4.3等可能条件下的概率（二）同步练习（含解析）

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4.3等可能条件下的概率（二）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“美”、“丽”、“油”、“城”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀．从中任取一球，不放回，再从中任取一球，取出的两个球上的汉字能组成“美城”的概率（ ）
A． B． C． D．
2．2023年10月8日，杭州亚运会圆满闭幕．杭州亚运会吉祥物是三个小可爱，分别是琮琮、宸宸和莲莲将三张正面分别印有“宸宸”，“琮琮”和“莲莲”3个吉祥物图案的卡片（卡片的形状，大小质地均相同）背面朝上，洗匀，若从中任意抽取1张，抽得卡片上的图案恰好为“莲莲”的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．现有五张形状、大小、质地都相同的卡片，这些卡片上面分别画有下列图形：①正方形；②等边三角形；③平行四边形；④等腰三角形；⑤圆．将卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，抽出的纸片正面图形是轴对称图形，但不是中心对称图形的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．小明同学数学月考有两道单选题不会做，两道单选题都含A，B，C，D四个选项，如果他瞎猜这两道题，恰好全部猜对的概率是（ ）．
A． B． C． D．
5．将标有“最”“美”“安”“徽”的四个小球装在一个不透明的口袋中（每个小球上仅标一个汉字），这些小球除所标汉字不同外，其余均相同．从中随机摸出两个球，则摸到的球上的汉字可以组成“安徽”的概率是( )
A． B． C． D．
6．某超市为了吸引顾客，设计了一种促销活动：在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球，球上分别标有“0元”“10元”“20元”“30元”的字样．规定：顾客在本超市一次性消费满200元，就可以在箱子里先后摸出2个小球(第一次摸出后不放回)．某顾客刚好消费200元，则该顾客所获得购物券的金额不低于30元的概率是(　　)
A． B． C． D．
7．同时转动如图所示的两个转盘，则转盘停止转动后，指针同时落在红色区域的概率为（　　）
A． B． C． D．
8．已知互不相等的9个数的中位数为5，在4，5，6三个正整数中随机抽取两个数，补充到原来的数据中，则使这11个数的中位数保持不变的概率为（　　）
A． B． C． D．1
9．从背面朝上的分别画有等边三角形、平行四边形、矩形、菱形的四张形状、大小相同的卡片中，随机抽取一张，则所抽得的图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率为（ ）
A． B． C． D．1
10．在一个不透明的袋子装有4个红球，8个白球，它们除颜色外完全相同，从袋中任意摸出一个球为白球的概率为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，有一些写有号码的卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上，从中任意摸出一张，摸到1号卡片的概率是（　　）
A． B． C． D．
12．动物园准备了100张刮刮乐，打算送给开幕当日的前100名游客每人一张，其中可刮中奖品的刮刮乐共有32张，下表为奖品的种类及数量：
奖品 北极熊玩偶 狮子玩偶 造型马克杯 纪念钥匙圈
数量/个 1 1 10 20
若小柏为开幕当日的第一名游客，且每张刮刮乐被小柏拿到的机会相等，则小柏刮中玩偶的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．小明和小强本学期在延时服务选课中都喜欢篮球、乒乓球、电脑编程、兴趣数学这四门课，但是因时间冲突，每人只能选这4门课中的一种，假设每门课被选中的机会均等，那么小明和小强选中同一门课的概率是 ．
14．一个口袋中装有个白球，个红球，若干黄球，摇匀后随机从中摸一个球是黄球的概率是，则从中摸一个球是红色的概率是 ．
15．从1、2、3、4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为a，c，则关于x的一元二次方程ax2+6x+c=0没有实数根的概率为 ．
16．小红、小明在一起做游戏，需要确定做游戏的先后顺序，他们约定用“剪刀、布、锤子”的方式确定．在一个回合当中两个人都出“锤子”的概率是 ．
17．为了弘扬雷锋精神，某校组织“学雷锋，争做新时代好少年”的宣传活动，根据活动要求，每班需要2名宣传员，某班班主任决定从甲、乙、丙、丁4名同学中随机选取2名同学作为宣传员，那么甲、乙同学同被选为宣传员的概率为 ．
三、解答题
18．某校有名女生和名男生参加学校青少年禁毒知识演讲决赛，采用抽签的方式决定出场顺序．
(1)第一个出场为男生的概率是______．
(2)用列表或画树状图求前两个出场都是女生的概率．
19．为响应我市中考体育测试改革，我市第十五中学组织了一次全校名学生参加的“中考体育模拟”测试，测试结束后发现所有参赛学生的成绩均不低于分，为了更好地了解本次模拟测试的成绩分布情况，学校随机抽取了其中名学生的成绩（成绩取整数，总分分）作为样本进行整理，得到如下两个不完整的统计图表：
成绩分 频数 频率
请根据所给的信息，解答下列问题：
(1)______，______；
(2)请补全频数分布直方图；
(3)这次比赛成绩的中位数会落在______分数段；
(4)若成绩在分以上（包括分）的为“优”等，则该校参加这次模拟测试的名学生中成绩“优”等的概率为多少？
