第四章等可能条件下的概率同步练习（含解析）

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第四章等可能条件下的概率
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．《朱仙镇木版年画》特种邮票于2008年发行，一套四枚，内容取自中国四大传统年画之一河南朱仙镇木版年画的经典故事，分别为“步下鞭”“三娘教子”“满载而归”“凤香兰”，面值均为1.2元.这些邮票除图案外，质地、规格完全相同.初中毕业之际，小明想把珍藏的这四枚邮票送给好朋友小亮两枚，于是将这些邮票背面朝上、让小亮随机抽取，则小亮抽到的邮票正好是“三娘教子”和“满载而归”的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．下列说法正确的是（ ）
A．要了解一批灯泡的使用寿命，应采用普查的方式
B．若一个游戏的中奖率是1%，则做100次这样的游戏一定会中奖
C．甲、乙两组数据的样本容量与平均数分别相同，若方差，则甲组数据比乙组数据稳定
D．“掷一枚硬币，正面朝上”是必然事件
3．在英语单词（旋转）中任意选择一个字母，字母为“”的概率与字母为“”的概率之和为（ ）
A． B． C． D．
4．已知事件：①掷一次骰子，向上一面的点数是偶数；②在13位同学中至少有2人生肖相同；③若彩票中奖率10%，那么买10张彩票一定中奖；④任意画一个三角形，其内角和为360°，其中随机事件是（　　）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
5．红旗渠是纪念碑，它记载了林县人不认命、不服输、敢于战天斗地的英雄气概．红旗渠精神主要是指自力更生、艰苦创业、团结协作、无私奉献．某学校为了弘扬红旗渠精神，决定开展教育宣讲活动．准备从甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名进行宣讲，则恰好选中甲和乙的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在边长为1的小正方形网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，若向正方形网格中投针，落在△ABC内部的概率是(　　)
A． B． C． D．
7．某十字路口的交通信号灯，每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是绿灯的可能性大小为（ ）
A． B． C． D．
8．一只盒子中有红球个，白球个，黑球个，每个球除颜色外都相同，从中任取一个球，取得白球的概率与不是白球的概率相同，那么与的关系是( )
A．， B． C． D．
9．2024年巴黎奥运会和残奥会的口号公布：“OUVRONS GRAND LES JEUX”，中文可以叫“奥运更开放”．从“OUVRONS GRAND LES JEUX”中任选一个字母，选中U的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．在一个不透明的布袋中装有4个白色玻璃球和6个黑色玻璃球，这些玻璃球除了颜色不同外，其他无任何差别，现随机从布袋中摸出一个玻璃球，则摸到黑色玻璃球的概率是（ ）．
A． B． C． D．
11．已知m为-9，-6，-5，-3，-2，2，3，5，6，9中随机取的一个数，则m4＞100的概率为（ ）
A． B． C． D．
12．甲、乙、丙三名北京冬奥会志愿者随机分配到花样滑冰、短道速滑两个项目进行服务培训，每名志愿者只分配到一个项目，每个项目至少分配一名志愿者，则甲、乙两人恰好在同一个项目培训的概率是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．分别从数﹣5，﹣2，1，3中，任取两个不同的数，则所取两数的和为正数的概率为 ．
14．某公司元旦举行跨年茶话会活动，活动中设置了抽奖环节，把写有“我”“要”“中”“大”“奖”的五张形状、大小完全相同的卡片放进不透明的纸箱里，每人连续抽取两次，抽到“中”“奖”两张卡片的即为中奖．假设抽到每张卡片的可能性一样，则小张中奖的概率是 ．
15．根据绍兴县合唱比赛的活动细则,每个参赛的合唱团在比赛时须演唱4首歌曲．爱乐合唱团已确定了2首歌曲,还需在A,B两首歌曲中确定一首,在C,D两首歌曲中确定另一首,则同时确定A,C为参赛歌曲的概率是 ．
16．一个不透明的布袋里装有3个红球，2个白球，1个绿球，它们除颜色外其余都相同．从布袋里任意摸出1个球，是红球的概率为 ．
17．从分别写有5，0，，，的五张卡片中任抽一张，卡片上的数是负整数的概率是 ．
三、解答题
