12.3三角形中的主要线段同步练习（含解析）

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12.3三角形中的主要线段
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知是的中线，且，则等于（ ）
A．6 B．4 C．2 D．1
2．如图，BE是某个三角形的高，则这个三角形是（ ）
A． B． C． D．
3．如图所示，在中，已知点，，分别为边，，的中点，且，则等于（ ）．
A．8 B．9 C．10 D．11
4．如图，在△ABC中，BD⊥AC交AC的延长线于点D，则AC边上的高是( )
A．CD B．AD C．BC D．BD
5．如图，的边上的高是下列哪条线段（ ）
A． B． C． D．
6．如图，中，，，，．若动点P从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒2cm．设运动的时间为t秒，当（ ）秒时，CP把的面积分成相等的两部分．
A．4 B．6 C．6.5 D．7
7．请你量一量如图中边上的高的长度，下列最接近的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图所示，的边上的高是（ ）

A．线段 B．线段 C．线段 D．线段
9．如图，已知：在△ABC中，∠ACB=90°，CD、CE分别是边AB上的高和中线，∠CED=x°，∠A=∠ACE，则∠BCD的度数是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，于C，于D，于E，则下列说法中错误的是（）
A．中，AC是BC边上的高 B．中，DE是BC边上的高
C．中，DE是BE边上的高 D．中，AD是CD边上的高
11．射线OC在∠AOB的内部，下列给出的条件中不能得出OC是∠AOB的平分线的是(　　)
A．∠AOC＝∠BOC
B．∠AOC＋∠BOC＝∠AOB
C．∠AOB＝2∠AOC
D．∠BOC＝∠AOB
12．如图，BD是△ABC的中线，点E，F分别为BD，CE的中点，若△ABC的面积为8．则△AEF的面积是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
二、填空题
13．如图，在中，已知，．依据尺规作图痕迹，解决下列问题．

（1）与是否垂直？ （填“是”或“否”）；
（2） ．
14．如图，在中，是的角平分线，，则 ， ， ．

15．如图，在△ABC中，∠BAC＝130°，∠C＝40°，AD、AE分别是它的高线和角平分线，则∠DAE的度数是 °．
16．到三角形三边距离相等的点叫做三角形的
17．如图，是的中线，点是边上一点，，交于点，设的面积为，的面积为，若，则的值为 ．

三、解答题
18．已知D是的边上一点，连接，此时有结论，请解答下列问题：
（1）当D是边上的中点时，的面积_______的面积（填“>”“<”或“=”）．
（2）如图1，点D、E分别为边上的点，连接交于点O，若的面积分别为6，8，12，则的面积是__________（直接写出结论）．
（3）如图2，若点D，E分别是的边上的中点，且，求四边形的面积．欧阳老师提示了如下的一种方法：连接，由得，同理：，设，则，由题意得，请你根据欧阳老师的提示，求出四边形的面积．
（4）如图3，D，F是的三等分点，E，G是的三等分点，与分别交于O、P，且，请计算四边形的面积，并说明理由．
19．在小学认识三角形的基础上我们来继续学习三角形．三角形可用符号“”表示．
例：如图1中的三角形可记作“”；在一个三角形中，如果有两个角相等，我们新定义这个三角形为等角三角形．
（1）如图1，的角平分线交于D，交于，

①请在图1中依题意补全图形；
②判断是不是等角三角形；(直接写出结论即可)．
（2）如图2，是的角平分线，．判断是不是等角三角形，并说明理由．

（3）如图3，BM，CM分别是和的角平分线，请过图中某一点，作一条图中已有线段的平行线，使图中出现一个或两个等角三角形，标出字母，并就出现的一个三角形是等角三角形说明理由．

20．如图，在一个面积为1843200平方米的长方形货场中有一条长千米的铁路．现有一辆装满货物的货车停放在D点，如果这辆货车的速度是每小时千米，问：能否在13分钟内将货物运到铁路边？
21．如图，在中，，为边上的高，平分，分别交，于点，，求证：．

