第六章图形的相似同步练习（含解析）

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第六章图形的相似
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，△ABC中，D为AB的中点，DE∥BC，则下列结论中错误的是（　　）
A． B． C．DE=BC D．S△ADE=S四边形BCED
2．如图，为了确定一条河的宽度，测量人员先观察到在对岸岸边点处有一根柱子，再在他们所在的这一侧岸上选点和点，使得，，在同一条与河岸垂直的直线上，随后确定点和点，使，，点为与的交点．他们测得，，，从而确定河宽为（　　）
A． B． C． D．
3．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，，若CE=2AE，则（ ）
A． B． C． D．
4．△ADE∽△ABC，且相似比为1：3，若△ADE的面积为5，则△ABC的面积为（ ）
A．10 B．15 C．30 D．45
5．如图，要使，需要具备的条件是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图所示，位似图形由三角尺与其在灯光照射下的中心投影组成，相似比为，且三角尺一边长为，则其投影的对应边长为（ ）

A． B． C． D．
7．如图，和是以点为位似中心的位似三角形，若为的中点，，则的面积为（ ）
A．15 B．12 C．9 D．6
8．如图，点G是的重心，，则等于（ ）
A． B． C． D．无法确定
9．如图，小明在8：30测得某树的影长为16m，13：00时又测得该树的影长为4m，若两次日照的光线互相垂直，则这棵树的高度为（ ）
A．10m B．8m C．6m D．4m
10．如果两个相似三角形的对应边之比为2：5，其中一个三角形的一个内角的角平分线长为7，则另一个三角形对应角平分线的长为（ ）
A． B． C．或 D．无法确定
11．数学课本上有这样一段表述：“在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数，所对应的图形与原图形…．”请利用这一规律解答下面问题：已知，，且，若，，则的长为（　　）
A．4 B．6 C．9 D．12
12．如图所示，在中，，垂足分别为D、E两点，则图中与相似的三角形有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题
13．如图是用卡钳测量容器内径的示意图，现量得卡钳上，两个端点之间的距离为，，则容器的内径是 ．
14．如图，在等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE中，，点D在BC边上，DE与AC相交于点F，，垂足是G，交BC于点H．下列结论中：①；②；③若，，则；④，正确的是 ．
15．如图，正方形ABCD的边长为8，M、N分别是BC、CD上的两个动点，且始终保持AM⊥MN．当CN=2时，CM= ．
16．如图，在中，、分别是边、上的点，且∥，若与的周长之比为，，则
17．如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和D、E、F，如果DE：DF＝2：5，AD＝9，CF＝14，则BE的长是 ．
三、解答题
18．如图①，在正方形中，，在上取一点，使得，以为边作正方形，连接，．
问题发现：
（1）的值是______；直线，所夹锐角的度数是______．
拓展探究：
（2）如图②，正方形绕点顺时针旋转时，上述结论是否成立？若成立，请结合图②证明；若不成立，请说明理由；
解决问题：
（3）在旋转过程中，当点到直线的距离为时，请直接写出的长．
19．如图，在中，．请用尺规作图法，在边上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
20．如图，在一张圆形桌子的正上方有一个亮着的灯泡，如果桌子的高度为1米，桌面的直径为米，灯泡到地面的距离为米，那么桌子在地面上形成的影子的面积为多少平方米．（结果保留）
21．汉城湖的汉武大帝雕像是国内最大皇帝雕像，如图，五一期间，小泽和小哲同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量汉武大帝雕像的高度，他们经过研究，决定进行如下操作：如图，首先在阳光下，小泽在汉武大帝雕像影子的末端点处竖立一根2.4米的标杆，此时，小哲测标杆的影长米；然后，小泽从点沿方向走了9.6米（米），到达点，在处树立一根2.4米的标杆，接着沿方向走到点处时，恰好看见汉武大帝雕像顶端与点在一条直线上（即，，在一条直线上），此时，小哲测得米，小泽的眼睛到地面距离米．请你根据题中提供的相关信息，求出汉武大帝雕像的高．
22．学习相似三角形以后，某学习小组开展测量教学楼高度的实践活动，其中一个方案是利用标杆测量，如图所示，小李目高（眼睛到地面的距离）AB为1.6m，离小李3.5m（BF=3.5m）处的小张拿一根高4.6m（EF=4.6m）的标杆直立地面，小张离教学楼14m（DF=14m），此时小李的眼睛、标杆顶端和教学楼顶位于同一直线上，求教学楼CD的高度．
23．如图1，将矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，顶点B恰好与CD边上的动点P重合（点P不与点C，D重合），折痕为MN，点M，N分别在边AD，BC上，连接MB，MP，BP，BP与MN
