7.5解直角三角形同步练习（含解析）

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7.5解直角三角形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，中，，，于点E，D是线段上的一个动点，则的最小值是（ ）

A． B． C． D．10
2．如图，矩形的顶点，，与x轴负半轴的夹角为，若矩形绕点O顺时针旋转，每秒旋转，则第2022秒时，矩形的对角线交点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在等腰直角△ABC中，∠C=90°，D为BC的中点，将△ABC折叠，使点A与点D重合，EF为折痕，则sin∠BED的值是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，矩形的顶点在反比例函数的图象上，顶点在第一象限，对角线轴，交轴于点．若矩形的面积是6，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，已知正方形ABCD的面积等于25，直线a，b，c分别过A，B，C三点，且a∥b∥c，EF⊥直线c，垂足为点F交直线a于点E，若直线a，b之间的距离为3，则EF=（　　）
A．1 B．2 C．-3 D．5-
6．如图为的直径，点P为延长线上的点，过点P作的切线，切点为M，过A、B两点分别作垂线、，垂足分别为C、D，连接，则①平分；②；③若，，则弧的长为；④若，则有，其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
7．如图，在中，，点在上，以点为圆心，为半径的刚好与相切，交于点．若，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，已知，在的两边上分别截取，分别以点C，D为圆心，OC长为半径作弧，两弧交于点E．连接OE．则OE的长为（ ）
A． B．2cm C． D．
9．如图，点为的内心，，，点，分别为边，上的动点，且始终保持．三名同学思考后分别有如下结论：①；②当时，的周长有最小值；③四边形的面积与长无关．则正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
10．如图，圆规两脚OA，OB张开的角度∠AOB为，，则两脚张开的距离AB为（ ）
A． B． C． D．
11．在中，，，，则的值是（ ）
A．4 B．5 C．8 D．10
12．如图，正六边形ABCDEF内接于，M为EF的中点，连接DM，若的半径为2，则MD的长度为　　
A． B． C．2 D．1
二、填空题
13．如图1，中，，D是边上的一个动点（不与点B，C重合），，交于点E，，交于点F．设的长为x，四边形的面积为y，y与x的函数图象是如图2所示的一段抛物线，其顶点P的坐标为，则的长为 ．
14．如图，在点处测得塔顶的仰角为，点到塔底的水平距离是，那么塔的高度为 （用含的式子表示）.
15．如图，正方形的边长为3，点E为上一点，，将四边形沿直线折叠得到四边形，点A，B的对应点分别为F，G，连接，则的长为 ．
16．如图，在矩形中，，点E为对角线上一点，连接，过点E作交于点F．连接交于点O，若，则线段与的位置关系为 ；的长为 ．

17．如图，P是∠α的边OA上一点，且P点坐标为（2，3），则sinα= ，cosα= ，tanα= ．
三、解答题
18．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于，B两点，C为反比例函数图象第四象限上一动点．
(1)求反比例函数的表达式及点B的坐标；
(2)当四边形的面积为36时，求此时点C的坐标；
(3)我们把对角线互相垂直且相等的四边形称为“垂等四边形”．设点D是平面内一点，是否存在这样的C，D两点，使四边形是“垂等四边形”，且？若存在，求出C，D两点的坐标；若不存在，请说明理由．
19．用没有刻度的直尺和圆规作图（不写作法，保留作图痕迹）．
(1)已知，以为一个内角的菱形，使顶点F在边上；
(2)若，，，则（1）中作出的菱形的面积为 ．
20．完成项目化学习：《观景拱桥的设计》．
《观景拱桥的设计》
驱动问题 1、如何利用函数模型，刻画观景拱桥的横截面？ 2、如何铺设台阶地毯，保证观景拱桥的实惠性？ 3、如何安装脚手架，保证脚手架的安全性？ 4、如何设计射灯位置，保障观景拱桥的采光性？
项目背景 某公园有一个抛物线形状的观景拱桥，其横截面如图所示：
任务1 建立模型 （1）在图中建立的直角坐标系中，抛物线过顶点（长度单位：m），直接写出抛物线的解析式：
任务2 利用模型 （2）现因搞庆典活动，计划沿拱桥的台阶表面铺设一条宽度为1.5m的地毯，地毯的价格为20元，求购买地毯需多少元？
任务3 利用模型 （3）在拱桥加固维修时，搭建的“脚手架”为矩形（H、G分别在抛物线的左右侧上），并铺设斜面EG．已知“脚手架”的三边所用钢材长度为（在地面，无需使用钢材），求“脚手架”打桩点E与拱桥端点A的距离.
