11.2立方根同步练习（含解析）

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11.2立方根
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下面给出的结论中，①立方根等于算术平方根的是0；②在同一个平面内，经过一点可以画一条直线和已知直线平行；③；④若，则；⑤邻补角的两条角平分线构成一个直角；⑥经过一个已知点只能画一条直线和已知直线垂直；⑦若ab，，那么；⑧是的平方根，其中不正确的说法有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
2．下列说法正确的是（ ）
A．16的平方根是4 B．负数没有立方根
C．a的算术平方根是 D．1是1的平方根
3．随着张吉怀高铁在2021年建成通车，昔日饱受交通制约的湘西州，也迎来了便捷的现代化快速交通．在湘西州花垣县，还有一个现代化的交通大工程——湘西机场正在建设．建设机场多余的土方呈圆锥形，土方的底面直径为100米，高度为50米．现在用卡车将土方运送到15公里外的垃圾池进行填平，已知垃圾池是规则的立方体，并且土方刚好填满垃圾池．请问垃圾池的底面边长大约是多少米（π取3）（ ）
A．50 B．60 C．70 D．40
4．下列说法不正确的是（ ）
A．是0.09的平方根，即 B．存在立方根和平方根相等的数
C．正数的两个平方根的积为负数 D．的平方根是
5．下列选项中，正确的是（ ）
A． B．的相反数是
C． D．
6．若，则下列式子正确的是( )
A． B． C．(-x)3=-2 D．x=(-2)3
7．下列说法正确的是(　　)
A．－64的立方根是4 B．9的平方根是±3
C．4的算术平方根是16 D．0.1的立方根是0.001
8．下列计算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．的立方根是（ ）
A． B． C．4 D．
10．已知=1.147，=2.472，=0.5325，则的值是（　　）
A．24.72 B．53.25 C．11.47 D．114.7
11．下列说法中，正确的是(　 　)
A．－4没有立方根 B．1的立方根是±1
C．的立方根是 D．－5的立方根是
12．已知a是的平方根，b＝，c是﹣8的立方根，则a+b﹣c的值为（　　）
A．15 B．15或﹣3 C．9 D．9或3
二、填空题
13．若有意义，的最大值为 ．
14．若的平方根是，－8的立方根是，则的值是 ．
15．借助计算器探索：________，________，
由此猜想________.
16．﹣的相反数是 ，的倒数是 ，的立方根是 ．
17．已知，则的平方根是 ．
三、解答题
18．（1）计算：；
（2）解方程：．
19．如图，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为64．
（1）图中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积及其边长；
（2）请你在数轴上用刻度尺和圆规表示比正方形的边长大1的数．（不写做法，保留作图痕迹）
20．观察下表，并解答下列问题．
1 1000 1000000
1 10 100
【规律总结】
（1）根据上表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动__________位．
【规律应用】
（2）已知，，．
①__________．
②用铁皮制作一个封闭的正方体，使它的体积为3000立方米，则需要多大面积的铁皮？（参考数据：，，）
21．如图，一个底面半径为的瓶子内装着一些溶液．当瓶子正放时，瓶内溶液的高度为；倒放时，空余部分的高度为．瓶内的溶液正好倒满2个一样大的正方体容器（取3，容器的厚度不计）．
(1)该瓶子的容积（装满时溶液的体积）是多少立方厘米？
(2)正方体容器的棱长是多少厘米？
22．已知甲正方体纸盒的底面积为，乙正方体纸盒的体积比甲正方体纸盒的体积大，丙正方体纸盒的体积是乙正方体纸盒体积的．
(1)求乙正方体纸盒的体积．
(2)求丙正方体纸盒的棱长．
23．对于一个三位正整数，如果十位上的数字是其百位上的数字与个位数字之和，那么我们称这个三位正整数为“十和数”．比如：三位正整数297，因为9＝2+7，所以297是“十和数”．已知一个三位正整数的个位，十位，百位上的数字分别为a，b，c．
(1)若某个三位正整数是“十和数”，请证明个三位正整数能被11整除；
(2)已知某个三位正整数的各位上的数字之和是一个正整数的立方，且这个三位正整数是“十和数”，求满足条件的所有三位正整数．
24．先判断下列等式是否成立：
（1） （ ） （2） （ ）
（3） （ ） （4） （ ）
……….
经判断：
（1）请你写出用含的等式表示上述各式规律的一般公式.
（2）证明你的结论.