相交于点F．
(1)求证：；
(2)①在图2中，作出经过M，D，P三点的（要求保留作图痕迹，不写做法）；
②随着点P在CD上运动，当①中的恰好与BM，BC同时相切，如图3，若，求DP的长．
(3)在②的条件下，点Q是上的动点，则AQ的最小值为___________．
24．如图，是的直径，点在上，，过点作直线，交的延长线于，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)如果的半径为，求的长．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C C D C B B A B C
题号 11 12
答案 A A
1．A
【详解】试题分析：根据相似三角形对应边对应成比例：
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴A、，错误；
B、，正确；
∵D为AB的中点，
∴，
∴，
C、DE=BC，正确；
∴=，
D、S△ADE=S四边形BCED，正确．
故选A．
考点：相似三角形的判定和性质
2．C
【分析】本题考查的知识点是相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定方法．
由得，再根据相似三角形中对应边成比例的性质即可求解．
【详解】解：，，
，
，
，
，，，
，
．
故选：．
3．C
【分析】根据平行线截线段成比例逐项判断即可．
【详解】∵CE=2AE，
∴．
∵，
∴，故A不符合题意，C符合题意；
，故B不符合题意，D不符合题意．
故选C．
【点睛】本题考查平行线截线段成比例．正确判断成比例的线段是解题关键．
4．D
【详解】解：∵△ADE∽△ABC，且相似比为1：3，∴面积比为：1：9．
∵△DEF的面积为5，∴△ABC的面积为：5×9=45．故选D．
5．C
【分析】题目中隐含条件∠A＝∠A，根据有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似，得出添加的条件只能是，根据比例性质即可推出答案．
【详解】解：∵在△ACD和△ABC中，∠A＝∠A，
∴根据有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似，得出添加的条件是：，
∴ ．
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，注意：有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似．
6．B
【分析】本题考查了位似图形的性质以及中心投影的应用，根据对应边的比为，再得出投影三角形的对应边长是解决问题的关键．
【详解】∵位似图形由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为，三角尺的一边长为，
∴投影三角形的对应边长为：．
故选B．
7．B
【分析】根据为的中点，则位似比为，再根据相似比等于位似比，面积比等于相似比的平方便可求解．
【详解】∵和是以点为位似中心的位似三角形，为的中点，
面积是3，
∴，
∴，
∴，
解得：．
故选B．
【点睛】本题考查位似比等于相似比，同时面积比是相似比的平方，掌握知识点是关键．
8．A
【分析】此题主要考查了相似三角形的判定与性质和三角形重心的性质等知识，根据重心的性质得出以及，即可得出的比值，再利用三角形中线的性质得出，进而得出答案．
【详解】解：延长到于点N，
点G是的重心，，
，
，
，
点G是的重心，则是三角形中线，
，
．
故选：A．
9．B
【分析】根据题意，画出示意图，证明△EDC∽△FDC，进而可得，即DC2=ED FD，代入数据可得答案．
【详解】解：根据题意，作△EFC，树高为CD，且∠ECF=90°，ED=4m，FD=16m；
∵∠E+∠F=90°，∠E+∠ECD=90°，
∴∠ECD=∠F，
又
∴△EDC∽△CDF，
∴，即DC2=ED FD=4×16=64，
解得CD=8m（负值舍去）．
故选：B．
【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．
10．C
【分析】设另一个三角形的对应角平分线的长为x，根据相似三角形的性质对应角平分线的长的比为2：5，然后讨论其中一个三角形的一个内角的角平分线长为7，是大三角形的还是小三角形的，由此求解即可．
【详解】解：设另一个三角形的对应角平分线的长为x，
∵两个相似三角形的对应边之比为2：5，
∴它们对应的一个内角的角平分线的长的比为2：5，
∵其中一个三角形的一个内角的角平分线长为7，而这条角平分线可能是大三角形的也可能是小三角形的，
∴或，
∴或，
故选C．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的性质．
11．A
【分析】
本题考查的是位似变换，解题的关键是理解将一个图形各顶点的横坐标和纵坐标都乘（或，，所得图形的形状不变，各边扩大到原来的 倍（或缩小为原来，且连接各对应顶点的直线相交于一点．根据题意求出线段与线段的相似比，计算即可．
【详解】
解：，，，
线段与线段的相似比为，
，
，
故选：A．
12．A
