12.4全等三角形同步练习（含解析）

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12.4全等三角形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，已知，，则的长为（ ）

A．4 B．5 C．6 D．7
2．如图，已知，下列结论：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中正确的有（ ）

A．个 B．个 C．个 D．个
3．已知图中的两个三角形全等，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．如图，，，，则AC为（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6
5．如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，且A、C、B在同一直线上，有如下结论：①△ACE≌△DCB；②CM＝CN；③AC＝DN；④PC平分∠APB；⑤∠APD＝60°，其中正确结论有（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
6．如下图，已知，点恰好在的延长线上，，．则的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，若两个三角形全等，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
8．如图，和是两个直角三角形，且点B，C，D在同一条直线上，若，则线段和线段的关系是（ ）
A．既不相等又不互相垂直 B．相等但不互相垂直
C．互相垂直但不相等 D．相等且互相垂直
9．下列各项中，两个图形属于全等图形的是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，，，，则（　　）
A． B． C． D．
11．下列说法正确的是（ ）
A．形状相同的两个三角形一定是全等三角形 B．周长相等的两个三角形一定是全等三角形
C．面积相等的两个三角形一定是全等三角形 D．边长为的等边三角形都是全等三角形
12．如图，已知，点在上．则下列结论：①；②；③是等腰三角形；④．其中正确结论的个数是（ ）

A．个 B．个 C．个 D．个
二、填空题
13．如图，用“SAS”证明△ABC≌△ADE，若已知AB＝AD，AC＝AE，则还需添加条件为 ．
14．如图，，垂足为点A，厘米，厘米，射线，垂足为点B，一动点E从A点出发以0.5厘米/秒的速度沿射线运动，点D为射线上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持，当点E离开点A后，运动 秒时，与全等．（将选择与填空题的答案填在答题纸对应的位置上）

15．全等三角形不能重合. ( )
16．能够完全重合的两个图形叫做 ．如果两个图形全等．它们的形状和大小一定 ．
17．如图，，且点B，C，E共线，若的面积为6，，则 ．
三、解答题
18．综合与探究
【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如，由图1可以得到，基于此，请解答下列问题．
【直接应用】（1）若，，求的值．
【类比应用】（2）若，则___________．
【知识迁移】（3）将两块全等的特制直角三角板（）按如图2所示的方式放置，其中点，，在同一直线上，点，，也在同一直线上，连接，．若，，求一块直角三角板的面积．

