7.6用锐角三角函数解决问题同步练习（含解析）

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7.6用锐角三角函数解决问题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔40海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则海轮行驶的路程AB为( )
A．(40＋40)海里 B．(80)海里
C．(40＋20)海里 D．80海里
2．如图，某段河流的两岸互相平行，为测量此段的河宽（与河岸垂直），测得两点的距离为米，，则河宽的长为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道(B，C在同一水平面上)，为了测量B，C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升200米到达A处，在A处观察B地的俯角为α，则B，C两地之间的距离为(　　)
A．米 B．米 C．米 D．米
4．为了解决楼房之间的采光问题，我市有关部门规定：两个楼房之间的最小距离要使中午12时不能遮光．如图，旧楼的一楼窗台高1米，现计划在旧楼右侧50米处再建一新楼．若我市冬天中午12时太阳照射的光线与水平线的夹角最小为度，则新楼最高可建（ ）
A．50tan米 B．米 C．（）米 D．米
5．如图，某中学九年级数学兴趣小组测量校内旗杆AB的高度，在C点测得旗杆顶端A的仰角∠BCA=30°，沿旗杆方向向前走了20米到达D点，在D点测得旗杆顶端A的仰角∠BDA=60°，则旗杆AB的高度是（ ）
A．10米 B．10米 C．米 D．15米
6．如图，在离地面高度6m处引拉线固定电线杆，拉线和地面成60°角，则拉线AC的长是（ ）
A．12m B．m
C．m D．m
7．图1是小慧在“天猫 双11”活动中购买的一张多档位可调节靠椅，档位调节示意图如图2所示，已知两支脚分米，分米，为上固定连接点，靠背分米，档位为Ⅰ档时，，档位为Ⅱ档时，.当靠椅由Ⅰ档调节为Ⅱ档时，靠背顶端向后靠的水平距离（即）为（）分米．
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，为测量学校旗杆AB的高度，小明从旗杆正前方3米处的点C出发，沿坡度为的斜坡CD前进米到达点D，在点D处放置测角仪，测得旗杆顶部A的仰角为37°，量得测角仪DE的高为1.5米，A、B、C、D、E在同一平面内，且旗杆和测角仪都与地面垂直，则旗杆AB的高度为（ ）（精确到0.1）．（参考数据：，，，）
A．6.7 B．7.7 C．8.7 D．8.5
9．如图，将一个Rt△ABC形状的楔子从木桩的底端点P处沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动，已知楔子斜面的倾斜角为20°，若楔子沿水平方向前移8cm（如箭头所示），则木桩上升了（　　）
A．8tan20° B．6cos15° C．8tan15° D．6cot15°
10．如图，从点观测点的俯角是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两棵树之间的水平距离）为10m，若在坡度为的山坡上种树，也要求株距为10m，那么相邻两棵树间的坡面距离为（ ）

A． B． C．12m D．12.5m
12．如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，现测得，则点到的距离为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，广州塔与木棉树间的水平距离BD为600m，从塔尖A点测得树顶C点的俯角α为44°，测得树底D点俯角β为45°，则木棉树的高度CD是 ．（精确到个位，参考数据：sin44°≈0.69，cos44°≈0.72，tan44°≈0.96）
14．如图，测角仪竖直放在距建筑物底部6m的位置，在D处测得建筑物顶端A的仰角为．若测角仪的高度是1.6m，则建筑物的高度约为 m．（结果保留小数点后一位，参考数据：）

15．图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面的倾斜角为22°，长为3米的真空管与水平线的夹角为37°，安装热水器的铁架竖直管的长度为0.5米．则安装热水器的铁架水平横管的长度约为 米．（结果精确到0.1米）参考数据：，，，，，
16．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东60°方向，距离灯塔86nmile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为 nmile．（结果保留根号）

17．如图，三角形花园紧邻湖泊，四边形是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点C在点A的正东方向，米．点E在点A的正北方向．点B，D在点C的正北方向，米．点B在点A的北偏东，点D在点E的北偏东，求步道的长度 米（结果保留根号）．
三、解答题
18．如图，某渔船向正东方向以14海里/时的速度航行，在A处测得小岛C在北偏东方向，2小时候渔船到达B处，测得小岛C在北偏东方向，已知该岛周围20海里范围内有暗礁．（参考数据：，，，）
(1)求B处距离小岛C的距离（求出准确值）；
(2)为安全起见，渔船在B处向东偏南转了继续航行，通过计算说明船是否安全？
19．已知直角△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，以AC为腰，在△ABC外作顶角为30°的等腰三角形ACD，连接BD．请画出图形，并直接写出△BCD的面积．
20．中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献．为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形充电站的平面示意图，矩形是其中一个停车位．经测量，，，，，是另一个车位的宽，所有车位的长宽相同，按图示并列划定．