【分析】本题考查了相似三角形的判定．熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．
根据相似三角形的判定作答即可．
【详解】解：∵，
∴，，，
∴，
∵，，
∴
同理可得，，，，
∴共有四个三角形与相似．
故选：A．
13．
【分析】连接AD、BC后可知△AOD ∽△BOC，再由相似三角形的性质和已知条件可以得到问题解答．
【详解】解：如图，连接AD、BC，
则在△AOD 和△BOC中，，∴△AOD ∽△BOC，
（cm），
故答案为15cm ．
【点睛】本题考查相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定及性质并灵活运用是解题关键．
14．②③/③②
【分析】先证明 再证明若 可得平分 与题干信息不符，可判断①不符合题意；再证明 可得 而 可判断②符合题意；如图，连接EH，求解 设 再建立方程组 可判断③符合题意；证明 可得 若，则 与题干信息不符，可判断④不符合题意；从而可得答案．
【详解】解：∵，
∴
∵等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE，
∴
∴
∵
∴
若
∴
∴平分 与题干信息不符，故①不符合题意；
∵
∴
∴
∴ 而
∴，故②符合题意；
如图，连接EH，
由
∴
∵
∴
设
解得： 即BD=3，故③符合题意；
∵
若，则 与题干信息不符，故④不符合题意；
故答案为：②③
【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，作出适当的辅助线，构建直角三角形是解本题的关键．
15．4
【分析】根据正方形的性质可得AB=BC=8，∠B=∠C=90°，进而证明∠BAM=∠NMC，得△BAM∽△CMN，即可求得CM的值．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=8，∠B=∠C=90°，
∴∠BAM+∠BMA=90°，
∵AM⊥MN，
∴∠AMN=90°，
∴∠BMA+∠NMC=90°，
∴∠BAM=∠NMC，
∴△BAM∽△CMN，
∴，
∴，
解得MC=4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质，解决本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法．
16．2
【详解】因为DE∥BC，
所以△ADE∽△ABC，
因为相似三角形的周长之比等于相似比，
所以AD:AB=2:3,
因为AD=4,
所以AB=6，
所以DB=AB-AD=6-4=2．
故答案为2．
17．11
【分析】过点作，交于点，交于点，根据平行线分线段成比例的性质求解即可．
【详解】解：过点作，交于点，交于点，如下图：
又∵
∴四边形和四边形为平行四边形
∴
∴
∵
∴
∴
故答案为：11
【点睛】此题考查了平行线分线段成比例的性质，涉及了平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握平行线分线段成比例的性质．
18．（1），；（2）成立；（3）或
【分析】（1）通过证明，可得，，即可求解；
（2）通过证明，可得，，即可求解；
（3）分两种情况讨论，由勾股定理可求的长，即可求解．
【详解】解：（1）如图①，连接，连接交于O，延长交于H，
∵四边形和四边形是正方形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
故答案为：，；
（2）结论仍然成立，理由如下：如图②，连接，连接交于O，延长交于H，
∵四边形和四边形是正方形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，，
又∵，
∴；
（3）如图③，当点E直线的左侧时，过点E作于H，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
如图④，当点E直线的右侧时，过点E作于H，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
综上所述：或．
【点睛】本题是相似形综合题，考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算，证明三角形相似是解题的关键．
19．作图见解析
【分析】本题考查的是相似三角形的判定，作已知角的角平分线，先作的平分线，交于，再证明，可得，可得即为所求．
【详解】解：如图，即为所求；
理由如下：
∵，平分，
∴，
∵，
∴．
20．平方米
【分析】本题考查分式方程的应用及相似三角形的应用，根据题意找出相似三角形，根据相似三角形性质设未知数列方程并解方程即可解决．
【详解】解：设桌子在地面上的影子的半径为米，
则，
解得（米），
经检验，是原方程的解，
（平方米）
答：桌子在地面上形成的影子的面积为（平方米）．
21．21.6米
【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质的应用，先证明，则，设，则，过点作，交于点，交于点，证明四边形为矩形，得到，，再证明，则，得到，解得：，即可得到答案．
【详解】解：
光线
设，则
过点作，交于点，交于点
，，
四边形为矩形
，
解得：
答：汉武大帝雕像的高为米.