任务4 分析计算 （4）在平面内，把一个图形上的任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值称为这两个图形的距离．为了美观，在距离点O处12米的地面M、N处安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图3所示，光线交汇点P在拱桥的正上方，其中光线所在的直线解析式为，求光线与抛物线拱桥之间的距离．（忽略台阶的高度）
21．水车又称孔明车，是我国最古老的农业灌溉工具，如图1所示是一种水车的实物图，由立式水轮、竹筒、支撑架和水槽等部件组成．某数学兴趣小组对其进行了研究，示意图如图2所示，为立式水轮，水轮在水流的作用下，将水送至C处，再经水槽送至B处水渠，D为水轮与水面的交汇处，连接，若米，，点C，F的水平距离为3米，且，求水渠离水面的高度．（结果精确到0.01米．参考数据：，，）

22．如图1是一张乒乓球桌，其侧面简化结构（如图2所示）是轴对称图形，台面（台面厚度忽略不计）与地面平行，且高度为（台面与地面之间的距离），直线型支架与的上端，与台面下方相连，与的下端，是一个脚轮（脚轮大小忽略不计），直线型支架与的上端、与台面相连，下端，与，相连，圆弧形支架分别与，在点，相连，且，，已知，， ．
(1)求的长度；
(2)已知所在的圆经过点、，求所在的圆的圆心到台面之间的距离．
23．如图，四边形ABCD是的内接四边形，．
如图，求证：；
如图，点F是AC的中点，弦，交BC于点E，交AC于点M，求证：；
在的条件下，若DG平分，，，求的半径．
24．如图，，是以为直径的上的点，且，弦交于点，平分，于点．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，，求的度数．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A B D A B D C C A
题号 11 12
答案 D A
1．B
【分析】如图，作于，于．由，设，，利用勾股定理构建方程求出，再证明，推出，由垂线段最短即可解决问题．
【详解】解：如图，作于，于．
，
，
，
设，，
则有：，
，
解得（舍去），
∴，
，，，则
∴，
，，
，
，
，
当C、D、H三点共线时，，
的最小值为．
故选：B．
【点睛】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
2．A
【分析】求出，每秒旋转，6次一个循环，，第2022秒时，矩形的对角线交点与第六次的点的坐标相同，第六次点和刚开始旋转的位置相同，由此可得到点的坐标．
【详解】解：四边形是矩形，
，，，
，
每秒旋转，6次一个循环，，
点和刚开始旋转的位置相同，
点的纵坐标为：，横坐标为：，
点的坐标为．
故选：A．
【点睛】本题考查旋转变换，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是明确题意，发现点得变化特点，利用数形结合的思想解答．
3．B
【分析】先根据翻折变换的性质得到△DEF≌△AEF，再根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得到∠BED=CDF，设CD=1，CF=x，则CA=CB=2，再根据勾股定理即可求解．
【详解】∵△DEF是△AEF翻折而成，
∴△DEF≌△AEF，∠A=∠EDF，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠EDF=45°，由三角形外角性质得∠CDF+45°=∠BED+45°，
∴∠BED=∠CDF，
设CD=1，CF=x，则CA=CB=2，
∴DF=FA=2-x，
∴在Rt△CDF中，由勾股定理得，
CF2+CD2=DF2，
即x2+1=（2-x）2，
解得：x=，
∴sin∠BED=sin∠CDF=．
故选B．
【点睛】本题考查的是图形翻折变换的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、三角形外角的性质，涉及面较广，但难易适中．
4．D
【分析】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、反比例函系数的几何意义，作轴于，由矩形的面积得出的面积为，解直角三角形得出，证明，求出，最后根据反比例函系数的几何意义计算即可得出答案．
【详解】解：如图，作轴于，
∵矩形的面积是6，
∴的面积为，
∵，，
∴，