根据以上信息回答下列问题：（结果精确到，参考数据）
(1)求的长；
(2)该充电站有20个停车位，求的长．
21．如图，在某海上观测点B处观测到位于北偏东30°方向有一艘救船A，搜救船A最大航速58海里/时，海里，在位于观测点B的正东方向，搜救船A的东南方向有一失事渔船C，由于当天正值东南风，失事渔船C以2海里/时的速度向西北方向漂移，若不考虑大风对搜救船A的航线和航速的影响，求失事渔船获救的最快时间．
22．《海岛算经》是中国古代测量术的代表作，原名《重差》．这本著作建立起了从直接测量到间接测量的桥梁．直至近代，重差测量法仍有借鉴意义．实践小组为测量海岛上一座山峰的高度，直立两根高3的标杆和，两杆间距相距8，在点E处观察山顶点A，测得仰角为；在点M处观察山顶点A，测得仰角为，求山峰的高度．（结果精确到米．参考数据：）

23．已知点，，，均在同一直线上，，测得．（结果保留小数点后一位）
(1)连接，求证：；
(2)求E到直线的距离．（参考数据：）
24．如图，在△ABD中，ABAD，以AB为直径的圆交AD于点M，交BD于点O，延长AO至点C，使OCAO，连结CD，BC．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AM3，BO，求cos∠DAB．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A D C B C B B A B
题号 11 12
答案 B A
1．A
【详解】试题分析：根据题意可得：△APC为等腰直角三角形，则AC=PC=40海里，根据Rt△BCP的性质可得：BC=40海里，则AB=AC+BC=(40+40)海里，故选A．
2．A
【分析】根据直角三角形中，三角函数中的边角关系即可得解．
【详解】解：在中，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的边角关系的应用，掌握三角函数的边角关系是解题关键．
3．D
【分析】根据正切的定义解答即可．
【详解】由题意得，∠B=，
在Rt△ACB中，tanB=，
则BC=米，
故选D．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角和俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
4．C
【分析】如图，过点B作BC⊥AE于C，则∠ABC=，BC=DE=50米，根据∠ABC的三角函数可得出AC的长，进而可得AE的长，可得答案．
【详解】如图，过点B作BC⊥AE于C，则∠ABC=，BC=DE=50米，
∴AC=BC·tan=50tan,
∴AE=AC+1=50tan+1，
故选：C．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，正确理解各三角函数的定义是解题关键．
5．B
【分析】根据三角形的外角性质得到∠DAC＝∠C，根据等腰三角形的性质得到AD＝CD，根据正弦的定义计算，得到答案．
【详解】解：由题意得，∠ADB＝60°，∠C＝30°，CD＝20，
∴∠DAC＝∠ADB ∠C＝30°，
∴∠DAC＝∠C，
∴AD＝CD＝20，
∴AB＝AD sin∠ADB＝10（米），
故选B．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用 仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
6．C
【分析】利用60°的正弦值求解即可．
【详解】解：∵在离地面高度6m处引拉线固定电线杆，拉线和地面成60°角，
∴CD⊥AB且CD=6，∠A=∠B=60°，
∵
∴．
故选：C．
【点睛】此题主要考查解直角三角形中的运用，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
7．B
【分析】如图，作AN⊥BC，交PO于G点，延长GO，交DE于H，交D’F于M，根据勾股定理得到NC的长，故得到cos∠ABN的值，根据题意知GO∥BC，DO∥AB，可得到cos∠DOH=cos∠ABN，根据OD=10即可得到OH的长，又，可得∠D’OM=∠OAG，再求出cos∠OAG=即可求出OM，求出HM，根据矩形性质可得到EF的长．
【详解】如图，作AN⊥BC，交PO于G点，延长GO，交DE于H，交D′F于M，
∵，，
∴BN=CN=6，由勾股定理得AN=，
∴cos∠ABN=，
根据题意得GO∥BC，DO∥AB，
∴∠DOH=∠APG=∠ABN，
∴cos∠DOH=cos∠ABN，
∴cos∠DOH==，
∵OD=10，
∴OH=6，
由，
∴∠AOG+∠D′OM=90°，又∠AOG+∠OAG=90°，
∴∠D′OM=∠OAG=∠CAN，
∵cos∠CAN==，
∴cos∠D′OM==，OD′=OD=10，
∴OM=OD′cos∠D′OM=，
∴HM=OM-OH=8-6=2，
∵DE⊥EF，D′F⊥EF，HM⊥DF，
∴四边形HEFM为矩形，
则EF=2，
故选：B．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，勾股定理，解直角三角形，掌握等腰三角形的性质，勾股定理，解直角三角形，解题的关键是根据题意构造直角三角形，利用三角函数的定义进行求解．
8．B
【分析】延长ED交射线BC于点H，过点E作EF⊥AB于F．则四边形BHEF是矩形，想办法求出AF，BF即可解决问题．
【详解】解：延长ED交射线BC于点H，过点E作EF⊥AB于F．
由题意得DH⊥BC，
在Rt△CDH中，∠DHC=90°，tan∠DCH=i=1：，
∴∠DCH=30°，
∴CD=2DH，
∵CD=2，
∴DH=，CH=3，
∵EF⊥AB，AB⊥BC，ED⊥BC，
∴∠BFE=∠B=∠BHE=90°，
∴四边形FBHE为矩形，
∴EF=BH=BC+CH=6，
FB=EH=ED+DH=1.5+，
在Rt△AEF中，∠AFE=90°，AF=EFtan∠AEF≈6×0.75≈4.5，
∴AB=AF+FB=6+≈6+1.73≈7.7，
∴旗杆AB的高度约为7.7米．
故选：B．
【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题和坡度坡比问题，掌握仰角俯角和坡度坡比的定义，并根据题意构建合适的直角三角形是解题的关键．
9．A
【解析】根据已知，运用直角三角形和三角函数得到上升的高度为：8tan20°．
【详解】由已知图形可得：tan20°=，
木桩上升的高度h=8tan20°．
故选A．
【分析】此题考查的是解直角三角形的应用，关键是由已知得直角三角形，根据三角函数求解．
10．B
【分析】此题主要考查了仰角与俯角的定义，仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．
根据俯角的定义求解即可；
【详解】解：∵水平线与视线的夹角，即是俯角，
∴从点观测点的俯角为，
故选：B．
11．B
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，先利用坡度求得垂直距离，再由勾股定理求得坡面距离，熟练掌握勾股定理和坡度是解题的关键．
【详解】解：过A作于B，如图所示：

