12.2三角形的性质同步练习（含解析）

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12.2三角形的性质
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，直线a∥b，∠A=38°，∠1=46°，则∠ACB的度数是（　　）
A．84° B．106° C．96° D．104°
2．已知不等边三角形的一边等于5,另一边等于3，若第三边长为奇数，则周长等于（ ）
A．13 B．11 C．11，13或15 D．15
3．如图，∠ABD与∠ACD的角平分线交于点P，若∠A＝50°，∠D＝10°，则∠P的度数（　　）
A．19° B．20° C．21° D．22°
4．如图，四边形是长方形，点是长线上一点，是上一点，并且，．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．一个三角形中，有一个角是55°，另外的两个角可能是（　　）
A．95°，20° B．45°，80° C．55°，60° D．90°，20°
6．如图，已知直线、、两两相交，且．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，，，则、的关系为（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，直线，于点Q，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
9．下列三条线段中，能组成三角形的是（　 　）
A．4，6，2 B．4，7，2 C．5，3，3 D．4，3，8
10．等腰△ABC的两边长分别是2和5，则△ABC的周长是（　　）
A．9 B．9或12 C．12 D．7或12
11．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．4，2，2 B．3，4，7 C．9，8，5 D．5，6，12
12．如图，∠MAN＝100°，点B，C是射线AM，AN上的动点，∠ACB的平分线和∠MBC的平分线所在直线相交于点D，则∠D的大小为（ ）
A．50° B．60°
C．80° D．随点B，C的移动而变化
二、填空题
13．已知的三边长为2，7，，请写出一个符合条件的的整数值，这个值可以是 ．
14．如图，在中，，，为的外角，与的平分线交干点，与的平分线交于点，…，与的平分线相交于点．

（1）的度数为 ；
（2）若得到点后，再依此规律作角平分线，两条角平分线无交点，则n的值为 ．
15．如图，已知AB∥CD，点E在如图所示的位置，连结BE、DE，若∠B=30°，∠D=55°，则∠E= .
16．已知三角形三边长分别为2，x，9，若x为奇数，则此三角形的周长为 ．
17．如图，两根竹竿和靠在墙上，量得，，则 ． ．
三、解答题
18．若a，b，c是ΔABC的三边，化简：．
19．根据题意画出图形，并填注理由
证明：三角形的内角和等于180°．
已知：△ABC
求证：∴∠A＋∠B＋∠C＝180°
证明：作BC的延长线CD，过点C作射线CE BA．
∵CE BA（辅助线）
∴∠B＝∠ECD（ ）
∠A＝∠ACE（ ）
∵∠BCA＋∠ACE＋∠ECD＝180°（ ）
∴∠A＋∠B＋∠ACB＝180°（ ）
20．已知一个三角形的三边长为，若此三角形的周长为偶数，求的值．
21．已知，如图，直线，的顶点A与B分别在直线与上，点C在直线的右侧，且，设，．
(1)如图1，当点C落在的上方时，与相交于点D，求证：.请将下列推理过程补充完整：
证明：∵是的一个外角（三角形外角的定义），
∴（ ）
∵（ ），
∴（ ）
∴________（等量代换）
∵（已知），
∴（等量代换）
(2)如图2，当点C落在直线的下方时，与交于点F，请判断与的数量关系，并说明理由．
22．如图1，已知直线，且和之间的距离为，小明同学制作了两块直角三角形硬纸片和，其中，，，，．小明利用这两块三角板进行了如下的操作探究：
(1)如图1，点在上，边在上，边在直线上
①将直角三角形沿射线的方向平移，当点在上时，如图2；求的度数
②将直角三角形从图2的位置继续沿射线的方向平移，当以，，为顶点的三角形是直角三角形时，求度数；
(2)将直角三角形如图3放置，若点在直线上，点在和之间（不含，上），边和与直线分别交于点，．在绕着点旋转的过程中，设，，则的取值范围为 ．
23．如图1，中，点分别在边上，且，点是边上一动点，过点作与线段交于点．
求证：
若点在边上运动，保证点存在且不与点重合．探究：当点满足怎样的位置条件，成立 请在图2中画出符合条件的图形，并说明理由．
在的条件下，若成立，直接写出与ZEDH之间的数量关系
24．如图，，、、分别平分的外角、内角、外角，证明下列结论：
(1)；
(2)．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D B C B C D C C C
题号 11 12
答案 C A
1．C
【详解】∵a∥b，∴∠ABC=∠1=46°，
∵∠A=38°，∴∠ACB=180°﹣∠A﹣∠ABC=180°﹣38°﹣46°=96°．
故选C．
2．D
【分析】根据三角形三边关系定理进行解答.