∵对角线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故选：D．
5．A
【分析】延长AE交BC于N点，过B点作BM⊥AN于M点，过N点作NH⊥FC于H点，在Rt△ABM和Rt△BMN中，易得cos∠BAM=cos∠MBN，即，解得BN=，从而求出CN长度，在Rt△HNC中，利用cos∠HNC=cos∠MBN=，求出NH长度，最后借助EF=NH即可．
【详解】解：延长AE交BC于N点，过B点作BM⊥AN于M点，过N点作NH⊥FC于H点，
因为正方形的面积为25，所以正方形的边长为5．
在Rt△ABM中，AB=5，BM=3，利用勾股定理可得AM=4．
∵∠BAM+∠ABM=90°，∠NBM+∠ABM=90°，
∴∠MBN=∠BAM．
∴cos∠BAM=cos∠MBN，即 ，解得BN=．
∴CN=BC-BN=．
∵∠HNC=∠MBN，
∴cos∠HNC=cos∠MBN=．
∴ ，解得NH=1．
∵a∥c，EF⊥FC，NH⊥FC，
∴EF=NH=1．
故选A．
【点睛】本题考查正方形的性质、平行线间的距离、解直角三角形，解题的关键是根据题意作出辅助线，转化角和边．
6．B
【分析】连接、，由切线的性质可得，进而得到，再根据平行线的性质以及等边对等角，得到，即可判断①结论；根据直径所对的圆周角是直角，得到，易证，根据相似三角形的对应边成比例，即可判断②结论；根据三角形内角和定理，求出，再利用弧长公式求出弧长，即可判断③结论；证明，得到，进而推出，再利用平行线分线段成比例定理，得出，证明，得到，由勾股定理得出，最后利用三角函数，即可判断④结论．
【详解】解：如图，连接、，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
，
平分，①结论正确；
为的直径，
，
，
，
，②结论正确；
，，
，
，
，
弧的长为，③结论错误；
，，
，
，
，
，
，即，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，即，
在中，，
，
，
，④结论正确，
正确的结论有①②④，共3个，
故选：B
【点睛】本题考查了圆的切线的性质，等腰三角形的判定和性质，圆的性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，解直角三角形等知识，灵活运用相似三角形对应边成比例是解题关键．
7．D
【分析】作于，如图，设的半径为，根据切线的性质得，再在中利用正切定义得到，在中利用勾股定理得到，然后证明，则利用相似比得到，再解方程求出后计算的面积．
【详解】解：作于，如图，设的半径为，
为切线，
，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
，
即，
解得，
的面积．
故选：D．
【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；若出现圆的切线，则作垂线得到半径．解决本题的关键是用半径表示、，然后利用相似比得到关于半径的方程．
8．C
【分析】根据题意可得，，从而可证，，四边形CODE是菱形，再运用菱形的性质及特殊角三角函数值进行计算即可．
【详解】解：如图，连接CD交OE于点G，
∵以点C，D为圆心，OC长为半径作弧，两弧交于点E，
∴，
在与中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
∵，，
∴，
∴四边形CODE是菱形，
∴，即．
∵，，
∴，
∵四边形CODE是菱形，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，菱形的判定及性质，以及运用特殊角三角函数值计算相关线段长度，综合运用以上几何知识是解题的关键．
9．C
【分析】本题主要考查了三角形的内心、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质、垂线段最短、解直角三角形等知识，正确作出辅助线构造全等三角形推理证明是解题的关键．连接，过点作于，于，利用判定，利用判定，推出四边形的面积，即可判断③；得出，然后再根据四边形的内角和等于，即可判断①；过点作于点，则，根据得，进而得，据此得的周长为，只有当最小时，的周长为最小，然后根据“垂线段最短”，当时，最小，的周长最小，推出，与条件矛盾，即的周长无法取到最小值，即可判断②．最后选择答案即可．
【详解】解：连接，过点作于，于，

∵点为的内心，
∴是的平分线，
又∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，的面积的面积，的面积的面积，
∴四边形的面积四边形的面积的面积
四边形的面积的面积
四边形的面积
的面积的面积
，
∴四边形的面积与长无关，③正确，
在四边形中，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
即：，
∴①正确，
过点作于点，

∵，
∴是的平分线，，
∴，
又∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴的周长为：，
∴当最小时，的周长最小，
∵连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，
∴当时，最小，
∵，
∴此时，
又∵，
∴，与条件矛盾，即的周长无法取到最小值，
∴②不正确．
综上所述，正确的结论是①③，
故选：C．
10．A
【分析】根据圆规两角张开形成等腰三角形，过点作，交于点，解直角三角形即可．
【详解】解：过点作，交于点，
∵是圆规两脚，
∴，
∴，
∴，
∴；
故选A．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质和解直角三角形．熟练掌握等腰三角形的性质和解直角三角形是解题的关键．
11．D
【分析】本题主要考查了解直角三角形，熟练掌握正弦的定义是解题关键．根据题可得，代入数值求解即可．
【详解】解：如下图，
∵，，
∴，即，
解得．
故选：D．
12．A
【分析】连接OM、OD、OF，由正六边形的性质和已知条件得出OM⊥OD，OM⊥EF，∠MFO=60°，由三角函数求出OM，再由勾股定理求出MD即可．
【详解】连接OM、OD、OF，
∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，M为EF的中点，
∴OM⊥OD，OM⊥EF，∠MFO=60°，
∴∠MOD=∠OMF=90°，
∴OM=OF sin∠MFO=2×=，
∴MD=，
故选A．
【点睛】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、三角函数、勾股定理；熟练掌握正六边形的性质，由三角函数求出OM是解决问题的关键．
13．2
【分析】本题主要考查了动点的函数图象问题，二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，求出是解题的关键．根据抛物线的对称性知，，作于H，当时，的面积为，则此时，则，证明，则，即可解决得到答案．
【详解】解：∵抛物线的顶点为，过点，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴时，，
∴，
作于H，当时，的面积为，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
14．
【分析】根据三角函数的定义和直角三角形的性质解答即可．
【详解】解：∵在点B处测得塔顶A的仰角为，
∴∠B＝，
∵BC＝30m，
∴AC＝BC tan＝30tan，
故答案为30tan．
【点睛】此题考查了解直角三角形 仰角的定义，注意方程思想与数形结合思想的应用．
15．/
【分析】本题考查了图形的翻折，正方形的性质，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形的性质，熟练掌握相关性质，作出合适的辅助线是解题的关键．连接，过点作于点，过点作于点．根据正方形的性质，可求得，可求出，根据翻折的特征，证明，得到，而，再根据等腰三角形三线合一性质，，即可求解．
【详解】解：连接，过点作于点，过点作于点，如图所示，
四边形为正方形，边长为3，，
，，，
为等腰直角三角形，，
，
在中，，
，
四边形沿直线折叠得到四边形，根据翻折的特征，
，，
，
，，
，
，
又 ，
，
，
，
．
故答案为：．
16．
【分析】先证可得，再根据等腰三角形三线合一的性质可得，再由面积法可求的长，进而求得，再求得即可解答．
【详解】解：∵四边形为矩形，
∴．
∵，
∴．，
∵EF⊥AE，
∴．
在和中，
∴．
∴．
又∵，
∴．
∴，
∴．
∴，
∴，
∴．
故答案为，．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形性质、勾股定理、解直角三角形等知识点，灵活运用相关判定、性质是解答本题的关键．
17．
【分析】如图，作PB⊥x轴，根据勾股定理得到OP的长，再根据正弦、余弦、正切的定义求解即可.
