5.2二次函数的图像和性质同步练习（含解析）

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5.2二次函数的图像和性质
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．将二次函数的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，顶点在直线上，则k的值为( )
A．2 B．1 C．0 D．
2．观察下列表格，二次函数（，a，b，c，是常数）的部分对应值列表如下：
x … 0 1 …
y … 1 …
则代数式的值为（ ）
A． B． C． D．1
3．如图是二次函数（a，b，c是常数，）图像的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是．对于下列说法：①；②；③；④（m为实数）；⑤当时，，其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①② C．②③④ D．③④
4．如图，二次函数，反比例函数和一次函数的图象在同一直角坐标系中，交点和，若，则自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．二次函数的图象如图所示，则下列结论：；；；中，正确的结论的个数是（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．已知函数y＝若使y＝k成立的x值恰好有三个，则k的值为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
7．已知抛物线与轴交于点、，与轴交于点，则能使为等腰三角形的抛物线的条数是（ ）.
A．2 B．3
C．4 D．5
8．把图①中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形拼成如图②，所示的正方形，记其中一个直角三角形的一条直角边长为，另一条直角边的长为，图②中的较小正方形面积为．当在一定范围内变化时，和S都随的变化而变化，则与，S与满足的函数关系分别是（ ）
A．反比例函数关系，二次函数关系 B．一次函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，反比例函数关系 D．反比例函数关系，一次函数关系
9．将抛物线先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度后所得抛物线的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
10．函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数)是二次函数的条件是（　　）
A．a≠0且b≠0 B．a≠0且b≠0，c≠0 C．a≠0 D．a，b，c为任意实数
11．关于抛物线y＝x2+6x﹣8，下列选项结论正确的是（　　）
A．开口向下 B．抛物线过点(0，8)
C．抛物线与x轴有两个交点 D．对称轴是直线x＝3
12．对于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．对称轴是 B．顶点是
C．与轴有交点 D．与轴交于
二、填空题
13．二次函数的图象经过点，，，与轴的负半轴相交，且交点在的上方．下列四个结论中一定正确的是 ．
①；②；③；④．（填序号即可）
14．若点A(0，y1)，B( 3，y2)，B(1，y3)为二次函数y=(x+2)2 1的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是 ．
15．记函数的图像为图形，函数的图像为图形，若N与没有公共点，则的取值范围是 .
16．在平面直角坐标系中，抛物线的图象如图所示．已知A点坐标为，过点A作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，过点作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点…，依次进行下去，则点的坐标为 ．
17．抛物线上部分点的横坐标和纵坐标的对应值如下表：
… 0 2 3 …
… …
其中，下列四个结论：
①，，；
②；
③若点在抛物线上，且，则；
④若点为抛物线上一动点，过点作轴，垂足为，当点从运动到时，则点运动的路径长为．
其中正确的是 （填写序号）．
三、解答题
18．“十八大”报告一大亮点就是关注民生问题，交通问题已经成了全社会关注的热点.为了解新建道路的通行能力，某研究表明，某种情况下，车流速度 (单位：千米／时)是车流密度(单位：辆／千米)的函数，函数图象如图所示.
（1）求关于的函数表达式；
（2）车流量是单位时间内通过观测点的车辆数，计算公式为：车流量=车流速度×车流密度.若车流速度低于80千米／时，求当车流密度为多少时，车流量(单位：辆／时)达到最大，并求出这一最大值．
19．下面是小丽同学根据学习函数的经验，对函数y＝﹣x2＋3|x|＋2的图象与性质进行的探究过程．
（1）函数y＝﹣x2＋3|x|＋2的自变量x的取值范围是 　 　．
（2）列表
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1.5 ﹣1 0 1 1.5 2 3 4 …
y … ﹣2 2 4 4.25 4 2 4 m 4 2 ﹣2 …
表格中m的值为 　 　．
（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，画出了函数y＝﹣x2＋3|x|＋2的部分图象，用描点法将这个函数的图象补充完整；
（4）对于上面的函数y＝﹣x2＋3|x|＋2，
下列四个结论：①函数图象关于y轴对称；②函数既有最大值，也有最小值；③当x＞1时，y随x的增大而减小；④函数图象与x轴有2个公共点．所有正确结论的序号是：　 　．
（5）结合函数图象，解决问题：
关于x的方程﹣x2＋3|x|＋2＝3有 　 　个不相等的实数根．
20．在甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字0，1，2；乙袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字1，，3；现从甲袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为x，再从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为y，确定点M坐标为．
(1)用树状图或列表法列举点M所有可能的坐标；
(2)求点在函数的图象上的概率．
21．已知抛物线．
(1)当时，求该抛物线的对称轴和顶点坐标；
(2)若已知点，，当抛物线与线段有且只有一个交点时，求a的取值范围．
22．已知二次函数．
(1)求该二次函数图象的顶点坐标（用含的代数式表示）．
(2)点在该二次函数图象上，其中．
①当时，求的取值范围．
②请探究的最大值与最小值之差是否会随着的变化而变化．若不变，请求出这个差；若变化，请用含的代数式表示这个差．
23．如图1，已知二次函数：和二次函数：的图象的顶点分别为、，与轴分别交于点、.
