1.1有理数及其概念同步练习（含解析）

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1.1有理数及其概念
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列各数中，是负数的为（ ）
A． B．0 C．2 D．
2．已知有理数，在数轴上表示的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ）

A． B．
C． D．
3．|﹣3|的相反数为（　　）
A．﹣3 B．0 C．3 D．±3
4．下列各数中，的相反数是（　　）
A．3 B． C．9 D．
5．下列各组判断中，正确的是（ ）
A．若|a|=b，则一定有a=b B．若|a|＞|b|，则一定有a＞b
C．若|a|＞b，则一定有|a|＞|b| D．若|a|=b，则一定有a2=（-b）2
6．右表是去年世界国家和地区GDP排行版（IMF版）（部分），则该表中“名义增速”最小的国家是（ ）
国家 2022年GDP总量（亿美元） 名义增量 名义增速
美国 254645 24670
中国 181000 6420
日本 42335
德国 40754
印度 33864 3444
A．日本 B．德国 C．印度 D．美国
7．下列说法正确的是( )
A．带“+”号和带“-”号的数互为相反数
B．数轴上原点两侧的两个点表示的数是相反数
C．和一个点距离相等的两个点所表示的数一定互为相反数
D．一个数前面添上“-”号即为原数的相反数
8．点A、B、C、D在数轴上的位置如图所示，表示的数是负数的点是（ ）
A．A B．B C．C D．D
9．下列四个数中，属于负整数的是（ ）
A． B． C．0 D．6
10．检验4个工件，其中超过标准质量的克数记作正数，不足标准质量的克数记作负数，从轻重的角度看，最接近标准的工件是（ ）
A．－2 B．－3 C．3 D．5
11．有理数，，0，中，绝对值最大的数是（ ）
A． B． C．0 D．
12．下列说法中正确的是（ ）
A．正有理数和负有理数组成有理数 B．正整数、负整数统称为整数
C．正分数和负分数统称为分数 D．分数不是有理数
二、填空题
13．绝对值小于的整数有 个．
14．已知，则式子的值为 ．
15．比较大小： （填“＜”，“＞”或“＝”）．
16．若 +|b+3|=0，则（a+b）2017的值是 ．
17．的相反数是 ．
三、解答题
18．同学们都知道，|2-（-1）|表示2与-1的差的绝对值，实际上位可理解为在数轴上正数2对应的点与负数一1对应的点之间的距离，试探索：
(1)|2-（-1）|=______；如果|x-1|=2，则x=______．
(2)求|x-2|+|x-4|的最小值，并求此时x的取值范围；
(3)由以上探索已知（|x-2|+|x+4|） （|y-1|+|y-6|）=10，求x+y的最大值与最小值；
(4)由以上探索及猜想，计算|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-2017|+|x-2018|的最小值．
19．在数轴上画出表示下列各数的点，并把它们用“”连接起来．
，，0，，3
20．【定义新知】
我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离．若点表示的数为，请根据数轴解决以下问题：
(1)【初步应用】
当取最小值时，可以取的整数有几个_________；
(2)当的值最小时，最小值为__________；
(3)【解决问题】
如图，一条笔直的公路边有三个代工厂、、和城区，代工厂、、分别位于城区左侧5，右侧1，右侧3．代工厂需要芯片1000个，代工厂需要芯片2000个，代工厂需要芯片3000个．现需要在该公路上建一个芯片研发实验室，为这3代工厂输送芯片．若芯片的运输成本为每千米1元/千个，那么实验室建在何处才能使总运输成本最低，最低成本是多少？请说明理由．
21．正式排球比赛时对所使用的排球质量有严格的规定，检查5个排球的重量，超过规定重量的数记作正数，不足规定重量的克数记作负数，检查结果如下：
＋15，－10，＋30，－20，－40.