由题意得：水平距离为10m, 的坡度为，
∴铅直高度（m），
在中，
由勾股定理得：（m），
故选：B．
12．A
【分析】本题考查解直角三角形，三角形内角和定理，过A作，根据三角形内角和定理得到，结合正弦的定义求解即可得到答案
【详解】解：过A作，如图所示：
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：A．
13．24m
【分析】如图：过点C作CE⊥AB于E，则CE=BD=600m在Rt△ABD中， 求出AB，在Rt△AEC中，求出 AE，得到CD=BE=AB-AE即可求解；
【详解】解：如图：过点C作CE⊥AB于E，则
CE=BD=600m
在Rt△ABD中，
∠ADB=∠β=45°
∵tan45°=
∴AB=600
在Rt△AEC中，∠ACE=∠α=44°，
∵tan44°=
∴
∴AE=576m，
∴CD=BE=AB-AE=600-576=24m,
故答案为：24m．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，仰角，俯角的问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，是解答此题的关键．
14．9.3
【分析】本题考查解直角三角形实际应用，过点作，可得，三角函数求出的长，再用，求出建筑物的高度即可．
【详解】解：过点作，则：，

在中，，
∴；
故答案为：9.3．
15．米
【分析】本题考查了学生运用三角函数知识解决实际问题的能力．过作于．构建中，根据三角函数的定义与三角函数值即可求出答案． 然后根据的长可求出的长，再判定出四边形是矩形，可求出与的长，再用的长减去的长即可解答．
【详解】解：如图，过作交于点．

在中，，
则（米）．
在中，，
则（米）．
由题意得，四边形是矩形．
（米），（米），
（米），
在中，，
则（米），
（米），
答：安装热水器的铁架竖直管的长度约为米．
故答案为：．
16．43
【分析】作PC⊥AB于C，根据余弦的定义求出PC，再根据余弦的定义列式计算即可．
【详解】作PC⊥AB于C，

