18.2黄金分割同步练习（含解析）

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18.2黄金分割
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列关于x的方程的说法中正确的是（　　）
A．该方程有两个相等的实数根
B．该方程有两个不相等的实数根，且它们互为相反数
C．该方程有一根为
D．该方程有一根恰为黄金比例
2．已知：点是线段的黄金分割点，且，那么下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知点C是AB的黄金分割点（），若厘米，则（ ）
A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米
4．已知点是线段的黄金分割点，那么的长是（ ）
A． B． C． D．
5．如果，那么等于
A．3:2 B．2:5 C．5:3 D．3:5
6．大自然是美的设计师，即使一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度是（ ）
A． B． C． D．
7．大自然鬼斧神工，一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，P为线段的黄金分割点．如果的长度为，那么的长度是（ ）
A． B． C． D．
8．2023年第19届杭州亚运会的会徽“潮涌”将自然奇观与人文精神进行巧妙融合，其中浪潮设计借助了黄金分割比以给人协调的美感．如图，若点C可看作是线段的黄金分割点（），，则的长为（ ）．

A． B． C． D．
9．在世纪年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作将矩形窗框分为上下两部分，其中为边的黄金分割点，即．已知为米，则线段的长为（ ）．
A．米 B．米 C．米 D．米
10．如图，点是的黄金分割点，即点满足，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．0.618
11．肚脐眼是人上下身的分界点，已知某人的肚脐眼恰好是他的身高的黄金分割点，且他的上身比下身长，若该人的身高约为1.8米，则他的上身长度约为（　　）（精确到0.1米）
A．0.9米 B．1.0米 C．1.1米 D．1.2米
12．下列图形中，属于相似图形的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知，是线段的黄金分割点，，若，则 ．
14．如图，点是线段的黄金分割点（即），若以为边的正方形的面积为100，则长为，宽为的矩形的面积为 ．
15．点C是线段的黄金分割点（），若，则
16．已知点是线段的黄金分割点，如果，那么的长是 ．
17．“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用．秦兵马俑被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为，若如图所示的兵马俑头顶到下巴的距离为，则该兵马俑的眼睛到下巴的距离为 ．
三、解答题
18．如图，点是线段的黄金分割点，计算线段的黄金比的值．

19．已知，点是线段的黄金分割点，若．
(1)若，则　　；
(2)如图，请用尺规作出以为腰的黄金三角形；
(3)证明你画出的三角形是黄金三角形．
20．巴台农神庙的设计代表了古希腊建筑艺术上的最高水平，它的平面图可看作宽与长的比是的矩形，我们将这种宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形的宽．
(1)黄金矩形的长 ；
(2)如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，猜想矩形是否为黄金矩形，并证明你的结论；
(3)在图②中，连接，求点到线段的距离．
21．黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，这一比值能够引起人们的美感，被认为是建筑和艺术中最理想的比例．人体上半身长和下半身长的黄金比为，这时人的身长比例看上去更美观．乐乐的妈妈上半身长68厘米，下半身长104厘米，她想通过穿高跟鞋，使身长的比例更美观，于是她购买了一双6厘米高的高跟鞋．依据黄金比，这双高跟鞋的高度合适吗？请说明理由．
22．黄金分割是一种被广泛应用于艺术和生活中的比例关系，具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，黄金分割比也被称作是最美比例关系．某艺术品公司生产了一款长方形的画框，测量发现该矩形画框的长为厘米，其宽与长的比值等于黄金分割比．
(1)求该矩形画框的宽；
(2)生产画框所用的材料单价为元，则生产一个该画框所需要的材料成本为多少钱？（结果保留根号）
23．中，D是上一点，若，则称为的黄金分割线．
(1)求证：若为的黄金分割线，则D是的黄金分割点；
(2)若，求的面积．（结果保留根号）
24．在数学上称长与宽之比为黄金分割比的矩形为黄金矩形，如在矩形中，当时，称矩形为黄金矩形．请你证明黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形构成．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D B A B A A A B A
题号 11 12