指出哪个排球质量好一些(即重量接近规定重量)，怎样用学过的绝对值的知识说明哪个排球的质量好一些？
22．如图，检测10个排球，其中超过标准重量的克数记为正数，不足的克数记为负数，国际排联规定：一个排球的标准重量为克，若设被检测的排球的一个排球的标准重量为265克．
(1)这10个排球中最接近标准重量的这个排球重 克．
(2)这10个排球中，最轻的是 克．
(3)求这10个排球的总重量是多少克？
23．已知如图，在数轴上点A，B所对应的数是-4，4．
对于关于x的代数式N，我们规定：当有理数x在数轴上所对应的点为AB之间(包括点A，B)的任意一点时，代数式N取得所有值的最大值小于等于4，最小值大于等于-4，则称代数式N是线段AB的封闭代数式．
例如，对于关于x的代数式|x|，当x=±4时，代数式|x|取得最大值是4；当x=0时，代数式|x|取得最小值是0，所以代数式|x|是线段AB的封闭代数式．
问题：
(1)关于x代数式|x-1|，当有理数x在数轴上所对应的点为AB之间(包括点A，B)的任意一点时，取得的最大值和最小值分别是____ ______．
所以代数式|x-1|__________(填是或不是)线段AB的封闭代数式．
(2)以下关x的代数式：
①；②x2+1；③x2+|x|-8；④|x+2|-|x-1|-1．
是线段AB的封闭代数式是__________，并证明(只需要证明是线段AB的封闭代数式的式子，不是的不需证明)．
()关于x的代数式是线段AB的封闭代数式，则有理数a的最大值是__________，最小值是__________．
24．一辆出租车从A站出发，先向东行驶，接着向西行驶，然后又向东行驶．
(1)画一条数轴，以原点表示A站，向东为正方向，在数轴上表示出租车每次行驶的终点位置．
(2)求各次路程的绝对值的和．这个数据的实际意义是什么？
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A A A D A D A B A
题号 11 12
答案 A C
1．A
【分析】负数用一个负号（“”）与一个正数标记，观查选项中所给数字的特征，从而得出结果．
【详解】解：A中为负数，故符合题意；
B中是，故不符合题意；
C中是正数，故不符合题意；
D中是正数，故不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查了负数．解题的关键是要明确负数的特征．
2．A
【分析】根据数轴判断出a、b的正负情况以及绝对值的大小，再根据有理数的运算法则对各选项进行判断即可．
【详解】解：由图可知，a＞0，b＜0，且|a|＜|b|，
A、，故本选项正确；
B、，故本选项错误；
C、，故本选项错误；
D、，故本选项错误．
故选：A．
【点睛】本题考查了数轴，熟练掌握数轴的特点并判断出a、b的正负情况以及绝对值的大小是解题的关键．
3．A
【分析】根据绝对值的意义及相反数的意义可直接排除选项．
【详解】解：∵，
∴|﹣3|的相反数为﹣3；
故选A．
【点睛】本题主要考查绝对值的意义及相反数的意义，熟练掌握绝对值的意义及相反数的意义是解题的关键．
4．A
【分析】根据相反数的定义，即可求解．
【详解】解：的相反数是3．
故选：A
【点睛】本题主要考查了相反数的定义，熟练掌握只有符号不相同的两个数互为相反数是解题的关键．
5．D
【分析】根据绝对值的性质即可求出答案．
【详解】解：A、当a＜0时，若|a|=b，则-a=b，故本选项错误；
B、若a=-7，b=5，
此时|a|＞|b|，但a＜b，故本选项错误；
C、若a=7，b=-9，
此时|a|＞b，但|a|＜|b|，故本选项错误；
D、若|a|=b，则一定有a2=（-b）2，故本选项正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了绝对值的性质，解题的关键是熟练运用绝对值的性质，本题属于基础题型．
6．A
【分析】本题考查正负数比较．根据题意比较“名义增速”数据大小关系即为本题答案．
【详解】解：∵，
∴“名义增速”最小的国家：日本，
故选：A．
7．D
【分析】根据互为相反数的概念和性质，即可得到答案.
