11.4无理数与实数同步练习（含解析） 北京版数学八年级上册

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11.4无理数与实数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列各数中，是无理数的为( )
A． B．3.14 C． D．
2．下列各数是无理数的是（ ）
A．0 B．1 C． D．
3．已知a=（-0.3）0，b=-3-1，c= ，比较a，b，c的大小（ ）
A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．b＜a＜c
4．下列四个数中，最小的是（　　）
A． B． C． D．
5．对于的运算结果的估计正确的是（ ）
A．1<<2 B．2<<3 C．3<<4 D．4<<5
6．有下列说法：①任何一个实数都可以用分数表示；②无理数与无理数的和一定是无理数；③无理数的平方一定是无理数；④实数与数轴上的点是一一对应的.其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．下列说法错误的个数是( )
①无理数都是无限小数；②的平方根是±2；③-9是81的一个平方根；
④；⑤与数轴上的点一一对应的数是实数.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．下列各数：3，0.26，，0，，（每两个3之间增加1个0）中，无理数的个数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．估计的值应在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
10．若m＝，则估计m的值所在的范围是（　　）
A．4＜m＜5 B．5＜m＜6 C．6＜m＜7 D．7＜m＜8
11．如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点A与数轴上表示的点重合，将该圆沿数轴正方向滚动1周，点A到达点处，则点表示的数为（　　）
A． B． C． D．或
12．在实数中，最大的数是（ ）
A．0 B． C． D．0．98
二、填空题
13．比较大小： 4； .
14．若a是介于与之间的整数，b是的小数部分，则ab-2的值为
15．（1） ；（2） ；（3） ；（4） ．
16．比较大小： 2．
17．对于两个不相等的实数a、b，我们规定：符号Max{a，b}表示a、b中的较大数，如：Max{﹣2，﹣4}=﹣2．按照这个规定，方程Max{x，﹣x}= 的解为 ．
三、解答题
18．化简：
19．把下列各数表示在数轴上（近似位置即可），并按从小到大的顺序用“”连接．
20．一个圆柱的体积是，且底面圆的直径与圆柱的高相等，求这个圆柱的底面半径是多少？（保留2个有效数字）
21．武汉市某路边开辟一块长方形荒地建设口袋公园，已知这块地的长是宽的2倍，面积是．
(1)求这块地的长和宽；
(2)现要在长方形地中建设一个圆形花圃和一个圆形喷泉，剩余部分铺上草坪，它们的面积分别是和，试求出这两个圆形的半径，并判断是否符合要求？
22．把下列各数填在相应的集合内．
，，，，，，0，
负数集合：{ …}
正分数集合：{ …}
整数集合：{ …}
23．对于实数x，规定：．
例如：，，．
(1)求值：___________；___________．
(2)猜想：___________，并证明你的结论；
(3)求：的值；
(4)解方程：．
24．阅读材料，完成下列问题：
材料一：若一个四位正整数（各个数位均不为0），千位和十位数字相同，百位和个位数字相同，则称该数为成对数，，例如5353、3535 都是成对数
材料二：将一位四位正整数m的百位和十位交换位置后得到四位数n，F（m）=，
（1）F(1234)= ：F(3232)=
（2）试证明任意成对数能被101整除；
（3）若t为一个成对数，另一个成对数s＝1000a＋100（a＋4）＋10a＋（a＋4）．（1≤a≤8）．若F（s）＋F（t）为一个完全平方数，请求出所有满足条件的F（t）的值．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D D A D A C A A D
题号 11 12
答案 A B
1．A