【详解】解：设这个三角形的第三边长为x，
则，
即，
∵第三边长为奇数，
∴或5或7，
∵此三角形为不等边三角形，
∴周长为3+5+7＝15.
故选D.
3．B
【分析】延长PC交BD于E，设AC、PB交于F，根据三角形的内角和定理得到∠A+∠ABF+∠AFB=∠P+∠PCF+∠PFC=180°推出∠P+∠PCF=∠A+∠ABF，根据三角形的外角性质得到∠P+∠PBE=∠PED，推出∠P+∠PBE=∠PCD-∠D，根据PB、PC是角平分线得到∠PCF=∠PCD，∠ABF=∠PBE，推出2∠P=∠A-∠D，代入即可求出∠P．
【详解】解：延长PC交BD于E，设AC、PB交于F，
∵∠A+∠ABF+∠AFB＝∠P+∠PCF+∠PFC＝180°，
∵∠AFB＝∠PFC，
∴∠P+∠PCF＝∠A+∠ABF，
∵∠P+∠PBE＝∠PED，∠PED＝∠PCD﹣∠D，
∴∠P+∠PBE＝∠PCD﹣∠D，
∴2∠P+∠PCF+∠PBE＝∠A﹣∠D+∠ABF+∠PCD，
∵PB、PC是角平分线，
∴∠PCF＝∠PCD，∠ABF＝∠PBE，
∴2∠P＝∠A﹣∠D，
∵∠A＝50°，∠D＝10°，
∴∠P＝20°．
故选：B．
【点睛】此题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，熟记各知识点并进行推论论证是解题的关键．
4．C
【分析】根据矩形的性质得到AD∥BC，∠DCB＝90°，根据平行线的性质得到∠F＝∠ECB＝15°，根据三角形的外角的性质得到∠ACF＝∠AGC＝∠GAF＋∠F＝2∠F，于是得到结论．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠DCB＝90°，
∴∠F＝∠ECB＝15°，
∴∠GAF＝∠F＝15°，
∴∠ACF＝∠AGC＝∠GAF＋∠F＝2∠F＝30°，
故选C．
【点睛】本题考查了矩形的性质，用到的知识点为：矩形的对边平行；两直线平行，内错角相等；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
5．B
【分析】根据三角形内角和等于180°求出另两个内角的和，再据此依次分析即可．
【详解】∵一个三角形中，有一个角是55°，
∴另外的两个角的和为125°，
各选项中只有B选项：45°+80°=125°．
故选B．
【点睛】考查三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和等于180°是解题的关键.
6．C
【分析】由垂直的定义可得∠2=90°；根据对顶角相等可得，再根据三角形外角的性质即可求得．
【详解】
∵，
∴∠2=90°；
∵，
∴．
故选C．
【点睛】本题考查了垂直的定义、对顶角的性质、三角形外角的性质，熟练运用三角形外角的性质是解决问题的关键．
7．D
【分析】本题主要考查平行线的性质，三角形内角和定理，正确作出辅助线是解题的关键．
延长交于点G，延长交于点H，求出，，再根据平行线的性质得出，进而可得答案．
【详解】解：延长交于点G，延长交于点H，如图，
，
，
在中，，
，
，
，即，
，
，即．
故选：D．
8．C
【分析】本题考查垂直的定义，三角形内角和定理，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
先根据垂直定义得，再根据三角形内角和定理求得，然后根据平行线的性质得，即可求解．
【详解】解：∵
∴
∴
∵
∴
故选：C．
9．C
【分析】本题考查了三角形的三边关系；根据三角形的三边关系关系逐项判断即可得．
【详解】A、，不满足三角形的三边关系，不能组成三角形；
B、，不满足三角形的三边关系，不能组成三角形；
C、，满足三角形的三边关系，能组成三角形；
D、，不满足三角形的三边关系，不能组成三角形；
故选：C．
10．C
【详解】分为两种情况：①当腰是2时，三边为2，2，5，
∵2+2<5，
∴不符合三角形三边关系定理，此种情况不可能；
②当腰是5时，三边为2，5，5，
此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是2+5+5=12；
故选C.
