第三章数据的集中和离散程度同步练习（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
第三章数据的集中和离散程度
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．某校组织八年级期末体育测试，抽查了部分学生每分钟跳绳次数（单位：次）．将所得数据统计如表所示（每组只含最低值，不含最高值）．该样本的中位数落在（　　）
组别 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组
70～90 90～110 110～130 130～150 150～170
人数 4 14 17 10 5
A．第二组 B．第三组 C．第四组 D．第五组
2．在一次数学考试中，某班第一小组名学生与全班平均分的差是，，，，，，，，，，，，，，那么这个小组的平均成绩约是（ ）
A．90分 B．82分 C．88分 D．81.64分
3．一组数据1、2、3、4、5、15的平均数和中位数分别是（　　）
A．5、5 B．5、4 C．5、3.5 D．5、3
4．考察五位学生的学习情况，得到五个各不相同的数据，统计时，出现了一处错误：将最好成绩写得更高了．计算结果不受影响的是（ ）
A．中位数 B．加权平均数 C．方差 D．平均数
5．在“书香文游”知识竞赛中，某校30名学生的成绩统计如下，则该校学生成绩的中位数是（　　）
成绩/分 80 85 90 95 100
人数 7 9 4 9 1
A．85分 B．分 C．88分 D．90分
6．如图，一个转盘被分成4等分，每份内均标有数字，旋转这转盘5次，得到5个数字，经统计这列数的平均数为2，下列判断正确的是（　　）
A．中位数一定是2 B．众数一定是2
C．方差一定小于2 D．方差一定大于1
7．某地连续8天的最低气温统计如表，该地这8天最低温度的中位数是（）
最低气温（℃） 14 20 18 25
天数 1 3 2 2
A．14 B．18 C．19 D．20
8．郑板桥有诗《山中雪后》云：“晨起开门雪满山，雪晴云淡日光寒”描绘了一幅冬日山居雪景图．想感受冬日山居雪景的小颖密切关注寒假期间成都某山区一周的最低气温（）以便出行，该山区某周的最低气温预报如下：
星期 一 二 三 四 五 六 日
最低气温（）
则最低气温的众数、中位数分别是（ ）
A． B． C． D．
9．某城市3月份某星期7天的最低气温如下（单位）：16，20，18，16，18，18，17，这组数据的众数是（ ）
A．16 B．17 C．18 D．20
10．李强总理在政府工作报告中指出2024年国内生产总值增长左右，居民消费价格涨幅左右，单位国内生产总值能耗降低左右，财政赤字率拟按安排．以上这四个数据中，众数是（ ）
A．2.5% B．4% C．3% D．5%
11．某老师对班上甲、乙两位同学五次数学成绩进行统计，两人平均成绩均为115分，甲同学成绩的方差为15，乙同学成绩的方差为10，则下列说法正确的是（ ）
A．甲同学的成绩更稳定
B．乙同学的成绩更稳定
C．甲、乙两位同学的成绩一样稳定
D．不能确定两位同学的成绩稳定性
12．已知5个正数的平均数是a，且，则数据：的平均数和中位数是（ ）
A．a， B．a，
C．a， D．，
二、填空题
13．某校数学兴趣小组有40名成员，13岁的有3人，14岁的有17人，15岁的有18人，16岁的有2人，则该数学兴趣小组成员年龄的中位数是 ．
14．每年的4月23日是“世界读书日”，某校为了解4月份八年级学生的读书情况，随机调查了八年级50名学生读书的册数，由此估计该校八年级学生4月份人均读书 册．
册数 0 1 2 3 4
人数 9 3 20 15 3
15．若一组数据x，3，1，6，3的平均数和众数相等，则x的值为 ．
16．若一组数据2,3,4,5,x的方差与另一组数据5,6,7,8,9的方差相等,则x= .