22．阅读与运用
在小学，我们知道“同底等高（等底同高）的两个三角形面积相等”，我们最近认识了三角形的角平分线，中线，高三条重要线段，丽丽同学提出问题：三角形的中线不仅平分三角形的边，也平分三角形的面积．她给出了以下部分探究过程：
如图1，在中，是边上的中线，过点A作边上的高，根据三角形面积公式可得
，，．
是边上的中线
……
(1)请你接着完成丽丽的探究过程；
(2)如图2，在直角中，，，，是边上的中线，E是的中点，连接，，求阴影部分的面积．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A A D C C B A C C
题号 11 12
答案 B A
1．B
【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，熟知三角形中线平分三角形面积是解题的关键．根据中线平分三角形的面积即可求解．
【详解】解：是的中线，且，
，
故选：B．
2．A
【分析】由三角形的高的定义即可进行判断．从三角形的一个顶点到它的对边作垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高．
【详解】由图可知：BE过点E，且BE⊥AB，
∴BE是的高，
故选∶A
【点睛】本题主要考查了三角形高的定义，熟练地掌握三角形高的定义是解题的关键．
3．A
【分析】本题考查了三角形的面积，三角形的中线，熟练掌握三角形中线的性质是解题的关键．根据三角形中线的性质得出，，，，即可求出△的面积，再根据三角形中线的性质即可求出阴影部分的面积．
【详解】解：点为边的中点，
，，
点为边的中点，
，，
，
点为边的中点，
，
故选：．
4．D
【分析】根据高的定义即可判断.
【详解】∵BD⊥AC交AC的延长线于点D，
∴AC边上的高是BD，故选D.
【点睛】此题主要考查高的定义，解题的关键是熟知高的定义.
5．C
【分析】根据三角形的高的定义可进行求解．
【详解】解：由图可知的边上的高为；
故选C．
【点睛】本题主要考查三角形的高，熟练掌握三角形的高是解题的关键．
6．C
【分析】由于CP把△ABC的面积分成相等的两部分，根据三角形面积公式得到P点为AB的中点，则CA＋AP＝13cm，然后把13除以P点的速度即可得到t的值．
【详解】解：∵CP把△ABC的面积分成相等的两部分，
∴P点为AB的中点，
∴AP＝AB＝5cm，
∴CA＋AP＝8＋5＝13（cm），
∵P点的速度为每秒2cm，
∴t＝13÷2＝6.5（秒）．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S＝×底×高．三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
7．B
【分析】作出三角形的高，然后利用刻度尺量取即可．
【详解】解：如图所示，过点作，
用刻度尺直接量得更接近，
故选：B．
【点睛】题目主要考查利用刻度尺量取三角形高的长度，作出三角形的高是解题关键．
8．A
【分析】根据三角形高的定义进行判断即可．
【详解】解：的边上的高线段，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形高的定义，解题的关键是熟练掌握三角形高的画法．
9．C
【分析】根据三角形的外角的性质以及已知条件求得，根据直角三角形的两个锐角互余求得，根据三角形的高线的性质以及直角三角形的两锐角互余即可求解．
【详解】解：∵∠CED=x°，，∠A=∠ACE，
∠ACB=90°，
，
∵CD是边AB上的高，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查了三角形的外角的性质，三角形的高线的性质以及直角三角形的两锐角互余，掌握以上知识是解题的关键．
10．C
【详解】中，AC是BE边上的高,C错.
11．B
【分析】根据角平分线的定义分析出角之间的倍分关系进行判断．
【详解】解：当OC是∠AOB的平分线时，∠AOC=∠BOC，∠AOB=2∠AOC，，所以A、C、D选项能判断OC是∠AOB的平分线.
∠AOB=∠AOC+∠BOC只能说明射线OC在∠AOB内，不一定是角平分线．
故选B．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义．正确表述角之间的倍分关系是解题的关键．
12．A
【分析】三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，利用BE=DE得到S△ABE=S△ADE，S△CBE=S△CDE，所以S△ACE=4，然后利用F点是CE的中点得到S△AEF=S△ACE．
【详解】∵点E是BD的中点
∴BE=DE
∴S△ABE=S△ADE，S△CBE=S△CDE
∴S△ACE=S△ABC=×8=4
又∵F点是CE的中点
∴S△AEF=S△ACE=．
故选：A．
【点睛】本题考查三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高乘积的一半．掌握三角形的面积和中线的定义是解决本题的关键．
13． 是
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，基本作图，解题的关键是掌握等腰三角形的性质和角平分线的作图方法．
（1）根据作图可得平分，由，结合等腰三角形的三线合一可得；
（2）由，可得，进而求出，根据作图可得平分，即可求解．
【详解】解：（1）根据作图可得平分，
由，
，
故答案为：是；
（2），
，
，
平分，
，
故答案为：．
14．
【分析】根据角平分线的定义即可得到答案．
【详解】解：∵是的角平分线，，
∴，，，
故答案为：，，
【点睛】此题考查了角平分线的相关计算，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．
15．15
【分析】先根据三角形的内角和定理得到∠B的度数，再利用角平分线的性质可求出∠BAE＝∠BAC，而∠BAD＝90° ∠B，然后利用∠DAE＝∠BAD ∠BAE进行计算即可．
【详解】在△ABC中，∠BAC＝130°，∠C＝40°，
∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝180°﹣130°﹣40°＝10°，
∵AE是的角平分线，
∴∠BAE＝∠BAC＝65°，
∵AE是△ABC的高，
∴∠ADB＝90°，
∴在△ADB中，∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣10°＝80°，
∴∠DAE＝∠BAD﹣∠BAE＝80°﹣65°＝15°．
故答案为：15．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形的高等知识，关键是利用三角形内角和定理求解．
16．内心
【详解】到三角形三边距离相等的点为三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.
故答案为内心.
17．
【分析】本题考查了三角形面积，由是的中线，得出，由得出，再根据计算即可得出答案．
【详解】解：∵是的中线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
18．（1）=（2）15（3）30（4）
【分析】（1）根据结论即可求解；
（2）求出S△DEO＝4，设S△ADO＝a，S△AEO＝b，得出方程组，解方程组即可得出答案；
（3）根据欧阳老师的提示，列出关于x，y的方程组，求得x+y，故可求解；
（4）连接AO，设S△AOD＝x，S△COE＝y，得出S△BOD＝2x，S△AOE＝2y，可列方程组求出S△COE，连接AP，FP，设S△PAD＝a，S△CPG＝b，得到SABP＝3a，S△APG＝，S△APC＝+b=， 可列方程组求出S△CPG，故可求解．
【详解】（1）∵D是边上的中点，
∴AD=BD
由题结论=1
∴的面积=的面积
故答案为：=；
（2）∵的面积分别为6，8，12，
∴，
∴
连接AO，设S△ADO＝a，S△AEO＝b，
∴
解得
∴= S△ADO+S△AEO- S△DEO＝15
故答案为：15；
（3）连接AO，由AD＝DB得S△ADO＝S△BDO，同理：S△CEO＝S△AEO，
设S△BDO＝x，S△CEO＝y，则S△ADO＝x，S△AEO＝y，
由题意得S△ABE＝S△ABC＝45，S△ADC＝S△ABC＝45，
可列方程组为：，解得x＋y＝30，
∴四边形ADOE的面积为30．
（4）连接AO，
设S△AOD＝x，S△COE＝y，
∵D，F是的三等分点，E，G是的三等分点，
∴S△BOD＝2x，S△AOE＝2y，S△ABE＝S△ABC=60，S△ACD＝S△ABC=30，
∴3x＋2y＝60，x＋3y＝30，
则可列方程组解得，
∴S△COE＝．
连接AP，FP，设S△PAD＝a，S△CPG＝b，
∵D，F是的三等分点，E，G是的三等分点，
∴SABP＝3a，S△APG＝，S△ABG＝S△ABC=30，S△APC＝+b=，S△ACD＝S△ABC=30，
∴3a＋＝30，a＋＝30，
则可列方程组解得，
∴S△CPG＝15．
∴四边形的面积= S△CPG- S△COE＝．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形的面积，二元一次方程组的应用，根据三角形的面积构建方程组是解题的关键．
19．（1）①见解析；②△EBD是等角三角形；（2）△ABC是等角三角形，理由见解析；（3）见解析
【分析】（1）①根据题意画出图形即可；
②根据角平分线定义可得∠ABD＝∠DBC，根据平行线的性质可得∠EDB＝∠DBC，进而可得∠EBD＝∠EDB，从而可得△EBD是等角三角形；
（2）根据平行线的性质可得∠1＝∠B，∠2＝∠C，再根据角平分线的性质可得∠1＝∠2，进而可得结论；
（3）过点M作GH∥BC，交AB于点G，交AC于点H，利用平行线的性质和角平分线定义解答即可．
【详解】解：（1）①补全图形如图4所示．

