7.4由三角函数值求锐角同步练习（含解析）

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7.4由三角函数值求锐角
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在中，，，，那么的值等于（ ）
A． B． C． D．
2．已知为锐角，且，那么下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．在平面直角坐标系中，点，，过第四象限内一动点作轴的垂线，垂足为，且，点、分别在线段和轴上运动，则的最小值是（ ）

A． B． C． D．
4．已知正比例函数y=kx经过点A（1，），点B为x轴正半轴上一点，则∠AOB=（　　）
A．120° B．60° C．45° D．30°
5．已知是锐角，且，那么等于（ ）
A． B． C． D．
6．定义：在等腰三角形中，底边与腰的比叫做顶角的正对，顶角的正对记作，即底边:腰.如图，在中，，.则（ ）
A． B． C． D．
7．如图，△ABC内接于⊙O，AD为⊙O的直径，交BC于点E，若DE=2，OE=3，则tanC tanB=（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．如图，在正方形中，是的中点，是上一点，．有下列结论：①；②射线是的角平分线；③；④．其中正确结论的为（　　）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．②④
9．的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC=60°，若⊙O的半径OC为2，则弦BC的长为（　　）
A．1 B． C．2 D．
11．设，，，不使用计算器（不查表）可知，下列关系式中，正确的是（ ）
A．a12．已知，求a，若用计算器计算且结果为“30”，最后按键( )
A．AC10N B．SHIET C．MODE D．SHIFT
二、填空题
13．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C为OA的中点，CD⊥OA交弧AB于点D，连接AB交CD于点E，若OA＝2，则阴影部分的面积为 ．
14．若α为锐角，且sinα+cosα=，则sinα cosα= ．
15．(1)若cosα=，α为锐角，则sinα= ；
(2)若tanα=2，则 = ．
16．如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，，如果D为圆上一点，且AD＝2，那么∠DAC＝ ．
17．如图，直线分别交x轴，y轴于点A，B，将绕点O逆时针旋转至，使点C落在上，交y轴于点E．分别记，的面积为，，则的值为 ．
三、解答题
18．已知是锐角，且，求和的值．
19．（1）如图，锐角α和线段m，用尺规作出一个以线段m为直角边，α为内角，为的（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）根据（1）中所画图形证明．

20．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，B为上一点， 于D．若，，求公路的转弯处的长．（结果保留π）
21．问题提出：
（1）如图1，在中，，，点D为的中点，则的取值范围是______；
问题探究：
（2）如图2，正方形的边长为5，点E为的中点，平分交于点F，求的长；
问题解决：
（3）如图3，西安市兴庆公园的郁金香开花时间主要集中在3月中旬到4月中旬，这段时间游客可以欣赏到各种颜色的郁金香．公园里有一块如图3所示的花园，在边的中点处安装一个水泵P，，m，m，，为了便于给花浇灌，师傅想沿水泵P处修建一条路（点Q在边上），且满足路两边种花的面积相等．已知修建该路的费用为50元/米，请你帮助师傅计算修建这条路所需的总费用为多少元？
22．如图，这是一款升降电脑桌，它的升降范围是，图是它的示意图，已知，点、在上滑动，点、在上滑动，、相交于点，.（结果精确到）
(1)如图，当从增加到时，这款电脑桌升高了多少？
(2)当电脑桌从图位置升到最大高度（如图）时，求的大小及点滑动的距离.（参考数据：，，，，）
23．如图，菱形ABCD中，点P是CD的中点，∠BCD=60°，射线AP交BC的延长线于点E，射线BP交DE于点K，点O是线段BK的中点．
（1）求证：△ADP≌△ECP；
（2）若BP=n PK，试求出n的值；
（3）作BM丄AE于点M，作KN丄AE于点N，连结MO、NO，如图2所示，请证明△MON是等腰三角形，并直接写出∠MON的度数．
24．将正方形ABCD绕点A逆时针旋 到正方形AEFG．
(1)如图1，当0°＜＜90°时，EF与CD相交与点H．求证：DH＝EH；
(2)如图2，当0°＜＜90°，点F、D、B正好共线时，
①求∠AFB度数；
②若正方形ABCD的边长为1，求CH的长：
(3)连接DE， EC，FC．如图3，正方形AEFG在旋转过程中，是否存在实数m使AE2＝DE2＋mFC2－EC2总成立？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B B B B C C D D D
题号 11 12
答案 A D
1．A
【分析】根据三角函数的比值即可得出答案．
【详解】
如图，．
故选：A．
【点睛】本题考查锐角三角函数，，，，，掌握三角函数的比值是解题的关键．
2．B
【分析】根据正切函数的增减性，可得答案．
【详解】解：，
由正切函数随锐角的增大而增大，得
tan30°＜tanA＜tan45°，
即30°＜A＜45°，
故选：B．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，利用正切函数的增减性是解题关键．
3．B
【分析】先求出直线AB的解析式，再根据已知条件求出点C的运动轨迹，由一次函数的图像及性质可知：点C的运动轨迹和直线AB平行，过点C作CE⊥AB交x轴于P，交AB于E，过点M（0，-3）作MN⊥AB于N根据垂线段最短和平行线之间的距离处处相等，可得此时CE即为的最小值，且MN=CE，然后利用锐角三角函数求MN即可求出CE.
