第五章二次函数同步练习（含解析）

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第五章二次函数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，抛物线与x轴相交于点，，与y轴相交于点C，甲、乙、丙、丁四名同学在一起探究该函数的图象与性质，下面是他们得出的结论：①对称轴为直线；②当时，；③；④；⑤．其中正确的个数是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知（﹣1，y1），（﹣2，y2），（-3，y3）是抛物线上的点，则（　　）
A．y3＜y2＜y1 B．y3＜y1＜y2 C．y1＜y2＜y3 D．y1＜y3＜y2
3．在平面直角坐标系中，函数的图象经变换后得到函数的图象，则这个变换可以是（ ）
A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位
C．向左平移4个单位 D．向右平移4个单位
4．如图，点C是以AB为直径的圆上一个动点（不与点A、B重合），且AC+BC=12．若AB=m（m为整数），则整数m的值的个数为（ ）

A．0个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD在第一象限，，，且轴，直线沿x轴正方向平移，在平移过程中，矩形ABCD被直线所扫过部分的面积为S，直线在x轴上平移的距离为t，可则S与t对应关系的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
6．二次函数的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论： ①； ②；③；④，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，如图所示，下列结论：①；②方程的两个根是；③；④当时，x的取值范围是；⑤当时，y随x增大而增大，其中结论正确的个数是（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．对于抛物线，下列判断不正确的是（ ）
A．抛物线的开口向上 B．抛物线的顶点坐标为
C．对称轴为直线 D．若随的增大而增大，则
9．将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移1个单位后得到新的抛物线，则新抛物线的解析式是
A． B．
C． D．
10．如图，曲线是抛物线的一部分（其中是抛物线与轴的交点，是顶点），曲线是双曲线的一部分．曲线与组成图形．由点开始不断重复图形形成一组“波浪线”．若点，在该“波浪线”上，则的最大值为（ ）
A．5 B．6 C．2020 D．2021
11．若点，在抛物线上，则（ ）
A． B． C． D．不能确定
12．二次函数的图像与坐标轴的交点个数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题
13．已知点A（4，），B（1，），C（﹣3，）在函数（m为常数）的图象上，则，，的大小关系是 （由小到大排列）
14．定义为函数的特征数，下面给出特征数为的函数的一些结论：
①当时，函数图象的顶点坐标是；
②当时，函数图象截x轴所得的线段长度大于；
③当时，函数在时，y随x的增大而减小；
④当时，函数图象经过同一个点．
其中正确的结论是 ．（填序号）
15．抛物线的顶点坐标为 ．
16．已知拋物线经过点，那么点A关于对称轴对称的点B坐标为 ．
17．已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，下列四个结论：
抛物线的开口向下；
抛物线的对称轴为直线；
点是抛物线上的一点，若的面积是，则满足条件的点的个数是；
点，在抛物线上，若时，．
其中正确的是 （填写序号）．
三、解答题
18．李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售，这种水果每箱10千克，批发商规定：整箱购买，一箱起售，每人一天购买不超过10箱；当购买1箱时，批发价为8.2元/千克，每多购买1箱，批发价每千克降低0.2元．根据李大爷的销售经验，这种水果售价为12元/千克时，每天可销售1箱；售价每千克降低0.5元，每天可多销售1箱．
(1)请求出这种水果批发价y（元/千克）与购进数量x（箱）之间的函数关系式；
(2)若每天购进的这种水果需当天全部售完，请你计算，李大爷每天应购进这种水果多少箱，才能使每天所获利润最大？最大利润是多少？
19．已知二次函数．
(1)二次函数图像的顶点坐标是 ，与x轴的交点坐标为 ，与y轴的交点坐标为 ．
(2)画出函数图像；
(3)观察图像，回答下列问题：
①当x 时，y随x的增大而增大．
②当时，x的取值范围是 ．
20．年月日，甘肃发生级地震．某商场为了将利润捐献给灾区，特准备以元的价格购进一种商品，对外试销售过程中发现，这种商品每天的销量（件）与每件的售价（元）满足以下表格中的一次函数关系：