(1)函数的最小值为___；当二次函数、的值同时随着的增大而减小时，则的取值范围是___.
(2)当时，求证：四边形为矩形.
(3)若二次函数的图象与轴的右交点为，当为等腰三角形时，求方程的解.
24．如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在线段BC上，且PE=PB．
（1）求证：①PE=PD；②PE⊥PD；
（2）设AP=x，△PBE的面积为y．
①求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
②当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A A C C D C B C C
题号 11 12
答案 C B
1．D
【分析】先求出二次函数的图象平移后的顶点坐标，再将它代入，即可求出k的值．
【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为，
将的图象向右平移个单位，向上平移个单位后顶点坐标为，．
根据题意，得，
解得．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，难度适中．根据点的平移规律：右加左减，上加下减正确求出二次函数的图象平移后的顶点坐标是解题的关键．
2．A
【分析】本题考查了二次函数的性质，由表格可知二次函数过点，将点代入可得．
【详解】解：由表格可知二次函数过点，
∴，
故选：A．
3．A
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴判定b与0的关系以及2a＋b＝0；当x＝ 1时，y＝a b＋c；然后由图像确定当x取何值时，y＞0．
【详解】解：①∵对称轴在y轴右侧，
∴a、b异号，
∴ab＜0，故正确；
②∵对称轴x＝ ＝1，
∴2a＋b＝0；故正确；
③∵2a＋b＝0，
∴b＝ 2a,
∵当x＝ 1时，y＝a b＋c＜0，
∴a （ 2a）＋c＝3a＋c＜0，故错误；
④根据图示知，当x＝1时，有最大值；
当m≠1时，有am2＋bm＋c＜a＋b＋c,
所以a＋b≥m（am＋b）（m为实数）．
故正确．
⑤如图，当 1＜x＜3时，y不只是大于0．
故错误．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次函数图像与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a决定抛物线的开口方向，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）．
4．C
【分析】根据函数图像作答即可．
【详解】解：根据二次函数，反比例函数和一次函数的图象在同一直角坐标系中，并交于点，和，
当时，
由函数图像可知，
故选：C．
【点睛】本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
5．C
【分析】由题意根据二次函数图象与x交点的个数来判定的符号；将时，来推知的符号；根据函数图象的开口方向、与坐标轴的交点的位置以及对称轴的位置来判定abc的符号；根据图象的对称轴来判断的正误．
【详解】解：根据二次函数的图象知，该抛物线与x轴有两个不同的交点，所以；故本选项错误；
根据图示知，当时，，即；故本选项正确；
抛物线的开口向下，
；
又该抛物线与y交于正半轴，
，
而对称轴，
，
；故本选项正确；
由知，；故本选项正确；
综上所述，正确的选项有3个．
故选：C．
【点睛】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，熟练掌握并利用对称轴的范围求2a与b的关系以及二次函数与方程之间的转换和根的判别式的熟练运用．
6．D
【详解】试题分析：大致画出两抛物线，注意取值范围，可得到它们的交点为（3，3），所以直线y=3与两抛物线有三个交点，则得到k=3．
解：如图，
当y=k成立的x值恰好有三个，即直线y=k与两抛物线有三个交点，
而当x=3，两函数的函数值都为3，即它们的交点为（3，3），
所以k=3．
故选D．
考点：二次函数的性质．
7．C
【分析】由抛物线与轴交于点、，可以知道，设点A坐标为
(-1,0),点B坐标为(,0)，当x=0时，y=-3，所以C点坐标为(0,-3),然后分类讨论，当时，可以知道，就可以求出k，当时，知道AC=，也可以求出k，当，利用勾股定理即可求解出k．
【详解】解：∵抛物线与轴交于点、
设点A(-1,0),点B(,0)，当x=0时，y=-3，故C(0,-3)，
当时，可知只有点B在点A的右侧才成立，如图①所示
所以存在∠AOC=∠BOC=90°，AC=BC，OC=OC,
由直角三角形HL定理可知，
△AOC≌△BOC，
故有AO=BO，
所以=1，
所以k=3；
当时，因为A(-1,0), C(0,-3)
可知AC=，当点B在点A左边时，如图④所示
点B为，则，所以k= ；
当点B在点A右边时，如图②所示
点B为，则，所以k=；
当时，如图③所示
由AC的中垂线与x的交点就是B，所以只有一个B满足，CB =+9，BA =，
由，
即+9，
解得k=
所以满足要求的k有四个，k=3，，，，
故选C.