【详解】解：设直线AB的解析式为y=ax＋b（a≠0）
将点，代入解析式，得
解得：
∴直线AB的解析式为
设C点坐标为（x，y）
∴CD=x，OD=-y
∵
∴
整理可得：，即点C的运动轨迹为直线的一部分
由一次函数的性质可知：直线和直线平行，
过点C作CE⊥AB交x轴于P，交AB于E，过点M（0，-3）作MN⊥AB于N根据垂线段最短和平行线之间的距离处处相等，可得此时CE即为的最小值，且MN=CE，如图所示

在Rt△AOB中，AB=，sin∠BAO=
在Rt△AMN中，AM=6，sin∠MAN=
∴CE=MN=，即的最小值是.
故选：B.
【点睛】此题考查的是一次函数的图像及性质、动点问题和解直角三角形，掌握用待定系数法求一次函数的解析式、一次函数的图像及性质、垂线段最短和平行线之间的距离处处相等是解决此题的关键.
4．B
【分析】过点A作AM⊥x轴于点M，得到，利用特殊角的三角函数值即可求得．
【详解】解：正比例函数y=kx经过点A（1，），
过点A作AM⊥x轴于点M，　
∴AM=，OM=1，
∵点B为x轴正半轴上一点，
∴，
∴∠AOB=60°，
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
5．B
【分析】直接根据特殊角的三角函数值即可得出结论．
【详解】解：∵∠A是锐角，且sinA=，∴∠A=45°．
故选B．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．
6．C
【分析】证明△ABC是等腰直角三角形即可解决问题．
【详解】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠A=2∠B，
∴∠B=∠C=45°，∠A=90°，
∴在Rt△ABC中，BC==AC，
∴sin∠B sadA=,
故选：C．
【点睛】本题考查解直角三角形，等腰直角三角形的判定和性质三角函数等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
7．C
【分析】由DE=2，OE=3可知AO=OD=OE+ED=5，可得AE=8，连接BD、CD，可证∠B=∠ADC，∠C=∠ADB，∠DBA=∠DCA=90°，将tanC，tanB在直角三角形中用线段的比表示，再利用相似转化为已知线段 的比．
【详解】连接BD、CD，由圆周角定理可知∠B=∠ADC，∠C=∠ADB，
∴△ABE∽△CDE，△ACE∽△BDE，
∴
，
由AD为直径可知∠DBA=∠DCA=90°，
∵DE=2，OE=3，
∴AO=OD=OE+ED=5，AE=8，
tanC tanB=tan∠ADB tan∠ADC
=
故选C．
【点睛】求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．
8．D
【分析】①根据题目中的条件和正方形的性质，利用锐角三角函数可以得到是否等于；
②根据题目中的条件，可以求得和的正切值，从而可以得到射线是否为的角平分线；
③根据前面的推论，可以得到和的关系，从而可以判断是否成立；
④根据题目中的条件和全等三角形的判定与性质，可以得到是否成立．
【详解】解：在正方形中，是的中点，
，，
，
，
，故①错误；
，，
，，
，
，
，
，
设，则，，
，，，
，
，即射线是的角平分线，故②正确；
，，
，故③错误；
作于点，如图所示：
平分，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
又，，
，故④正确，
综上所述，②④正确，正确的个数为2，
故选：D．
【点睛】本题考查正方形的性质、相似三角形判定与性质、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
9．D
【分析】本题考查比较三角函数值的大小，根据三个三角函数的取值范围和增减性，进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴；
故选D．
10．D
【分析】先由圆周角定理求出∠BOC的度数，再过点O作OD⊥BC于点D，由垂径定理可知CD=BC，∠DOC=∠BOC=×120°=60°，再由锐角三角函数的定义即可求出CD的长，进而可得出BC的长．
【详解】解：∵∠BAC=60°，
∴∠BOC=2∠BAC=2×60°=120°，
过点O作OD⊥BC于点D，
∵OD过圆心，
∴CD=BC，∠DOC=∠BOC=×120°=60°，
∴CD=OC×sin60°=2×=，
∴BC=2CD=2．
故选D．
【点睛】本题考查的是圆周角定理、垂径定理及锐角三角函数的定义，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
11．A
【分析】根据互为余角的三角函数关系，可用正弦函数表示b，根据锐角的正弦函数随角的增大而增大，可得a，b的关系，根据正切函数随角的增大而增大，可得c与1的关系．
【详解】b=cos24°=sian66°，
锐角的正弦函数随角的增大而增大，得a正切函数随角的增大而增大,得c=tan46°>tan45°=1，
a故选A.
