11.5二次根式及其性质同步练习（含解析） 北京版数学八年级上册

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11.5二次根式及其性质
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．二次根式中的取值范围是（ ）
A． B．3 C． D．
2．a的取值范围如数轴所示，化简的结果是（ ）
A．a﹣2 B．2﹣a C．a D．﹣a
3．若有意义，则x的取值范围（ ）
A． B． C． D．
4．下列式子一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
5．式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．为任何实数
6．函数中自变量的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．下列各式中，不正确的是　　
A． B． C． D．
8．以下关于的说法，错误的是（　　）
A．是无理数 B．＝±2
C．2＜＜3 D．能够在数轴上找到表示的点
9．若二次根式有意义，则的可能值是（ ）
A． B．0 C．4 D．6
10．下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．要使代数式有意义，则下列数值中字母x不能取的是（　　）
A．﹣2 B．0 C．1 D．2
12．计算（）2等于（　　）
A．4 B．2 C．﹣2 D．±2
二、填空题
13．若a＜2，化简+a﹣1= ．
14．已知非负数x、y，且xy＝3，那么的值为 ．
15．已知是正整数，则满足条件的n的最小值是 ．
16．化简： ．
17．如果在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
三、解答题
18．计算：．
19．如图，//，为线段上一点，，，且．
（1）求的值．
（2）过点作//，若点在直线上向左运动，写出与之间所有的数量关系，请自行画出相应的图形，并说明理由．（不考虑与、重合的情况）
20．一切运动的物体都具有动能，其大小由两个因素决定：物体的质量和运动速度．已知动能的计算公式是，其中表示动能，单位是焦耳，m表示物体的质量，单位是千克，v表示物体的运动速度，单位是米/秒．现一名运动员在匀速跑步，她的质量是60千克．若动能是1000焦耳，求该运动员的跑步速度（结果保留根号）．
21．经研究发现：电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得越远，从而能收看电视节目的区域越广，如果电视塔高h米，电视节目信号的传播半径为r米，则它们之间存在近似关系，其中R是地球半径，米，已知太原市最高的电视塔高度约为180米，求该电视塔发射节目信号的传播半径约为多少米？
22．要在田间土地上做一块长方形的试验田，其长和宽的比例为，面积是125平方米．求长方形试验田长和宽各是多少米？
23．根据学习“数与式”积累的经验，探究下面二次根式的运算规律．
①；
②；
③_________；
④_________；
…
(1)【探究】将题目中的横线处补充完整；
(2)【归纳】若为正整数，用含的代数式表示上述运算规律，并加以证明；
(3)【应用】计算：；
(4)小明写出一个等式（，均为正整数），若该等式符合上述规律，则的值为_______．
24．请阅读以下材料，并完成相应的任务．
斐波那契是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列按照一定顺序排列着的一列数称为数列后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵如梅花、飞燕草、万寿菊等的瓣数恰是斐波那契数列中的数．斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用．
斐波那契数列中的第个数可以用表示其中是自然数且这是用无理数表示有理数的一个范例．
(1)根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第个数和第个数；
(2)证明：斐波那契数列中连续三个数，，存在以下关系：．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D B D D C A B D C
题号 11 12
答案 D B
1．C
【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围．
【详解】解：由题意知x-3≥0，
解得：x≥3，
故选C．
【点睛】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
2．D
【分析】观察数轴得：a＜1，根据完全平方公式和二次根式的性质化简即可．
【详解】解：观察数轴得：a＜1，
∴a 1＜0，
原式＝
＝|a 1| 1
＝1 a 1
＝ a，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，得到a 1＜0是解题的关键．
3．B
【分析】由二次根式有意义的条件可得，解这个不等式求出x的取值范围．
【详解】由题意得，
1-2x≥0
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，形如的式子叫二次根式．
4．D
【分析】本题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．形如（）是二次根式，注意二次根式的被开方数是非负数即可得解．
【详解】解：A、当时，不是二次根式，该选项不符合题意；
B、当时，不是二次根式，该选项不符合题意；
C、是三次根式，该选项不符合题意；
D、 ， 是二次根式，该选项符合题意；
故选：D．
5．D
【分析】根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，列不等式求解即可．
【详解】解：∵式子在实数范围内有意义，
∴，
解得x为任何实数．
故选：D．
【点睛】主要考查了二次根式的意义和性质，掌握二次根式有意义的条件是被开方数必须是非负数解题关键．
6．C
【分析】根据二次根式有意义的条件，要求x-30，解不等式即可．
【详解】要使有意义，则
x-30，
解得x3，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，一次不等式的解法，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
7．A
【分析】由二次根式的性质进行化简，分别进行判断，即可得到答案．
【详解】解：A、，故此选项符合题意；
B、，故此选项不合题意；
C、，故此选项不合题意；
D、，故此选项不合题意；
故选．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，解题的关键是掌握性质进行判断．
8．B
【分析】根据无理数的概念、二次根式的基本性质及实数与数轴上点的关系即可判断．
【详解】、，是无理数，故 正确；
、因为，故 错误；
、因为，所以 ，故 正确；
、因为有理数和无理数统称为实数，实数与数轴上的点是一一对应的．故正确．
【点睛】本题考查了无理数的有关概念、二次根式的基本性质、及实数的性质，掌握相关概念和性质是解决问题的关键．
9．D
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式，进而即可求解．
【详解】解：∵二次根式有意义，
∴,
解得：，
∵-5，0，4均小于5，6＞5，
∴选项D符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
10．C
【详解】A选项中，，因此A选项错误；
B选项中，，因此B选项错误；
C选项中，，因此C选项正确；
D选项中，，因此D选项错误；
故选C.