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D A D B B B C A C
题号 11 12
答案 D D
1．C
【分析】根据立方根与平方根的定义可以判断①③④⑧，根据平行线的性质与垂线的性质可以判断②⑥，根据邻补角与角平分线的定义可以判断⑤，根据平行线的性质可以判断⑦，平方根：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫a的平方根，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根．立方根：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做 a的立方根．
【详解】解：①立方根等于算术平方根的是0和1，故①不正确，
②在同一个平面内，经过已知直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行，故②错误；
③，故③不正确，
④若，则，故④不正确，
⑤邻补角的两条角平分线构成一个直角，故⑤正确；
⑥同一平面内，经过一个已知点只能画一条直线和已知直线垂直，⑥不正确，
⑦若ab，，那么，⑦正确
⑧是的平方根，⑧不正确
有6个不正确，
故选C
【点睛】本题考查了立方根与平方根的定义，平行线的性质与垂线的性质，邻补角与角平分线的定义，平行线的性质，掌握以上知识点是解题的关键．
2．D
【分析】根据平方根的定义和性质、立方根的性质逐项判断即可．
【详解】解：A．因为16的平方根为，故本选项错误，不符合题意；
B．因为负数的立方根是负数，故本选项错误，不符合题意；
C．当 时，没有算术平方根，故本选项错误，不符合题意；
D．1是1的平方根，故选项正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平方根的定义和性质、立方根的性质等知识点，熟练掌握平方根的定义和性质、立方根的性质是解题的关键．
3．A
【分析】根据题意得：垃圾池的体积等于圆锥形土方的体积，求出圆锥形土方的体积，即可求解．
【详解】解：根据题意得：垃圾池的体积等于圆锥形土方的体积，
，
∴垃圾池的底面边长大约是米．
故选：A
【点睛】本题主要考查了立方根的应用，明确题意，理解垃圾池的体积等于圆锥形土方的体积是解题的关键．
4．D
【解析】略
5．B
【分析】本题主要考查的是相反数定义、立方根、算术平方根及绝对值的性质，掌握立方根、算术平方根的定义在是解题的关键．直接根据立方根与平方根的定义计算判断即可．
【详解】解：A、，故A错误，不符合题意；
B、的相反数是，故B正确，符合题意；
C、，故C错误，不符合题意；
D、，故D错误，不符合题意．
故选：B．
6．B
【分析】利用立方根的定义分析得出答案．
【详解】解：∵x= ，
∴x3=-2，
故选B．
【点睛】本题考查立方根的定义，正确把握定义是解题关键．
7．B
【分析】依据立方根、平方根和算术平方根的性质求解即可．
【详解】A. 64的立方根是 4，故A错误；
B.9的平方根是±3，故B正确；
C.4的算术平方根是2，故C错误；
D.0.1是0.001的立方根，故D错误.
故选B.
【点睛】考查平方根，算术平方根以及立方根，掌握它们的概念是解题的关键.
8．C
【分析】本题主要考查算术平方根及立方根，熟练掌握求一个数的算术平方根及立方根是解题的关键．分别根据算术平方根的定义以及立方根的定义逐一判断即可．
【详解】解：A、，故本选项不符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项符合题意；
D、，故本选项不符合题意；
故选：C．
9．A
【分析】根据立方根的定义可直接求解．
【详解】解：的立方根是，
故选：A．
【点睛】本题考查了求一个数的立方根，熟知如果一个数的立方等于a，那么这个数叫a的立方根是解题的关键．
10．C
【详解】∵比的被开方数小数点向右移动了3位，且=1.147，
∴＝11.47；
故选C．
11．D
【详解】试题分析：A、－4的立方根是，故此选项错误；
B、1的立方根是1，故此选项错误；
C、的立方根是≠，故此选项错误；
D、－5的立方根是，故此选项正确．
故选D．
点睛：本题考查了立方根的定义：若一个数x3＝a，则x叫做a的立方根，记作，注意正数、负数、0都有立方根．
12．D
【分析】先根据平方根、算术平方根、立方根的定义求得a、b、c的值，再代入所求代数式即可计算.
【详解】∵a是的平方根，b，c是﹣8的立方根，
∴a=3或﹣3，b=4，c=﹣2，
①当a=3，b=4，c=﹣2时，a+b﹣c=3+4﹣(﹣2)=9，
②当a=﹣3，b=4，c=﹣2时，a+b﹣c=﹣3+4﹣(﹣2)=3，
则a+b﹣c=9或3.
故选：D.
【点睛】本题考查了平方根，立方根和算术平方根，熟练掌握各自的性质是解答本题的关键.
13．
【分析】根据算术平方根定义可知有意义得出，从而得到，进而得到的最大值为，代入得到最大值为．
【详解】解：有意义，
，解得，
的最大值为，
的最大值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查算术平方根的定义，立方根等知识，熟练掌握算术平方根有意义的条件是解决问题的关键．
14．0或－4
【分析】依题意，a＝±2，b＝ 2，由此可得a＋b．
【详解】依题意，＝4，则a＝±2．
又b3＝ 8，则b＝ 2，
所以a＋b＝0或a＋b＝-4．
故答案为：0或－4．
【点睛】本题考查平方根及立方根的求解，解题的关键是熟知平方根与立方根的性质．
15．555；5555；
【分析】先利用计算器求出结果，可以发现：当根式内的两个平方和的底数为3位数时，结果为555；当根式内的两个平方和的底数为3位数时，结果为555，当根式内的两个平方和的底数为n位数时，结果为n个5．
【详解】∵555，5555，
∴.
