11.7二次根式的加减法同步练习（含解析）

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11.7二次根式的加减法
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列计算正确的是（　　）
A． B．a+2a＝3a C．（2a）3＝2a3 D．a6÷a3＝a2
2．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列说法：
①数轴上的点与实数成一一对应关系；
②两个无理数的和还是无理数；
③一个数的算术平方根仍是它本身的数有三个；
④无限小数都是无理数；
⑤任何实数不是有理数就是无理数，正确的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．下列各式化简后能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
5．玲玲在完成计算题时，发现“□”处的符号模糊不清，同桌洋洋告诉她，答案为有理数，则“□”的符号为（ ）
A．＋或× B．＋或÷ C．－或× D．－或÷
6．计算：，结果正确的是（ ）
A．3 B． C． D．
7．8﹣+4＝（　　）
A．4 B． C．5 D．
8．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．下列根式中，与是同类二次根式的是( )
A． B． C． D．
10．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．下列根式中，与 是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
12．下列计算中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．比较大小：-4 -3
14．比较大小：2 5（填“＞”、“＝”或“＜”）．
15．计算的结果是 ．
16．化简的结果是：
17．计算：＝ ．
三、解答题
18．计算：
(1)
(2)
19．阅读材料：
如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记半周长为p，即，那么这个三角形的面积，这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形的三条边长直接求三角形面积的公式．中国南宋数学家秦九韶也得出了类似的公式，称“三斜求积术”，所以这个公式也称为“海伦—秦九韶公式”．
完成下列问题：
如图，△ABC中，三边长分别为a＝7，b＝5，c＝6．
(1)求△ABC的面积；
(2)过点C作CD⊥AB，垂足为点D，请补全图形，并求线段BD的长．
20．如图，有一块矩形木板，木工沿虚线在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板．
(1)求原矩形木板的面积；
(2)求剩余木料的周长．
21．如图，矩形内两相邻正方形的面积分别为和，求阴影部分的周长和面积．
22．如图，某居民小区有一块形状为长方形的绿地，长为米，宽为米，现要在长方形绿地中修建两个形状、大小相同的小长方形花坛（即图中阴影部分），每个小长方形花坛的长为 米，宽为 米．
(1)求长方形的周长（结果化为最简二次根式）．
(2)除去修建花坛的地方，其他位置全部修建为通道，通道上要铺上造价为26 元/平方米的地砖．要铺完整个通道，购买地砖需要花费多少钱
23．根据学习“数与式”积累的经验，探究下面二次根式的运算规律．
①；②；③________；④________．
(1)将题目中的横线处补充完整；
(2)若n为正整数，用含n的代数式表示上述运算规律，并加以证明；
24．定义：若两个二次根式m、n满足，且p是有理数，则称m与n是关于p的和谐二次根式．已知最简二次根式与可以合并，请问的算术平方根与是关于4的和谐二次根式吗？并说明理由．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D A B A B D D C B
题号 11 12
答案 D A
1．B
【分析】直接利用二次根式的加减运算法则以及合并同类项法则、积的乘方运算法则和同底数幂的除法运算分别计算得出答案．
【详解】解：A、，无法计算，故此选项错误；
B、a+2a＝3a，正确；
C、（2a）3＝8a3，故此选项错误；
D、a6÷a3＝a3，故此选项错误；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了二次根式的加减运算以及合并同类项、积的乘方运算和同底数幂的除法运算等知识，正确掌握运算法则是解题关键．
2．D
【分析】根据二次根式的加减乘除运算法则求解判断即可．
【详解】解：A、，该选项错误，不符合题意；
B、∵和不是同类二次根式，∴，该选项错误，不符合题意；
C、，该选项错误，不符合题意；
D、，该选项正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查二次根式的加减乘除运算，熟练掌握运算法则是解答的关键．
3．A
【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的分类，算术平方根，无理数．根据实数与数轴的关系即可判断①；根据算术平方根的定义即可判断③；根据实数的分类即可判断⑤；根据无理数的定义即可判断②④．
【详解】解：①数轴上的点与实数成一一对应关系，说法正确；
②两个无理数的和可以是有理数，如，原说法错误；
③一个数的算术平方根仍是它本身的数只有0和1两个，原说法错误；
④无限不循环小数是无理数，无限循环小数是有理数，原说法错误；
⑤任何实数不是有理数就是无理数，说法正确；
∴说法正确的一共有2个，
故选：A．
4．B
【分析】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式，熟记定义并应用是解本题的关键．
根据二次根式的性质把各选项的二次根式化简，再根据能同类二次根式的定义解答即可．
【详解】解：A、不能与合并，故本选项不符合题意；
B、，能与合并，故本选项符合题意；
C、，不能与合并，故本选项不符合题意；
D、，不能与合并，故本选项不符合题意；
故选：B．
5．A
【分析】本题考查了二次根式的运算．根据二次根式的加减法，乘除法法则计算得出结果，即可判断．
【详解】解：当“□”的符号为“＋”时，，结果为有理数；
当“□”的符号为“－”时，，结果不是有理数；
当“□”的符号为“×”时，，结果为有理数；
当“□”的符号为“÷”时，，结果不是有理数；
故选：A．
6．B
【分析】直接化简二次根式，进而合并得出答案．
【详解】解：．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了二次根式的加减，正确合并二次根式是解题关键．
7．D
【分析】先化简各二次根式，再计算乘法，最后合并同类二次根式可得．
【详解】原式＝8×﹣×3+4×
＝4﹣+
＝，
故选D．
【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的性质和运算法则．
8．D
【分析】根据单项式乘以单项式，分式的性质，二次根式的加法，分式的除法逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了单项式乘以单项式，分式的性质，二次根式的加法，分式的除法，熟练掌握以上运算法则是解题的关键．
9．C
【详解】试题解析：A. =与不是同类二次根式，故该选项错误；
B. =3与不是同类二次根式，故该选项错误；
C. =2与是同类二次根式，故该选项正确；
D.与不是同类二次根式，故该选项错误．
故选C.
