12.6等腰三角形同步练习（含解析）

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12.6等腰三角形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在中，，，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则的度数为（ ）
A．70° B．50° C．40° D．30°
2．如图在第一个△A1BC中，∠B＝40°，A1B＝BC，在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第二个△A1A2D，再在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E．……如此类推，可得到第n个等腰三角形．则第n个等腰三角形中，以An为顶点的内角的度数为（　　）
A． B． C． D．
3．如图，点O是半圆圆心，BE是半圆的直径，点A，D在半圆上，且，，，过点D作于点C，则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，∠A=50°，P 是等腰△ABC 内一点，AB=AC，BP 平分∠ABC， CP 平分∠ACB，则∠BPC 的度数为( )
A．100° B．115° C．130° D．140°
5．如图，在正方体的两个面上画了两条对角线、，则等于（ ）
A．135° B．90° C．75° D．60°
6．如图，，，，点在上，若，则两个三角形重叠部分的面积为（　　）

A．6 B．9 C．12 D．14
7．如图，点P、Q分别是边长为6cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，下面四个结论：①BQ=AM；②△ABQ≌△CAP；③∠CMQ的度数不变，始终等于60°；④当第2秒或第4秒时，△PBQ为直角三角形，正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．若等腰三角形两边长分别为3和6，则其周长为 （ ）
A．或 B． C． D．
9．在等腰中，AB=AC，AD⊥BC于D，若，则∠C的度数为（ ）
A．25° B．55° C．65° D．50°
10．下列命题是真命题的是（ ）
A．如果，那么
B．同旁内角互补
C．已知等腰三角形的两条边分别为2和5，则它的周长为9或12
D．将多项式因式分解的结果是
11．如图，在中的垂直平分线相交于点O，若，则的度数为（ ）
A．6° B．8° C．12° D．16°
12．等边△ABC的两条角平分线BD和CE交于点I，则∠BIC等于（　　）
A．60° B．90° C．120° D．150°
二、填空题
13．如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点P在坐标轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P的个数有
14．如图，在等腰中，，的垂直平分线交于点，交另一腰于点，若，则 度．
15．如图，在平行四边形中，，，，点E是边上且．F是边上的一个动点，将线段绕点E逆时针旋转，得到，连接、，则的最小值 ．
16．四边形ABCD是正方形，点E是直线AB上的一动点，且△AEC是以AC为腰的等腰三角形，则∠BCE的度数为 ．
17．如图，已知点为中点，，过点作，垂足为点，若，则 ．
三、解答题
18．(1)计算：．
(2)如图，在中，，点是的中点，在的延长线上取点，使．求证：．

19．数学课上，老师出示了如下的题目：如图（1），在等边△ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC，试判断AE和BD的大小关系，并说明理由．
小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
（1）特殊情况，探索结论
当点E为AB的中点时，如图（2），确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE DB（填“>”，“<”或“=”）；
（2）特例启发，解答题目
如图（1），试判断AE和BD的大小关系，并说明理由；
（3）拓展结论，设计新题
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC；若△ABC的边长为1，AE=2，请画出图形，求CD的长．
20．已知等腰三角形三边、、长分别为，，，求这个三角形的周长．
21．专注基本图形：
某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形如图1，在中，，，直线经过点，作直线，直线，垂足分别为点，．并进一步证明方法如下：

∵，
∴，
∵直线，直线，
∴，
∴
在和中，
∴
∴，，
∴
探究问题解决：
(1)组员小明想，如果三个相等的角不是直角，那么上述结论是否会成立呢？如图，将上述条件改为：在中，，，，三点都在直线上，且．请判断是否成立，并说明理由．
(2)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决新问题．如图，，是直线l上的两动点（，，三点均在直线上且互不重合），点为的角平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接，，，．若，请说明．
22．为了测量一条两岸平行的河流的宽度，三个数学研究小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点处测得河北岸的树恰好在的正北方向，测量方案如下表：