11．C
【分析】本题考查构成三角形的条件．根据两条短的线段之和与最长的线段之间的大小关系，进行判断即可．掌握两短边之和大于第三边，可以构成三角形，是解题的关键．
【详解】解：A、，不能构成三角形，故A不符合题意；
B、，不能构成三角形，故B不符合题意；
C、，能构成三角形，故C符合题意；
D、，不能构成三角形，故D不符合题意．
故选：C．
12．A
【分析】根据角平分线定义得出∠ACB=2∠DCB，∠MBC=2∠CBE，根据三角形外角性质得出2∠D+∠ACB=∠A+∠ACB，求出∠A=2∠D，即可求出答案．
【详解】解：∵CD平分∠ACB，BE平分∠MBC，
∴∠ACB=2∠DCB，∠MBC=2∠CBE，
∵∠MBC=2∠CBE=∠A+∠ACB，∠CBE=∠D+∠DCB，
∴2∠CBE=2∠D+2∠DCB，
∴∠MBC=2∠D+∠ACB，
∴2∠D+∠ACB=∠A+∠ACB，
∴∠A=2∠D，
∵∠A=100°，
∴∠D=50°．
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形外角性质和角平分线定义的应用，关键是求出∠A=2∠D．
13．6或7或8
【分析】根据三角形三边关系：①任意两边之和大于第三边；②任意两边之差小于第三边，即可得出第三边的取值范围．
【详解】解：∵三角形的三边长分别为2，7，x，
∴7-2＜x＜7+2，
即5＜x＜9，
故答案为：6或7或8．
【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
14． 3
【分析】（1）根据三角形内角和为，可以得到，再根据三角形外角可以得到，即，即可得到结果；
（2）根据，是角平分线，可以得到，进而可以求得，同理可得，无法求得，此时可求得结果．
【详解】解：（1）由图可得：

∵，
∴，
∴，
∵，是角平分线，
∴，
∴；
（2）∵，是角平分线，
∴，
∴，
，
同理可得，
∴，
则，
此时若再作出，则可类比上述过程得到，无法组成三角形，
即此时两条角平分线无交点，
故；
故答案为：；3．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形内角和定理，找到各个角度之间的关系是解题的关键．
15．25°
【分析】由平行线的性质可得出，再利用三角形外角的性质即可求出∠E的度数.
【详解】如图
∵AB∥CD
∴
∵
∴
故答案为25°
【点睛】本题主要考查平行线的性质及三角形外角的性质，掌握平行线的性质是解题的关键.
16．20
【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出x的取值范围，然后确定出x的值，再根据周长公式求解即可．
【详解】∵9-2=7，9+2=11，
∴7＜x＜11，
∵x为奇数，
∴x的值为9，
∴此三角形的周长是：2+9+9=20．
故答案为：20．
【点睛】本题考查三角形的三边关系，解题的关键是掌握三角形两边之差小于第三边，两边之和大于第三边．
17． 90°+
【分析】根据三角形的外角的性质即可求∠DBF的度数，根据∠ABD=∠DBC-∠ABC即可求．
【详解】解：由题意可知，∠C=90°，
∵
∴∠DBF=∠C+∠CDB=90°+
∠DBC=90°-
∵
∴∠ABC=90°-
∴∠ABD=∠DBC-∠ABC=90°--(90°-)=
故答案为：90°+，．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，三角形外角的性质，解题的关键是熟知直角三角形及三角形外角的性质．
18．-a+3b-c．
【分析】根据三角形的三边关系判定出a-b-c，b-c-a，c-a-b的符号，利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．
【详解】解：因为a，b，c为△ABC的三边，
∴b+c＞a，a+b＞c，a+c＞b，
∴a-b-c<0，b-c-a<0，c-a-b<0，
∴原式=|a-b-c|-|b-c-a|+|c-a-b|
=-a+b+c+(b-c-a)-(c-a-b)
=-a+b+c+b-c-a -c+a+b
=-a+3b-c．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，以及三角形的三边关系，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；平角等于180°；等量代换
【分析】根据平行线的性质和平角度数等于180°求解即可．
【详解】解：证明：作BC的延长线CD，过点C作射线CE BA．
∵CE BA（辅助线）
∴∠B＝∠ECD（两直线平行，同位角相等）
∠A＝∠ACE（两直线平行，内错角相等）
∵∠BCA＋∠ACE＋∠ECD＝180°（平角等于180°）
∴∠A＋∠B＋∠ACB＝180°（等量代换）
故答案为：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；平角等于180°；等量代换．
【点睛】此题考查了证明三角形的内角和等于180°，平行线的性质以及平角度数等于180°，解题的关键是熟练掌握平行线的性质以及平角度数等于180°．
20．
【分析】本题考查了三角形的三边关系的应用．熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．
由题意知，，即，由周长为偶数，可得为奇数，进而可得的值．
【详解】解：由题意知，，即，
∵周长为偶数，
∴为奇数，
∴．
21．(1)答案见解析
(2)，见解析
【分析】本题考查了三角形外角的性质，平行线的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
（1）根据题意可以写出推理过程，从而可以解答本题；
（2）根据三角形外角的性质和三角形的内角和即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵是的一个外角（三角形外角的定义），
∴（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
∵（已知），
∴（两直线平行，同位角相等）
∴（等量代换）.