【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，找出无理数的选项．
【详解】解：根据无理数的三种形式可得，是无理数．
故选A．
【点睛】本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．
2．D
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】解：，，是有理数，是无理数，
故选D
【点睛】此题考查了无理数的定义．解题的关键是掌握无理数的定义，注意初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0．1010010001…（每两个1之间0的个数依次加1）等有这样规律的数．
3．D
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案．
【详解】解：∵a=（-0.3）0=1，b=-3-1= ，c==9，
∴b＜a＜c．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．
4．A
【分析】根据实数的大小得出结论即可．
【详解】解：由题意知，，
∴最小的是，
故选：A．
【点睛】本题主要考查实数的大小比较，熟练掌握实数大小比较的方法是解题的关键．
5．D
【分析】根据被开方数越大算术平方根越大，可得的范围，根据不等式的性质1，可得答案．
【详解】解：由被开方数越大算术平方根越大，得1＜＜2，3＋1＜3＋＜2＋3，
故选D．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，利用被开方数越大算术平方根越大得出的范围是解题关键．
6．A
【详解】解：①是实数，但是其不能用分数表示，故①错误；
②﹣，都是无理数，但是﹣+=0是有理数，故②错误；
③是无理数，()2=2是有理数，故③错误；
④实数与数轴上的点是一一对应的，正确；
综上，正确的有1个．
故选A．
【点睛】本题考查实数与数轴，解答本题的关键是掌握有理数，无理数和数轴的相关知识．
7．C
【分析】根据无理数、平方根、数轴、二次根式的性质，对每一项进行分析．
【详解】①无理数都是无限不循环小数，故本选项错误；
②的平方根是±，故本选项错误；
③-9是81的一个平方根，故本选项正确；
④当a≥0时，，故本选项错误；
⑤与数轴上的点一一对应的数是实数，故本选项正确；
所以错误的个数共计有3个，
故选C．
【点睛】考查了实数，用到的知识点是无理数、平方根、数轴、二次根式的性质，关键是熟练掌握有关定义与性质．
8．A
【分析】根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
【详解】解：无理数有，（每两个3之间增加1个0），共有2个．
故选：A．
【点睛】此题考查了无理数的定义．解题的关键是掌握无理数的定义，注意初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像（每两个1之间0的个数依次加1）等有这样规律的数．
9．A
【分析】利用“夹逼法”进行无理数的估算即可．
【详解】解：∵，
∴，
即：；
故选A．
【点睛】本题考查无理数的估算．熟练掌握利用“夹逼法”进行无理数的估算，是解题的关键．
10．D
【分析】将m化简后，估算出的范围，即可确定出所求．
【详解】解：m＝＝5+，
∵4＜6＜9，
∴2＜＜3，即7＜5+＜8，
则m的范围是7＜m＜8，
故选D．
【点睛】此题考查了无理数的估算方法，弄清无理数的估算方法是解本题的关键．
11．A
【分析】该圆沿数轴正方向滚动一周，根据圆的周长公式得出圆的周长是，再利用向右移动用加法可得结论．
【详解】解：圆的周长，
圆向右滚动时，表示的数为，
故选：A．
【点睛】本题考查数轴上的动点对应的数的表示，圆的周长，解题关键是掌握点在数轴上的移动时对应的数的变化规律．
12．B
【分析】先根据零次幂化简然后再根据正数＞0,负数＜0,即可完成解答．
【详解】解:∵=1
∴-1＜0＜0.98＜
故答案为B．
【点睛】本题主要考查了零次幂和实数的大小比较，掌握比较实数大小的方法是解题的关键．
13． > <
【分析】实数比较大小，化简成相同的形式在比较大小.
【详解】（1）=，4=
所以
（2）
所以
故答案为：>；<
【点睛】两个正数的算术平方根比较大小，较大的数的算术平方根更大.