【点睛】本题考查的是三角函数，熟练掌握三角函数的性质是解题的关键.
12．D
【详解】试题分析：“SHIFT”表示使用该键上方的对应的功能．
故选D．
点睛：本题要求同学们能熟练应用计算器，熟悉计算器的各个按键的功能．
13．
【分析】连接，根据阴影部分面积面积等于扇形的面积减去，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
OA＝2，点C为OA的中点，
，
∠AOB＝90°，
CD⊥OA
，
阴影部分面积为
故答案为：
【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，求扇形面积，求得是解题的关键．
14．．
【分析】利用锐角三角函数关系将原式变形即可解答．
【详解】∵sinα+cosα=，
∴（sinα+cosα）2=，
则sin2α+cos2α+2sinα cosα=，
∴1+2sinα cosα=，
∴2sinα cosα=，
∴sinα cosα=．
故答案为．
【点睛】本题主要考查了同角三角函数关系，熟知同角三角函数关系及正确将原式变形是解题关键．
15． ．
【分析】(1)根据sin2α+cos2α=1，可求出sinα的值．
(2)化简可得 ，代入即可得出答案．
【详解】(1)∵sin2α+cos2α=1，cosα=，∴sin2α=．
又∵α为锐角，∴sinα= ．
(2) =．
故答案为、．
【点睛】本题考查了同角三角函数的关系，注意掌握据sin2α+cos2α=1，tanα=．
16．30°或90°
【分析】连接AD，OD，BC，先证明△OAD是等边三角形，利用AB是⊙O的直径求得∠C=90°，利用直角三角形中的三角函数可求得∠CAB=30°，点D的位置有两种情况：①当点D在AB的下方的圆弧上，②当点D在AB的上方的圆弧上，分别计算即可．
【详解】解：如图，连接AD，OD，BC，
∵AO=OB=OD，AB=4，AD=2，
∴OA=OD=AD，
∴△OAD是等边三角形，∠BAD=60°，AB是⊙O的直径，
∴∠C=90°，
∵AB=4，AC=2，
∴cos∠CAB=，
∴∠CAB=30°，
点D的位置有两种情况：
①当点D在AB的下方的圆弧上时，∠CAD=∠CAB+∠OAD=30°+60°=90°；
②当点D在AB的上方的圆弧上时，∠CAD=∠OAD-∠CAB=60°-30°=30°．
故答案为：30°或90°．
【点睛】本题考查圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
17．
【分析】根据直线解析式求出直线与坐标轴交点坐标，由勾股定理求出的长，由旋转可证得是等边三角形，从而可求出，根据直角三角形的性质可求出的长，进而求出的长，最后代入面积公式即可求出结论．
【详解】解：对于直线，
令，则，
∴,
令，则，
∴，
又，
∴由勾股定理得，，
又，
∴
又∵为绕点旋转得到，
∴
∴是等边三角形，
∴，
∴，
又,
∴，,
∴
∴,
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一次函数与几何图形的综合运用，直角三角形的性质，三角形面积公式，旋转的性质等知识，求出是解答本题的关键．
18．，
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值运算，先由是锐角，且得到，即得，，再把的三角函数值代入计算即可求解，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
【详解】解：∵是锐角，且，
∴，
∴，，
∴
；
．
19．（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）作线段，过点作，作，射线，交于点，即为所求；
（2）利用勾股定理，三角函数的定义证明即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求．

（2）证明：，
，
，，
．
【点睛】本题考查了作一个角等于已知角、作垂线、作三角形、勾股定理、三角函数，熟练掌握勾股定理和三角函数是解题关键．
20．
【分析】先由垂径定理得到，再由勾股定理建立方程，解得，再解直角三角形得到，则，再由弧长公式求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
在中，由勾股定理，
又∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴，
∴的长，
∴公路的转弯处的长为．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，求弧长，解直角三角形，正确求出是解题的关键．
21．（1）；（2）；（3）元
【分析】（1）延长至点E，使，连接，可证∴，则，在中由即可求解；
（2）延长至点M，使得，连接，过点F作于点H，则，同（1）得，可得A、B、M三点共线，由角平分线性质定理可设，可求，由得，求解即可；
（3）取中点为点Q，连接，过点P作交于点E，过点P作交于点F，延长至点M，使得，连接，过点M作交的延长线于点H，则将四边形面积平分，则四边形是平行四边形，得到，同理：，同（1）可证：，因此， 下面推导出，则，，故在中，由勾股定理得，则，因此总费用为：（元）．
【详解】解：延长至点E，使，连接，
