5.1二次函数同步练习（含解析）

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5.1二次函数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．在下列关于x的函数中，一定是二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知点(-2，4)在抛物线上，则的值是( ).
A．-1 B．1 C．±1 D．
4．下列函数中，y一定是x的二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列各式中，是的二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
6．抛物线y＝x2＋2的顶点坐标是(　　)
A．(2，1) B．(0，2) C．(1，0) D．(1，2)
7．下列y和x之间的函数表达式中，是二次函数的是（ ）
A．y＝（x＋1）（x－4）- x2 B．y＝x2＋2
C．y＝x2＋ D．y＝x－1
8．函数是关于的二次函数，则的值为（ ）
A． B．或 C． D．不存在
9．已知函数 是二次函数，则等于（ ）
A．±2 B．2 C．-2 D．±1
10．如图，已知，，，与、均相切，点是线段与抛物线的交点，则的值为（ ）
A．4 B． C． D．5
11．下列函数中属于二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
12．下列函数中，属于二次函数的是（　　）
A．y=2x+1 B．y=（x﹣1）2﹣x2 C．y=2x2﹣7 D．
二、填空题
13．若函数y=（m+2）是关于x的二次函数，则满足条件的m的值为 ．
14．下列各式：；其中是的二次函数的有 （只填序号）
15．若函数是二次函数，则m的值为 ．
16．若是以x为自变量的二次函数，则 ．
17．写出一个开口向下、且经过点（-1，2）的二次函数的表达式 ；
三、解答题
18．为美化居民小区，需在一块正方形空地上铺设草皮，图中的阴影部分即为铺草皮的区域(单位：米)

（1）计算阴影部分的面积(用含有的字母表示)；
（2）若市场上草皮的单价为元米，当时，求购买草皮需多少元？
19．如图，在矩形ABCD中，AB＝9，BC＝8，⊙O过点A且与BC相切于点E．设BE＝m．
（1）当⊙O与CD相切时，求m的值；
（2）点E从B向C运动，⊙O与CD边公共点的个数随m的变化而变化．直接写出公共点的个数及其对应的m的取值范围；
（3）在点E从B向C运动的过程中，画出点O的运动路径，这个路径是 ．（填写序号）
①线段； ②弧； ③双曲线的一部分； ④抛物线的一部分
20．如图，利用一面墙（墙的长度为），用长的篱笆围成两个鸡场，中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道宽的门，设的长为．
(1)若两个鸡场的面积和为，求关于的关系式；
(2)两个鸡场面积和可以等于（）吗？如果可以，求出此时的值．
21．在平面直角坐标系中，已知点，，其中a，b满足（a，b为常数）．
(1)求点A，B的坐标；
(2)如图1，D为x轴负半轴上一点，C为第三象限内一点，且，，过点C作于点E，求证：；
(3)如图2，P为y轴正半轴上一动点，连接，过点B在x轴下方作，且，连接，在（2）的条件下，设，求的面积（用含p的式子表示）．
22．已知方程（m为常数）．
(1)求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．
(2)，是原方程的两根，且，求m的值．
(3)若函数（m为常数）不论m为何值，该函数的图像都会经过一个定点，求定点的坐标．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D B D C B B C B D
题号 11 12
答案 D C
1．C
【分析】本题考查了二次函数的定义．解题的关键是掌握二次函数的定义：一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．
根据二次函数的定义，逐项判断可得答案．
【详解】解： A、是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意；
B、当时，不是二次函数，故此选项不符合题意；
C、是二次函数，故此选项符合题意；
D、分母含有自变量，不是二次函数，故此选项不符合题意．
故选：C．
2．D
【分析】根据二次函数的定义：（a≠0且a是常数），可得答案．
【详解】解：A、是一次函数，故A不符合题意；
B、是反比例函数，故B不符合题意，
C、a=0时不是二次函数，故C不符合题意；
D、是二次函数，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，利用二次函数的定义是解题关键，注意a是不等于零的常数．
3．B
【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征，把点（-2，4）代入y=ax2中得到a的方程，然后解方程即可．
【详解】解：∵点（-2，4）在抛物线y=ax2上，
∴a （-2）2=4，
∴a=1．
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
4．D
【分析】本题考查了二次函数的定义，一般地，判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合并同类项）后，能写成（a，b，c为常数，）的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是．
【详解】解：A．的自变量在分母上，故不是二次函数；
B．的自变量的次数是1，故不是二次函数；
C．当时，不是二次函数；
D．是二次函数；
故选D．
5．C
【分析】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握定义是解题的关键．根据二次函数的定义：一般地，形如（，，是常数，）的函数，叫做二次函数进行分析即可．
【详解】解：A、，不符合二次函数定义，不是二次函数，故该选项错误；
B、，是一次函数，不是二次函数，故该选项错误；
C、，符合二次函数的定义，是二次函数，故该选项正确；
D、，不符合二次函数定义，不是二次函数，故该选项错误；
故选：C．
6．B
【详解】∵y=2x2+1=2（x-0）2+1，
∴抛物线的顶点坐标为（0，1），
故选B．
7．B
【分析】判断函数是否是二次函数，首先要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要将其化简，然后根据二次函数的定义（一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数），逐个选项判断即可．
【详解】A项，y＝（x＋1）（x－4）- x2化解为y＝-3x－4，为一次函数，故A不符合题意；
B项，y＝x2＋2，为二次函数，故B符合题意；
C项，y＝x2＋，该函数右边是分式，不是整式，不符合二次函数的定义，故C不符合题意；
D项，y＝x－1为一次函数，故D不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，解答本题的关键是判断函数是否是二次函数，首先要看它的右边是否为整式，然后判断二次项系数是否为0．
8．C
【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义可得且即可，解题的关键是熟记二次函数的定义：形如的函数叫做二次函数．
【详解】解：由题意得，解得：，
故选：．
9．B
【分析】根据二次函数的定义，令m2-2=2，且m+2≠0，即可求出m的取值范围．
【详解】∵y=(m+2)是二次函数，
∴m2 2=2，且m+2≠0，
∴m=2.