课题 测量河流宽度
工具 测量角度的仪器，标杆，皮尺等
小组 第一小组 第二小组 第三小组
测量方案 观察者从点向东走到点，此时恰好测得 观测者从点出发，沿着南偏西的方向走到点，此时恰好测得 观测者从点向东走到点，在点插上一面标杆，继续向东走相同的路程到达点后，一直向南走到点，使得树，标杆，人在同一直线上
测量示意图
(1)第一小组认为要知道河宽，只需要知道线段__________的长度．
(2)第二小组测得米，请你帮他们求出河宽．
(3)第三小组认为只要测得就能得到河宽，你认为第三小组的方案可行吗 如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由．
23．如图1，已知∠ACB＝90°，AC＝BC，BD⊥DE，AE⊥DE，垂足分别为D、E．（这几何模型具备“一线三直角”）如图1：
（1）①请你证明：△ACE≌△CBD；②若AE＝3，BD＝5，求DE的长；
（2）迁移：如图2：在等腰Rt△ABC中，且∠C＝90°，CD＝2，BD＝3，D、E分别是边BC，AC上的点，将DE绕点D顺时针旋转90°，点E刚好落在边AB上的点F处，则CE＝　 　．（不要求写过程）

24．如图，在中，，，垂足为．

（1）求证：；
（2）若平分分别交，于点，求证：．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C B B D A C B C D
题号 11 12
答案 C C
1．D
【分析】由△ABC中，AB=AC，∠A=40°，即可求得∠ABC的度数，又由线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，可得AE=BE，继而求得∠ABE的度数，则可求得答案．
【详解】解：∵等腰△ABC中，AB=AC，∠A=40°，
∴∠ABC=∠C==70°，
∵线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，
∴AE=BE，
∴∠ABE=∠A=40°，
∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=30°．
故选：D．
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
2．C
【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠BA1C的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度数，找出规律即可得出第n个三角形中以An为顶点的内角度数．
【详解】解：在△CBA1中，∠B＝40°，A1B＝CB，
∴∠BA1C＝＝70°，
∵A1A2＝A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角，
∴∠DA2A1＝∠BA1C＝×70°，
同理可得∠EA3A2＝（）2×70°，∠FA4A3＝（）3×70°，
∴第n个三角形中以An为顶点的内角度数是．
故选：C．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度数，找出规律是解答此题的关键．
3．B
【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，根据已知条件可得，是等边三角形，根据求解即可．
【详解】解：∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴
∴是等边三角形，
∵
∴，，
又∵
∴
∴
．
故选：B．
4．B
【分析】根据等腰三角形两底角相等求出∠ACB，然后求出∠PCB+∠PBC=∠ACB，再根据三角形的内角和定理列式计算即可得解．
【详解】∵∠A=50°，△ABC是等腰三角形，
∴∠ACB=（180°-∠A）=（180°-50）=65°，
∵∠PBC=∠PCA，
∴∠PCB+∠PBC=∠PCB+∠PCA=∠ACB=65°，
∴∠BPC=180°-（∠PCB+∠PBC）=180°-65°=115°．
故选B．
【点睛】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，三角形的内角和定理，准确识图并求出∠PCB+∠PBC是解题的关键．
5．D
【分析】根据正方体的概念和特性可知AB，AC和左面上的对角线形成一个等边三角形，进而即可求解
【详解】连接BC，
∵AC、AB、BC是正方形的对角线，
∴AC=AB=BC，
∴△ABC为等边三角形．
∴∠BAC=60°．
故选D．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、正方形与正方形的性质；证明△ABC为等边三角形是解题的关键．
6．A
【分析】此题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式等，正确地添加辅助线构造全等三角形，灵活运用三角形的面积公式进行计算是解决问题的关键．连接，设与交于点，过点作于，于，先证和全等得，，进而得，再证，根据三角形的面积公式可得出，，则，然后根据和等高得，由此可得，最后根据和等高得，据此可求出的面积．
【详解】解：连接，设与交于点，过点作于，于，如图：

，
，
即，
在和中，
，
，
，，
，
，
，，
为等腰直角三角形，
，
，
即为的平分线，
，
，，
，
又和等高，
，
，
和等高，
，
．
故选：A．
7．C
【分析】先利用边角边求出≌，可得（2）正确.进而可得，得到∠AMP的度数，推出（3）正确.不一定等于,得得（1）错误.设时间为t,分类列方程可求（4）正确.因此答案选C.