17．甲、乙两位同学在本学期的几次数学测试中，他们成绩的平均数相等，方差分别为，，则成绩较稳定的是 （填“甲”或“乙”）．
三、解答题
18．郑州市开展了“中学生阳光体育运动”，小明和小亮在课外活动中，报名参加了短跑训练小组．在5次百米训练中，所测成绩如图所示，请根据图中所示解答以下问题．
（1）请根据图中信息，分别计算他们的平均数、极差和方差填入表格：
平均数 极差 方差
小明 ________ ________ 0.004
小亮 ________ 0.4 ________
（2）若你是他们的教练，将小明与小亮的成绩比较后，你将分别给予他们怎样的建议？

19．2022年末，中国迎来第一波疫情高峰．为加强同学们的防护意识，某校举行了以“疫情防护”为主题的知识竞赛活动．发现该校全体学生的竞赛成绩（百分制）均不低于60分，现从中随机抽取n名学生的竞赛成绩进行整理和分析（成绩得分用x表示，共分成四组），并绘制成如下的竞赛成绩分组统计表和扇形统计图，下面为部分数据：其中“”这组的部分数据（从小到大排序）如下：80，82，82，83，83，84，85，85，85，86，87，87，87，88，88……其中“”这组的数据如下：90，92，93，95，95，96，96，96，97，100．
竞赛成绩分组统计表
组别 竞赛成绩分组 频数 平均分
1 8 65
2 a 75
3 b 88
4 10 95
根据以上信息，回答下列问题：
(1)下列说法正确的是______．
A．样本为n名学生 B．a＝12 C．m＝40
(2)“”这组的数据的众数是______．
(3)随机抽取的这n名学生竞赛成绩的中位数是______；平均分是______；
(4)若学生竞赛成绩达到96分以上（含96分）获奖，请你估计全校1200名学生中获奖的人数．
20．清明中学与光明中学九年级各有600名学生，为了解学生理化生实验操作的情况，两个学校各自随机抽取30名学生进行模拟考试，并将考试成绩（满分30分）进行整理、描述，如图1，图2所示．
光明中学学生模拟考试成绩频数分布表
分数 22 23 24 25 26 27 28 29 30
频数 3 2 5 a 6 4 3 3 2
图2
分析数据，得到以下统计量：
平均数 众数 中位数
清明中学 25.8 b 26
光明中学 25.9 26 c
根据以上信息，回答下列问题：
(1)________，________，________．
(2)若模拟考试成绩不低于28分为优秀，请你结合以上数据和优秀率来分析哪个学校的学生理化生实验操作的总体水平较好，并说明理由．
(3)针对两所学校的数据，请你提出一些合理的建议．
21．某校舞蹈队共16名学生，测量并获取了所有学生的身高（单位：cm），数据整理如下：
a.16名学生的身高：
161，162，162，164，165，165，165，166，
166，167，168，168，170，172，172，175
b.16名学生的身高的平均数、中位数、众数：
平均数 中位数 众数
166.75 m n
(1)写出表中m，n的值；
(2)对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越好．据此推断：在下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是______（填“甲组”或“乙组”）；
甲组学生的身高 162 165 165 166 166
乙组学生的身高 161 162 164 165 175
(3)该舞蹈队要选五名学生参加比赛．已确定三名学生参赛，他们的身高分别为168，168，172，他们的身高的方差为．在选另外两名学生时，首先要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于，其次要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的平均数尽可能大，则选出的另外两名学生的身高分别为______和______．
22．水是人体细胞的主要成分之一．喝水是维持生命体新陈代谢的重要一环，科学饮水很重要．某实践小组想了解全校学生喝水情况，随机抽取该校25位学生调查他们平均每天的饮水量（单位：L）．
【数据收集】随机抽取的25位学生平均每天的饮水量：1，1，1.5，2，1，2，1，1.5，2.5，2.5，3，1.5， 1.5，2，1.5，2.5，2，2，2，2.5，2，2.5，3，2，1.5
【数据整理】将收集的数据进行整理统计并绘制了如图所示不完整的统计图：
【任务要求】请根据以上信息解答下列问题：
(1)请补全条形统计图；
(2)所抽取学生平均每天饮水量的众数是________L，中位数是__________L；
(3)该校共有1200名学生，请你估计这1200名学生平均每天的饮水总量．
23．市射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加省比赛，对他们进行了六次测试，测试成绩如表：