18．某医药公司计划招聘一名科研人员，组织了一场“云招聘”，甲、乙两名应聘者的成绩如下表所示（单位：分）．
应聘者 专业知识 创新能力 语言表达
甲 96 92 85
乙 93 88 95
(1)根据实际需要，该公司计划将专业知识、创新能力、语言表达三项按3：5：2的比例计算最后成绩，请计算甲、乙两人的最后成绩．
(2)为了更全面地了解甲、乙两名应聘者的综合素质，公司决定安排一场加试．加试设置三项综合性任务（依次记为A、B、C），要求甲、乙二人分别从这三项任务中随机选择一项完成并提交报告．求甲、乙二人所选任务不相同的概率．
19．在第二届数字中国建设峰会召开之际，某校举行了第二届“掌握新技术，走进数时代”信息技术应用大赛，将该校八年级参加竞赛的学生成绩统计后，绘制成如下统计图表（不完整）：
成绩频数分布统计表
组别 A B C D
成绩x（分） 60≤x＜70 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x＜100
人数 10 m 16 4
请观察上面的图表，解答下列问题：
（1）统计表中m＝　 　，D组的圆心角为　 　°；
（2）D组的4名学生中，有2名男生和2名女生．从D组随机抽取2名学生参加5G体验活动，请你画出树状图或用列表法求：
①恰好1名男生和1名女生被抽取参加5G体验活动的概率；
②至少1名女生被抽取参加5G体验活动的概率．

20．6月5日是“世界环境日”，佛山市某校举行了洁美家园的演讲比赛，赛后整理参赛同学的成绩，将学生的成绩分成、、、四个等级，并制成了如下的条形统计图和扇形图（如图1、图2）．
（1）本次演讲比赛参赛同学有多少名，扇形统计图中“”部分所对应扇形的圆心角度数是多少度，补全条形统计图；
（2）学校决定从本次比赛中获得和的学生中各选出一名去参加市中学生环保演讲比赛，已知等中男生有名，等中女生有名，请你用“列表法”或“树形图法”的方法求出所学恰好是一名男生和一名女生的概率．
21．某游乐园为满足大家的游览需求，倾情打造了4条各具特色的游玩路线，如下表：
A B C D
奇幻之旅 探险之途 清新文艺之旅 快捷打卡之旅
小刘和小李都计划去游玩，她们各自在这4条路线中任意选择一条，每条线路被选择的可能性相同．请用画树状图或列表的方法，求小刘和小李恰好选择同一条路线的概率．
22．某学校射击队计划从甲、乙两名运动员中选取一名队员代表该校参加比赛，在选拔过程中，每名选手射击10次，根据甲、乙队员成绩绘制了如图1、图2所示的统计图：
并求得了乙队员10次射击成绩的平均数和方差：
环，．
(1)甲队员选拔赛成绩的众数是______环，乙队员选拔赛成绩的中位数是______环；
(2)求甲队员10次射击成绩的平均数和方差，根据甲、乙两名队员的选拔赛成绩，你推荐谁代表学校参加比赛，并说明理由；
(3)为提升射击队技战术水平，学校决定除甲、乙外，再从射击队其他5名队员（三名男生，两名女生）中随机选出两名队员同前往观看比赛，请你用画树状图或列表的方法求出恰好选出一名男生和一名女生的概率．
23．四张不透明的卡片A、B、C、D，正面分别画有等边三角形、矩形和等腰梯形、平行四边形，除正面画有不同的图形外，其它都相同，把这四张卡片洗匀后，正面向下放在桌上．
（1）从这四张卡片中任意摸出一张，求卡片上的图形是中心对称图形但不是轴对称图形的概率；
（2）从这四张卡片中任意摸出一张不放回，再从中任意摸出一张，请用列表法或画树状图的方法，求两次抽取的卡片证明图形都是中心对称图形的概率．
24．已知关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0．
（1）c＝2b﹣1时，求证：方程一定有两个实数根．
（2）有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有3个除数字外完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，乙袋中装有4个除数字外完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，从甲袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为b，从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为c，利用列表法或者树状图，求b、c的值使方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根的概率．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C D B A D C D C B
题号 11 12
答案 D C
1．C
【分析】本题主要考查列表法和树状图求概率，熟练掌握列表法是解题的关键．根据列表法把所有情况列举出来即可．