【详解】∵点、速度相同，∴．在和中，，
∴≌，故②正确．
则．即．∴．
则，故③正确．
∵不一定等于．∴．∴．故①错误．
设时间为t，则AP=BQ=t，PB=6-t，
①当∠PQB=90°时，∵∠B=60°，∴PB=2BQ，得6-t=2t，t=2；
②当∠BPQ=90°时，∵∠B=60°，∴BQ=2BP，得t=2（6-t），t=4，
∴当第2秒或第4秒时，△PBQ为直角三角形．∴④正确．故选C．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识点，掌握相关知识是解题关键.
8．B
【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，三角形周长计算，分腰长为3和6两种情况，求出等腰三角形的三边长，再根据构成三角形的条件验证是否能构成三角形，最后根据周长计算公式求解即可．
【详解】解：当腰长为3时，则该等腰三角形的三边长为3，3，6，
∵，
∴此时不能构成三角形，不符合题意；
当腰长为6时，则该等腰三角形的三边长为3，6，6，
∵，
∴此时能构成三角形，符合题意，
∴该三角形的周长为，
故选：B．
9．C
【详解】等腰三角形“三线合一”，AD也是角平分线．可以得出=．选C
10．D
【分析】此题考查了真命题：正确的命题是真命题，根据等腰三角形的性质，平行线的性质，因式分解及乘法性质依次判断即可得到结果
【详解】解：A.如果，那么或，故此命题是假命题，不符合题意；
B.两直线平行，同旁内角互补，故此命题是假命题，不符合题意；
C.当腰长为2时，三边长分别为2，2，5，此时不能构成三角形，舍去；
当腰长为5时，三边长分别为5，5，2，此时三角形周长为，
故此命题是假命题，不符合题意；
D.将多项式因式分解的结果是，是真命题，符合题意；
故选：D.
11．C
【分析】本题考查垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理．
由垂直平分线的性质可得，，根据“等边对等角”可得，，从而，根据三角形的内角和定理求得，从而得到，根据可求得．
【详解】连接，
∵垂直平分，垂直平分，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故选：C
12．C
【分析】由已知条件根据等边三角形的性质、角平分线的性质求解．
【详解】解：如图，
∵等边三角形ABC中，BD，CE分别是∠ABC，∠ACB的角的平分线，交于点I，
∴∠1＝∠2＝∠ACB＝30°，
∴∠BIC＝180°﹣（∠1+∠2）＝120°．
故选：C．
【点睛】此题主要考查等边三角形的性质，解题的关键是根据题意作出图形进行求解.
13．8
【分析】分别以点O、A为圆心，以OA的长度为半径画弧，与坐标轴的交点即为所求的点P的位置．
【详解】解：如图，以点O、A为圆心，以OA的长度为半径画弧，OA的垂直平分线与坐标轴的交点有2个
综上所述，满足条件的点P有8个．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，坐标与图形性质，利用数形结合的思想求解更简便．
14．
【分析】根据等腰三角形的定义，得出，再根据垂直平分线的性质，得出，再根据等边对等角，得出，再根据三角形的外角的性质，得出，再根据等量关系，列出方程，解出即可得出答案．
【详解】解：∵是等腰三角形，
∴，
又∵垂直且平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、垂直平分线的性质，解本题的关键在根据角之间的等量关系，列出方程．
15．
【分析】取得中点N，连接，，，作交的延长线于点H，先求出，，，再说明是等边三角形，根据“”证明≌，可求，即可得出点G的运动轨迹是射线，然后证明≌，可确定的最小值，根据勾股定理求出答案即可．
【详解】解：如图，取得中点N，连接，，，作交的延长线于点H．
由题意，得，，．
∵点N是的中点，
∴，
∴．
∵，
∴是等边三角形，
∴，，，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴点G的运动轨迹是射线．
∵，，，
∴，
∴，
∴．
在中，，，，
∴，，
∴．
根据勾股定理，得，
∴，
∴的最小值是．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行四边形与旋转的综合问题，全等三角形的性质和判定，三角形三边关系，勾股定理等，确定点G的运动轨迹是解题的关键．
16．67.5°或45°或22.5°
【详解】分析：由于没有说明△AEC的顶点，所以分情况进行讨论．
详解：如图，
当AC=AE时，
以A为圆心，AC为半径作圆交直线AB于点E，
当E在BA的延长线时，
∴∠EAC=135°，
∴∠BEC=22.5°，
∴∠BCE=∠BCA+∠BEC=67.5°
当E在AB的延长线时，
∴∠EAC=45°，
∴∠ACE=67.5°
∴∠BCE=∠ACE-∠ACB=22.5°
当AC=CE时，
当以C为圆心AC为半径作圆交直线AB于点E
∴∠EAC=∠CEA=45°，
∴∠BCE=45°，
故答案为67.5°或45°或22.5°
点睛：以AC为腰的等腰三角形△AEC中有两种情况：（1）AC=AE，当E在BA的延长线时和当E在AB的延长线时求得∠BCE；（2）AC=CE，利用等腰三角形的性质求解.