20．近期沈阳鸡架被推上热搜，成为了沈阳城的“特色食品”，为了迎接“新年购物节”，方便外地游客品尝沈阳鸡架，政府临时创建了鸡架美食广场，里面有最有名的老迟家（A）、玖福记（B）、老四季（C）三家鸡架，小明和小颖每人想随机选一个品尝（选择每种鸡架的机会是相同的），请用树状图或列表法求至少有一人选到老四季（C）鸡架的概率．
21．“石头、剪刀、布”是一个广为流传的游戏，游戏时，甲乙双方每次做“石头”、“剪刀”、“布”三种手势中的一种，规定：“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”，同种手势不分胜负．假定甲乙两人每次都是等可能地做这三种手势，那么一次比赛时两人做不同种手势的概率是多少？
22．小明将四张正面分别标有数字，，，的卡片（除数字外其他都相同）置于暗箱内摇匀，从中随机抽取两张，求所抽卡片上的数字至少有一个是方程的解的概率．
23．张老师在带领同学们进行折角的探究活动中，按步骤进行了折纸：
①对折矩形，使与重合，得到折痕，并把纸展平．
②再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段．
③可得到．老师请同学们讨论说明理由．
三个同学在一起讨论得到各自的方法．小彤说：连接，可证为等边三角形，从而得证；小如说：利用平行线分线段成比例性质，可证，再结合三角形全等的知识可证；小远说：利用的边角关系可证．
(1)在考试过程中，小明和小峰这三种方法他们都会，都随机选取了这三种方法中的一种，请用列表或画树状图的方法求他俩选择了同一种方法的概率．
(2)请你选择其中一个同学的方法或者用其他方法说明理由．
24．聚焦“双减”政策落地，某学校推出了如下五类特色数学作业：A：测量；B：七巧板；C：调查活动；D：无字证明；E：数学园地设计．拟了解学生最喜爱的特色数学作业，现随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：

(1)补全统计图1（要求在条形图上方注明人数）；
(2)图2中扇形E的圆心角度数为 度；
(3)甲、乙两同学决定从A，B，C，D四类特色数学作业中各选一类，求甲、乙两同学选中同一类特色数学作业的概率．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B B D D C A D B C
题号 11 12
答案 B D
1．C
【分析】画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出取出的两个球上的汉字能组成“美城”的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果数，其中取出的两个球上的汉字能组成“美城”的结果数为2，
所以取出的两个球上的汉字能组成“美城”的概率，
故选：C．
【点睛】本题考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
2．B
【分析】本题考查了概率公式，概率=所求情况数与总情况数之比．
直接由概率公式即可求解．
【详解】解：从3个吉祥物图案的卡片中任意抽取1张，抽得卡片上的图案恰好为“莲莲”的概率是．
故选：B．
3．B
【详解】分析：由①正方形;②等边三角形;③平行四边形;④等腰三角形;⑤圆,其中是轴对称图形,但不是中心对称图形的有:②等边三角形,④等腰三角形;直接利用概率公式求解即可求得答案.
详解：因为有五张形状、大小、质地都相同的卡片,这些卡片上面分别画有下列图形:①正方形;②等边三角形;③平行四边形;④等腰三角形;⑤圆,其中是轴对称图形,但不是中心对称图形的有:②等边三角形,④等腰三角形;
从中随机抽取一张,抽出的纸片正面图形是轴对称图形,但不是中心对称图形的概率是:.
故选B.
点睛：此题考查概率的求法:如果一个事件有n种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件A出现m种结果,那么事件A的概率.
4．D
【分析】通过列表的方法把所有可能性列出来，其中只有一种情况是正确的，即可求出概率．
【详解】解：列表如下：
第一次 第二次 A B C D
A AA BA CA DA
B AB BB CB DB
C AC BC CC DC
D AD BD CD DA
其中只有一种组合是正确的，
∴全部猜对的概率是．
故选：D．
【点睛】本题考查概率的求解，解题的关键是掌握利用列表法求解概率的方法．
5．D
【分析】先根据题意列举出所有等可能的结果，再利用概率公式进行计算即可．
【详解】从不透明的口袋中随机摸出两个球，共有6种等可能的结果：最美，最安，最徽，美安，美徽，安徽，其中摸到的球上的汉字可以组成“安徽”的结果有1种，
∴摸到的球上的汉字可以组成“安徽”的概率是，
故选D．
【点睛】本题主要考查等可能情形下的概率计算，能够准确地用画出树状图或列举法表示出所有等可能的结果是解题的关键．
6．C
【分析】列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．
【详解】解：列表：
第二次 第一次 0 10 20 30
0 -- 10 20 30
10 10 -- 30 40
20 20 30 -- 50
30 30 40 50 --
从上表可以看出，共有12种可能结果，其中大于或等于30元共有8种可能结果，
因此P（不低于30元）=．
故选：C．
【点睛】本题主要考查用列表法或树状图求概率．解题的关键是弄清题意，满200元可以摸两次，但摸出一个后不放回，概率在变化．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
7．A
【分析】分别求出转盘的指针落在红色区域的概率，二者之积即转盘的指针同时落在红色区域的概率．
【详解】∵转盘的指针落在红色区域的概率分别为和，
∴转盘的指针同时落在红色区域的概率为：=，
故选A.