8．B
【分析】根据题意和图形，可以分别写出与的关系和S与x的关系，从而可以得到与x满足的函数关系和S与x满足的函数关系．
【详解】解：由图可知，图中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，
则，与满足一次函数关系，
，S与满足二次函数关系，
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理、一次函数的应用、二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数关系式．
9．C
【分析】根据二次函数上加下减，左加右减的平移规律进行求解即可．
【详解】解：将抛物线先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度后所得抛物线的解析式是，
故选C．
【点睛】本题考查二次函数的平移，解题关键是知道平移规律：左加右减，上加下减．
10．C
【分析】根据二次项系数不为0求解即可.
【详解】由二次函数的定义得，函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数)是二次函数的条件是a≠0.
故选C.
【点睛】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的函数叫做二次函数，据此求解即可.
11．C
【分析】根据△的符号，可判断图像与x轴的交点情况，根据二次项系数可判断开口方向，令函数式中x＝0，可求图像与y轴的交点坐标，利用配方法可求图像的顶点坐标．
【详解】解：A、抛物线y＝x2+6x﹣8中a＝1＞0，则抛物线开口方向向上，故本选项不符合题意．
B、x＝0时，y＝﹣8，抛物线与y轴交点坐标为（0，﹣8），故本选项不符合题意．
C、△＝62﹣4×1×(-8)＞0，抛物线与x轴有两个交点，本选项符合题意．
D、抛物线y＝x2+6x﹣8＝（x+3）2﹣17，则该抛物线的对称轴是直线x＝﹣3，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的开口，与y轴x轴的交点，对称轴等基本性质，掌握二次函数的基本性质是解题的关键.
12．B
【分析】根据顶点式可对A、B进行判断；解方程可对C进行判断；令x=0，求出y可对D进行判断.
【详解】解：二次函数的对称轴是，顶点是，
故A错误，B正确；
令，
∵，
∴无实数解，即二次函数与轴没有交点；
当x=0时，，即二次函数与轴交于；
故C、D错误，
故选B．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点问题：把求二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的顶点式和性质．
13．①②③
【分析】根据题意，画出图形，由图象易知：a＞0，对称轴为直线x=＜0，-2＜c＜0，从而判断①；将代入中，可得，结合c的取值范围即可判断②；结合②可知，然后将x=1代入二次函数解析式中可得，从而判断③；化简即可判断④．
【详解】解：根据题意，画图如下
由图象易知：a＞0，对称轴为直线x=＜0，-2＜c＜0
∴b＞0，故①正确；
将代入中，得
∴
∴-2＜
∴＜0
∴，故②正确；
∵
∴
由图象可知，当x=1时，
∴
变形，得，故③正确；
由图象可知，当x=时，
∵无法判断和的大小
∴无法判断的符号
∴无法判断的符号
∴无法比较a和3b的大小，故④错误．
综上：正确的有①②③．
故答案为：①②③．
【点睛】此题考查的是二次函数的图象及性质，掌握二次函数的图象及性质与各项符号的关系是解决此题的关键．
14．y3>y1>y2/y2＜y1＜y3
【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线x=-2，根据x＞-2时，y随x的增大而增大，即可得出答案．
【详解】解：∵y=（x+2）2-1，
∴图象的开口向上，对称轴是直线x=-2，
∴B（-3，y2）关于直线x=-2的对称点是（-1，y2），
∵-2＜-1＜0＜1，
∴y2＜y1＜y3，
故答案为：y3>y1>y2．
【点睛】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．
15．或
【分析】分两种情况讨论：①M在N的上方，因为抛物线开口向上，故只要函数与函数组成的方程组无解即可.②M在N的下方，因为抛物线开口向上，对称轴为直线x=3，故只需考虑当x=-2和6时在直线的下方即可.
【详解】①M在N的上方，因为抛物线开口向上，故只要函数与函数组成的方程组无解即可.可得：
整理得：
∴
②M在N的下方，因为抛物线开口向上，对称轴为直线x=3，故只需考虑当x=-2和6时在直线的下方即可.