22．教学楼的高度为．
【分析】本题考查了相似三角形的应用．过点作于点，交于点，根据证得，利用相似三角形的性质求出即可解答．
【详解】解：如图，过点作于点，交于点，
∵，
，
，
，
，
，
，，
，，
∵，
，
，
即，
解得，
则
答：教学楼的高度为．
23．(1)见解析
(2)①见解析 ②3
(3)
【分析】（1）根据折叠的性质可知，MN垂直平分线段BP，即∠BFN=90°，由矩形的性质可得出∠C=90°=∠BFN，结合公共角∠FBN=∠CBP，即可证出△BFN∽△BCP；
（2）①在图2中，作MD、DP的垂直平分线，交于点O，以OD为半径作圆即可；②设⊙O与BC的交点为E，连接OB、OE，由△MDP为直角三角形，可得出AP为⊙O的直径，根据BM与⊙O相切，可得出MP⊥BM，进而可得出△BMP为等腰直角三角形，根据同角的余角相等可得出∠PMD=∠MBA，结合∠A=∠PMD=90°、BM=MP，即可证出△ABM≌△DMP（AAS），根据全等三角形的性质可得出DM=AB=4、DP=AM，设DP=2a，根据勾股定理结合半径为直径的一半，即可得出关于a的方程，解之即可得出a值，再将a代入OP=2a中求出DP的长度．
（3）连接OA，交⊙O于点 Q，延长EO交AD于点H，分别求出AO、QO，根据AQ=OA-OQ求解即可．
【详解】（1）证明：∵将矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，顶点B恰好与CD边上的动点P重合，
∴MN垂直平分线段BP，
∴∠BFN=90°．
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠C=90°．
∵∠FBN=∠CBP，
∴△BFN∽△BCP．
（2）解：①在图2中，作MD、DP的垂直平分线，交于点O，以OD为半径作圆即可．如图所示．
②设⊙O与BC的交点为E，连接OB、OE，延长EO交AD于点H，如图3所示．
∵△MDP为直角三角形，
∴MP为⊙O的直径，
∵BM与⊙O相切，
∴MP⊥BM．
∵MB=MP，
∴△BMP为等腰直角三角形．
∵∠AMB+∠PMD=180°﹣∠AMP=90°，∠MBA+∠AMB=90°，
∴∠PMD=∠MBA．
在△ABM和△DMP中，
∵∠MBA=∠PMD，∠A=∠PMD=90°，BM=MP，
∴△ABM≌△DMP（AAS），
∴DM=AB=4，DP=AM．
设DP=2a，则AM=2a，
∵点O为MP中点，
∴
∵
∴OE=4﹣a，
由勾股定理可知BM= =．
∵BM=MP=2OE，
∴=2×（4﹣a），
解得：a=，
∴DP=2a=3．
（3）解：连接OA，交⊙O于点 Q，延长EO交AD于点H，
由②可知DM=AB=4，DP=AM=3．
由勾股定理可得，
∴OQ=OE==，
∴OH=HE-OE=4-=，
∵点O是MP中点， ，
∴点H为DM中点，
∴，
在中，由勾股定理可得
，
∴AQ=OA-OQ，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似的判定，对称的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，中位线以及切线的性质等知识，属于综合题，解题的关键是掌握相似的判定以及圆的相关知识．
24．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查圆周角定理、切线的判定、相似三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定，会利用相似三角形的性质求解线段长是解答的关键．
（1）连接，先根据圆周角定理得到，，进而证明，根据切线的判定定理可得到结论；
（2）先根据圆周角定理得到，再证明得到，进而求解即可．
【详解】（1）证明：连接，
∵是的直径，
∴，则，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，即；
∵为的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵的半径为6，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，则，
∴．
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