【详解】解：分别把“步下鞭”“三娘教子”“满载而归”“凤香兰”的图案的邮票分别记为A、B、C、D，画树状图如下：
由树状图可得，共有种等可能的结果，其中小亮抽到的邮票正好是“三娘教子”和“满载而归”的结果有种，
∴小亮抽到的邮票正好是“三娘教子”和“满载而归”的概率是：，
故选C．
2．C
【详解】根据全面调查与抽样调查，方差，随机事件，概率的意义逐一作出判断：
A、要了解一批灯泡的使用寿命，应采用抽样调查的方式，故本选项错误；
B、若一个游戏的中奖率是1%，则做100次这样的游戏不一定会中奖，故本选项错误；
C、若方差，则甲组数据比乙组数据稳定，说法正确，故本选项正确；
D、“掷一枚硬币，正面朝上”是随机事件，故本选项错误．
故选C．
3．D
【分析】根据概率公式得出字母为“t”的概率、字母为“o”的概率，再求和即可．
【详解】解：单词rotation中共8个字母，其中字母“t”有2个，字母“o”有2个，
所以任意选择一个字母，是“t”的概率与“o”的概率相等，都是2÷8＝，
所以＋＝，
故选：D．
【点睛】本题考查概率的计算方法，理解概率的意义是解决问题的关键．
4．B
【分析】根据随机事件、必然事件以及不可能事件的定义即可作出判断．
【详解】解：随机事件：①③；
必然事件：②；
不可能事件：④．
故选：B．
【点睛】此题主要考查事件的分类，解题的关键是熟知随机事件、必然事件以及不可能事件的定义.
5．A
【分析】根据题意画树状图表示出所有等可能的情况，再找到符合题意的情况，最后利用概率公式计算即可．
【详解】解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲、乙两名同学的结果有2种，
恰好选中甲、乙两名同学的概率为，
故选：A．
【点睛】本题考查列表法或树状图法求概率，正确的列出表格或画出树状图是解题关键．
6．D
【分析】用正方形的面积减去四个易求得三角形的面积，即可确定△ABC面积，用△ABC面积除以正方形的面积即可.
【详解】解：正方形的面积＝4×4＝16，
三角形ABC的面积＝ ＝5，
所以落在△ABC内部的概率是，
故选D．
【点睛】本题考查运用概率公式求概率，其关键在于掌握通过面积比，求概率.
7．C
【分析】用绿灯亮的时间除以三种灯亮总时间即可解答．
【详解】解：除以三种灯亮总时间是30+25+5=60秒，绿灯亮25秒，
所以绿灯的概率是：．
故选C．
【点睛】本题主要考查了概率的基本计算，掌握概率等于所求情况数与总情况数之比是解答本题的关键.
8．D
【详解】由题意知，所以
9．C
【分析】本题主要考查概率公式计算概率，首先求得总数，再求得满足条件的数量即可．
【详解】解：由于“OUVRONS GRAND LES JEUX”中有19个字母，其中U有2个，则选中U的概率为，
故选：C．
10．B
【分析】直接运用概率公式计算即可；掌握概率是所需事件结果数占所有结果数的多少成为解题的关键．
【详解】解：由题意可知：共有种可能性，其中摸到黑色的结果数有6种，则摸到黑色玻璃球的概率是．
故选B．
11．D
【详解】试题分析：根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．本题共有10个数，满足条件的有6个，则可得到所求的结果．
试题解析：∵只有（-3）4=81，（-2）4=16，34=81，24=16小于100，
∴m为-9，-6，-5，-3，-2，2，3，5，6，9中随机取的一个数，
则m4＞100的概率为：
故选D．
考点：概率公式
12．C
【分析】画树状图展示所有6种等可能的结果，找出甲、乙两人恰好在同一个项目培训的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：根据题意，画出树状图，如下：
共有6种等可能的结果，其中甲、乙两人恰好在同一个项目培训的结果数为2，
所以甲、乙两人恰好在同一个项目培训的概率： ，
故选： C．
【点睛】本题考查了概率的求法，解题的关键是利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．
13．
【详解】如图所示：
由树状图可知，共有12中可能的情况，两个数的和为正数的共有4种情况，所以所取两个数的和为正数的概率为=．故答案为．
点睛：本题主要考查的是列表法与树状图法求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．
14．
【分析】画树状图展示所有20种等可能的结果数，找出抽到“中”“奖”两张卡片的结果数，然后根据概率公式计算．
【详解】解：画树状图为：
共有20种等可能的结果数，其中抽到“中”“奖”两张卡片的结果数为2，
所以小张中奖的概率=，
故答案为：.