在Rt△APC中，，
则PC＝PA cos∠APC，
在Rt△BCP中，，
则（nmile），
故答案为．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
17．/
【分析】过点D作交于点F，则米，，可得是等腰直角三角形，从而得到米，米，再由，可得米，再由米，即可求解．
【详解】解：如图，过点D作交于点F，则米，，
根据题意得：，
∴是等腰直角三角形，
∴米，米，
∵米，
∴米，
∴米，
∴米．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键．
18．(1)B处距离小岛C的距离约为海里
(2)安全，说明见解析
【分析】（1）如图，过点作于，根据题意求出，利用和锐角三角函数，分别表示出：，再利用，求出，然后求出即可；
（2）如图，过点作于，求出的长度，即可得解．
【详解】（1）如图，过点作于，
由题意得， ，
海里，
∵，
∴，
在中，
∵ ，
∴，
∵，
即：
解得，
在中，（海里） ，
答：B处距离小岛C的距离约为海里；
（2）解：如图，过点作于，
在中，，，
∴
(海里)，
∵，
∴能安全通过，
答：能安全通过．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用．根据题意，添加合适的辅助线，构造直角三角形，是解题的关键．
19．①3②2-3③
【分析】分四种情形分别求解即可解决问题；
【详解】①当CD=CA，∠DCA=30°时，作DH⊥AC于H．
在Rt△ACB中，∵∠CAB=30°，AB=4，
∴BC=2，AC=2，
∵∠ACD=∠CBA=30°，
∴CD∥AB，
∴S△BCD=S△ADC= AC DH=×2×=3．
②当AC=AD，∠CAD=30°时，作DH⊥AC于H．
S△BCD=S△ABC+S△ADC﹣S△ABD
=×2×2+×2×﹣×4×3
=2﹣3
③当DA=DC，∠ADC=30°时，作DH⊥AC于H，连接BH．
∵DA=DC，DH⊥AC，
∴AH=CH=，
∵∠DHC=∠ACB=90°，
∴DH∥BC，
∴S△BCD=S△BCH=×2×=.
【点睛】考查作图-复杂作图、等腰三角形的性质、解直角三角形、平行线的判定和性质、等高模型等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
20．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了矩形的性质，解直角三角形的实际应用：
（1）先由矩形的性质得到，再解得到，接着解直角三角形得到，进而求出，据此可得答案；
（2）解得到，解得到，再根据有20个停车位计算出的长即可得到答案．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，
∴，
在中，，，
∴，，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴

（2）解：在中，，
在中，，
∵该充电站有20个停车位，
∴，
∵四边形是矩形，
∴．
21．3小时
【分析】作于点D，在直角三角形中，根据三角函数求得的长；再在直角三角形中，根据三角函数求得的长；求出的长，再根据搜救船行驶路程＋失事船只漂移路程的长列方程求解可得．本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并求解．
【详解】解：过点作于点，
在中，
，，
，
在中，，，
，
设失事渔船获救的最快时间为，
根据题意，得，
．
答：失事渔船获救的最快时间为3小时．
22．山峰的高度约为
【分析】本题考查了解直角三角形的应用——俯仰角．熟练掌握解直角三角形的应用是解题的关键．
在中，，可求．在中，，可求，则．设的长为，则，由，可得，计算求解即可．
【详解】解：由题意得，
∴．在中，，
∴．
在中，，
∴，
∴．
设的长为，则，
∵，
∴，
解得．
答：山峰的高度约为．
23．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据等边对等角得出，根据三角形内角和定理得出，进而得出，即可得证；
（2）过点作，交的延长线于点，在中，得出，则，在中，根据，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴
∵
即
∴
即
∴；
（2）如图所示，过点作，交的延长线于点，

在中，
∴，
∴
∴
在中，，
∴
．
答：雕塑的高约为．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
24．（1）见解析；（2）
【分析】（1）利用直径所对的圆周角可得，根据对角线相互平分的四边形是平行四边形，证明ABCD是平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；
（2）设，连接BM，利用勾股定理构建方程即可求出，得到，根据余弦函数的定义（领边比斜边）即可．
【详解】（1）证明：∵AB是直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵，
∴四边形ABCD是菱形
（2）如图连接BM，设．
∵AB是直径，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∵，
∴．
【点睛】题目主要考查直径所对的圆周角是直角、平行四边形、菱形的判定定理、勾股定理解直角三角形、求三角函数的值等，灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题是解题关键．
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