18.6相似三角形的性质同步练习（含解析）

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18.6相似三角形的性质
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在正方形中，E，F分别是边上的中点，连接，交于点G，连接．下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图是由边长为1的小正方形组成的网格，点A，B都在格点（小正方形的顶点）上，点C为与网格水平线的交点，则的长为（　　）

A． B． C． D．
3．如图，在中，点D、E分别在边、上，且，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在平行四边形中，E是上的3等分点，交于点F，则与的面积比为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在矩形中，，，点E为中点，P、Q为边上两个动点，且，当四边形周长最小时，的长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．如图，在中，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线分别交，于点，，以为圆心，长为半径画弧，交于点，连结，，给出四个结论：①②③④，其中正确的结论有个（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图，在中，D、E分别是上的点，且，若，则（ ）

A． B． C． D．
8．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（ ）
A．3：4 B．9：16 C．9：1 D．3：1
9．如图，在和中，，，，点在上，与交于点，连接，下列结论错误的是（ ）．
A． B． C． D．
10．在矩形中，的角平分线与交于点，的角平分线与交于点，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，点D、E分别在上，，，（ ）
A． B． C． D．
12．已知ABCD，CDEF，EFGH是三个相连的正方形，则△ACF与△ACG的相似比为（　　）
A．1： B．1：2 C．1： D．：
二、填空题
13．如图，、分别是的边、上的点，，，且，则的长为 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，点在第一象限内，连接、．已知，则 ．
15．如图，在矩形中，，，点E是边的中点，连接，过点E作交于点F，连接，则的长为 ．
16．为的高，，点E在边上，．则的长为 ．
17．如图，直线，如果，，，那么线段的长是
三、解答题
18．如图14-1，在锐角△ABC中，AB = 5，AC =，∠ACB = 45°．
计算：求BC的长；
操作：将图14-1中的△ABC绕点B按逆时针方向旋转,得到△A1BC1．如图14-2,当点C1在线段CA的延长线上时．
（1）证明：A1C1⊥CC1；
（2）求四边形A1BCC1的面积；
探究：
将图14-1中的△ABC绕点B按逆时针方向旋转,得到△A1BC1．连结AA1,CC1，如图14-3．若△ABA1的面积为5,求点C到BC1的距离；
拓展：
将图14-1中的△ABC绕点B按逆时针方向旋转,得到△A1BC1．点E为线段AB中点,点P是线段AC上的动点,在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中,点P的对应点是点P1,如图14-4．
（1）若点P是线段AC的中点，求线段EP1长度的最大值与最小值；
（2）若点P是线段AC上的任一点,直接写出线段EP1长度的最大值与最小值．
19．已知，是的平分线，将一个直角的直角顶点在射线上移动，点不与点重合．
(1)如图，当直角的两边分别与射线、交于点、时，请判断与的数量关系，并证明你的结论；
(2)如图，在（1）的条件下，设与的交点为点，且，求的值；
(3)若直角的一边与射线交于点，另一边与直线、直线分别交于点、，且以、、为顶点的三角形与相似，请画出示意图；当时，直接写出的长．
20．如图，矩形中，，，点，分别在边，上，且，连接，，并以，为边作平行四边形．
(1)连接，求的长度；
(2)求平行四边形周长的最小值；
(3)当平行四边形为正方形时如图，连接，分别交，于点、，求：的值．
21．综合与实践
神舟十八号载人飞船成功发射，为弘扬航天精神，某校在教学楼上悬挂了一幅励志条幅（即）．小亮同学想知道条幅的长度，他的测量过程如下：如图，刚开始他站在距离教学楼的点处，在点正上方点处测得，然后向教学楼条幅方向前行到达点处，在点正上方点处测得，若，，均为，的长为．
(1)如图1，请你帮助小亮计算条幅的长度；
(2)若小亮从点开始以每秒的速度向点行走至（正上方点），经过多少秒后，以、、为顶点的三角形与相似．
22．已知正方形与正方形，正方形绕点旋转一周．
(1)如图1，连接，很明显______，从而我们可以得出的值为______；
(2)如图2，连接，求的值；
(3)当正方形旋转至图3位置时，连接，分别取的中点，连接，试探究：与的关系，并说明理由；
(4)连接，分别取的中点，连接，，请直接写出线段扫过的面积．
23．如图，D，E，F是边上的点，，．
(1)求证：
(2)若D是的中点．直援写出的值．
24．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，∠DEB＝∠FCE，EF∥AB．
(1)求证：△BDE∽△EFC；
(2)设，△EFC的面积是20，求△ABC的面积．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C D D C C B B D D
题号 11 12
答案 A A
1．D
【分析】根据正方形的性质即全等三角形的判定和性质可证明选项A；找线段中点H，连接 ，交于点K，利用直角三角形写边上的中线的性质即垂直平分线的性质可证明选项C；连接，利用相似三角形及全等三角形的判定和性质可证明选项B；利用勾股定理及等量代换可判断选项D．
【详解】解：根据题意作图如下：
∵四边形是正方形，
∴，，
∵E，F分别是边上的中点，
∴，
在与中
，
∴，
∴，，选项A正确，不符合题意；
∵，
∴，
∴，
找线段中点H，连接 ，交于点K，如图所示：
在中，H是边的中点，
∴，即，
同理可得：，
∵，
∴，
∴垂直平分，
∴，选项C正确，不符合题意；
连接，
∵，，
∴，
∵H是边的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
∴，故选项B正确，不符合题意；
∵H是边的中点，垂直平分，
∴，
∴，
∴，
即，选项D错误，符合题意
故选： D．
【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形及相似三角形的判定与性质，以及垂直平分线的性质等知识．此题综合性很强，解题的关键是作出相应辅助线，综合运用这些知识点．
2．C
【分析】先在中，利用勾股定理求出的长，然后再利用相似三角形的判定与性质可得，从而进行计算即可解答．
【详解】解：在中，，，
，
，
，
，
，
，
故选：C．