当x=-2时，4+12-5a+3＜6，解得：
当x=6时，36-36-5a+3＜-2，解得：a＞1
故
综上所述：或
【点睛】本题考查的是二次函数与一次函数是交点问题，本题的关键在于二次函数的取值范围，需考虑二次函数的开口方向.
16．
【分析】根据二次函数性质可得出点A1的坐标，求得直线A1A2为y=x+2，联立方程求得A2的坐标，即可求得A3的坐标，同理求得A4的坐标，即可求得A5的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，即可找出点的坐标．
【详解】解：∵A点坐标为（1，1），
∴直线OA为y=x，A1（1，1），
∵A1A2∥OA，
∴直线A1A2为y=x+2，
解，得或，
∴A2（2，4），
∴A3（2，4），
∵A3A4∥OA，
∴直线A3A4为y=x+6，
解，得或，
∴A4（3，9），A5（3，9）,
A6(4,16),A7(-4,16)
A8(4,16),A9(-4,16)…，
A2n(n+1,(n+1)2), A7(-n-1,(n+1)2)
∴点的坐标为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象以及交点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是解题的关键．
17．①②④
【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系，轨迹等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【详解】解：如图，由题意，观察图象可知，，
∵对称轴是直线，
∴，故①正确，
∴抛物线的解析式为，
∵时，，
∴，
∴，故②正确，
若点在抛物线上，且，则或，故③错误，
若点P为抛物线上一动点，过点作轴，垂足为，当点从运动到时，
∵时，，
∴，
∴，
∵，
∴抛物线的顶点
则点运动的路径长为，故④正确，
故答案为：①②④．
18．（1）当时，，当时，；
（2）当车流密度x为94辆/千米时，车流量P最大，为4418辆/时.
【详解】试题分析：（1）分，两种情况，根据待定系数法求解即可；
（2）先根据计算公式：车流量=车流速度×车流密度得到函数关系式，再根据二次函数的性质即可求得结果.
（1）当时，
当时，设
由图象可知
解得
∴当时，；
（2）由题意得=
答：当车流密度x为94辆/千米时，车流量P最大，为4418辆/时.
考点：二次函数的应用
点评：解答本题的关键是熟练掌握二次函数的顶点坐标的实际意义，正确求得函数的极值.
19．（1）全体实数；（2）；（3）见解析；（4）①④；（5）4
【分析】（1）由绝对值的定义得到x的取值范围；
（2）将x＝1.5代入函数解析式求得m的值；
（3）根据已有函数图象得到当x＞0时的几个点的坐标，然后描点连线；
（4）结合函数图象得到正确的选项；
（5）结合函数图象与直线y=3的交点个数得到方程的实数根个数．
【详解】（1）由题意得，自变量x取值范围是全体实数；
故答案为：全体实数．
（2）当x＝1.5时，m＝；
故答案为：．
（3）函数图象如图所示；
（4）由图象可知，函数图象关于y轴对称，故①正确；
函数有最大值，没有最小值，故②错误；
当x＞1时，y随x的增大先增大后减小，故③错误；
函数图象与x轴有2个公共点，故④正确；
故答案为：①④．
（5）由图象可知，函数y＝﹣x2+3|x|+2的图象与直线y＝3有4个交点，
∴方程﹣x2+3|x|+2＝3有4个不相等的实数根，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与方程的关系，关键是数形结合，熟练掌握二次函数的图象与性质．
20．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特点，列表法与树状图法求概率：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
（1）通过列表展示所有9种等可能的结果数；
（2）找出满足点落在函数的图象上的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】（1）解：列表如下：
0 1 2
1
3
∴共有9种等可能的结果数；
（2）满足点落在函数的图象上的结果有3个，即，，，
所以点在函数的图象上的概率．
21．(1)该抛物线的对称轴为：；顶点坐标为：．
(2)a的取值范围为：或或a=5．
【分析】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是熟练掌握二次函数的性质，通过分类讨论的方法求解．
（1）将抛物线解析式化为顶点式可求对称轴和顶点坐标．
（2）根据点A和点B与抛物线的位置，通过分类讨论即可求解．
【详解】（1）解：当时；
；
化为顶点式为：；
∴该抛物线的对称轴为：；
顶点坐标为：．
（2）当点A在抛物线上方，点B在抛物线下方时抛物线与线段有且只有一个交点；
即当时，；
解得；
当时，；
解得；
∴；
当点A在抛物线下方，点B在抛物线上方时抛物线与线段有且只有一个交点；
即当时，；
解得；
当时，；
解得；
∴；
③当二次函数和直线y=1相切时，函数和线段AB只有一个交点，此时根据Δ=0，解得a=5
综上所述，当抛物线与线段AB有且只有一个交点时，a的取值范围为：或或a=5．
22．(1)
(2)①；②不变，定值为4
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．
（1）把解析式化成顶点时，即可求出二次函数图象的顶点坐标；
（2）①当时，则二次函数，，即可求得的取值范围是；
②由题意可知的最小值为，最大值为时的值，即的最大值为，可得的最大值与最小值之差．
【详解】（1）解：，
该二次函数图象的顶点坐标为；
（2）解：①当时，则二次函数，．
，
抛物线开口向上，时有最小值，
当时，，
的取值范围是；
②不变，理由如下：
二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
点在该二次函数图象上，其中．
的最小值为，最大值为时的值，
即的最大值为，
的最大值与最小值之差，
的最大值与最小值之差不会随着的变化而变化，的最大值与最小值之差为．
23．(1)3，；(2)详见解析；(3)，或，.