【点睛】本题考查两步完成的事件的概率，两步完成的事件的概率=第一步事件的概率与第二步事件的概率的积，熟练掌握相关知识是解题关键.
8．D
【分析】先根据题意列举出抽取两个数的所有可能结果，再根据中位数的定义求解满足条件的可能结果，根据概率公式求解即可．
【详解】解：由题意，在4，5，6三个正整数中随机抽取两个数，可能为4和5，4和6，5和6，
∵互不相等的9个数的中位数为5，
∴给这一组数据中补充4和5或4和6或5和6后，组成的11个数从小到大排列，最中间的数仍为5，即中位数仍为5，
∴加入两个数后的11个数的中位数保持不变的概率为1，
故选：D
【点睛】本题考查中位数、概率计算，理解题意，解答的关键是熟练掌握中位数的求解方法：一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，数据是奇数个，则中位数是最中间的那个数．
9．B
【分析】根据等边三角形、平行四边形、矩形、菱形的图形特征，结合中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行作答即可．
【详解】解：等边三角形是轴对称图形不是中心对称图形；平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形；矩形既是中心对称图形又是轴对称图形；菱形既是中心对称图形又是轴对称图形；所以四张卡片中，两张卡片是符合题意的，
所以其概率为，
故选：B．
【点睛】本题考查了概率、等边三角形、平行四边形、矩形、菱形的图形特征、中心对称图形的定义和轴对称图形的定义，正确掌握相关的内容性质是解题的关键．
10．C
【分析】本题考查的是概率公式，即随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
先求出所有球的个数，再根据概率公式解答即可．
【详解】解：∵布袋中装有4个红球，8个白球，
∴球的总数为：个，
∵袋中有8个白球，
∴从袋中任意摸出一个球，摸出的球是白球的概率是．
故选：C．
11．B
【分析】根据概率公式直接求解即可．
【详解】解：从中任意摸出一张共有6种等可能结果，其中摸到1号卡片的有2种结果，
所以从中任意摸出一张，摸到1号卡片的概率为，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了概率的求法，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
12．D
【分析】本题主要考查了概率公式：表示该试验中所有可能出现的基本结果的总数目，表示事件包含的试验基本结果数，这种定义概率的方法称为概率的定义，难度适中．
由表可知共有100张刮刮乐，其中玩偶有2个，利用概率公式：求解，即用玩偶的个数除以刮刮乐的总张数．
【详解】解：∵共有100张刮刮乐，其中玩偶有2个，
∴小柏刮中玩偶的概率是．
故选：D．
13．/0.25
【分析】直接列出所有的结果，再根据概率公式，将满足条件的结果数除以总结果数即可．
【详解】解：列表表示小明和小强选课的情况如下表：
其中，A，B，C，D分别代表篮球、乒乓球、电脑编程、兴趣数学．
由表可知，一共有16种结果，其中小明和小强选中同一门课的情况有4种，
因此概率是；
故答案为：．
【点睛】本题考查了简单随机事件的概率，解题的关键是理解概率的意义和牢记概率公式．
14．
【分析】设有黄球x个，根据摇匀后随机从中摸一个球是黄球的概率是，则
求出的值，即可求得从中摸一个球是红色的概率.
【详解】设有黄球x个，
∵一个口袋中装有4个白球，2个红球，若干黄球，摇匀后随机从中摸一个球是黄球的概率是25，
∴
解得：x=4，
∴从中摸一个球是红色的概率是：
故答案为
【点睛】考查概率的求法，明确概率的意义是解题的关键，概率等于所求情况数与总情况数之比.
15．
【分析】首先画出树状图即可求得所有等可能的结果与使得ac≥9包含的等可能的结果，然后利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：画树状图得：
由树形图可知：一共有12种等可能的结果，其中使ac≥9的有2种结果，
∴关于x的一元二次方程ax2+4x+c=0有实数解的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，根据题意准确画出树状图是解决本题的关键.