答案 C D
1．D
【分析】利用一元二次方程根的判别式可判断A，利用根与系数的关系可判断B，利用方程解的含义可判断C，D，从而可得答案．
【详解】解：A、，
∴方程有两个不相等的实数根，此选项不符合题意；
B、方程两根的和为，它们不互为相反数，此选项不符合题意；
C、把代入，方程左右两边不相等，故此选项不符合题意；
D、把代入，满足方程，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解的含义，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，掌握“一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系”是解本题的关键．
2．D
【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．由黄金分割点的定义得，即可得出结论．
【详解】解：∵点C为线段的黄金分割点，且，
∴，
故选项D符合题意，
故选：D．
3．B
【分析】根据黄金分割的定义可得，进行计算即可解答．
【详解】解：由题意知：（厘米），
故选：B
【点睛】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割是解题的关键．
4．A
【分析】本题考查黄金分割点的概念．根据黄金分割点的定义，知是较长线段；则，代入数据即可得出的长．
【详解】解：由于P为线段的黄金分割点，且是较长线段，
则．
故选：A．
5．B
【分析】根据比例的基本性质（两内项之积等于两外项之积）和合比定理【如果a：b=c：d，那么（a+b）：b=（c+d）：d （b、d≠0）】解答并作出选择．
【详解】∵=的两个内项是b、2，两外项是a、3，
∴，
∴根据合比定理，得
,即；
同理，得
=2：5.
故选B.
【点睛】本题考查比例的性质，熟练掌握比例的基本性质是解题关键.
6．A
【分析】本题考查了黄金分割，正确记忆黄金分割的概念是解题关键．利用黄金分割的定义列式计算出即可．
【详解】解：为的黄金分割点，
，
故选：A．
7．A
【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金分割的定义进行计算，即可解答．熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
【详解】解：为的黄金分割点，，
，
故选：A．
8．A
【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．根据黄金分割的定义进行计算，即可解答．
【详解】解：点可看作是线段的黄金分割点，，
，
故选：A
9．B
【分析】本题考查了解一元二次方程，黄金分割．设，则，根据求出的值，即可求解．
【详解】解析：∵，
设，则，
∵，
∴，
即，
解得：，（舍去），
∴线段的长为米．
故选：B．
10．A
【分析】本题考查了黄金分割，解题的关键是熟记黄金比的值进行计算．根据黄金比的值为求解即可．
【详解】解：∵点是的黄金分割点，即点满足，
∴为较长线段，
由，得，
故选：A．
11．C
【分析】根据黄金分割比，可得上半身和全身的比值，求解即可．
【详解】解：∵某人的肚脐眼恰好是他的身高的黄金分割点，且他的上身比下身长，该人的身高约为1.8米，
∴他的上身长度约为（米），
故选：C．
【点睛】此题考查了黄金分割比，解题的关键是掌握黄金分割比的性质．
12．D
【分析】根据相似图形的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案．
【详解】A、形状不相同，大小不同，不符合相似形的定义，故不符合题意；
B、形状不相同，大小不同，不符合相似形的定义，故不符合题意；
C、形状不相同，不符合相似形的定义，故不符合题意；
D、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查的是相似形的定义，结合图形，即图形的形状相同，但大小不一定相同的变换是相似变换．
13．/
【分析】本题主要考查了黄金分割知识点，根据黄金分割的定义即可求出．
【详解】解：∵是线段的黄金分割点，，，
∴，
故答案为：．
14．100
【分析】本题考查了黄金分割的定义：一个点把一条线段分成较长线段和较短线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点．根据题意，代入数据计算即可．
【详解】详解：∵C是线段的黄金分割点，且，
∴，
又∵以为边的正方形的面积为100，矩形的长为，宽为，
∴，
故答案为：100．
15．/
【分析】此题考查黄金分割，根据黄金分割的概念把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割．
【详解】解：由题意得：，
∵，，
∴，
解得：，负值已舍去．
故答案为．
16．/
【分析】本题考出来黄金分割，解一元二次方程组．由题意知，，由点是线段的黄金分割点，可得，即，整理得，计算求出满足要求的解即可．
【详解】解：由题意知，，
∵点是线段 的黄金分割点，
∴，即，整理得，
解得：或（舍去），
∴
故答案为：．
17．
【分析】本题考查了黄金分割，根据比例关系列式计算即可．
【详解】解：设该兵马俑的眼睛到下巴的距离为，
则，
解得：，
故答案为：．
18．黄金比为．
【分析】本题考查的是黄金分割的含义，本题设线段，较长的线段的长为，结合图形可得，结合黄金分割点的含义建立方程求解即可.