【分析】(1)第1问将二次函数化为顶点式即可确定最小值，第2问先确定两函数的对称轴，再结合二次函数的性质确定的取值范围；(2)先通过构造三角形全等证得四边形为平行四边形，再结合得出结论；问题(3)先求出的长，再分、、三种情况并结合勾股定理构造方程求解.
【详解】(1)∵二次函数：，
∴顶点坐标为，
∵，
∴函数的最小值为3，
∵二次函数的对称轴为，
当时，随的增大而减小；二次函数：的对称轴为，
当时，随的增大而减小；
∴当二次函数、的值同时随着的增大而减小时，的取值范围是.
(2)证明：由二次函数：可知，
由二次函数：可知.
∵，，如图2，作轴于，则，作轴于，则，
∴.
∵，，
∴，在和中，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形.
又∵，平行四边形为矩形.
(3)∵，，，
∴，，.
①当时，有，
∴，等式不成立；
②当时，有，
∴；
③当时，有，
∴，(舍去).
∴当时，；当时，.
∵的对称轴为，
∴左交点坐标分别是或.
∴当时，方程的解为：，；
当时，方程的解为：，.
【点睛】此题属于二次函数综合题，二次函数的性质、三角形全等的判定与性质、矩形的判定、勾股定理、一元二次方程的解法，解题关键在于利用顶点式进行求解.
24．（1）①证明见解析，②证明见解析；
（2）①y=﹣x2+x．（0＜x＜）；②当x=时，y最大值=．
【详解】试题分析：（1）可通过构建全等三角形来求解．过点P作GF∥AB，分别交AD、BC于G、F，那么可通过证三角形GPD和EFP全等来求PD=PE以及PE⊥PD．在直角三角形AGP中，由于∠CAD=45°，因此三角形AGP是等腰直角三角形，那么AG=PG，而PB=PE，PF⊥BE，那么根据等腰三角形三线合一的特点可得出BF=FE=AG=PG，同理可得出两三角形的另一组对应边DG，PF相等，因此可得出两直角三角形全等．可得出PD=PE，∠GDP=∠EPF，而∠GDP+∠GPD=90°，那么可得出∠GPD+∠EPF=90°，由此可得出PD⊥PE．（2）求三角形PBE的面积，就要知道底边BE和高PF的长，（1）中已得出BF=FE=AG，那么可用AP在等腰直角三角形AGP中求出AG，GP即BF，FE的长，那么就知道了底边BE的长，而高PF=CD-GP，也就可求出PF的长，可根据三角形的面积公式得出x，y的函数关系式．然后可根据函数的性质及自变量的取值范围求出y的最大值以及对应的x的取值．
试题解析：（1）①过点P作GF∥AB，分别交AD、BC于G、F．如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴四边形ABFG和四边形GFCD都是矩形，
△AGP和△PFC都是等腰直角三角形．
∴GD=FC=FP，GP=AG=BF，∠PGD=∠PFE=90°．
又∵PB=PE，
∴BF=FE，
∴GP=FE，
∴△EFP≌△PGD（SAS）．
∴PE=PD．
②∴∠1=∠2．
∴∠1+∠3=∠2+∠3=90°．
∴∠DPE=90°．
∴PE⊥PD．
（2）解：①过P作PM⊥AB，
可得△AMP为等腰直角三角形，
四边形PMBF为矩形，可得PM=BF，
∵AP=x，∴PM=x，
∴BF=PM=，PF=1﹣．
∴S△PBE=BE×PF=BF PF=x （1﹣x）=﹣x2+x．
即y=﹣x2+x．（0＜x＜）．
②y=﹣x2+x=﹣（x﹣）2+
∵a=﹣＜0，
∴当x=时，y最大值=．
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