选手 选拔成绩/环 中位数 平均数
甲 10 9 8 8 10 9
乙 10 10 8 10 7 9
(1)把表中所空各项数据填写完整；
(2)已知乙六次测试成绩的方差为；计算甲六次测试成绩的方差，根据你的计算的结果，你认为推荐谁参加省比赛更合适？请说明理由
24．设是的平均数，即，则方差，它反映了这组数的波动性，
（1）证明：对任意实数a，x1 a，x2 a，…，xn a，与x1，x2，…，xn 方差相同；
（2）证明；
（3）以下是我校初三（1）班 10 位同学的身高（单位：厘米）：
169，172，163，173，175，168，170，167，170，171，计算这组数的方差．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D C A A C C A C C
题号 11 12
答案 B D
1．B
【分析】根据表格中的数据，可以计算出抽取的学生人数，然后即可得到中位数落在哪一组．
【详解】解：4＋14＋17＋10＋5＝50，偶数个数据中位数为中间两个数的平均值，
第25和26个数据在第三组，
中位数在第三组，
故选：B．
【点睛】本题考查中位数，解答本题的关键是明确中位数的含义及求法．
2．D
【分析】运用求平均数公式求出第一小组的14名同学的成绩与全班平均分的差的平均值，再加上全班的平均成绩，即得这个小组的平均成绩．
【详解】2，3，-3，-5，12，14，10，4，-6，4，-11，-7，8，-2的平均数为
（2+3-3-5+12+14+10+4-6+4-11-7+8-2）÷14=1.64．
则这个小组的平均成绩是80+1.64=81.64（分）．
故选D．
【点睛】考查的是平均数的求法．熟记求平均数的公式是解决本题的关键．
3．C
【分析】根据平均数和中位数的定义进行求解结合选项即可得正确答案．
【详解】解：这组数据按从小到大的顺序排列为：1、2、3、4、5、15，
故平均数为：（1+2+3+4+5+15）÷6=5，
中位数为：（3+4）÷2=3.5，
故选C．
【点睛】本题考查了中位数和平均数，熟练掌握平均数与中位数的概念以及求解方法是解题的关键．
4．A
【分析】根据中位数的定义解答即可．
【详解】因为中位数是将数据按照大小顺序重新排列，代表了这组数据值大小的“中点”，不受极端值影响，
所以将最好成绩写得更高了，计算结果不受影响的是中位数，
故选：A．
【点睛】本题主要考查方差、中位数和平均数，解题的关键是掌握中位数的定义．
5．A
【分析】本题主要考查了求中位数．根据中位数的定义“把一组数据从大到小（或从小到大）排列后位于正中间的一个数或两个数的平均数是中位数”，即可求解．
【详解】解：根据题意得，一共有30名参赛选手，
把成绩从低到高排列后位于第15 位和第16位的均为85分，
∴参赛选手成绩的中位数是．
故选：A
6．C
【分析】本题考查了中位数、众数、平均数、方差，根据中位数、众数、方差的定义判断即可得出答案．
【详解】解：当这列数为1，1，1，3，4时，平均数为，中位数为，众数为1，方差为，故A、B不符合题意；
当这列数为2，2，2，2，2时，平均数为，中位数为2，众数为2，方差为，故D不符合题意；
故选：C．
7．C
【分析】根据中位数的定义求解即可．
【详解】该地这8天最低温度的中位数是．
故选C．
【点睛】本题考查求中位数．注意数据为偶数个时，中位数为按顺序排列的最中间的两个数的和的平均值．
8．A
【分析】本题考查了中位数与众数的定义，掌握中位数与众数的定义是解题的关键，中位数：把一组数据按从小到大的顺序排列，在中间的一个数字(或者两个数字的平均值)叫做这组数据的中位数；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
先把把数据由小到大排列，然后根据众数和中位数的定义求解．
【详解】解：把数据由小到大排列为：，，，，，，，
最低气温中，出现次数最多，共3次，故最低气温的众数是，
最中间的数是第4个数，是；
故选：A．
9．C
【分析】根据众数的定义分别进行求解即可．
【详解】解： ∵18出现了3次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数是18；
故选：C．
【点睛】此题考查了众数即一组数据中出现次数最多的数．
10．C
【分析】本题考查了众数的定义，掌握在一组数据中出现次数最多的数据是众数是解题的关键；根据众数的定义求解即可；
【详解】四个数据中出现的次数最多，
众数是，
故选：C．
11．B
【分析】根据方差是反映一组数据波动程度的统计量可以作出判断．
【详解】由于乙同学成绩的方差小于甲同学成绩的方差，且两人的平均成绩相等地，故乙同学的成绩更稳定．
故选：B．
【点睛】本题考查了反映一组数据波动程度的量—方差，方差越小，数据的波动程度越小，反之则波动程度越大，解答本题的关键是掌握方差这一特征．