19．把如图所示的各个图形分别分割成两个全等的图形．
20．综合与实践
问题情境：
如图1，学校有一块三角形空地，其中米，米，米．点在边上，点在边上，米，米，在范围内种植谷物．
思考探究：
（1）种植谷物的面积为_________平方米．
方案设计：
现需要在剩余空地上分割出一块三角形空地种植玉米（为种植玉米三角形空地的一个顶点），其面积与种植谷物的面积相同．
（2）可以利用全等三角形面积相等的方法设计方案．
①欣欣的方案：如图2，在边上选取一点，在边上选取点，当时，即可使种植玉米的面积与种植谷物的面积相同，求此时的长．
②彤彤认为还有其他全等情况也符合设计要求，请直接写出其他符合设计要求的方案中的长．（点在边上，点在边上）
（3）畅畅想到了利用中线分割的方法，如图3，选取的中点，连接，选取的中点，连接，则即为符合条件的种植玉米的三角形空地．请说明畅畅的想法是否正确，并说明理由．
21．在校运动会上，某校七年级⑴班的同学为了给参加比赛的同学加油助威，每人提前制作了一面同一规格的直角三角形彩旗．小明放学回家后，发现自己的彩旗破损了一角（如图1），他想用如图2所示的长方形彩纸重新制作一面彩旗．请你帮助小明，用直尺与圆规在彩纸上作出一个与破损前完全一样的三角形．（不写作法，保留作图痕迹）
22．如图，已知BE，CF分别是△ABC中AC，AB边上的高线，在BE的延长线上取点P，使PB＝AC，在CF的延长线上取点Q，使CQ＝AB．求证：AQ⊥AP.
23．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，延长AE交BC的延长线于点F．
(1)判断FC与AD的数量关系，并说明理由；
(2)若∠D=90°，AE平分∠BAD，求证：BE平分∠ABC．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C D C B C A D C D
题号 11 12
答案 D D
1．B
【分析】本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形对应边相等是解题的关键．由全等三角形的性质得到即可得到答案．
【详解】解：，
，
，
．
故选B．
2．C
【分析】利用得到对应边和对应角相等可以推出①③，根据对应角相等、对应边相等可推出②④⑦，再根据全等三角形面积相等可推出⑤，正确；根据已知条件不能推出⑥．
【详解】解：①∵
∴故①正确；
②∵
∴即：，故②正确；
③∵
∴；
∴即：，故③正确；
④∵
∴；
∴，故④正确；
⑤∵
∴，故⑤正确；
⑥根据已知条件不能证得，故⑥错误；
⑦∵
∴；
∴，故⑦正确；
故①②③④⑤⑦，正确的6个．
故选C．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，正确掌握全等三角形对应边相等，对应角相等是解答此题的关键．
3．D
【分析】本题考查全等三角形的性质，根据三角形内角和定理求得，然后由全等三角形的性质可得结论．解题的关键是掌握：全等三角形的对应角相等．
【详解】解：如图，
，
∵图中的两个三角形全等，
∴．
故选：D．
4．C
【分析】根据全等三角形的性质得出，进而根据线段的和差即可求解．
【详解】解：∵，
∴
∵，，
∴,
∴
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
5．B
【分析】利用边角边即可证明△ACE与△DCB全等，然后根据全等三角形对应角相等可得∠CAM＝∠CDN，再利用角边角证明△ACM≌△DCN，根据全等三角形对应边相等可得CM＝CN，DN＝AM，同理可证明△BCN≌△ECM，根据全等三角形对应边相等可得BN＝EM，根据三角形面积公式求出CQ＝CH，即可判断④，根据三角形外角性质推出∠APD＝60°．
【详解】∵△DAC和△EBC都是等边三角形，
∴∠ACD＝∠BCE＝60°，
∴∠ACE＝∠DCB＝120°，
在△ACE与△DCB中，
AC＝DC，∠ACE＝∠DCB，CB＝CE，
∴△ACE≌△DCB(SAS)，故①正确；
∴∠CAM＝∠CDN，
在△ACM与△DCN中
∠CAM＝∠CDN，AC＝DC，∠ACM＝∠DCN＝60°，
∴△ACM≌△DCN(ASA)，
∴CM＝CN，故②正确；
DN＝AM，
在△AMC中，AC＞AM，
∴AC≠DN，故③错误；
过C作CQ⊥DB于Q，CH⊥AE于H，
∵△ACM≌△DCN，
∴△ACM和△DCN的面积相等，
∵DN＝AM，
∴由三角形面积公式得：CQ＝CH，
∴CP平分∠APB，∴④正确；
∵△ACE≌△DCB，
∴∠AEC＝∠DBC，
∵∠ECB＝60°，
∴∠EAC＋∠AEC＝∠ECB＝60°，
∴∠APD＝∠EAC＋∠ABP＝∠EAC＋∠AEC＝60°
∴⑤正确；
故选B.
【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形是解题的关键.
6．C
【分析】本题考查了三角形内角和，以及全等三角形性质，根据三角形内角和得到，再利用全等三角形性质推出，最后各角平角的定义，即可解题．
【详解】解：，，
，
，
，
点恰好在的延长线上，
，
故选：C．
7．A
【分析】三角形内角和定理求出的度数，全等三角形的性质，得到，即可得解．
【详解】解：如图，