【详解】解：A、带“+”号和带“-”号的数不一定互为相反数，错误，不符合题意；
B、数轴上原点两侧的两个点表示的数不一定是相反数，错误，不符合题意；
C、和一个点距离相等的两个点所表示的数不一定互为相反数，错误，不符合题意；
D、一个数前面添上“-”号即为原数的相反数，正确，符合题意；
故选D.
【点睛】本题主要考查相反数的概念和性质，理解相反数的概念和性质是解题的关键.
8．A
【分析】根据正数在原点的右边，负数在原点的左边解题即可．
【详解】解：根据题意，
点A在原点的左边，比0小，是负数；
点B在原点，等于0；
点C、D在原点的右边，比0大，是正数，
故选：A．
【点睛】本题考查数轴，涉及正、负数，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
9．B
【分析】本题主要考查了大于0的整数是正整数，小于0的整数是负整数，根据负整数的概念可以解答本题．
【详解】解：根据负整数的定义可知，是负整数．
故选：B．
10．A
【分析】选择0为标准质量，离标准量最近的是绝对值最小的数值．
【详解】选择0为标准质量，由于，，且2＜3＜5，
∴从轻重的角度看，最接近标准的工件是-2．
故选：A．
【点睛】本题考查绝对值的性质、正负数的应用，正数和负数在日常的生活中具有广泛的应用，用正、负数表示具有相反意义的量时应注意“正”“负”的相对性；可选择一个标准量，比标准多的计为正，少的计为负．
11．A
【分析】先求出绝对值，再比较大小即可．
【详解】解：，，0，的绝对值分别为：，，0，，
∴，
故选A．
【点睛】本题考查比较有理数的大小．正确的求出每一个数的绝对值是解题的关键．
12．C
【分析】根据有理数的分类逐一进行判断即可．
【详解】解：A、正有理数，负有理数和零，组成有理数，故选项错误；
B、正整数、负整数和零，统称为整数，故选项错误；
C、正分数和负分数统称为分数，选项正确；
D、分数是有理数，故选项错误；
故选C．
【点睛】本题考查有理数的分类，熟练掌握有理数的分类方法，是解题的关键．注意，零既不是正数也不是负数．
13．
【分析】本题考查了绝对值的性质，有理数的分类，求绝对值小于的整数，即求绝对值等于，，的整数，可以结合数轴，得出到原点的距离等于，，的整数．
【详解】根据绝对值的定义，则绝对值小于的整数是，，；
符合要求的一共有个．
故答案为5．
14．
【分析】本题主要考查非负数的性质，代数式求值，熟练掌握绝对值的非负性、偶次方的非负性是解决本题的关键．根据绝对值的非负性、偶次方的非负性、非负数的性质求出a、b，然后代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，．
∴，．
∴．
故答案为：．
15．＜
【分析】本题考查了有理数的大小比较，求绝对值，掌握正数都大于零；负数都小于零；正数大于负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是本题的关键
先求出绝对值，再根据有理数大小比较法则解答即可．
【详解】解：∵，
而，，
又∵，
∴．
故答案为：＜．
16．－1
【详解】试题分析：直接利用绝对值以及二次根式的性质得出a，b的值，进而得出答案．
解：∵+|b+3|=0，
∴a﹣2=0，b+3=0，
解得：a=2，b=﹣3，
故（a+b）2017=﹣1．
故答案为﹣1．
17．2
【分析】本题主要考查了相反数．根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答．
【详解】解：，的相反数是2．
故答案为：2．
18．(1)3，3或-1；(2)当-4≤x≤2时，|x-2|+|x+4|的值有最小值，最小值为6；(3)x+y的最大值是5，最小值是-3；(4)当x=1009.5时，式子取得最小值，为509040．
【分析】（1）根据绝对值的意义直接计算即可；
（2）把|x-2|+|x+4|理解为：在数轴上表示x到-4和2的距离之和，根据两点间的距离公式，点在线段上，可得最小值，从而得结论；
