第二十二章圆（下）同步练习（含解析）

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第二十二章圆（下）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为（ ）
A．2 B．3 C． D．
2．如图，分别与相切于点，，为上一点，则的度数是（　　）

A． B． C． D．
3．下列命题中：①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③垂直于半径的直线是圆的切线；④E，F是∠AOB的两边OA，OB上的两点，则不同的E，O，F三点确定一个圆：其中正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．0个
4．如图，中，，则以A为圆心，3为半径的与的位置关系是（　　）
A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定
5．若两圆的圆心距为5，两圆的半径分别是方程的两个根，则两圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．外离 C．内含 D．外切
6．如图，是的直径，过圆上一点作的切线，交的延长线于点，若，的半径为2，则的长是（ ）
A． B． C． D．2
7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，若∠A＝n°，则∠DCE＝（　　）
A．（180-n）° B．n° C．（90-n）° D．（90+n）°
8．如图，正方形与等边内接于，，则等于（　　）
A． B． C． D．
9．在同一个圆中，内接正三角形、正四边形、正六边形的边长之比为（ ）．
A． B． C． D．
10．如图，半径为2的是正六边形的外接圆，则边心距的长度为（ ）

A．1 B． C． D．2
11．若一个正六边形的半径为6，则它的边心距等于（ ）
A． B． C． D．3
12．如图，是的直径，，垂足为E，直线与相切于点C，交于点D，直线交的延长线于点P，连接，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，矩形纸片ABCD中，AD= 1，AB=2，将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合，折痕FG分别与AB、CD交于点G、F，AE与FG交于点O，当△AED的外接圆与BC相切于BC的中点N，则折痕FG的长为
14．如图，是外一点，、是的两条切线，切点分别为、，若为，点在上（不与、重合），则 ．
15．如图，正六边形内接于，边长，则扇形的面积为 ．

16．如图，、分别为相切于点、，的切线分别交、于点、，切点在上，若的周长为18，则长是 ．
17．如图，的切线交直径的延长线于点P，C为切点．连结，若，则的度数是 ．
三、解答题
18．如图，已知内接于，为直径，延长至D，过D作切线，切点为E，且，连接．，，求的半径．
19．如图，小云在生活中观察到一个拱门，拱门的上方拱线和下方拱线的最高点均为点，拱门的跨径间对称分布有8根立柱．他搜集到两条拱线的相关数据，拱线的跨径长为，高为．右侧的四根立柱在拱线上的端点，，，的相关数据如下表所示．
点 点 点 点
距的水平距离（） 4 5 6 7
距的竖直距离（） 4.125 3.000 1.625 0
所查阅的资料显示：拱线为某个圆的一部分，拱线为某条抛物线的一部分．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)选取拱线上的任意三点，通过尺规作图作出拱线所在的圆；
(2)建立适当的平面直角坐标系，选取拱线上的点，求出拱线所在的抛物线对应的函数解析式，并验证拱线上的其他已知点都在抛物线上，写出验证过程（不添加新的字母）．
20．图1是传统的手工推磨工具，根据它的原理设计了如图2所示的机械设备，磨盘半径，用长为的连杆将点Q与动力装置P相连（大小可变），点P在轨道上滑动，并带动磨盘绕点O转动，，．
(1)如图2，当与相切时，求的长．
(2)在磨盘转动过程中，求的最大值及最小值
21．如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A、B、C．（网格小正方形的边长为1）．

(1)请在图中标出圆心P点位置，点P的坐标为___________；的半径为___________；
(2)判断点与的位置关系；
(3)若扇形是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥底面半径．
22．要对一块长60米、宽40米的矩形荒地进行绿化和硬化．
(1)设计方案如图①所示，矩形P、Q为两块绿地，其余为硬化路面，P、Q两块绿地周围的硬化路面宽都相等，并使两块绿地面积的和为矩形面积的，求P、Q两块绿地周围的硬化路面的宽．
(2)某同学有如下设想：设计绿化区域为相外切的两等圆，圆心分别为和，且到的距离与到的距离都相等，其余为硬化地面，如图②所示，这个设想是否成立？若成立，求出圆的半径；若不成立，说明理由．
23．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O为BC上一点，以点O为圆心、OB的长为半径作圆，交BC于点F，交AB于点D，过点D作⊙O的切线，交AC于点E．
（1）求证：AE＝DE；
（2）若，CF＝2，BF＝10，求AD的长．
24．如图，已知内接于，是的直径，的平分线交于点，交于点，连接，过点作，交的延长线于点．
(1)求证：是的切线；
(2)已知 ，的半径为，求的长．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D D B B A B D B B
题号 11 12
答案 A A
1．D
【分析】标注A、B、C点，连接AD，OB，则AD过O，求出∠OBD=30°，求出OB，根据勾股定理求出BD，同法求出CD，求出BC即可．
【详解】如图，⊙O是△ABC的内切圆，⊙O切AB于F，切AC于E，切BC于D，
连接AD，OB，则AD过O(因为等边三角形的内切圆的圆心再角平分线上,也在底边的垂直平分线上)，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60 ，
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴∠OBC=∠ABC=30 ，
∵⊙O切BC于D，
∴∠ODB=90 ，
∵OD=1，
∴OB=2，
由勾股定理得：BD==，
同理求出CD=，
即BC=2.
故选D.
【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心、等边三角形的性质，解题的关键是掌握三角形的内切圆与内心、等边三角形的性质.
2．D
【分析】连接，根据切线的性质得到，进而在的优弧上找一点，连接，根据圆周角及内接圆的性质即可解答．
【详解】解：连接，所在的优弧上找一点，连接，
∵分别与相切于点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是内接四边形，
∴，
∴，
故选．