11．D
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案．
【详解】解：由题意可知：4﹣3x≥0，
∴x≤，
观察选项，只有选项D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟知根号下为非负数是解题的关键．
12．B
【分析】根据二次根式的性质即可完成．
【详解】根据，得，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，要注意与中a的取值范围不同，前者a取非负实数，后者a取任意实数．
13．1．
【分析】直接利用a的取值范围，再结合二次根式的性质化简得出答案．
【详解】解：∵a＜2，
∴+a﹣1=2﹣a+a﹣1=1．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简．正确化简二次根式是解题的关键．
14．
【分析】根据已知条件知x>0，y>0，直接利用二次根式的性质化简，再整体代入xy=3即可求解.
【详解】解：∵x，y为非负数，且xy=3，
∴x>0，y>0，
又∵xy＝3，
∴=，
故答案为：
【点睛】本题主要考查利用二次根式的性质化简，根据题目条件，分析出x>0，y>0是正确化简的关键.
15．
【分析】由2n＞0可得n＞0，根据1为最小正整数，令=1求得n即可；
【详解】解：由题意得：2n＞0，n＞0，
是正整数则≥1，
当=1时，n=，
当n＞时，2n＞1，＞1，
∴n的最小值是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，不等式的性质，掌握1为最小正整数是解题关键．
16．
【分析】先根据根式有意义的条件判断出x与y的取值范围，再利用根式的性质进行化简即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，
∴原式．
故答案为：．
【点睛】本题考查根式的化简，掌握根式有意义的条件是解题的关键．
17．
【分析】根据被开方式大于且等于零列式求解即可.
【详解】由题意得
x+8≥0，
∴.
故答案为.
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握被开方式大于且等于零时二次根式有意义是解答本题的关键.
18．
【分析】先根据绝对值的意义和二次根式性质进行化简，然后再根据有理数加减混合运算法则进行计算即可．
【详解】解：∵，，
∴
．
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，绝对值的意义，有理数加减混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质．
19．（1）；（2）当在点右边时，；当在线段上时，；当在点左边时，．画图见解析，理由见解析．
【分析】（1）根据二次根式有意义的条件求解，再代入计算可求n的值．
（2）分三种情况：①当P在D点右边时；②当P在线段AD上时；③当P在A点左边时；利用平行线的性质，进行讨论即可求解．
【详解】（1）∵，
∵，即，
，即，
∴，
，
∴，，
∴．
（2）①当在点右边时，
因为，，
∴，
∴，
设，则，
，
∴，
∴，
，
②当在线段上时，
，，
∴，
∴，
设，则，
，
∴，
∴，
；
③当在点左边时，
，，，
∴，，
∴，
设，则，
，
∴，
∴，
．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，角的和差关系，平行线公理，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，注意分类思想的运用．
20．米/秒
【分析】本题主要考查了二次根式的应用，根据题目所给公式建立方程求解即可．
【详解】解：由题意可知，
∴，
∴（米/秒）．
答：该运员的跑步速度是米/秒．
21．该电视塔发射节目信号的传播半径约为米
【分析】此题考查了二次根式的化简等知识．
把，，代入计算即可得到答案．
【详解】解：把，，代入，
得（米）
答：该电视塔发射节目信号的传播半径约为米．
22．长方形试验田长和宽各是米，米
【分析】此题考查了算术平方根的应用，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键． 设长方形的长为，则宽为，根据已知面积列出方程，再根据算术平方根的定义解方程求解即可．
【详解】解：设长方形的长为米，
长和宽的比例为，
长方形的宽为米，
由题意得，，即，
解得，或（舍），
，
答：长方形试验田长和宽各是米，米．
23．(1)；
(2)，见解析
(3)
(4)22
【分析】（1）根据所给的等式的形式进行求解即可．
（2）分析所给的等式不难得第n个等式为：，对等式左边进行整理即可得证．
（3）利用（2）中的规律进行求解即可．
（4）利用（2）中的规律进行求解即可．
【详解】（1）；，
故答案为：；．
（2）题目中的规律是；
证明：，
故等式成立．
（3）．
（4）∵（，均为正整数）符合上述规律，
∴，，
解得：，，
∴，
故答案为：22．
【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，数字的变化规律，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律．
24．(1)第一个数1，第二个数1
(2)证明见解析
【分析】此题考查二次根式的混合运算与化简求值：
（1）当和时，代入即可求解；
（2）根据，利用连续三个数，，代入进行化简即可求证结论；
理解题意，找出运算的方法是解决问题的关键．
【详解】（1）解：第1个数，即当时，
；
第2个数，即当时，
．
（2）证明：当时，
，
斐波那契数列中连续三个数，，存在以下关系：．
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