【点睛】本题是对概率知识的考查，熟练掌握树状图和列表法是解决本题的关键.
15．
【分析】先确定所有可能的情况数，再确定所求的情况数，然后运用概率公式求概率即可．
【详解】解：每个组曲目都2种可能，那么两组曲目共4种可能，同时确定A、C为参赛歌曲的情况只有1种情况，则同时确定A,C为参赛歌曲的概率是．
故答案为．
【点睛】本题考查了列举法确定情况数和运用概率公式求概率，掌握运用列举法确定所有情况数是解答本题的关键．
16．
【分析】本题考查了概率公式：概率＝所求情况数与总情况数之比．熟记概率公式是解题的关键．本题中直接由概率公式求解即可．
【详解】解：一个不透明的袋子里装有3个红球，2个白球，1个绿球，
从袋中任意摸出一个球是红球的概率为，
故答案为：．
17．/
【分析】本题主要考查了负整数的概念，根据概率公式计算概率，先根据负整数的概率得出5张卡片中，负整数有 1张卡，然后根据概率公式计算概率即可．
【详解】解：5张卡片中，负整数只有有 1张卡，
∴从五张卡片中任抽一张，卡片上的数是负整数的概率是．
故答案为：．
18．(1)甲的最后成绩为91.8分，乙的最后成绩为90.9分
(2)
【分析】（1）根据加权平均数的定义列式计算即可；
（2）列表得出共有9种等可能的结果，其中甲、乙二人所选任务不相同的结果有6种，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）甲的最后成绩为（96×3+92×5+85×2）÷10＝91.8（分），
乙的最后成绩为（93×3+88×5+95×2）÷10＝90.9（分）．
（2）甲、乙二人所选任务的结果列表如下：
A B C
A （A，A） （A，B） （A，C）
B （B，A） （B，B） （B，C）
C （C，A） （C，B） （C，C）
由列表可知，共有9种等可能的结果，其中甲、乙二人所选任务不相同的结果有6种，
∴甲、乙二人所选任务不相同的概率为．
【点睛】本题考查列表法与树状图法求概率以及加权平均数，解答本题的关键是明确题意，用表格列出所有等可能结果．
19．（1）20，28.8；（2）图见解析，①；②．
【分析】（1）先根据A组人数及其所占百分比求出总人数，由各组人数之和等于总人数求出B组人数m的值，用360°乘以D组人数所占比例可得；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．
【详解】（1）∵被调查的总人数为10÷20%＝50，
∴m＝50﹣（10+16+4）＝20，
∴D组的圆心角是360°×＝28.8°，
故答案为：20，28.8；
（2）①设男同学为A、B；女学生为1、2，可能出现的所有结果列表如下：
A B 1 2
A / （B，A） （1，A） （2，A）
B （A，B） / （1，B） （2，B）
1 （A，1） （B，1） / （2，1）
2 （A，2） （B，2） （1，2） /
共有 12 种可能的结果，且每种的可能性相同，其中刚好抽到一男一女的结果有8种，
∴恰好1名男生和1名女生被抽取参加5G体验活动的概率=＝；
②∵至少1名女生被抽取参加5G体验活动的有10种结果，
∴至少1名女生被抽取参加5G体验活动的概率=＝．
【点睛】本题主要考查频数分布统计表，扇形统计图以及等可能事件的概率公式，用表格表示出等可能事件的所有结果，是解题的关键．
20．（1）20人；90°；见解析；（2）
【分析】（1）根据等级为A的人数除以所占的百分比求出总人数，进而求出等级B的人数，补全条形统计图即可；
（2）列表得出所有等可能的情况数，找出一男一女的情况数，即可求出所求的概率．
【详解】解：（1）根据题意得：3÷15%=20（人），
故等级B的人数为20-（3+8+4）=5（人），
占的圆心角度数为；
补全统计图，如图所示；
（2）列表如下：
男 男 女 女 女
男 （男，男） （男，男） （女，男） （女，男） （女，男）
男 （男，男） （男，男） （女，男） （女，男） （女，男）
女 （男，女） （男，女） （女，女） （女，女） （女，女）
所有等可能的结果有种，其中恰好是一名男生和一名女生的情况有种，
则(恰好是一名男生和一名女生)．
【点睛】此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及列表法与树状图法，弄清题意是解本题的关键．