【点睛】本题考查了四边形的内角和，圆内接四边形的性质，圆周角定理，掌握圆内接四边形的性质是解题的关键．
3．D
【分析】根据弧、弦、圆心角的关系，垂径定理，切线的判定定理，三点确定一个圆判断即可．
【详解】解：①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；故错误；
②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦；故错误；
③垂直于半径且过半径的外端点的直线是圆的切线；故错误；
④E、F是∠AOB（∠AOB≠180°）的两边OA、OB上的两点，则E、O、F三点确定一个圆；故错误；
故选：D．
【点睛】本题考查了切线的判定定理，三点确定一个圆，垂径定理等知识，熟练掌握各性质和判定定理是解题的关键．
4．B
【分析】根据勾股定理求出的长度，再根据圆心到直线的距离与圆的半径之间的关系进行判断即可．
【详解】解：，
∴，
∴圆心到直线的距离为：，等于圆的半径，
∴与相切．
故选B．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系．熟练掌握根据圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系确定直线与圆的位置关系是解题的关键．
5．B
【分析】本题主要考查两圆的位置关系和一元二次方程的解法．两圆的位置关系有：相离（外离：，内含：）、相切（外切：或内切：）、相交（）．
由两圆的半径分别是方程的两个根，可得两圆的半径，又由两圆的圆心距为3，根据两圆位置关系与圆心距，两圆半径的数量关系间的联系得出两圆位置关系．
【详解】解：∵，
，
解得：，
∵两圆的半径分别是方程的两个根，
∴两圆的半径和为4，
∵两圆的圆心距为5，
∴两圆的位置关系是：外离．
故选：B．
6．A
【分析】本题主要考查了圆的切线的性质，三角函数，勾股定理，连接，利用切线的性质得，再根据三角函数的性质由求出，即可解决问题．
【详解】解：连接，
是的切线，
，
，
，
在中，，
，
故选：A．
7．B
【分析】利用圆内接四边形的对角互补和邻补角的性质求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠DCB=180°，
又∵∠DCE+∠DCB=180°
∴∠DCE=∠A=n°
故选：B．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．
8．D
【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．由圆内接正多边形的性质证得，，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得，，再根据三角形外角的性质及平行线的性质求得，即可求出．
【详解】解：连接，，，
正方形与等边内接于，
，，
，，
，，
，
，
，
，
，
故选：D
9．B
【分析】本题考查了正多边形和圆，正多边形的计算一般是通过中心作边的垂线，连接半径，把正多边形中的半径，边长，边心距，中心角之间的计算转化为解直角三角形．
从中心向边做垂线，构建直角三角形，通过解直角三角形可得．
【详解】解：设圆的半径是r，
则多边形的半径是r，
如图1，则内接正三角形的边长，
如图2，内接正四边形的边长，
如图3，正六边形的边长，
因而半径相等的圆的内接正三角形、正四边形、正六边形的边长之比为．
故选：B．
10．B
【分析】如图所示，连接，求出，进而证明是等边三角形，得到，求出，即可利用勾股定理求出答案．
【详解】解：如图所示，连接，
由题意得，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选B．