（元） … …
（件） … 6 …
(1)求关于的函数解析式；
(2)求商场卖这种商品每天的销售利润与每件的售价间的函数关系式；
(3)如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？
21．消毒洗手液与百姓生活息息相关，某批发厂家的消毒洗手液很畅销．已知该消毒洗手液的成本价为每桶20元，经市场调查，每天洗手液的销售量y（桶）与销售单价x（元/桶）之间满足一次函数关系，部分数据记录如下表：
x（元/桶） 20 21 22 …
y（桶） 200 195 190 …
(1)求出y与x之间的函数关系式：（不需要写自变量x的取值范围）
(2)若该批发厂家每天想从这批消毒洗手液的销售中获利875元，又想尽量给顾客实惠，问这批消毒洗手液每桶的售价为多少元？
(3)该批发厂家上级主管部门规定，消毒洗手液的每桶利润不允许高于进价的40%，设这种消毒洗手液每天的总利润为w（元），那么售价定为多少元时该批发厂家可获得的利润最大？最大利润是多少元？
22．如图1是某景区的绿荫大道，为吸引游客，准备在门口安装“彩虹光带”．如图2，彩虹大道门口上半部分近似为抛物线，是地面，四边形是矩形，高，路宽，，点O，D，C三点在同一直线上，点为顶点，距地面为4m．以点O为原点，OC所在直线为x轴建立平面直角坐标系．若准备在、、三边安装“彩虹光带”，点，在抛物线上，点M，N在AB上，，光带下端G，H均低于边．
(1)求该抛物线的函数表达式．
(2)求三根“彩虹光带”、、的长度之和的最大值，并写出此时的长．
23．如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、.矩形的顶点、分别在轴、轴的正半轴上，且，.抛物线经过、两点，且顶点在边上，对称轴交于点.
（1）求抛物线的解析式.
（2）猜想的形状并加以证明.
（3）点在对称轴右侧的抛物线上，点在轴上，请问是否存在以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.
24．已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：无论k取何值，方程总有两个实数根；
（2）若二次函数的图象与轴两个交点的横坐标均为整数，且k为整数，求k的值．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C A C A C D D A B
题号 11 12
答案 A B
1．C
【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数与不等式之间的关系，二次函数图象的性质等等，由抛物线与x轴相交于点，得到抛物线对称轴为直线，，据此可判断①⑤；进而得到，即可判断③；根据函数图象即可判断②；根据当时，，即可判断④．
【详解】解：∵抛物线与x轴相交于点，，
∴抛物线对称轴为直线，，故①⑤说法正确；
∴，
∴，即，故③说法错误；
由函数图象可知当时，或，故②说法错误；
∵当时，，
∴，
∴，
∴，故④说法正确；
故选：C．
2．C
【分析】根据二次函数的增减性即可得．
【详解】对于二次函数，
当时，y随x的增大而减小，
点在此抛物线上，且，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的增减性，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
3．A
【分析】根据变换前后的两抛物线的顶点坐标找变换规律．
【详解】解：，
顶点坐标为(1，-8)，
，
顶点坐标为，
所以将向左平移2个单位长度
得到，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了二次函数图像与几何变换，熟练掌握平移的规律是解题关键．
4．C
【分析】设AC=x，则BC=12-x，由题意易得∠C=90°，然后利用勾股定理可得，然后利用二次函数的性质进行求解即可．
【详解】解：∵AB是直径，
∴∠=90°，
∵AC+BC=12，
设AC=x，则BC=12-x，
∴在Rt△ABC中，，即，
化简得：，
∵C是圆上的动点，且不与A、B重合，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴m取得整数为9、10、11；
故选C．
【点睛】本题主要考查圆的基本性质及二次函数的性质，熟练掌握圆的基本性质及二次函数的性质是解题的关键．
5．A
【分析】主要分0≤t≤1时、1＜t≤4时、4＜t≤5时三种情况来进行讨论，得出函数关系式，再进行选择即可
【详解】设平移后的函数关系式为：y=2x+b，
∵矩形ABCD在第一象限，，，
∴AB=2，BC=4，，，
将代入，得b=﹣2，
∴当y=2x向右平移经过点B时，函数关系式为y=2x-2，
令y=0，则x=1，即向右平移了1个单位，
故当0≤t≤1时，
