10.2分式的基本性质同步练习（含解析）

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10.2分式的基本性质
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．当m>0，n>0时，若m、n都扩大为原来的k倍，则分式的值( )
A．缩小到原来的 B．扩大到原来的k倍
C．缩小到原来的 D．扩大到原来的k2倍
2．分式和的最简公分母是( )
A．12abc B．12a2bc C．24abc D．24a2bc
3．不改变分式的值，把它的分子和分母中各项系数都化为整数，则所得结果为（　　）
A． B． C． D．
4．若，则下列分式化简正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．如果把分式中的a和b都扩大两倍，则分式的值（ ）
A．变为原来的4倍 B．变为原来的 C．不变 D．变为原来的2倍
6．给出下列判断：①和0.25都是正分数：②是二次三项式；③；④几个有理数相乘，当负因数有奇数个时，积为负．其中判断正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
8．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
9．若x2﹣4x﹣1=0，则=（　　）
A． B．﹣1 C． D．﹣
10．下列四个分式中，为最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
11．下列式子从左到右变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．若把分式 的x、y同时扩大10倍，则分式的值（ ）
A．扩大为原来的10倍 B．缩小为原来的 C．不变 D．缩小为原来的
二、填空题
13．化简：． ．
14．、、的公分母是 .
15．化简：＝ ．
16．分式与的最简公分母是
17．（1）；
（2）；
（3）；
三、解答题
18．请从下列三个代数式中任选两个构成一个分式，并化简该分式：
19．阅读理解：对于二次三项式a2+2ab+b2，能直接用完全平方公式进行因式分解，得到结果为（a+b）2．而对于二次三项式a2+4ab﹣5b2，就不能直接用完全平方公式了，但我们可采用下述方法：
a2+4ab﹣5b2＝a2+4ab+4b2﹣4b2﹣5b2＝（a+2b）2﹣9b2，
＝（a+2b﹣3b）（a+2b+3b）＝（a﹣b）（a+5b）．
像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法．
解决问题：
（1）请利用上述方法将二次三项式a2+6ab+8b2分解因式；
（2）如图，边长为a的正方形纸片1张，边长为b的正方形纸片8张，长为a，宽为b的长方形纸片6张，这些纸片可以拼成一个不重叠，无空隙的长方形图案，请画出示意图；
（3）已知x＞0，且x≠2，试比较分式与的大小．
20．（1）有两块棉田，第一块xhm2，收棉花mkg；第二块yhm2，收棉花nkg．这两块棉田平均每公顷的棉产量是多少？
（2）一件商品售价x元，利润率为a%（a＞0），则这种商品每件的成本是多少元？
21．一杯盐水，第一次加入一定量的水后，盐水的含盐率变为；第二次又加入同样多的水，盐水的含盐率变为；第三次加入同样多的水，盐水的含盐率将变为百分之几？
22．如图1，有一个高为的瓶子，瓶中水面的高度为，盖好瓶盖后倒置，这时瓶中水面的高度为，如图2，用代数式表示瓶中水的体积与瓶子容积之比；当时，求出这个比值．
23．已知，，且，求证：．
24．已知实数满足，若，，请你猜想与的数量关系，并证明．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B B D B C B C A D
题号 11 12
答案 B B
1．A
【详解】若m、n都扩大为原来的k倍，则原分式变为： ，∴分式的值缩小到原来的 ，故选A.
2．B
【分析】根据最简公分母定义：数字部分要取最小公倍数,相同字母取最高次幂,并且所有字母都要出现,熟悉概念即可解题.
【详解】解：数字部分：6和4的最小公倍数是12,
字母部分：a2b和abc一共有三个字母出现,并且a的最高次幂是2次幂,
将数字部分和字母部分相乘得12a2bc,
故选B.
【点睛】本题考查了分式的最简公分母,属于简单题,熟悉概念是解题关键.