（3）先确定x、y的取值范围，再分类讨论．
（4）观察已知条件可以发现，|x-a|表示x到a的距离．要是题中式子取得最小值，则应该找出与最小数和最大数距离相等的x的值，此时式子得出的值则为最小值．
【详解】(1)|2-（-1）|=|2+1|=3，
|x-1|=2，
x-1=2或x-1=-2，
x=3或-1，
故答案为3，3或-1；
(2)∵|x-2|+|x-4|理解为：在数轴上表示x到-4与2的距离之和，
∴当x在-4与2之间的线段上（即-4≤x≤2）时，|x-2|+|x+4|的值有最小值，最小值为2-（-4）=6，此时x的取值范围为：-4≤x≤2．
(3)因为x-2=0，x+4=0时，x=2或-4，y-1=0，y-6=0时，y=1或6．
当x＜-4时，|x-2|+|x+4|=2-x-x-4=-2x-2；当-4＜x＜2时，|x-2|+|x+4|=2-x+x+4=6；当x＞2时，|x-2|+|x+4|=x-2+x+4=2x+2；
当y＜1时，|y-1|+|y-6|=1-y+6-y=-2y+7；当1＜y＜6时，|y-1|+|y-6|=y-1+6-y=5；当y＞6时，|y-1|+|y-6|=y-1+y-6=2y-7；
当x＜-4，y＜1时，（-2x-2）（-2y+7）=10，
所以-2x+1-2y+1=8，即x+y=-3；-2x+1+3=8，即x=-4；-2x+1+2y-1=8，即x-y=-4；5-2y+1=8，即y=-1；5+3=8；5+2y-1=8，即y=2；2x-1-2y+1=8，即x-y=4；2x-1+3=8，即x=3；2x-1+2y-1=8，即x+y=5．
所以x+y的最大值是5，最小值是-3．
(4)由已知条件可知，|x-a|表示x到a的距离，只有当x到1的距离等于x到2018的距离时，式子取得最小值．
∴当x==1009.5时，式子取得最小值，
此时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-2017|+|x-2018|，
=|1009.5-1|+|1009.5-2|+|1009.5-3|+…+|1009.5-2016|+|1009.5-2017|+|1009.5-2018|，
=1008.5+1007.5+…+2.5+1.5，
=0.5×1008+（1+2+3…+1008），
=504+=504+508536，
=509076．
【点睛】本题考查了绝对值，解题的关键是读懂题目信息，理解绝对值的几何意义．
19．见解析
【分析】先化简各数，然后表示在数轴上，根据数轴比较大小，即可求解．
【详解】解：，，
如图所示，

∴．
【点睛】本题考查了在数轴上表示有理数，根据数轴比较有理数的大小，数形结合是解题的关键．
20．(1)5
(2)7
(3)实验室建在点和点（包括B、C）之间才能使总运输成本最低，最低成本是12元
【分析】（1）表示有理数的点到有理数的点，有理数的点到有理数的点的距离之和，按照题意即可得其值；
（2），表示的点与表示有理数的点和与表示有理数1的点之间的距离，根据题意即可得其值；
（3）根据题意列出式子，求其最小值，即可．
【详解】（1）解：根据题意可得，的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点和与表示有理数1的点之间的距离之和，
当时，
即当可以取整数，，，0，1，共5个；
故答案为：5；
（2）根据题意可得，表示数轴上x与，和1的距离之和，
则当时，的值最小，最小值为；
故答案为：7；
（3）设城区O为原点，建立数轴，实验室所对应的数为，
根据题意可得，芯片的运输成本为：，
表示x到的距离与x到3的距离之和，与x到1的距离与x到3的距离之和的2倍的总和，
则当时，取得最小值，
此时，
实验室建在点和点（包括B、C）之间，才能使总运输成本最低，最低成本是12元．
【点睛】本题考查绝对值，数轴上两点之间的距离，综合性较强，难度较大，理清题意是解题的关键．
21．第2个球的质量较好.