【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，勾股定理，等边三角形的性质与判断，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
11．A
【分析】画出图形，利用特殊角的余弦函数关系即可求得边心距．
【详解】如图，O为正六边形的中心，取正六边形边AB的中点C，连接OC．
∵OA=OB=6，∠AOB=360°÷6=60°，
∴OC⊥AB，且∠AOC=30°，
在Rt△OCA中，，
即正六边形的边心距为，
故选：A．
【点睛】本题考查了正多边形与圆，锐角三角函数等知识，善于将正多边的有关计算归结到直角三角形中解决是问题的关键．
12．A
【分析】连接，由切线的性质，可以证明，由平行线的性质、等腰三角形的性质，得到，由，求出的度数，即可得除答案．
【详解】解：连接，
∵与相切于点C，
∴半径，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质以及平行线的性质，关键是由条件证明．
13．/
【分析】连接NO并延长交AD于M，得到OM=CD，设DE=x，则MO=x，表示出AE、DE，在Rt△ADE中，利用勾股定理可解出x，继而可得出折痕FG的长度．
【详解】解：设AE与FG的交点为O．
根据轴对称的性质，得AO=EO．
取AD的中点M，连接MO．
则MO=DE，MODC．
设DE=x，则MO=x，
在矩形ABCD中，∠C=∠D=90°，
∴AE为△AED的外接圆的直径，O为圆心．
延长MO交BC于点N，则ONCD．
∴∠CNM=180°-∠C=90°．
∴ON⊥BC，四边形MNCD是矩形．
∴MN=CD=AB=2．
∴ON=MN-MO=2-x．
∵△AED的外接圆与BC相切，
∴ON是△AED的外接圆的半径．
∴OE=ON=2-x，AE=2ON=4-x．
在Rt△AED中，AD2+DE2=AE2，
∴12+x2=（4-x）2．
解这个方程，得x=．
∴DE=，OE=2-x=．
根据轴对称的性质，得AE⊥FG．
∴∠FOE=∠D=90°．可得FO=．
又ABCD，
∴∠EFO=∠AGO，∠FEO=∠GAO．
∴△FEO≌△GAO．
∴FO=GO．
∴FG=2FO=．
∴折痕FG的长是．
故答案为：．
【点睛】本题通过矩形纸片折叠，利用轴对称图形的性质，在丰富的图形关系中，考查学生获取信息和利用所得信息认识新事物的能力，本题对图形折叠前后的不变量的把握、直线与圆位置关系的准确理解、方程思想的运用意识和策略等具有可再抽象性．
14．71或109
【分析】连接OB、OC，根据切线的性质求出，再根据点A的位置利用圆周角定理及圆内接四边形的性质分类求值．
【详解】解：如图，连接OB、OC，
∵、是的两条切线，切点分别为、，
∴，
∵=，
∴
①当点A在优弧BC上时，，
②当点A在劣弧BC上时，点A、B、D、C四点共圆，
∴，
∵ ，
∴
故答案为：71或109．
【点睛】此题考查圆的切线的性质定理，圆内接四边形的性质，圆周角定理，解题中根据点A的位置运用分类讨论是解题思想．
15．
【分析】
此题考查等边三角形的性质，扇形的面积，根据已知条件得到，推出是等边三角形，得到，根据扇形的面积公式即可得到结论．
【详解】
正六边形内接于，
，
，
是等边三角形，
，
扇形的面积，
故答案为．
16．
【分析】本题主要考查切线的性质，熟练掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理得到，再根据三角形的周长进行计算即可．
【详解】解：切相切于点，
，
切相切于点，
，
切相切于点，
，
的周长为18，
，
，
故答案为：．
17．20
【分析】连接OC，根据切线的性质得到∠OCP，可得∠COP，再根据圆周角定理可得结果．
【详解】解：连接OC，∵PC是切线，
∴∠OCP=90°，
∵∠P=50°，
∴∠COP=40°，
∴∠CAP=20°，
故答案为：20．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，解题的关键是作出辅助线，得到直角．
18．半径
【分析】考查了圆的切线的性质，矩形的判定和性质及垂径定理．解答此类题目的关键是通过作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理求得相关线段的长度．
【详解】解：连接，作于H，
∵是的切线，
∴．
又∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
设的半径为r，则，
在中，，
∴，
∴半径．
19．(1)尺规作图见解析
(2)，其他已知点都在抛物线上，验证过程见解析
【分析】本题考查圆与二次函数综合，涉及圆的性质、尺规作图-中垂线、待定系数法确定函数关系式、验证点是否在函数图像上等知识，熟练掌握中垂线的尺规作图及待定系数法确定函数关系式是解决问题的关键．
（1）选取拱线上的任意三点，连线构成圆的弦，作两条弦的垂直平分线交于点，以为圆心，为半径作圆即可得到答案；