16．
【详解】试题分析：欲求出在一回合中三个人都出“锤子”的概率，可先列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可．
试题解析：所有机会均等的可能共有3×3×3=27种．
而一回合中三个人都出“锤子”的机会有1种，
则在一回合中三个人都出“锤子”的概率是：
考点：等可能事件的概率．
17．
【分析】本题考查的是利用画树状图求解随机事件的概率．先画树状图得到所有可能的情况数与符合条件的情况数，再利用概率公式计算即可．
【详解】解：画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中选中的两名同学恰好是甲，乙的结果数为2，
所以选中的两名同学恰好是甲，乙的概率．
18．(1)
(2)
【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．
直接根据概率公式解答即可；
根据题意画出树状图得出所有等情况数和前两个出场的都是男生的情况数，再根据概率公式即可得出答案．
【详解】（1）解：有名女生和名男生参加学校青少年禁毒知识演讲决赛，
第一个出场为男生的概率是，
故答案为：；
（2）解：根据题意画树状图如下：
共有种等情况数，其中前两个出场都是女生的概率有种，
则前两个出场都是女生的概率是．
19．(1)
(2)见解析
(3)
(4)
【分析】（1）用抽取的总人数减去其它各段成绩的人数，即可求出；用频数除以被抽取的总数即可求出频率；
（2）根据（1）求出的的值，可直接补全统计图；
（3）根据中位数的定义即可判断；
（4）利用样本估计总体的思想求出参加这次模拟测试的名学生中成绩“优”等的人数，再根据概率公式即可得出答案．
【详解】（1）解：（人）；
；
故答案为：，；
（2）解：补图如下：
（3）解：样本容量是，把这个数按从小到大的顺序排列后，最中间的两个数为第个和第个数据的平均数，而前三组数据之和为，第四组数据有个，
最中间的两个数应落在第四组，
这次比赛成绩的中位数会落在之间，
故答案为．
（4）解：该校参加这次模拟测试的名学生中成绩“优”等的有：人，
该校参加这次模拟测试的名学生中成绩“优”等的概率为：．
【点睛】本题考查频数分布直方图、频数分布表、中位数，概率公式等知识，解题的关键是掌握基本概念，熟练应用所学知识解决问题．
20．
【分析】本题主要考查了画树状图法求概率，熟练掌握树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
画树状图得出所有等可能的结果数以及至少有一人选到老四季（C）鸡架的结果数，再利用概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中至少有一人选到老四季（C）鸡架的结果有：，共有5种，
∴至少有一人选到老四季（C）鸡架的概率为．
21．．
【分析】先画出树状图，从而可得两人做出手势的所有可能结果，再找出两人做不同种手势的结果，然后利用概率公式进行计算即可得．
【详解】由题意，画树状图如下所示：
由图可知，两人做出手势的所有可能结果共有9种，它们每一种出现的可能性都相等；其中，两人做不同种手势的结果共有6种，
则所求的概率为，
答：一次比赛时两人做不同种手势的概率是．
【点睛】本题考查了利用列举法求概率，依据题意，正确画出树状图是解题关键．
22．
【分析】本题主要考查概率的计算和一元二次方程解的综合题目，首先去解这个方程，找到满足条件的情况，再用树状图法计算总的情况数量，最后利用概率公式去计算求解．
【详解】解：，
得，
解得，；
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中所抽卡片上的数字至少有一个是方程的解的结果有，，，，，，，，，共种；
所抽卡片上的数字至少有一个是方程的解的概率为．
23．(1)
(2)选择小彤的方法说明，理由见详解
【分析】（1）用表示三种解题方法，根据题意作出树状图，结合树状图即可获得答案；
（2）连接，由折叠的性质可得，，，，，由垂直平分线的性质可得，即可证明为等边三角形，得到，由矩形的性质可得，可求出，即可证明结论．
【详解】（1）解：用表示三种解题方法，根据题意，作出树状图如下，
由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中小明和小峰选择同一种方法的结果有3种，
∴小明和小峰选择同一种方法的概率为；
（2）选择小彤的方法说明，理由如下：
连接，如下图，
由折叠的性质可得，，，，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了列举法求概率、折叠的性质、等边三角形的判定与性质、垂直平分线的性质等知识，解题关键是结合折叠的性质和垂直平分线的性质证明为等边三角形．
24．(1)见解析．
(2)54．
(3)见解析．
【分析】（1）通过B的占比计算总人数，进一步算出E组人数；
（2）计算E组的人数占比，用周角计算扇形的角度；
（3）根据题意，用列表法（或树状图）列出所有等可能结果，计算概率；
【详解】（1）

总人数=，E类人数=
（2）E的占比=
∴扇形E的圆心角度数=；
（3）

共有16种可能结果，其中选同一类的结果数为4，故概率为．
【点睛】本题考查数据统计的条形图及扇形图、概率的计算；理解条形图、扇形的统计意义，会应用列表法或树状图工具是解题的关键．
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