17．1
【分析】本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质，全等三角形判定以及性质，过C点作交与点G，由线段中点的定义可得出，由等腰三角形三线合一的性质可得出，，由等角的补角相等可得出，再证明，由全等三角形的性质可得出，由线段的和差关系可得出，进一步即可得出答案．
【详解】解：过C点作交与点G，
∵点为中点，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
故答案为：1．
18．(1)
(2)见详解
【分析】（1）根据，， ，进行计算，即可求解．
（2）可证，，从而可得，即可求证．
【详解】（1）解：原式
；
（2）证明：，点是的中点，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，等腰三角形的性质，平行线的判定方法，掌握运算法则及性质是解题的关键．
19．（1）=；（2）详见解析；（3）1或3.
【分析】（1）根据等边三角形的性质得到∠BCE=∠ACE=30°，∠ABC=60°，根据等腰三角形的判定定理BD=BE，根据点E为AB的中点解答；
（2作EF∥BC交AC于F．证明△DBE≌△EFC，推出BD=EF=AE，推出BD=AE，即可得到结论；
（3）分两种情形讨论，当E在BA的延长线上时，作EF∥AC交BD的延长线于F，易证△EBD≌△EFC，可得BD=CF=AE=2，CD=BD﹣BC=2﹣1=1；当E在AB的延长线上时，作EF∥BC交AC的延长线于F，易证△EBD≌△CFE，可得BD=EF=AE=2，CD=BD+BC=2+1=3．由此即可解决问题．
【详解】∵△ABC是等边三角形，AE=EB，∴∠BCE=∠ACE=30°，∠ABC=60°．
∵ED=EC，∴∠D=∠ECD=30°．
∵∠EBC=∠D+∠BED，∴∠D=∠BED=30°，∴BD=BE=AE．
故答案为=；
（2）结论：AE=BD．
理由如下：如图（2），作EF∥BC交AC于F．
∵EF∥BC，∴∠AEF=∠B=60°，∠ECD=∠CEF，∴∠D=∠CEF．
∵∠AEF=∠B=60°，∠A=60°，∴△AEF是等边三角形，∴AE=EF=AF，∠AFE=60°，∴∠EFC=∠DBE=120°．
∵AB=AC，AE=AF，∴BE=CF．
∵ED=EC，∴∠D=∠ECD．
在△DBE和△FEC中，∵，∴△DBE≌△EFC（AAS），∴BD=EF，∴BD=AE．
（3）如图（4）中，当E在BA的延长线上时，作EF∥AC交BD的延长线于F，则△EBD≌△EFC（AAS），∴BD=CF=AE=2，CD=BD﹣BC=2﹣1=1．
如图（5）中，当E在AB的延长线上时，作EF∥BC交AC的延长线于F，则△EBD≌△CFE（AAS），∴BD=EF=AE=2，CD=BD+BC=2+1=3．
综上所述：CD的长为1或3．
故答案为1或3．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质．等腰三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
20．
【分析】此题考查三角形三边关系，等腰三角形的性质，解题关键在于分情况讨论．分情况讨论：若，若，若，分别根据题意求出三角形的边长，再根据三角形的三边关系判断即可．
【详解】解：若，则，
解得：，
，
，
不满足三角形三边关系，舍去；
若，则，
解得：，
，
，
三角形周长为：；
若，则，
解得：，
，不满足三角形三边关系，舍去；
综上，这个三角形的周长为．
21．(1)成立，理由见解析
(2)见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，即可．
（1）根据，，，则，根据全等三角形的判定和性质，则，得到，，即可；
（2）根据等边三角形的性质，则，，根据三角形角的数量关系，则，根据全等三角形的判定和性质，推出，；根据全等三角形的判定和性质，，即可．