此时，开口向上；
将代入，得b=﹣8，
∴当y=2x向右平移经过点D时，函数关系式为y=2x-8，
令y=0，则x=4，即向右平移了4个单位，
故当1＜t≤4时，，
此时，图像是一条线段；
将代入，得b=﹣10，
∴当y=2x向右平移经过点C时，函数关系式为y=2x-10，
令y=0，则x=5，即向右平移了5个单位，
故当4＜t≤5时，，
此时，开口向下；
故选：A
【点睛】此题是一个信息题目，根据图象信息找到所需要的数量关系，所以解决本题的关键是读懂图意，得到相应的函数关系式．
6．C
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，根据对称轴及抛物线与坐标轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．①取，即可得的符号，②根据图象与y轴交点坐标得出即可；③根据图象与x轴的交点的个数，解根的判别式与0的大小；④对变形解答即可．
【详解】解：①由图象知，当时，，即故此选项正确；
②∵图象与y轴交点坐标在y轴上方，但在的下方，
∴，故此选项错误；
③图象与x轴有2个交点，依据根的判别式可知，故此选项正确；
④∵对称轴方程，
∴；
∵，
∴，
∴，故此选项正确；
综上所述，正确的说法有①、③、④，共有3个．
故选：C．
7．D
【分析】利用二次函数的图象和所给的条件解题，通过对称轴直线，可得到a、b的关系，再结合与x轴的一个交点坐标为，可得另一个交点坐标，再结合函数图象解决问题即可．
【详解】解：由图象可知，图象与x轴有两个交点，
∴，即，故①正确；
∵对称轴为直线，
∵与x轴的一个交点坐标为，
∴与x轴的另一个交点坐标为，
∴，故②正确；
∴，即，故③正确；
由函数图象可得，当时，x的取值范围是；故④正确．
由图象可知，当时，y随x增大先增大后减小，故⑤错误．
故选；D．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练理解掌握相应性质，并做到数形结合是解决此问题的关键．
8．D
【分析】根据抛物线的解析式，由a的值可得到开口方向，由顶点式可以得到顶点坐标和对称轴及其函数增减性．
【详解】解：∵在抛物线y=3（x+2）2-1中a=3＞0，
∴抛物线的开口向上，故选项A正确，不符合题意；
顶点坐标是（-2，-1），则对称轴为直线x=-2，故选项B、C正确，不符合题意；
∵对称轴为x=-2，开口向上，
∴当x＞-2时，y随着x的增大而增大，故选项D不正确，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次根式的性质．
9．A
【详解】试题分析：根据平移法则，先向右平移2个单位，得到，再向上平移1个单位得到
，选A
考点：抛物线的平移
点评：难度小，中考常见的基础题目，考查图像的平移．
10．B
【分析】根据题意可以求得点A、点B、点C的坐标和k的值，然后根据图象可知每5个单位长度为一个循环，从而可以求得m的值和n的最大值．
【详解】解：∵
∴当时，
∴点A的坐标为（0,1），点B的坐标为（1,5），
∵点B（1,5）在的图象上
∴
∵点C在的图象上，点C的横坐标为5
∴点C的纵坐标是1
∴点C的坐标为（5,1）
∵
∴P（2020，m）在抛物线的图象上
∵点Q(x，n)在该＂波浪线＂上
∴n的最大值是5，故m+n的最大值为6
故选：B．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征以及二次函数的性质，根据二次函数顶点式得出最大值是解题关键．
11．A
【分析】根据二次函数解析式判断出抛物线的开口方向及增减性即可．
【详解】解：由可得：抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向下，
在对称轴右侧，y随x的增大而减小，
，
．
故选A．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，解题的关键是根据抛物线解析式得出开口方向及增减性．
12．B
【分析】计算的函数值得到抛物线与y轴的交点坐标，再判断方程的根的情况，从而可判断抛物线与坐标轴的交点个数．
【详解】解：当时，，
∴抛物线与y轴的交点坐标为，
当时，，
此时，，
∴抛物线与x轴的没有交点，
∴二次函数的图像与坐标轴的交点个数为1．
故选：B．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数是常数，与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程；决定抛物线与x轴的交点个数．
13．y3＜y1＜y2
【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向下，对称轴是直线x＝2，根据x＜2时，y随x的增大而增大，即可得出答案．
【详解】解：∵（m为常数），
∴图象的开口向下，对称轴是直线x＝2，
∵A（4，y1）关于直线x＝2的对称点是（0，y1），且 3＜0＜1，
