解：∵平分，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即，
设半径为x，则，
∴，
解得或（舍去），
∴，
在中， ，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，角平分线定义及性质定理，扇形面积的计算以及相似三角形的判定和性质，掌握切线的性质，圆周角定理以及相似三角形的判定和性质是正确解答的前提，求出圆的半径以及相应的圆心角度数是正确求出阴影部分面积的关键．
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