12．D
【分析】对新数据按大小排列，然后根据平均数和中位数的定义计算即可．
【详解】解：由平均数定义可知：；
将这组数据按从小到大排列为；由于有偶数个数，取最中间两个数的平均数．
∴其中位数为．
故选：D．
【点睛】本题考查了平均数和中位数的定义．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；一组数据的中位数与这组数据的排序及数据个数有关，因此求一组数据的中位数时，先将该组数据按从小到大（或按从大到小）的顺序排列，然后根据数据的个数确定中位数：当数据个数为奇数时，则中间的一个数即为这组数据的中位数；当数据个数为偶数时，则最中间的两个数的算术平均数即为这组数据的中位数．
13．
【分析】根据中位数的定义，把40名同学按照年龄从小到大的顺序排列，求出第名与第名成员年龄的平均数就是这个小组成员年龄的中位数．
【详解】解：从小到大排列后，中间的两个人的年龄为14岁，15岁，
∴ 中位数为岁，
故答案为：．
14．2
【分析】先根据表格中的数据得出50名学生读书的册数，然后除以50即可求出平均数．
【详解】解：估计该校八年级学生4月份人均读书（册），
由此估计该校八年级学生4月份人均读书2册．
故答案为：2．
【点睛】本题考查的是加权平均数的计算方法，通过样本去估计总体，总体平均数与样本平均数近似相等．
15．2
【分析】根据平均数与中位数的定义分三种情况时，分别列出方程，进行计算即可求出答案．
【详解】解：当时，众数与平均数相等，则得到：，
解得(舍去)；
当时，众数与平均数相等，则得到：，
解得；
当时，众数与平均数相等，则得到：，
解得 (舍去)；
当时，众数与平均数相等，则得到：，
解得(舍去)．
所以x的值为2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查平均数和中位数．求一组数据的中位数时，先将该组数据按从小到大(或按从大到小)的顺序排列，然后根据数据的个数确定中位数：当数据个数为奇数时，则中间的一个数即为这组数据的中位数；当数据个数为偶数时，则最中间的两个数的算术平均数即为这组数据的中位数．同时运用分类讨论的思想解决问题．
16．1或6
【详解】∵一组数据2，3，4，5，x的方差与另一组数据5，6，7，8，9的方差相等，
∴这组数据可能是2，3，4，5，6或1，2，3，4，5，
∴x=1或6，
故答案是：1或6．
17．乙
【分析】本题主要考查了方差的意义，解题的关键是熟练掌握方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．根据方差的意义进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴成绩较稳定的是乙．
故答案为：乙．
18．（1）平均数都是：13.3，极差是：0.2，方差是：0.02；（2）小明同学的成绩较为稳定，但是他的最高成绩没有小亮高，爆发力不够，有待提高．而小亮同学爆发力还行，但是成绩不稳定，需加强
【分析】（1）根据平均数、方差的定义及算法，即可解答；
（2）根据方差的意义和各自的得分分别进行分析即可．
【详解】解：（1）小明的平均数是：；
极差是：；
小亮的平均数是：；
方差是：；
（2）小明同学的成绩较为稳定，但是他的最高成绩没有小亮高，爆发力不够，有待提高．而小亮同学爆发力还行，但是成绩不稳定，需加强．
【点睛】此题考查了读折线统计图的能力以及平均数，方差的意义．平均数平均数表示一组数据的平均程度；方差是各变量值与其均值离差平方的平均数，它是测算数值型数据离散程度的最重要的方法．
19．(1)B
(2)96
(3)83.5；82.6分
(4)120人
【分析】（1）根据统计表和统计图中的数据，可以判断哪个选项符合题意；
（2）根据题目中的数据，可以写出“”这组的数据的众数；
（3）根据题目中的数据，可以计算出中位数和平均数；
（4）根据题目中的数据，可以计算出全校1200名学生中获奖的人数．
【详解】（1）解：样本为名学生的竞赛成绩，故选项错误，不符合题意；
，则，故选项符合题意；
，故选项错误，不符合题意；
故选：B；
（2）解：”这组的数据如下：90，92，93，95，95，96，96，96，97，100．
“”这组的数据的众数是96；
（3）解：随机抽取的这名学生竞赛成绩的中位数是，
平均分是：（分）；
（4）解：（人，
答：估计全校1200名学生中获奖的有120人．
【点睛】本题考查扇形统计图、统计表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20．(1)2，25，26
(2)光明中学的学生理化生实验操作的总体水平较好，理由见解析
(3)两所学校的学生理化生实验操作的优秀率不是很高，应该加强学生的动手能力
【分析】