故答案选B.
【点睛】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是熟练的掌握二次函数的定义及运用.
10．D
【分析】在Rt△AOB中，由勾股定理求得；再求得直线AC的解析式为；设的半径为m，可得P（m，-m+6）；连接PB、PO、PC，根据求得m=1，即可得点P的坐标为（1，5）；再由抛物线过点P，由此即可求得．
【详解】在Rt△AOB中，，，
∴；
∵，，
∴OC=6，
∴C（0，6）；
∵，
∴A（6，0）；
设直线AC的解析式为，
∴ ，
解得，
∴直线AC的解析式为；
设的半径为m，
∵与相切，
∴点P的横坐标为m，
∵点P在直线AC上，
∴P（m，-m+6）；
连接PB、PO、PA，
∵与、均相切，
∴△OBP边OB上的高为m，△AOB边AB上的高为m，
∵P（m，-m+6）；
∴△AOP边OA上的高为-m+6，
∵，
∴，
解得m=1，
∴P（1，5）；
∵抛物线过点P，
∴．
故选D．
【点睛】本题考查了切线的性质定理、勾股定理、待定系数法求解析式，正确求出的半径是解决问题的关键．
11．D
【分析】本题主要考查了二次函数的识别，熟练掌握二次函数的定义是解题关键．一般地，把形如（是常数且）的函数叫作二次函数．根据二次函数的定义判定即可．
【详解】解：A、不是二次函数，不符合题意；
B、是否为0不确定，故不一定是二次函数，不符合题意；
C、，故不是二次函数，不符合题意；
D、，是二次函数，符合题意．
故选：D．
12．C
【详解】根据二次函数的概念，可知y=2x+1是一次函数，y=（x﹣1）2﹣x2=-2x+1是一次函数，y=2x2﹣7是二次函数，不是整式函数.
故选C.
点睛：此题主要考查了二次函数的识别，关键是明确二次函数的二次项系数和指数，利用二次函数的一般式y=ax2+bx+c（a≠0）判断.
13．1
【分析】根据二次函数的定义得出m+2≠0且m2+m=2，求出m即可．
【详解】解：∵函数y=（m+2）xm2+m是关于x的二次函数，
∴m+2≠0且m2+m=2，
解得：m≠-2且m=-2，m=1，
∴m=1，
故答案为1．
【点睛】本题考查了对二次函数的定义的理解和运用，注意：若y=axm+bx+c（a b c都是常数）是二次函数，那么a≠0且m=2．
14．②⑤⑥
【分析】根据二次函数的定义与一般形式即可求解．
【详解】解：y是x的二次函数的有②，⑤，⑥．
故答案是：②，⑤，⑥．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，一般形式是y=ax2+bx+c（a≠0，且a，b，c是常数，x是未知数）．
15．1
【分析】根据二次函数的定义，即可解答．
【详解】解：∵函数是二次函数，
∴，
解得：，
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握形如的是二次函数．
16．2
【分析】根据二次函数定义可得：，且，再解即可．
【详解】解：由题意得：，且，
解得：，
故答案为：2．
【点睛】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数．
17．(答案不唯一).