3．B
【分析】根据分式的基本性质：分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式值不变，即可求出答案．
【详解】解：原式＝．
故选：B．
【点睛】本题考查的知识点是分式的基本性质，熟记性质内容是解此题的关键．
4．D
【分析】本题考查了分式基本性质的应用，掌握分式的基本性质是关键；根据分式基本性质化简即可判断．
【详解】解：前三个选项的分子分母不能约分，而，则此选项正确；
故选：D．
5．B
【分析】依题意分别用2a和2b去代换原分式中的a和b，利用分式的基本性质化简即可．
【详解】解∶ 把分式中的a和b都扩大两倍，
得，
故分式的值变为原来的．
故选∶B．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．
6．C
【分析】根据有理数相关概念、多项式相关概念、分式运算和有理数的乘法运算法则逐项判定即可．
【详解】解：①，故①符合题意；
②是一个三项式，多项式的次数取这项的次数为二次，故②符合题意；
③根据分式中分子或分母的符号可以提到分数线前，则，故③符合题意；
④根据有理数的乘法运算法则，几个非零的有理数相乘，奇数个负数相乘结果为负、偶数个负数相乘结果为正，故④不符合题意；判断正确的有3个，
故选：C．
【点睛】本题考查数与式的基本概念及性质，涉及到有理数相关概念、多项式相关概念、分式运算和有理数的乘法运算法则，熟练掌握相关概念及性质是解决问题的关键．
7．B
【分析】本题主要考查了分式的约分，直接把该分式的分母同时约去即可得到答案．
【详解】解：，
故选：B．
8．C
【分析】本题考查分式的化简，将分母化简后，分子分母同时约去公因式即可解答．
【详解】解：．
故选：C
9．A
【分析】先把已知条件变形为x =4x+1,然后代入原式化简即可.
【详解】∵x2﹣4x﹣1=0，∴x =4x+1.
∴=
=.
故选A.
【点睛】本题考查了分式的化简，解题的关键是把分子分母因式分解后约分，解题时注意整体代入思想的应用.
10．D
【分析】直接利用分式的基本性质化简以及最简分式的定义逐项判定，进而得出答案．
【详解】解：A．，不是最简分式，故此选项不符合题意；
B．，不是最简分式，故此选项不符合题意；
C．，不是最简分式，故此选项不符合题意；
D．是最简分式，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了最简分式，正确掌握最简分式的定义是解题的关键．
11．B
【分析】根据分式的基本性质：分式的分子和分母只能同时乘或除以一个不等于0 的整式，分式的值不变，进行判断即可．
【详解】解：A. ，分式的分子和分母只能同时乘或除以一个不等于0 的整式，不可以分子除以m、分母除以n，故此选项不合题意；
B. ，此选项正确，符合题意；
C. ，故此选项不合题意；
D. ，故此选项不合题意；
故选：B．．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，分式的加减法，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质
12．B
【详解】试题解析：∵分式中的x，y的值同时扩大10倍，分子扩大10倍，分母扩大100倍，
∴分式的值缩小为原来的．
故选B．
13．.
【详解】试题分析：先将分式的分子因式分解，再约分，即可求解：，故答案为a+b．
考点：分式的化简.
14．12x3y－12x2y2
【分析】根据确定最简公分母的方法进行解答即可．
【详解】系数的最小公倍数是12；
x的最高次数是2；
y与（x-y）的最高次数是1；
所以最简公分母是12x2y（x-y）．
故答案为12x2y（x-y）．
【点睛】此题考查了最简公分母的取法，确定最简公分母的方法有三步，分别为：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，三步得到的因式的积即为最简公分母．
15．x
【分析】把分子分解因式，然后利用分式的性质化简得出答案．
【详解】解：原式＝＝x．
故答案为：x．
【点睛】本题考查了分式的约分，熟练掌握分式的基本性质是解答本题的关键，本题也考查了因式分解.
16．xyz
【分析】取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．当各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里，据此即可得出结果．
【详解】解：分式与的分母分别为xy与yz，
∴最简公分母为xyz，
故答案为：xyz.