本题考查了众数、中位数以及平均数，掌握众数、中位数以及平均数的定义意义是解题的关键．
（1）用调查总人数为30人减去除得分为25分的人数，即可求出a的值，根据中位数和众数的定义可得b、c的值；
（2）先分别计算出两校的优秀率，根据优秀率来解答即可；
（3）用样本优秀率解答即可．
【详解】（1）解：；
清明中学学生得分为25分的人数较多，故清明中学学生得分众数为25，
；
光明中学学生得分从小到大排列，第14位和15位的得分都是26分，故光明中学学生得分中位数26，
；
故答案为：2，25，26；
（2）解：清明中学的优秀率为：；
光明中学的优秀率为：；
，
光明中学的学生理化生实验操作的总体水平较好；
（3）解：由（2）知，两所学校的学生理化生实验操作的优秀率不是很高，应该加强学生的动手能力．
21．(1)，；
(2)甲组
(3)170， 172
【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可；
（2）计算每一组的方差，根据方差越小数据越稳定进行判断即可；
（3）根据要求，身高的平均数尽可能大且方差小于，结合其余学生的身高即可做出选择．
【详解】（1）解：将这组数据按照从小到大的顺序排列为：161，162，162，164，165，165，165，166，166，167，168，168，170，172，172，175，
出现次数最多的数是165，出现了3次，即众数，
16个数据中的第8和第9个数据分别是166，166，
∴中位数，
∴，；
（2）解：甲组身高的平均数为，
甲组身高的方差为
乙组身高的平均数为，
乙组身高的方差为，
∵
∴舞台呈现效果更好的是甲组，
故答案为：甲组；
（3）解：168，168，172的平均数为
∵所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于，
∴数据的差别较小，数据才稳定，
可供选择的有：170， 172，
且选择170， 172时，平均数会增大，
故答案为：170， 172．
【点睛】本题考查了平均数、众数、中位数和方差，熟记方差的计算公式以及方差的意义：方差越小数据越稳定是解题的关键．
22．(1)见解析
(2)2，2
(3)
【分析】本题考查了数据统计与分析；
（1）统计随机抽取的25位学生平均每天的饮水量中，平均每天的饮水量为2 L、2 .5L的人数，再补全条形图；
（2）根据众数和中位数的定义分别求解即可；
（3）根据调查的25人的平均每天的饮水量乘以总人数即可解答．
【详解】（1）解：随机抽取的25位学生平均每天的饮水量中，平均每天的饮水量为2 L的有8人，平均每天的饮水量为2 .5L的有5人，补全统计图如下：

（2）解：随机抽取的25位学生平均每天的饮水量中出现次数最多的是2，故众数是2
把这组数据从小到大排列后，第13个是2，故中位数为2，
故答案为：2，2；
（3）1200名学生平均每天的饮水总量.
23．(1)见解析
(2)，推荐甲参加比赛更合适，理由见解析
【分析】此题主要考查了中位数的定义，平均数的求法以及方差的求法和方差与稳定性之间的关系：
（1）根据平均数、中位数的定义，结合图表数据，即可完成表格；
（2）根据平均数，以及方差公式求出甲六次测试成绩的方差，再根据方差越小成绩越稳定进行求解即可．
【详解】（1）解：将甲的成绩从小到大排列为：8，8，9，9，10，10，处在最中间的两个数分别为9、9，
∴甲的中位数为，
甲的平均数为；
设乙缺失的成绩为x，则，解得，
把乙的成绩从低到高排列为：7，8，9，10，10，10，处在最中间的两个数分别为9、10，
∴乙的中位数为，
填表如下：
选手 选拔成绩/环 中位数 平均数
甲 10 9 8 8 10 9 9 9
乙 10 10 8 10 7 9 9
（2）解：甲的方差为，
∵，
∴甲的方差小于乙的方差，
∴两人的平均成绩相等，说明实力相当；但甲的六次测试成绩的方差比乙小，说明甲发挥较为稳定，故推荐甲参加比赛更合适．
24．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）10.16
【分析】（1）根据方差的计算公式分别求出两组数据的方程进行比较即可；
（2）利用完全平方差公式对式子进行整理即可证得结论；
（3）根据（1）和（2）的结论进行计算即可．
【详解】（1）证明：设，，…，的平均数为，方差为；x1 a，x2 a，…，xn a的平均数为，方差为. 则：
，
，
∴
，
∴对任意实数a，x1 a，x2 a，…，xn a与x1，x2，…，xn 方差相同；
（2）证明如下：
（3）解：根据（1）的结论，将这10个数都减去170，得：
1 2 7 3 5 2 0 3 0 1
则，再由（2）得：
【点睛】此题考查了方差，用到的知识点是方差的计算及变化特点，是一个统计问题，熟练掌握方差的运算公式是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)