【详解】（1）解：成立，理由如下：
∵，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴．
（2）解：∵和均为等边三角形，
∴，，
∵，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
22．(1)
(2)米
(3)可行，证明见解析
【分析】（1）利用直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，再由等角对等边可得，于是得解；
（2）利用三角形外角的性质可得，进而可得，再由等角对等边可得米，于是得解；
（3）由题意可知，利用可证得，由全等三角形的性质可得，于是可得结论．
【详解】（1）解：，，
，
，
，
要知道河宽，只需要知道线段的长度，
故答案为：；
（2）解：，，
，
，
（米），
河宽为米；
（3）解：可行，证明如下：
由题意可知：，
在和中，
，
，
，
只要测得就能得到河宽，
故第三小组的方案可行，
答：第三小组的方案可行．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的两个锐角互余，等角对等边，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握上述知识点并运用数形结合思想是解题的关键．
23．（1）①见解析；②DE=8；（2）CE=1．
【分析】（1）如图1，根据垂直的定义和同角的余角相等得到∠E=∠D=90°，∠1=∠2，则结合已知条件AC=BC由AAS证得：△ACE≌△CBD；
②如图2，同（1），证得△ACE≌△CBD，则根据全等三角形的对应边相等推知：CE=BD=4，AE=CD=2，故DE=CE﹣CD=4﹣2=2．
(2) 过F作FM⊥BC于M，求出BM=MF，求出∠C=∠FMD，∠CED=∠MDF，证△CED≌△MDF，推出DM=CE，CD=FM=2即可．
【详解】（1）∵BD⊥DE，AE⊥DE，
∴∠E=∠D=90°．
又∵∠ACB=90°，
∴∠1=∠2，
∴在△ACE与△CBD中，
，
∴△ACE≌△CBD（AAS）；
②如图2，同（1），证得△ACE≌△CBD，
∴CE=BD=5，AE=CD=3，
∴DE=CE+CD=5+3=8．
（2）过F作FM⊥BC于M，

则∠FMB=∠FMD=90°，
∵∠C=90 ，AC=BC，
∴∠B=∠A=45°，
∴∠MFB=∠B=45°，
∴BM=MF，
∵DE⊥DF，
∴∠EDF=∠FMD=∠C=90°，
∴∠CED+∠CDE=90 ,∠CDE+∠FDM=90°，
∴∠CED=∠FDM，
在△CED和△MDF中，
，
∴△CED≌△MDF(AAS)，
∵CD=2，BD=3，
∴DM=CE，CD=FM=2=BM，
∴CE=DM=3 2=1，
故答案为1．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质及旋转的性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
24．（1）详见解析；（2）详见解析
【分析】（1）根据，，列出等量关系，通过等量代换即可得到；
（2）根据角平分线可得∠CAF=∠BAF，再根据三角形的外角的性质即可证得．
【详解】解：（1）∵，
∴∠CAB+∠B=90°，
∠CAB+∠ACD=90°，
∴
（2）∵平分
∴∠CAF=∠BAF
又∵∠CEF和∠CFE分别是△AEC和△ABF的外角，
∴∠CEF=∠CAF+∠ACD
∠CFE=∠BAF+∠B
又∵
∴∠CEF=∠CFE
∴CE=CF
【点睛】本题考查了直角三角形的性质、等腰三角形的判定以及三角形外角的性质，解题的关键是灵活运用上述知识进行推理论证．
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