∴y3＜y1＜y2
故答案为y3＜y1＜y2．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的对称性和增减性是解决本题的关键．
14．①②④
【分析】①把代入，求得，求得解析式，利用顶点坐标公式解答即可；②令函数值为0，求得与轴交点坐标，利用两点间距离公式解决问题；③首先求得对称轴，利用二次函数的性质解答即可；④根据特征数的特点，化简，令，得出的值，从而得出定点坐标，即可验证．
【详解】解：因为函数的特征数为；
①当时，，顶点坐标是；此结论正确；
②当时，令，有，解得：，，
，所以当时，函数图象截轴所得的线段长度大于，此结论正确；
③当时，是一个开口向下的抛物线，其对称轴是：直线，在对称轴的右边随的增大而减小．因为当时，，即对称轴在右边，因此函数在右边先递增到对称轴位置，再递减，此结论错误；
④，令，解得：或，分别代入表达式，得或，则当时，函数必经过或两个定点，此结论正确．
根据上面的分析，①②④都是正确的，③是错误的；
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查二次函数的性质，顶点坐标，两点间的距离公式，以及二次函数图象上点的坐标特征，求二次函数所经过的点，有一定综合性，难度一般．
15．（0，6）
【分析】根据抛物线的顶点式，即可求出顶点坐标．
【详解】抛物线的顶点坐标为（0，6），
故答案为：（0，6）．
【点睛】此题主要考查二次函数的顶点坐标，解题的关键是熟知的性质．
16．
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
由题意知，对称轴为直线，则点A关于对称轴对称的点B坐标为．
【详解】解：∵，
∴对称轴为直线，
∴点A关于对称轴对称的点B坐标为，
故答案为：．
17．①③
【分析】将抛物线解析式化为顶点式可得抛物线开口方向及对称轴，从而判断①②，令y=0求出点A，B坐标，从而可得点D纵坐标，进而判断③，由抛物线开口方向及对称轴可判断④．
【详解】解：，
抛物线开口向下，对称轴为直线，正确，错误，
令，
解得，，
点坐标为，点坐标为，
，
当的面积是时，点的纵坐标为或，
抛物线开口向下，顶点坐标为，
满足条件的点个数为，正确．
抛物线开口向下，对称轴为直线，
时，，错误．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数图象与系数的关系．
18．(1)且x为整数．
(2)李大爷每天应购进这种水果7箱，获得的利润最大，最大利润是140元．
【分析】（1）根据题意列出，得到结果．
（2）根据销售利润=销售量（售价-进价），利用（1）结果，列出销售利润w与x的函数关系式，即可求出最大利润．
【详解】（1）解：由题意得
∴批发价y与购进数量x之间的函数关系式是，且x为整数．
（2）解：设李大爷销售这种水果每天获得的利润为w元
则
∵
∴抛物线开口向下
∵对称轴是直线
∴当时，w的值随x值的增大而增大
∵x为正整数，∴此时，当时，
当时，w的值随x值的增大而减小
∵x为正整数，∴此时，当时，
∵
∴李大爷每天应购进这种水果7箱，获得的利润最大，最大利润是140元．
【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，最大销售利润的问题常利用二次函数的增减性来解答，解题关键是理解题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案进行解决．
19．(1)；或；
(2)见解析
(3)①；②或
【分析】（1）利用配方法确定二次函数的顶点坐标；抛物线的解析式中，令，可求得与y轴交点坐标；令，可求得与x轴的交点坐标；
（2）根据（1）及函数对称性，用五点法画出函数图像即可；
（3）结合图像得出结论．
【详解】（1）解：∵，
∴二次函数图像的顶点坐标是；
令，则，
解得，，
∴抛物线与x轴的交点坐标为或；
令，则，
∴抛物线与y轴的交点为．
故答案为：；或；．
（2）解：列表：
x … 0 1 2 3 4 …
… 3 0 0 3 …
描点并画出函数图象，如图所示：
（3）解：观察图象，①当时，y随x的增大而增大；
②时，x的取值范围是或，
故答案为：①；②或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质与图像，还考查了根据对称轴了解二次函数的增减性及观察图像回答问题的能力．
20．(1)
(2)
(3)每件商品的售价定为元最合适，最大销售利润为元
【分析】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，二次函数的最值．熟练掌握一次函数的应用，二次函数的应用，二次函数的最值是解题的关键．
（1）待定系数法求解析式即可；
（2）依题意得，；
（3）由题意知，，然后求解作答即可．
【详解】（1）解：设关于的函数解析式为，
将代入得，，
解得，，
∴；
（2）解：依题意得，，
∴；