10．B
【分析】根据完全平方公式、同底数幂相乘法则，零指数幂以及二次根式的性质化简计算即可．
【详解】解：A．，原计算错误，不符合题意；
B．，原计算正确，符合题意；
C．，原计算错误，不符合题意；
D．，原计算错误，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了完全平方公式、同底数幂相乘法则，零指数幂以及二次根式的性质等知识，掌握相关运算法则是解题的关键．
11．D
【分析】先把每个选项中的二次根式化成最简二次根式，再与比较被开方数，逐一判断可得答案．同类二次根式的定义是把几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．
【详解】解：A．，与不是同类二次根式；
B．，与不是同类二次根式；
C．，与不是同类二次根式；
D．，与是同类二次根式．
故选D．
【点睛】此题主要考查了同类二次根式，解决问题的关键是熟练掌握二次根式的化简，同类二次根式的定义．
12．A
【分析】根据二次根式的相关计算法则求解判断即可．
【详解】解：A、，计算正确，符合题意；
B、，计算错误，不符合题意；
C、，计算错误，符合题意；
D、与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题主要考查了二次根式的加减计算，二次根式的除法，二次根式的性质化简，熟知相关计算法则是解题的关键．
13．＜．
【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
【详解】解：∵， ，32＞27，
∴4＞3，
∴﹣4＜﹣3．
故答案为：＜．
【点睛】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
14．>
【分析】先对根式及整数进行变形，然后比较大小即可确定．
【详解】解：∵，，
，
∴．
故答案为：．
【点睛】题目主要考查二次根式比较大小的方法，熟练掌握比较大小的方法是解题关键．
15．
【分析】本题考查了二次根式的减法，熟练掌握二次根式的性质是解决问题的关键．先根据二次根式的性质进行化简，然后合并即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
16．
【分析】根据二次根式的加减法可以求出题目中式子的结果，从而解答本题．
【详解】解：原式
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的加减法，解决本题的关键是明确二次根式的加减法的计算方法．
17．
【分析】先算乘法再算加法即可．
【详解】
，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，熟记运算法则是解题的关键．
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据二次根式的性质与平方差公式进行计算求解即可；
（2）根据分母有理化以及二次根式的混合运算法则进行计算求解即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：
；
【点睛】本题考查了平方差公式，利用二次根式的性质进行化简，二次根式的混合运算．解题的关键是掌握二次根式的运算法则．
19．(1)；
(2)补全图形见解析，BD＝5.
【分析】（1）根据海伦公式计算即可；
（2）根据等面积法求出CD的长，再根据勾股定理求BD即可．
【详解】（1）解：，
=
＝；
（2）解：补全图形如图所示：
，
∴CD＝，
∴BD＝＝5．
【点睛】本题考查了二次根式的应用、数学常识，根据等面积法求出CD的长是解题的关键．
20．(1)
(2)
【分析】本题主要考查二次根式的应用，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
（1）根据二次根式的性质分别求出两个正方形的边长，再求出原矩形木板的长为，宽为，进而根据矩形的面积得到答案；
（2）求出剩余木料的长为，宽为，进而可得出答案．
【详解】（1）解：（1）∵两个正方形的面积分别为和，
∴这两个正方形的边长分别为，，
∴原矩形木板的长为，宽为，
∴原矩形木板的面积为；
（2）解：剩余木料的长为，宽为，
∴剩余木料的周长为．
21．阴影部分的周长为，面积为．
【分析】本题考查二次根式的运算和应用，先根据正方形的面积求出它们的边长，即可根据图形求出它们的周长和面积，掌握二次根式的运算是解题的关键．
【详解】解：因为大正方形的面积为，所以大正方形的边长为，
因为小正方形的面积为，所以小正方形的边长为，
因为，所以阴影部分的周长，
面积，
答：阴影部分的周长为，面积为．
22．(1)长方形的周长为米
(2)要铺完整个通道，则购买地砖需要花费元
【分析】此题考查了二次根式的四则混合运算的应用，读懂题意，熟练掌握运算法则和顺序是解题的关键．
（1）根据长方形的周长公式计算即可；
（2）先利用长方形的绿地面积减去花坛的面积，再用化简结果乘以地砖的单价即可．
【详解】（1）解：（米），
∴长方形的周长为米．
（2）
（平方米），
则（元），
∴要铺完整个通道，则购买地砖需要花费元．
23．(1)；
(2)，证明见解析
【分析】（1）根据所给的等式的形式进行求解即可；
（2）分析所给的等式不难得第个等式为：，对等式左边进行整理即可得证；
【详解】（1）解：③；
④；
故答案为：；；
（2）规律为：，
证明：左边右边，
故等式成立；
【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，数字的变化规律，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律．
24．的算术平方根与是关于4的和谐二次根式，理由见解析
【分析】本题主要考查了最简二次根式、算术平方根、二次根式的乘法运算等知识点，理解和谐二次根式的定义是解题的关键．
先根据最简二次根式的定义求得a的值，然后求得a的算术平方根，最后根据和谐二次根式的定义判断即可．
【详解】解：的算术平方根与是关于4的和谐二次根式，理由如下：
∵最简二次根式与可以合并，
∴，即，
∴的算术平方根为，
∵，
∴的算术平方根与是关于4的和谐二次根式．
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