②△EBD是等角三角形．
理由：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，
∴∠EBD＝∠EDB，
∴△EBD是等角三角形；
（2）△ABC是等角三角形．
理由如下：如图5，∵AF∥BC，
∴∠1＝∠B，∠2＝∠C，
∵AF是∠GAC的角平分线，
∴∠1＝∠2，
∴∠B＝∠C，
∴△ABC是等角三角形．

（3）过点M作GH∥BC，交AB于点G，交AC于点H，如图6，出现两个等角三角形分别是：△GBM和△HMC．
下面说明△GBM是等角三角形．
理由：∵GH∥BC，
∴∠1＝∠2，
∵BM是∠ABC角平分线，
∴∠GBM＝∠2，
∴∠1＝∠GBM，
所以△GBM是等角三角形．

【点睛】此题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义，正确理解题意、熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
20．能在13分钟内将货物运到铁路边
【分析】本题主要考查了三角形面积的计算，垂线段最短，过点D作，连接，利用等面积法求出的长，进而求出货车沿着行驶到铁路的时间即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点D作，连接，
∵
∴，
（米），
货车的速度为千米/时米/分钟．
又∵（分钟）（分钟），
∴能在13分钟内将货物运到铁路边．
21．见解析
【分析】本题考查了高的意义，直角三角形的特征，角的平分线，对顶角的性质，熟练掌握直角三角形的特征，对顶角相等是解题的关键．
【详解】证明：，

，
，
又平分，
，
，
，
，
即．
22．(1)见解析
(2)10
【分析】本题考查三角形的面积，三角形的中线的性质等知识，解题的关键是学会利用三角形的中线平分三角形的面积解决问题，属于中考常考题型．
（1）由三角形中线的性质结合三角形面积公式证明即可．
（2）先求出，再由 E是的中点结合中线的性质求解即可．
【详解】（1）根据三角形面积公式可得
，，．
是边上的中线，
，
，
；
（2）解：在直角中，，，，
，
E是的中点，
，
．
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