21．
【分析】本题考查的是树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
画树状图，共有种等可能性结果，其中小刘和小李恰好选择同一条路线的可能结果有4种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图如下：
共有种等可能性结果，其中小刘和小李恰好选择同一条路线的可能结果有4种，
∴小刘和小李恰好选择同一条路线的概率为
22．(1)7与8，6.5
(2)甲的成绩更好更稳定，理由见解析
(3)图表见解析，
【分析】（1）根据众数和中位数的定义即可得出答案；
（2）根据平均数的计算公式和方差公式先求出甲的平均数和方差，再与乙队的方差进行比较，即可得出答案；
（3）根据题意列出表格得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【详解】（1）解：甲的成绩中，7环与8环都出现了3次，次数最多，故众数为7环与8环；
把乙队员选拔赛成绩按从小到大的顺序排列，中位数是第5、第6个数的平均数，
则乙队员选拔赛成绩的中位数是=6.5（环）；
故答案为：7与8，6.5；
（2）解：甲队的平均数是：=8（环），
甲队的方差是：×[（6-8）2+3×（7-8）2+3×（8-8）2+（9-8）2+2×（10-8）2]=1.6；
∵1.6＜3.4，
∴甲队代表学校参加比赛；
（3）解：列表如下：
男1 男2 男3 女1 女2
男1 （男1，男2） （男1，男3） （男1，女1） （男1，女2）
男2 （男2，男1） （男2，男3） （男2，女1） （男2，女2）
男3 （男3，男1） （男3，男2） （男3，女1） （男3，女2）
女1 （女1，男1） （女1，男2） （女1，男3） （女1，女2）
女2 （女2，男1） （女2，男2） （女2，男3） （女2，女1）
由表格可知，共有20种等可能的结果，恰好选出一名男生和一名女生的结果有12种，
则恰好选出一名男生和一名女生的概率是．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23．（1）（2）
【分析】（1）找出四张卡片中是中心对称图形但不是轴对称图形的情况数，即可求出所求的概率；
（2）列表得出所有等可能的情况数，找出两次都为中心对称图形的情况数，即可求出所求的概率．
【详解】（1）从四张卡片中任意摸出一张，卡片上的图形是中心对称图形但不是轴对称图形的概率为；
（2）列表如下：
所有等可能的情况数有12种，其中两次都为中心对称图形的有2种情况，分别为（B，D），（D，B），则两次都为中心对称图形的概率为=．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
24．（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）把c＝2b﹣1代入x2+bx+c＝0．利用一元二次方程根的判别式即可得答案；
（2）根据方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，利用判别式可得b与c的关系，画出树状图，得出所有可能情况数及符合b与c的关系的情况数，利用概率公式即可得答案．
【详解】（1）∵c＝2b﹣1，
∴x2+bx+c＝x2+bx+2b=0．
∵==≥0,
∴方程一定有两个实数根．
（2）∵方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，
∴=0，
∴，
画树状图如下：
由树状图可知：所有可能情况数为12种，符合的情况数为2种，
∴b、c的值使方程x2+bx+c＝0有两个相等的实数根的概率为=．
【点睛】本题考下一元二次方程的根的判别式及树状图法或列表法求概率，对于一元二次方程（），根的判别式为△=，当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，当△=0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程没有实数根；熟练掌握根的判别式及概率公式是解题关键．
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