∵为中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在中，∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）延长至点M，使得，连接，过点F作于点H，则，
∵四边形是正方形，
∴，
同（1）可证：，
∴，
∴，
∴A、B、M三点共线，
∵平分，，，
∴设，
∴，
∴，
在中，，
∴由勾股定理得：，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
在中，，
解得，
∴；
（3）取中点为点Q，连接，过点P作交于点E，过点P作交于点F，延长至点M，使得，连接，过点M作交的延长线于点H，
∵为中点，
∴，
设直线间的距离为d，
则，，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
同理：，
同（1）可证：，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
而，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴总费用为：（元），
∴师傅修建这条路所需的总费用为元．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，正方形的性质，勾股定理，锐角三角函数，平行四边形的判定与性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键，
22．(1)
(2)，
【分析】（1）过点作于点，易证得，因而升高量，利用含度角的直角三角形的性质可求得，进而可求得升高量；
（2）过点作于点，由升降范围可求得，利用锐角三角函数可求得的大小，进而可求得点滑动的距离．
【详解】（1）解：如图，过点作于点，
，，
，
升高量，
，
在中，，
升高量，
答：这款电脑桌升高了；
（2）解：如图，过点作于点，
它的升降范围是，
，
在中，，
，
，
由（1）得：，
点滑动的距离为．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，含度角的直角三角形的性质，锐角三角函数，勾股定理等知识点，熟练掌握上述知识点并能加以灵活运用是解题的关键．
23．（1）证明见试题解析；（2）3；（3）证明见试题解析，120°．
【分析】（1）由菱形的性质得到AD∥BC，根据由平行线的性质得到∠DAP=∠CEP，∠ADP=∠ECP，根据全等三角形的判定定理证明结论；
（2）作PI∥CE交DE于I，由点P是CD的中点证明CE=2PI，BE=4PI，根据相似三角形的性质证明结论求出n；
（3）作OG⊥AE于G，由平行线等分线段定理得到MG=NG，又OG⊥MN，可证明△MON是等腰三角形，由直角三角形的性质和锐角三角函数求出∠MON的度数．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥BC，
∴∠DAP=∠CEP，∠ADP=∠ECP，
∵DP=CP，
∴△ADP≌△ECP；
（2）如图1，作PI∥CE交DE于I，
则，
又∵点P是CD的中点，
∴，
∵△ADP≌△ECP，
∴AD=CE，
∴AD=CE=BC，
∴，
∴BP=3PK，
∴n=3；
（3）如图2，作OG⊥AE于G，
∵BM丄AE于，KN丄AE，
∴BM∥OG∥KN，
∵点O是线段BK的中点，
∴MG=NG，
又OG⊥MN，
∴OM=ON，即△MON是等腰三角形，
由题意得，△BPC，△AMB，△ABP为直角三角形，
设BC=2，则CP=1，
由勾股定理得，BP=，则AP=，
根据三角形面积公式，BM=，
∴，
由（2）得，PB=3PO，
∴OG=BM=，
∵MG=MP=，
∴tan∠MOG=，
∴∠MOG=60°，
∴∠MON的度数为120°．
24．(1)见解析
(2)②；②
(3)存在，
【分析】（1）连接，证明即可得证；
（2）①连接，交于点，连接，，根据正方形的性质可得，根据F、D、B共线可得，根据，即可求得∠AFB度数；
②过点作，交于点，交于点，则四边形是矩形，根据①的结论，可得是等边三角形，继而勾股定理求得的长，中，，建立方程，解方程求解可得，根据即可求解；
（3）连接，过点作，交于点，交于，
由正方形是由正方形旋转而成，证明，根据相似三角形的性质可得，得出，然后勾股定理表示出各线段的平方，可得，即可得出．
【详解】（1）如图，连接，
正方形ABCD绕点A逆时针旋 得到正方形AEFG，
，
，
，
（2）①如图，连接，交于点，连接，，
正方形ABCD绕点A逆时针旋 到正方形AEFG，
，
，，
，
点F、D、B共线，
，
，
，
②如图，过点作，交于点，交于点，则四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，，
，
由（1）可得，设，则，
中，，
即，
解得，
，
，
（3）存在，，理由如下，如图，
连接，过点作，交于点，交于，
正方形是由正方形旋转而成，
，
四边形是矩形，四边形是矩形
，
是直角三角形
，
即
AE2＝DE2＋mFC2－EC2
【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，根据特殊角的三角函数值求角度，相似三角形的性质与判定，勾股定理，全等的性质与判定，等边三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键．
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