14．-2
【分析】先估算无理数的范围，再求出a、b的值，最后代入求出即可．
【详解】∵12，23，a是介于与之间的整数，∴a=2．
∵12，b是的小数部分，∴b1，∴ab﹣22×（1）﹣22．
故答案为﹣2．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小和求代数式的值，解答此题的关键是求出a、b的值．
15． /
【分析】根据求一个数的平方根，立方根，实数的性质以及实数的运算进行计算即可求解．
【详解】解：（1）；
故答案为：．
（2）；
故答案为：．
（3）；
故答案为：．
（4）；
故答案为：．
【点睛】本题考查了求一个数的平方根，立方根，实数的性质以及实数的运算，熟练掌握求一个数的平方根，立方根，实数的性质以及实数的运算是解题的关键．
16．＞
【详解】试题分析：∵2=，
∴＞2．
考点：实数大小比较．
17．﹣1或1+
【分析】根据定义以及一元二次方程的解法即可求出答案．
【详解】当x＞0时，
此时Max{x， x}＝x，
∴x＝，
解得：x＝1＋，x＝1 （舍去）
当x＜0时，
此时Max{x， x}＝ x，
∴ x＝
∴x＝ 1，
故答案为 1或1＋
【点睛】本题考查学生的理解能力，解题的关键是正确理解新定义以及一元二次方程的解法，本题属于中等题型．
18．
【分析】本题考查了实数的混合运算，先化简算术平方根、立方根、幂的乘方和绝对值，再计算加减即可．
【详解】解：
．
19．数轴见解析，
【分析】本题考查数轴、实数的大小比较、化简绝对值．
先在数轴上表示各个数，再比较即可．
【详解】解：，
各数表示在数轴上（近似位置即可）如下：
∴
20．
【分析】此题主要考查了实数的运算，解答此类题目的关键是熟知圆柱的体积公式即可．先要根据题意设出底面半径，则可表示出圆柱的高，根据圆柱体的体积公式列出方程即可求解．
【详解】解：设底面半径为，则圆柱的高为，
由题意得，，
答：这个圆柱的底面半径是．
21．(1)这块地的长和宽分别为、；
(2)圆形花圃和圆形喷泉的半径分别为，圆形花圃不符合题要求，圆形喷泉符合要求
【分析】本题主要考查了算术平方根的实际应用，实数比较大小：
（1）设这块地的宽为，则长为，根据长方形面积公式列出方程求解即可；
（2）设圆形花圃和圆形喷泉的半径分别为，根据圆的面积公式求出，再推出即可得到结论．
【详解】（1）解：设这块地的宽为，则长为，
由题意得，，
解得或（舍去），
∴
答：这块地的长和宽分别为、；
（2）解：设圆形花圃和圆形喷泉的半径分别为，
由题意得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴圆形花圃不符合题要求，圆形喷泉符合要求．
22．；；
【分析】本题考查了负数，正分数，整数，掌握负数，正分数，整数的定义即可得，掌握负数，正分数，整数的定义是解题的关键．
【详解】解：根据题意得，
负数集合：；
正分数集合：
整数集合：．
23．(1)1；1
(2)1；理由见详解
(3)
(4)
【分析】（1）分别算出，的值，再求和即可；
（2）将代入所给式子，求和即可得出结论；
（3）按照定义式发现规律，首尾两两组合相加，剩下中间的，最后再求和即可．
（4）先去分母，化成整式方程，解出方程即可．
【详解】（1）∵；；
∴1；
∵；；
∴1；
故答案为：1；1；
（2）∵；
∴1；
故答案为：1；
（3）
＝
＝
＝．
（4）
去分母得：
合并同类项得：
系数化为1得：
经检验：是方程的解
【点睛】本题考查了定义新运算在有理数的混合运算中的应用，读懂定义，发现规律，是解题的关键．
24．（1）；（2）见解析；（3）
【分析】（1）按照F（m）＝进行求解；
（2）设成对数个位、百位数字为a，十位、千位数字为b，然后根据定义成对数的数值进行整理后可以得到解答；
（3）可设t=m+100m+10n+1000n，则由题意可以用m、n表示出F（s）＋F（t），再根据题意由完全平方数的意义可以得到结果．
【详解】解：（1）由题意可得：
F（1234）＝=，
F（3232）＝=，
故答案为；
（2）设某成对数个位、百位数字为a，十位、千位数字为b，则其值为：
a+100a+10b+1000b=101a+1010b
=101（a+10b），
∵a、b为整数，
∴a+10b为整数，
∴任意成对数能被101整除；
（3）设t=m+100m+10n+1000n，则：
F（t）=
，
由题意可得：
F（s）
，
∴F（s）＋F（t）=360+=90，
∵1≤m≤9，1≤n≤9，
∴0≤|m-n|≤8，
∴4≤4+|m-n|≤12，
由题意可得：
4+|m-n|=10，
即|m-n|=6，
∵F（t）=90，
∴F（t）=540．
【点睛】本题考查新定义下的实数运算，通过阅读材料搞清新定义的概念及运算是解题关键．
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