【详解】解：设线段，较长的线段的长为，结合图形可得，
是线段的黄金分割点，
，即，
解得：（舍去负值），
，
答：黄金比为．
19．(1)；
(2)画图见解析；
(3)证明见解析
【分析】（1）根据黄金分割的定义解答即可；
（2）以A圆心，以的长为半径作弧，再以点为圆心，的长为半径作弧，两弧交于点，连接，则即为所求；
（3）根据黄金分割的概念和黄金三角形的概念：黄金三角形是一个等腰三角形，其底与腰的长度比为黄金比值，证明即可．
【详解】（1）解： 点是线段的黄金分割点，若，
，
故答案为：；
（2）以A圆心，以的长为半径作弧，再以点为圆心，的长为半径作弧，两弧交于点，
连接，则即为所求；
（3）证明：由（1）得，点是线段的黄金分割点，
底边，
∴
三角形是黄金三角形．
【点睛】此题考查了黄金分割的定义，根据条件作三角形，黄金三角形的作法，熟知黄金三角形的定义是解题的关键．
20．(1)
(2)矩形DCEF为黄金矩形，理由见解析
(3)点D到线段AE的距离为
【分析】本题考查了黄金分割，理解题目所给“黄金矩形”的定义是解题的关键．
（1）根据，，即可求解；
（2）先求出，再求出的值，即可得出结论；
（3）连接，，过D作于点G，根据，，得出，再根据，即可求解．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
故答案为：；
（2）解：矩形为黄金矩形，理由是：
由（1）知，
∴，
∴，
故矩形为黄金矩形；
（3）解：连接，，过D作于点G
∵，，
∴，
在中， ，
即，
则，
解得，
∴点D到线段的距离为．
21．这双高跟鞋合适，理由见解析．
【分析】本题考查了黄金分割，以及比例的性质，根据黄金分割的定义，进行计算即可解答．
【详解】解：这双高跟鞋合适，理由如下：
（），
，
答：这双高跟鞋合适，穿起来后上半身长与下半身长正好成黄金比．
22．(1)厘米；
(2)元．
【分析】()根据宽与长的比值等于黄金分割比列出算式即可求解；
()求出矩形画框的面积，进而即可解决问题；
本题考查了黄金分割，二次根式的运算，熟知黄金分割的定义是解题的关键.
【详解】（1）解：∵矩形画框的宽与长的比值等于黄金分割比，且长为厘米，
∴矩形画框的宽为厘米；
（2）解：矩形画框的面积为（平方厘米），
∴矩形画框的材料成本为元，
答：生产一个该画框所需要的材料成本为元．
23．(1)见解析
(2)
【分析】（1）先由等高的两个三角形面积之比等于底之比，可得，，又因为，等量代换得出，根据黄金分割点的定义即可证明D是的黄金分割点；
（2）由（1）知，那么，，又等高的两个三角形面积之比等于底之比，将代入，即可求出的面积．
【详解】（1）证明：∵，，
又∵，
∴，
∴D是的黄金分割点；
（2）解：由（1）知，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了黄金分割的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．也考查了三角形的面积．
24．见解析
【分析】在上截取，，连接，则，易证四边形是正方形，然后求出，可得矩形的长与宽的比是黄金分割比，进而得证．
【详解】证明：在上截取，，连接，则，
∵，
四边形是平行四边形，
∴，
，
又，
四边形是正方形，
∵，，
∵，
，
矩形的长与宽的比是黄金分割比，矩形是黄金矩形，
黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形构成．
【点睛】此题考查了黄金分割比的意义，矩形的性质，正方形的判定和性质，分母有理化．正确理解黄金矩形的定义是解决问题的关键．
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