【点睛】本题主要考查分式的最小公分母，解此题的关键在于准确得到分母的最小公倍数.
17．
【分析】（1）根据分式的基本性质，分子分母同乘-1即可；
（2）根据分式的基本性质，分子分母同除以xy即可；
（3）根据分式的基本性质，分子分母同乘-2-y即可．
【详解】解：（1），
故答案为：；
（2），
故答案为：；
（3）
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，解题关键是熟练运用分式基本性质进行分式变形，确定分子分母同时乘除的整式．
18．
【分析】根据分式的定义和概念进行作答．
【详解】解：
.
【点睛】此题考查分式的基本性质，解题关键在于掌握运算法则.
19．（1）（a+2b）（a+4b）；（2）见解析；（3）
【分析】（1）根据题目的引导，先分组，后运用公式法对原式进行因式分解；
（2）根据第一问的因式分解结果，对图形进行排列即可；
（3）对两个分式的分子和分母分别进行因式分解，然后对分式进行化简并比较大小.
【详解】解：（1）原式＝a2+6ab+9a2﹣b2＝（a+3b）2﹣b2＝（a+3b﹣b）（a+3b+b）＝（a+2b）（a+4b）；
（2）如图：
（3）；；
∵x＞0，
∴x+4＜x+6，
∴.
【点睛】本题考查了因式分解的应用，通过因式分解化简分式，根据分母大，分数值反而小来比较大小是解题的关键.
20．（1）这两块棉田平均每公顷的棉产量是千克；（2）这种商品每件的成本是元．
【分析】（1）直接利用总产量除以公顷数=平均每公顷的棉产量得出答案；
（2）利用成本（1+a%）=售价，进而得出等式求出答案．
【详解】解：（1）由题意可得：，
答：这两块棉田平均每公顷的棉产量是千克；
（2）设这种商品每件的成本是y元，根据题意可得：
y（1+a%）=x，
则y=，
答：这种商品每件的成本是元．
【点睛】本题主要考查了列代数式，以及分式的化简，正确掌握成本与利润关系是解题关键．
21．
【分析】本题考查列代数式，分式的除法等知识，根据题意设出未知数并列式是解题的关键．设第一次加水后盐水的质量为，则盐的质量是，再根据“第二次又加入同样多的水，盐水的含盐率变为”求出每次加水的质量，从而得解．
【详解】设第一次加水后盐水的质量为，则盐的质量是，
第二次加水后的盐的质量不变，
∴第二次加水后盐水的质量为：，
∴每次加水的质量为：，
∴第三次加水后，盐水的含盐率为：，
答：盐水的含盐率将变为．
22．，
【分析】此题考查圆柱体体积的应用，解题的关键是理解掌握“转化”的思想方法在推导过程中的应用．
根据“瓶子容积等于正放时水的体积加倒放时空白的体积”，即可列式；
瓶子容积等于正放时水的体积加倒放时空白的体积，即底面积底面积，也就是底面积；水的体积为底面积，即可得到答案．
【详解】解：瓶子容积等于正放时水的体积加倒放时空白的体积，
设瓶子的底面积为S，即；水的体积为，
瓶中水的体积与瓶子容积之比为，
∵瓶子的容积底面积底面积底面积，水的体积底面积，
∴瓶中水的体积：瓶子容积（底面积）：（底面积），
答：这个比值是．
23．见解析
【分析】本题考查了分式的基本性质，等式的基本性质，用平方差公式分解因式等知识点，能正确根据分式和等式的性质进行计算是解此题的关键．先根据分式的进行性质等式的两边都乘得出，去括号，移项，合并同类项得出再根据平方差公式分解因式，最后求出答案即可．
【详解】证明：，
等式的两边都乘，得，
，
，
，
，
∵，，
∴，
∴，
即．
24．M=N，证明见解析
【分析】将代入M中，然后化简即可得出结论．
【详解】解：M=N，证明如下
将代入M中，得
∵
∴M=N
【点睛】此题考查的是分式的运算，掌握分式的基本性质是解决此题的关键．
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