【详解】如图，作PB⊥x轴，则OB＝2，PB＝3，由勾股定理得OP＝＝，所以＝＝＝，＝＝＝，＝＝.
【点睛】本题主要考查了正弦、余弦、正切的定义，属基础题，熟练掌握这些知识是解决本题的关键.
18．(1)，
(2)或
(3)
【分析】(1)根据直线与反比例函数的图象交于，B两点，可计算的值，并确定的值，联立一次函数和反比例函数的关系式建立方程组，解方程组可得点的坐标；
(2) 过点作轴，交于，设点的坐标为，求出直线的解析式为 ，进而得到，根据列方程解题即可；
(3)如图，过点作轴于，过点作轴，过点作(于，证明 ，根据正切的定义可得，可得的解析式为，列方程可得点的坐标，证明是等腰直角三角形，可得也是等腰直角三角形，则，根据列方程可得结论．
【详解】（1）解：∵点在直线上，
∴，
解得，
∴，
，
∴反比例函数的表达式为：，
则，
解得：，
∴；
（2）解：如图, 过点作轴，交于，设点的坐标为，
∵，
∴的解析式为：，当时，，
∴
设的解析式为：，
则 ，解得：，
∴的解析式为: ，
，
∵四边形的面积为，
，
即 ，
，
解得： ；
或；
（3）解：存在,
如图, 过点作轴于，过点作轴，过点作于，
在中，当时，，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是“垂等四边形”，
∴ ，
∴，
∴，
∵，
∴， 即，
∴，
∵，
∴，
∴, 即 ，
，
∴，
设直线的解析式为: ,将点的坐标代入得: ，
，
∴ 的解析式为: ，
，
解得: 或(舍)，
∴；
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴也是等腰直角三角形，
∴ ，
∴，
同理得：的解析式为：，设，
∵，
，
解得：(舍)，
∴．
【点睛】本题考查的是反比例函数与一次函数知识的综合运用，掌握待定系数法求函数解析式的一般步骤，正确求出双曲线与直线的交点坐标是解题的关键．
19．(1)图见解析
(2)
【分析】（1）先作的角平分线于交于点F，再分别以F，B为圆心，以大于长的一半为半径画弧，连接两弧的交点与分别交于G，E即可；
（2）分别过C、F作于H，于T，然后求出和的长即可．
【详解】（1）解：如图，菱形即为所求；
（2）如图，分别过C、F作于H，于T，
∵，，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
解得，
∴，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了尺规作角平分线，尺规作垂线，菱形的判定和性质，解直角三角形，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
20．（1）；（2）900元；（3）；（4）米
【分析】此题考查二次函数和三角函数的性质及其应用，要结合图形分析并解决问题是解题关键．
（1）设抛物线的解析式为，运用待定系数法求解即可；
（2）令，即，解得，可得地毯的总长度为：，再求解即可；
（3）设点G的坐标为，根据题意得，，由， 可得，解方程即可求解；
（4）作直线的平行线l，使它与抛物线相切于点D，分别交x轴，y轴于点H，Q，过点H，作，垂足为G，设直线l的解析式为，联立直线与抛物线解析式，，整理得，由方程只有一个根，可得，再求解即可．
【详解】解：（1）设抛物线的解析式为，由题意得：
，解得，
所以抛物线的解析式为，
故答案为：；
（2）由（1）知，，
令，即，解得；
∴地毯的总长度为：，
∴，
答：购买地毯需要900元．
（3）设点G的坐标为，
根据题意得，，
∵，
∴，
解得（不合题意，舍去），
∴，
∴，．
（4）作直线的平行线l，使它与抛物线相切于点D，分别交x轴，y轴于点H，Q，过点H，作，垂足为G，如图所示，