由三角形的内角和定理，得：，
∵两个三角形全等，由图可知，为对应角，
∴，
故选A．
【点睛】本题考查全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的对应角相等．
8．D
【分析】本题考查三角形全等的性质，根据得到，，，结合直角三角形的性质即可得到答案
【详解】解：∵，
∴，，，，
∴，
∴，
∴线段和线段相等且互相垂直，
故选：D．
9．C
【分析】利用全等图形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案．
【详解】解：A、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；
B、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；
C、两个图形能够完全重合，是全等图形，符合题意；
D、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查的是全等形的识别、全等图形的基本性质，属于较容易的基础题．
10．D
【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形对应边相等可得，再求出，在根据线段和差即可求解，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
【详解】∵，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
故选：D．
11．D
【分析】根据全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形为全等三角形，据此判断即可．
【详解】A、形状相同且大小相同的两个三角形一定是全等三角形，原说法错误，不符合题意；
B、周长相等的两个三角形不一定是全等三角形，原说法错误，不符合题意；
C、面积相等的两个三角形不一定是全等三角形，原说法错误，不符合题意；
D、边长为的等边三角形都是全等三角形，原说法正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的定义，熟记定义是解本题的关键．
12．D
【分析】根据全等三角形的性质，即可．
【详解】∵，
∴，，，
∴①正确；
∵，
∴，
∴，
∴②正确；
∵，
∴是等腰三角形，
∴③正确；
∵绕点旋转得到，
∴，
∴，
∴④正确；
∴正确的有：①②③④．
故选：D．
【点睛】本题考查旋转，全等三角形的知识，解题的关键是掌握全等三角形的性质，旋转的性质．
13．∠BAC=∠DAE.
【分析】根据题目中给出的条件AB=AD，AC=AE，要用“SAS”还缺少条件是夹角：∠BAC=∠DAE．
【详解】还需条件∠BAC=∠DAE．理由如下：
在△ABC和△ADE中，∵，∴△ABC≌△ADE（SAS）．
故答案为∠BAC=∠DAE．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，关键是要熟记判定定理：SSS，SAS，AAS，ASA．
14．12或32或44
【分析】分两种情况：①当E在线段上时，②当E在上，再分别分成两种情况，进行计算即可．
【详解】解：①当E在线段上，时，，
∵，
∴，
∴，
∴点E的运动时间为秒；
②当E在上，时，
∵，
∴，
∴，
∴点E的运动时间为秒；
③当E在线段上，时，，
这时E在A点未动，因此时间为0秒；
④当E在上，时，，
，
点E的运动时间为秒．
故答案为：12或32或44．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，利用分类讨论的思想分析三角形全等是解决问题的关键．
15．错
【分析】根据全等三角形的性质判断即可.
【详解】解：根据全等三角形的性质可知，两个三角形全等，则对应角、对应边相等，故两个三角形重合.
故答案为错.
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角、对应边相等是解题的关键．
16． 全等形 相等
【解析】略
17．1
【分析】设，且，根据得，，则，由的面积为6得进一步得到，即可得到答案．
【详解】解：设，且，
∵，
∴，，
∴，
∵的面积为6，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：1
【点睛】此题考查了全等三角形的性质、完全平方公式、算术平方根等知识，数形结合是解题的关键．
18．（1）；（2）；（3）
【分析】（1）根据完全平方公式变形即可求解．
（2）将看成，进而根据，即可求解；
（3）设，，根据可得，而，进而根据完全平方公式变形即可求解．
【详解】解：（1）
又
，
；
（2）∵，则
故答案为：；
（3）∵两块直角三角板全等，
，，
点A，O，D在同一直线上，点B，O，C也在同一直线上，
，．
设，．
，
又，
，
，
，
，
答：一块直角三角板的面积为16．
【点睛】本题考查了完全平方公式变形求值，全等三角形的性质，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
19．见解析
【分析】此题考查全等图形，关键是根据全等图形的性质解答．
根据全等图形的性质解答即可．
【详解】解：如图所示：
20．（1）6；（2）①米；②当时，米；（3）正确，理由见解析
【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形中线的性质，灵活运用各知识点是解答本题的关键．
（1）利用三角形的面积公式计算即可；
（2）①当时，米，进而可求出的长；
②当时，米，进而可求出的长；
（3）根据中线的性质求出的面积，即可判断畅畅的想法是否正确．
【详解】解：（1）∵，米，米，
∴种植谷物的面积平方米．
故答案为：6；
（2）①∵，
∴米，
∴米；
②当时，
则米，
∴米；
（3）∵米，米，
∴平方米．
∵P是的中点，
∴平方米．
∵Q是的中点，
∴平方米．
∴，
∴畅畅的想法正确．
21．作图见详解
【分析】由题意根据作三角形全等于已知三角形的方法利用ASA，在矩形的较短的边上截取线段等于彩旗的短直角边，再作一角等于彩旗的顶角即可．
【详解】解：如图所示：
　
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质以及应用与设计作图，熟练并正确利用全等三角形的判定进行分析是解题的关键．
22．见解析
【分析】由垂直定义得∠AEB＝∠AFC＝90°，通过△ABP≌△QCA，根据全等三角形的性质得到∠APB＝∠QAC，由于∠APB＋∠PAE＝∠QAC＋∠PAE，故得到∠PAQ＝90°，可得出结论.
【详解】∵BE，CF分别是△ABC中AC，AB边上的高线，
∴∠AEB＝∠AFC＝90°，
∴∠ABP＋∠EAF＝90°，∠ACQ＋∠EAF＝90°，
∴∠ABP＝∠ACQ.
在△ABP和△QCA中，
∵
∴△ABP≌△QCA(SAS)．
∴∠APB＝∠QAC.
∴∠APB＋∠PAE＝∠QAC＋∠PAE，
即180°－∠AEP＝∠PAQ.
∴∠PAQ＝90°，
即AQ⊥AP.
【点睛】本题考查的是全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的SAS、ASA及SSS定理是解答此题的关键.
23．(1)FC＝AD，见解析
(2)见解析
【详解】（1）（1）解：结论：CF=AD．
理由：∵AD∥BC，
∴∠ADC=∠ECF，
∵E是CD的中点，
∴DE=EC，
∵在△ADE与△FCE中
∴△ADE≌△FCE（ASA）
∴FC=AD；
（2）（2）证明：过点E作EH⊥AB，垂足为H．
∵AD∥BC，∠D＝90°，
∴∠DCB＝90°．
∵AE平分∠BAD，∠D＝90°，EH⊥AB于H，
∴DE＝EH．
∵E是CD的中点，
∴DE＝EC，
∴EH＝EC，
∵∠DCB＝90°，EH⊥AB于H，
∴BE平分∠ABC．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
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