∵（已知），
∴（等量代换）；
故答案为：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，已知，两直线平行，同位角相等，；
（2）解：结论：．
理由：是的一个外角（三角形外角的定义），
（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），
（已知），
（两直线平行，同位角相等），
（等量代换）．
（已知），
（等量代换）．
22．(1)；的度数为或
(2)
【分析】本题考查直角三角形、平行线、一元一次方程的知识，解题的关键是掌握直角三角形的性质，平行线的性质，一元一次方程的运用，即可．
（1）根据直角三角形的性质，则，；根据平行线的性质，则，再根据三角形的外角，即可；根据以，，为顶点的三角形是直角三角形，则当，分类讨论，即可；
（2）先根据四边形的内角和为，则，求出，根据旋转的性质，当点在直线上时，点，，重合，；当点在直线上时，点，，重合则；点在直线和之间，即，即可．
【详解】（1）∵三角形和三角形是直角三角形，，，，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵以，，为顶点的三角形是直角三角形，
当时，
∴
∵
∴
∵
∴；
当时，
∴，
∵，
∴，
综上所述：的度数为或．
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
当点在直线上时，点，，重合，；
当点在直线上时，点，，重合则；
∵点在直线和之间（不含，上），即，
∴，
∴，
∴的取值范围为：．
23．（1）见解析；（2）点F运动到∠DEC的角平分线与边BC的交点位置时，∠DHF＝∠BFH成立，证明见解析；（3）∠BFH＝90°＋∠EDH．
【分析】（1）由DEBC，得出∠AED＝∠C，再由DHAC，得出∠AED＝∠EDH，即可得出结论；
（2）先判断出∠EFC＝∠DHE，进而判断出∠DHE＝∠DEF，进而判断出∠DEF＝∠CEF，即EF平分∠DEC，即可得出结论；
（3）由（2）知，∠DEF＝∠CEF，得出∠DEC＝2∠DEF，由DEBC，得出∠C＋∠DEC＝180°，进而得出∠DEF＝90° ∠C，进而得出∠BFH＝90°＋∠C，由（1）知，∠EDH＝∠C，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵DEBC，
∴∠AED＝∠C，
∵DHAC，
∴∠AED＝∠EDH，
∴∠EDH＝∠C；
（2）如图∵∠DHF＝∠BFH，
∴180° ∠DHF＝180° ∠BFH，
∴∠EFC＝∠DHE，
∵DEBC，
∴∠DEF＝∠EFC，
∴∠DHE＝∠DEF，
∵DHAC，
∴∠DHE＝∠CEF，
∴∠DEF＝∠CEF，
即EF平分∠DEC．
∴点F运动到∠DEC的角平分线与边BC的交点位置时，∠DHF＝∠BFH成立．
（3）由（2）知，∠DEF＝∠CEF，
∴∠DEC＝2∠DEF，
∵DEBC，
∴∠C＋∠DEC＝180°，
∴∠C＋2∠DEF＝180°，
∴∠DEF＝（180° ∠C）＝90° ∠C，
∵DEBC，
∴∠BFH＋∠DEF＝180°，
∴∠BFH＝180° ∠DEF＝180° （90° ∠C）＝90°＋∠C，
由（1）知，∠EDH＝∠C，
∴∠BFH＝90°＋∠EDH，
故答案为∠BFH＝90°＋∠EDH．
【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了平行线的性质，角的计算，角平分线的定义，判断出∠EDH＝∠C是解本题的关键．
24．(1)见解析
(2)见解析
【分析】证明，可得结论；
设，，利用三角形的外角的性质，构建方程组，可得结论．
【详解】（1）证明：，，，
，
，
（2）设，，
则有，
可得．
【点睛】本题考查三角形的外角的性质，平行线的判定和性质，解题的关键是学会利用参数，构建方程组解决问题．
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