故答案为555；5555；
【点睛】此题主要考查了利用计算器进行数的开方，解题时先求出较简单的数，然后找出规律，推理出较大数的结果．
16．
【分析】根据相反数的性质、倒数的性质和立方根的性质求解即可；
【详解】的相反数是；
的倒数是；
的立方根是；
故答案是；；．
【点睛】本题主要考查了相反数的性质，倒数的性质和立方根的性质，准确计算是解题的关键．
17．
【分析】根据非负数的性质列方程求得a和b的值，然后求解．
【详解】解：，
，
解得：，
，
的平方根为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了非负数的性质，立方根，平方根等知识点，根据非负数的性质求出a和b的值是解题的关键．
18．（1）；（2）
【分析】（1）先分别计算零指数幂、负指数幂、立方根，再计算加减；
（2）先分式两边同时乘以，再去括号移项合并同类项，最后检验．
【详解】（1）解：原式=
．
（2）解：分式两边同时乘以得，
去括号得
移项合并同类项得．
检验：把代入，得
∴是原分式方程的解．
【点睛】本题考查了零指数幂、负指数幂、立方根和解分式方程，熟练掌握运算法则是解题的关键．
19．（1）阴影部分的面积为8，边长为；（2）见解析.
【分析】（1）根据魔方的体积可求出魔方的棱长，然后可得小立方体的棱长，阴影部分由4个直角三角形组成，算出一个直角三角形的面积乘以4即可得到阴影部分的面积，开平方即可求出边长；
（2）以数轴上3的位置垂直数轴作垂线，并以3点为圆心2为半径做圆弧角垂线于一点E，连接数轴上的1点与E点，并以该线段为半径，1点为圆心做圆，与数轴的交点为所求的数的位置..
【详解】解：（1）∵，
∴魔方的棱长为4，
∴小立方体的棱长为2，
∴阴影部分的面积为：，
∴其边长为，即；
（2）如图所示．
【点睛】本题主要考查了立方根和算术平方根的应用，求出小立方体的棱长是解答本题的关键．
20．（1）一；（2）①；②1248平方米
【分析】本题主要考查了立方根的变化规律，熟练掌握立方根的变化规律是解决本题的关键．
（1）从被开方数的小数点，以及相应的立方根的小数点的移动来找规律，回答即可；
（2）①根据解析（1）中规律进行解答即可；
②先根据正方体的体积求出棱长，再求出正方体盒子的表面积即可．
【详解】解：（1）根据上表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动一位．
（2）①∵，
∴；
②∵正方体的体积为3000立方米，
∴正方体的棱长为：米，
∴需要铁皮的面积为：
（平方米）．
21．(1)
(2)
【分析】本题考查有理数的混合运算、求一个数的立方根，还涉及求常见几何体的体积，读懂题意，得出“瓶子的容积与同底、高为的圆柱体积相等”是解题的关键．
（1）瓶子的容积与同底、高为的圆柱体积相等，由此可解；
（2）首先求出瓶内的溶液的体积，然后根据瓶内的溶液正好倒满2个一样大的正方体容器求解即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：因为．
所以棱长．
22．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了立方根和算术平方根的应用，熟练掌握算术平方根和立方根定义，是解题的关键．
（1）先求出甲正方体的边长，然后求出甲正方体的体积，再求出乙正方体的体积即可；
（2）先求出丙正方体的体积，再求出其棱长即可．
【详解】（1）解：∵甲正方体纸盒的底面积为，
∴甲正方体纸盒的边长为，
∴甲正方体纸盒的体积为：，
∵乙正方体纸盒的体积比甲正方体纸盒的体积大，
∴乙正方体纸盒的体积为．
（2）解：∵丙正方体纸盒的体积是乙正方体纸盒体积的，
∴丙正方体的体积为：，
∴丙正方体纸盒的棱长为．
23．(1)见解析
(2)满足条件的所有三位正整数是440或143或242或341．
【分析】（1）根据“十和数”的定义，得a+c=b，将这个三位正整数因式分解即可得证；
（2）根据题意，可得a+b+c=n3（n为正整数），根据“十和数”的定义，得a+c=b，从而求出b的值，进一步即可确定a和c的值．
【详解】（1）解：根据“十和数”的定义，得a+c=b，
∴这个三位正整数为100a+10b+c=99a+11b=11（9a+b），
∴这个三位正整数能被11整除；
（2）根据题意，得a+b+c=n3（n为正整数），
∵a+c=b，
∴2b=n3，
∵,且为正整数，
∴正整数b=4，n=2，
此时a+c=4，
∴正整数a和c的取值如下： a=3，c=1； a=2，c=2； a=1，c=3，a=4，c=0
∴这个三位数为440或143或242或341．
【点睛】本题考查了因式分解的应用与二元一次方程的应用，理解新定义并灵活运用是解题的关键．
24．四个结论均成立，（1） ；（2）见解析.
【详解】试题分析：（1）根据立方根的意义，化简判断，然后根据特点列出规律的式子即可；
（2）利用立方根的意义，化简变形，得到证明过程.
试题解析：经判断四个结论均成立.
（1） .
（2）.
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