（3）解：由题意知，，
∵，
∴当时，的值最大，最大值为，
∴每件商品的售价定为元最合适，最大销售利润为元．
21．(1)
(2)这批消毒洗手液每瓶的售价为25元
(3)售价定为28元时该批发厂家可获得的利润最大，最大利润是1280元
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据利润单桶利润数量列出方程求解即可；
（3）根据利润单桶利润数量列出w关于x的二次函数关系，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为，
将代入得，，
解得：，
∴与之间的函数关系式为．
（2）解： 由题意得：，
∵，
∴，
整理得：，
解得：，，
∵尽量给顾客实惠，
∴．
答：这批消毒洗手液每瓶的售价为25元．
（3）解：由题意得
，
∵每瓶利润不允许高于进价的40%，
∴，
解得：，
∵
∴当时，总利润为最大，此时．
∴售价定为28元时该批发厂家可获得的利润最大，最大利润是1280元．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，求一次函数解析式，正确理解题意列出对应的式子和函数关系式是解题的关键．
22．(1)
(2)三根“彩虹光带”、、的长度之和的最大值为，此时的长为
【分析】本题考查了待定系数法，二次函数的应用；
（1）由题意可得，，设抛物线的函数表达式为，即可求解；
（2）设，由二次函数的性质得，，求出，求二次函数的最值，即可求解；
掌握待定系数法，能表示出是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意得
，，
可设抛物线的函数表达式为，
，
解得：，
，
抛物线的函数表达式为；
（2）解：设，
，
，
，
解得：，
，
光带下端G，H均低于边，
，
，
，
当时，的最大值为，
；
答：三根“彩虹光带”、、的长度之和的最大值为，此时的长为．
23．（1）；（2）为等腰直角三角形.（3）存在. 或
【分析】（1）由条件可求得抛物线的顶点坐标及A点坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）由B、D、E的坐标可分别求得DE、BD和BE的长，再利用勾股定理的逆定理可进行判断；
（3）由B、E的坐标可先求得直线BE的解析式，则可求得F点的坐标，当AF为边时，则有FM∥AN且FM=AN，则可求得M点的纵坐标，代入抛物线解析式可求得M点坐标；当AF为对角线时，由A、F的坐标可求得平行四边形的对称中心，可设出M点坐标，则可表示出N点坐标，再由N点在x轴上可得到关于M点坐标的方程，可求得M点坐标．
【详解】（1）由题意可知，，.
∵抛物线经过、两点，且顶点在边上，
∴抛物线顶点坐标为，
∴可设抛物线解析式为.
把点坐标代入可得，解得，
∴抛物线解析式为，即.
（2）△EDB为等腰直角三角形.
证明：由题意可知，且，，
∴，，，
∴，且，
∴，
∴△EDB为等腰直角三角形.
（3）存在.理由如下：
设直线解析式为，
把、坐标代入，可得，解得，
∴直线解析式为，
当时，，
∴.
①当为平行四边形的一边时，则到轴的距离与到轴的距离相等，即到轴的距离为2，
∴点的纵坐标为2或-2.
在中，令可得，解得.
∵点在抛物线对称轴右侧，
∴，
∴，
∴点坐标为；
在中，令可得，解得.
∵点在抛物线对称轴右侧，
∴，∴，
∴点坐标为；
②当为平行四边形的对角线时，
∵，，
∴线段的中点坐标为，即平行四边形的对称中心的坐标为.设，，则，解得.
∵点在抛物线对称轴右侧，
∴，
∴，
∴点坐标为.
综上可知存在满足条件的点，其坐标为或
【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及矩形的性质、待定系数法、勾股定理及其逆定理、平行四边形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中求得抛物线的顶点坐标是解题的关键，注意抛物线顶点式的应用，在（2）中求得△EDB各边的长度是解题的关键，在（3）中确定出M点的纵坐标是解题的关键，注意分类讨论．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
24．(1)、证明过程见解析；(2)、±1．
【分析】(1)、首先得出方程的根的判别式，然后利用配方法得出非负数，从而得出答案；(2)、根据公式法得出方程的解，然后根据解为整数得出k的值.
【详解】(1)、△=（3k+1）2-4k×3=（3k-1）2 ∵（3k-1）2≥0 ∴△≥0，
∴无论k取何值，方程总有两个实数根；
(2)、kx2+（3k+1）x+3=0（k≠0） 解得：x=， x1=，x2=3，
所以二次函数y=kx2+（3k+1）x+3的图象与x轴两个交点的横坐标分别为和3，
根据题意得为整数， 所以整数k为±1．
考点：二次函数的性质
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