∵，
设直线l的解析式为，
联立直线与抛物线解析式，
整理得
∵直线l与抛物线相切，
∴方程只有一个根，
∴，
解得，
∴直线l的解析式为，
令，则，
∴，
∴，
∵射灯射出的光线与地面成角，
∴，
∵，
，
∴，
∴光线与抛物线之间的最小垂直距离为米．
21．米
【分析】题目主要考查解三角形的应用，理解题意，作出辅助线是解题关键．
过点C作于点H，根据题意得出米，，利用三角函数得出米，确定米，再由正切函数即可求解．
【详解】解：过点C作于点H，如图所示：

∵米，，
∴，
∴米，
∵C，F的水平距离为3米，
∴米，
∴米，
∵，
∴，
∴米．
22．(1)
(2)
【分析】本题考查垂径定理及解直角三角形的应用，相似三角形的性质与判定．
（1）过点，交于点．连接．根据已知条件求出、，证明，根据相似三角形的性质，即可求解；
（2）设点为所在圆的圆心．连接、、、，过点作，交于点，交于点．由垂径定理求得、，由勾股定理和半径相等列方程，求出，进而求出圆心到的距离．
【详解】（1）解：过点作，交于点．连接．
由题意可得：，，
∴．
又∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵
∴
∴
∴
∴．
（2）解：设点为所在圆的圆心．连接、、、，过点作，交于点，交于点．
由垂径定理，得，
∴．
∴．
∵，，且，
∴，
∴，即，
解得．
∴．
∴所在的圆的圆心到台面之间的距离为．
23．（1）证明见解析（2）证明见解析（3）
【分析】由，得到，从而得到，即可得到．
如图2，延长AD到N，使，连接NC，构造三角形中位线和全等三角形≌，由该全等三角形的对应边相等得到：所以，即；
如图3，连接BG，过点A作，构造等边三角形、通过得，，，作直径AP，连接CP，，故，由锐角三角函数的定义求得，从而得到直径AP的长度，易得半径的长度．
【详解】解：（1）如图1，连接AC，
，
，
；
如图2，延长AD到N，使，连接NC，
，，
四边形ABED是平行四边形，
，
，
．
，
≌，
，
，，
是的中位线，
，
；
如图3，连接BG，过点A作，
由知，
四边形ABED是平行四边形，
．
，
，
，
平分，
，
，
，∠NDC=∠DCE，
，
，，
∴∠DEC=∠DCE=∠EDC，
∴△CDE是等边三角形，
∴∠DEC=∠DCE=∠EDC=60°，DE=CE，
∵∠BGE=∠BCD=60°，∠BEG=∠DEC=60°，
∴是等边三角形，
，
解得，，，，
，
，
作直径AP，连接CP，
，，
，
，
的半径是．
【点睛】本题考查了圆的综合题，涉及了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、三角函数值的知识，综合性较强，正确添加辅助线、熟练掌握和灵活应用相关知识是解题的关键．
24．（1）见解析；（2）．
【分析】（1）连接，易证，又因，可得，即可得是的切线；
（2）连接，易得，在中，求得，在中，可得，由此可得，所以；由，可得；在中，根据三角形的内角和定理即可求得．
【详解】（1）证明：连接，
∵，
∴，
又∵平分，
∴，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
又∵是的半径，
∴是的切线．
（2）解：连接．
∵，点是圆心，
∴，，
在中，∵，，
∴，，
∴，
又∵在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定、圆周角定理、特殊角的三角函数值、勾股定理等知识点，熟练运用相关知识点是解决问题的关键．
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