（2）以为坐标原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，如图所示，利用交点式，待定系数法确定函数关系式即可得到拱线所在的抛物线对应的函数解析式为，再将，，，的横坐标代入表达式验证纵坐标是否与值相等即可得到答案．
【详解】（1）解：如图所示：
即为所求；
（2）解：以为坐标原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，如图所示：
拱线的跨径长为，高为，
、、，
设拱线的表达式为，
将代入表达式得，解得，
拱线所在的抛物线对应的函数解析式为，
点 点 点 点
距的水平距离（） 4 5 6 7
距的竖直距离（） 4.125 3.000 1.625 0
将代入得，故点在拱线所在的抛物线上；
将代入得，故点在拱线所在的抛物线上；
将代入得，故点在拱线所在的抛物线上；
将代入得，故点在拱线所在的抛物线上．
20．(1)10
(2)
【分析】本题主要考查切线的性质及勾股定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
（1）连接，根据切线的性质可得，然后根据勾股定理可进行求解；
（2）如图2，当点Q运动到点时，点P距离点A最远，求出此时的长度；当点Q运动到点时，点P距离点A最近，则可得此时的长度，然后问题可求解．
【详解】（1）连接，如图2，
∵与相切，
∴，
在中，
∴，
在中，；
（2）如图3，当运动到时，点运动在上距离点最远，
在中，，，
∴，
当运动到时，点运动在上距离点最近，
在中，，，
∴．
21．(1)，；
(2)圆内；
(3)．
【分析】本题考查了圆锥的计算，坐标与图形性质和垂径定理．
（1）利用网格特点画出和的垂直平分线，它们的交点为P点，再写出P点坐标，然后计算长得到的半径；
（2）利用两点间的距离公式计算出，然后根据点与圆的位置关系的判断方法求解；
（3）先利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形，，设该圆锥的底面圆的半径为r，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，则利用弧长公式得到，求出r即可．
【详解】（1）解：如图，点P为所作，P点坐标为，
，
即的半径为；
故答案为：，；
（2）解：∵P，，
∴，
∵，
∴的长小于圆的半径，
∴点在内；
（3）解：∵，，
∴，
∴为直角三角形，，
设该圆锥的底面圆的半径为r，
根据题意得，
解得．
22．(1)10米
(2)设想成立，10米
【分析】本题考查一元二次方程实际应用，二元一次方程组的实际应用．正确的识图，列出方程和方程组，是解题的关键．
（1）设两块绿地周围的硬化路面的宽都为米，根据“两块绿地面积的和为矩形面积的”列出方程求解即可；
（2）设圆的半径为米，到的距离为米， 根据题意分别列出圆半径与长方形的长和宽的方程，组成方程组，求解即可．
【详解】（1）解：设两块绿地周围的硬化路面的宽都为米，根据题意，得：
解之，得：
经检验，不符合题意，舍去．
所以，两块绿地周围的硬化路面宽都为10米．
（2）设想成立．
设圆的半径为米，到的距离为米，根据题意，得：
，
解得：．符合实际．
所以，设想成立，此时，圆的半径是10米．
23．（1）见解析；（2）AD＝7．
【分析】（1）连接OD，利用切线的性质，得到∠ODE＝90°，逐步得到∠A＝∠ADE，等角对等边即可证明.
（2）在Rt△ABC中，由题意可得BC＝CF＋FB＝12，AC＝9，AB＝15；连接DF，由题意可得△FBD∽△ABC，根据对应边成比例即可求解.
【详解】（1）证明：如图，连接OD.
∵DE是⊙O的切线，
∴∠ODE＝90°，
∴∠ADE＋∠ODB＝90°.
∵OD＝0B，
∴∠B＝∠ODB，
∴∠ADE＋∠B＝90°
又∵∠A＋∠B＝180°－∠C＝90°，
∴∠A＝∠ADE，
∴AE＝DE.
（2）在Rt△ABC中：BC＝CF＋FB＝12，
∴AC＝9，
∴AB＝＝15.
如图，连接DF.
∵BF是⊙O的直径，
∴∠FDB＝90°＝∠ACB.
又∵∠B＝∠B，
∴△FBD∽△ABC，
∴
即
∴BD＝8，
∴AD＝AB－BD＝7.
【点睛】此题主要考查切线的性质和相似三角形的性质定理，通过辅助线构造相似三角形是解题的关键.
24．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查切线的判定，三角函数等知识点，熟练掌握圆的切线的判定方法是解题的关键；
（1）连接，根据是的直径，求出，根据题意求出，从而证明，即可求证；
（2）设，则，由，从而求得的值，根据，即可求解；
【详解】（1）证明：连接，
，
，
是的直径，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
点在上，
是的切线．
（2）解：，，
设，则，由，
得，解得，
，，
同理，
，
，
，
，
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