【详解】试题分析：根据绝对值越小离标准值越近即可作出判断.
试题解析：选第二个 -10，其绝对值最小=10 ，
|+15|=15，
|-10|=10，
|+30|=30，
|-20|=20，
|-40|=40，
所以第2个球的质量较好，因为这个球的重量与规定重量的差的绝对值最小，说明它最接近规定重量．
【点睛】本题考查了绝对值在实际中的应用，明确绝对值越小则越接近标准是解决此类问题的关键.
22．(1)264.4
(2)261.5
(3)2658.4克
【分析】本题主要考查正负数在实际生活中的应用及绝对值的意义，所以学生在学这一部分时一定要联系实际，要活学活用．
（1）根据绝对值最小的是最接近标准的，可得答案；
（2）根据最小的数是最轻的，可得答案；
（3）根据有理数的加法运算，可得总重量．
【详解】（1）解：
（克），
所以这10个排球中最接近标准重量的这个排球重264.4克，
故答案为：264.4；
（2）解：，
（克），
所以这10个排球中，最轻的是261.5克，
故答案为：261.5；
（3）解：（克，
所以这10个排球的总重量是2658.4克．
23．（1）5，0，不是；（2）④，理由见解析；（3）a的最大值是2，a的最小值是-14
【分析】（1）根据绝对值的性质可求最值，再根据封闭代数式的定义即可求解；
（2）根据封闭代数式的定义即可求解；
（3）分两种情况讨论：+3≤4，+3≥-4，依此即可求解．
【详解】（1）解：当x=-4时，|x-1|取得最大值为5，
当x=1时，|x-1|取得最小值为0，
∵|x-1|的最大值＞4，
∴|x-1|不是线段AB的封闭代数式．
（2）证明：①∵-4≤x≤4，
∴ 2≤x≤2，
∴ ≤x ≤ ，
∵x 的最小值为 ，不满足最小值大于等于-4，
∴x 不是线段AB的封闭代数式．
②当x=±4时，
代数式x2+1取得最大值17，不满足最大值小于等于4，
∴x2+1不是线段AB的封闭代数式．
③当x=±4时，
代数式x2+|x|-8取得最大值12，不满足最大值小于等于4，
∴x2+|x|-8不是线段AB的封闭代数式．
④当-4≤x＜-2时，
原式=|x+2|-|x-1|-1=-（x+2）+（x-1）-1=-4，
当-2≤x≤1时，
原式=|x+2|-|x-1|-1=（x+2）+（x-1）-1=2x，
∴-4≤2x≤2，
当1≤x≤4时，
原式=|x+2|-|x-1|-1=（x+2）-（x-1）-1=2，
综上所述：-4≤|x+2|-|x-1|-1≤2满足最大值小于等于4，最小值大于等于-4，
∴|x+2|-|x-1|-1是线段AB的封闭代数式．
（3）+3≤4，
a≤|x+1|+2，
|x+1|+2在-4和4之间的最小值是2，a要不大于这个最小值才能使所有在-4和4之间的x都成立，
所以a的最大值是2，
+3≥-4，
a≥-7（|x+1|+2），
-7（|x+1|+2）在-4和4之间的最大值是-14，a要不小于这个最大值才能使所有在-4和4之间的x都成立，
所以a的最小值是-14．
【点睛】本题考查了新定义运算，代数式，读懂题意，模仿给定例题解决问题是解题的关键．
24．(1)见解析
(2)出租车行驶的总路程为
【分析】本题考查的是数轴、绝对值及有理数混合运算的有关内容，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点．
（1）数轴三要素：原点，单位长度，正方向．画数轴可表示出租车最终在A站东边处；
（2）根据绝对值的意义求解即可．
【详解】（1）如图所示，

（2），
这个数据的实际意义是出租车行驶的总路程为．
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