【详解】试题分析：∵若二次函数的图象开口向下，且经过（－1，2）点，∴符合要求．答案不唯一．
考点：1．二次函数的性质；2．开放型．
18．（1）平方米；（2）元
【分析】（1）根据图形列出阴影面积计算公式，并利用平方差公式求解；
（2）根据（1）的结论，计算得到阴影面积从而完成求解．
【详解】（1）右下角图形另一边长为：
∴图中的阴影部分面积为：
∴阴影部分的面积为平方米；
（2）由（1）可知，当时
∴
∴购买草皮需元．
【点睛】本题考查了二次函数和平方差公式，求解的关键是熟练掌握并运用二次函数和平方差公式求解实际问题．
19．（1）3；（2）0≤m＜3时，⊙O与CD边公共点有0个；m＝3或4＜m≤8时，⊙O与CD边公共点有1个；3＜m≤4时，⊙O与CD边公共点有2个；（3）④
【分析】（1）设与CD相切与F，构造辅助线，证明四边形ABEG为矩形，四边形OECF为正方形，在Rt△AGO利用勾股定理即可求得m；
（2）过点A且与BC相切与点E，根据题意分别画出图形，在运算过程中，关键图形如解析，用与（1）相同的方法，分别进行求解即可得出范围；
（3）设OE=y，在Rt△AGO中用勾股定理列出关于y和m的等式，即可求出y是关于m的二次函数．
【详解】解：（1）如图①，设⊙O与CD相切于点F，连接OF、OA，连接OE并延长交AD于G．
∵⊙O与CD相切于点F、与BC相切于点E．
∴OE⊥BC，OF⊥CD
∴∠BEO＝∠OFC＝90°．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°．
AD＝BC＝8，AB＝CD＝9，AD∥CB．
∴∠BEO＋∠AGE＝180°．
∴∠AGE＝90°．
∴四边形ABEG和四边形OECF都是矩形．
∵OE＝OF，
∴四边形OECF是正方形．
∵BE＝m，
∴AG＝m，AO＝OE＝OF＝EC＝8－m，
∴GO＝9－（8－m）＝1＋m
在Rt△AGO中，由勾股定理得：
AO2＝AG2＋GO2.
即（8－m）2＝m2＋（1＋m）2
∴解得：m1＝3，m2＝－21（舍去）；
所以，当⊙O与CD相切时，m＝3；
（2）①由（1）知，m=3时，⊙O与CD只有一个交点，
∴时，与CD有0个公共点，如下图：
②由（1）知，m=3时，与CD只有1个公共点，
当时，与CD也只有1个公共点，如下图：
点D在圆上时，如下图，再根据（1）的方法，OA=OD时，m=4，
所以当或时，与CD有1个公共点；
③由（1）可知，m=3时，与CD有1个公共点，
当时，与CD也有1个公共点，
∴当 时，与CD有2个公共点，如下图：
综上所述：
图形 公共点个数 m的范围
0 0≤m＜3
1 m＝3
2 3＜m<4
2
1 4＜m≤8
（3）如下图，即为点O的运动路径，
理由：
如下图，设OE＝y，则AO＝y，GO＝9－y，
在Rt△AGO中，由勾股定理得：
AO2＝AG2＋GO2，
即y2＝m2＋（9－y）2，整理得：（0≤m≤8），
所以，⊙O的圆心的运动路径是抛物线．
【点睛】本题考查矩形性质及判定，正方形的判定与性质，圆切线的性质，勾股定理，二次函数，解题关键是数形结合，熟练应用相关图形的性质．
20．(1)
(2)不能
【分析】本题考查了列二次函数关系，解一元二次方程的应用；
（1）根据题意和图形可以求得关于的关系式；
（2）令，解方程即可求解．
【详解】（1）解：由题意可得，
，
即关于的关系式是；
（2）解：依题意，
即
∵，
原方程无实数解，
∴两个鸡场面积和不能等于（）
21．(1)；
(2)证明见解析；
(3)．
【分析】（1）将左边展开，左右恒等得出方程求得；
（2）作交的延长线于F，易得，证明，可得，再证明，可得，证明是等腰直角三角形，可得，即可证明；
（3）分为P在A点上方和在A点下方，可得，从而轴，进而表示出及上的高，从而求得．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：如图1，
作交的延长线于F，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴；
（3）解：如图2，
当时，
延长交于D，与交于I，
∵，
∴，
∵，
由（2）知，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
如图3，
当时，
，
，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质，列函数关系式等知识，解决问题的关键是利用数形结合的思想解决问题．
22．(1)见解析
(2)的值为1
(3)该函数图像始终过定点
【分析】本题主要考查了一元二次方程方程与二次函数的关系、一元二次方程根与系数关系、一元二次方程根的判别式等知识点，掌握一元二次方程根与系数关系及根的判别式是解答本题的关键．
（1）用根的判别式即可解答．
（2）根据根与系数关系得到，整体代入解方程求出即可；
（3）分离出m，令m的系数为0，先求出x，再求出y，即可确定与m的值无关的定点．
【详解】（1）证明：因为，
所以，
所以不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：，是原方程的两根，
，
，
，
，
解得：，
经检验，是原方程的解，
的值为1；
（3）解：．
因为该函数的图像都会经过一个定点，
所以，
解得，
当时，，
所以该函数图像始终过定点．
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