【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
3．D
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
证明，利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵，，
∴
∴
∵
∴
∴
故选：D．
4．D
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质，利用平行四边形的性质以及相似三角形的判定得出，进而求出答案．
【详解】解：在平行四边形中，E是上的3等分点，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
5．C
【分析】四边形周长等于,其中为定值，即求最小值，，作F关于BC的对称点,当共线时最小，此时的P位置即为所求．
【详解】解：如图：四边形周长等于,
作使
则，
作F关于BC的对称点,连接，交于点
四边形周长=，其中为定值，
当共线时最小，即四边形周长最小
四边形是矩形，，
则
，

故选C．
【点睛】本题考查了矩形的性质，将军饮马，线段和最小值问题，相似三角形的性质与判定，正确的作出辅助线，转化未知线段为已知线段的长是解题的关键．
6．C
【分析】本题考查了作图-基本作图，全等三角形的判定、线段垂直平分线的性质和相似三角形的判定与性质．
根据基本作图得到垂直平分，，再根据线段垂直平分线的性质得到，于是可对A选项进行判断；通过证明为的中位线得到，所以，则可计算出，则，于是可对B选项进行判断；计算出，而为直角三角形，则根据全等三角形的判定方法可对C选项进行判断；通过证明，利用相似比得到，然后利用可对D选项进行判断．
【详解】解：由作法得垂直平分，，
∴，
∴①正确；
∵，
∴为的中位线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴②正确；
∵，
∴，
∴，，
∵为直角三角形，
∴与不全等，
∴④错误；
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
而，
∴，
∴，
∴③正确．
故选：C．
7．B
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由，即可证得，又由，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
8．B
【分析】根据题意可证明△DFE∽△BFA，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案．
【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC∥AB，
∴△DFE∽△BFA，
∵DE：EC=3：1，
∴DE：DC=3：4，
∴DE：AB=3：4，
∴S△DFE：S△BFA=9：16．
故选：B．
9．D
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角性质等，由两个三角形为等腰直角三角形易得到，，即可判断；证明得到，进而可判断；证明即可判断；证明即可判断；掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】，，，
，，
，选项正确；
，，，
，
，，
，
又，
，选项正确；
，，
，
∴，
，
即，选项正确；
，
，
又，
，
，
，
即，选项错误；
故选：．
10．D
【分析】先延长EF和BC，交于点G，再根据条件可以判断三角形ABE为等腰直角三角形，并求得其斜边BE的长，然后根据条件判断三角形BEG为等腰三角形，最后根据△EFD∽△GFC得出CG与DE的倍数关系，并根据BG＝BC＋CG进行计算即可．
【详解】延长EF和BC，交于点G，
∵3DF＝4FC，
∴，
∵矩形ABCD中，∠ABC的角平分线BE与AD交于点E，
∴∠ABE＝∠AEB＝45°，
∴AB＝AE＝7，
∴直角三角形ABE中，BE＝，
又∵∠BED的角平分线EF与DC交于点F，
∴∠BEG＝∠DEF，
∵AD∥BC，
∴∠G＝∠DEF，
∴∠BEG＝∠G，
∴BG＝BE＝，
∵∠G＝∠DEF，∠EFD＝∠GFC，
∴△EFD∽△GFC，
∴，
设CG＝3x，DE＝4x，则AD＝7＋4x＝BC，
∵BG＝BC＋CG，
∴7＋4x＋3x＝7，
解得x＝ 1，
∴BC＝7＋4x＝7＋4 4＝3＋4，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了矩形、相似三角形以及等腰三角形，解决问题的关键是掌握矩形的性质：矩形的四个角都是直角，矩形的对边相等．解题时注意：有两个角对应相等的两个三角形相似．
11．A
【分析】根据，可得，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：A
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
12．A
【分析】根据题意设AB＝a，分别表示AB、BC、CD、CF、FG的长，通过计算得出，由相似三角形的判定得出，通过相似三角的性质求出结果．
【详解】解：∵ABCD，CDEF，EFGH是三个相连的正方形，
∴AB＝BC＝CD＝CF＝FG，
设AB＝a（a＞0），则，BC＝CD＝CF＝FG＝a，
在Rt△ABC中，∠B＝90°，
由勾股定理得，
∵，
，
∴，
又∵，
∴，
∴△ACF与△ACG的相似比为：＝1：，
故选：A
【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键表示出三角形各边的值，并得到比值相等而得到相似．
13．
【分析】
求得，推出，证明，利用相似三角形的性质即可求解.
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正确掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
14．
【分析】过点C作CD⊥y轴，交y轴于点D，则CD∥AO，先证CDE≌CDB（ASA），进而可得DE＝DB＝4－n，再证AOE∽CDE，进而可得，由此计算即可求得答案．
【详解】解：如图，过点C作CD⊥y轴，交y轴于点D，则CD∥AO，
∴∠DCE＝∠CAO，
∵∠BCA＝2∠CAO，
∴∠BCA＝2∠DCE，
∴∠DCE＝∠DCB，
∵CD⊥y轴，
∴∠CDE＝∠CDB＝90°，
又∵CD＝CD，
∴CDE≌CDB（ASA），
∴DE＝DB，
∵B（0，4），C（3，n），
∴CD＝3，OD＝n，OB＝4，
∴DE＝DB＝OB－OD＝4－n，
∴OE＝OD－DE
＝n－（4－n）
＝2n－4，
∵A（－4，0），
∴AO＝4，
∵CD∥AO，
∴AOE∽CDE，
∴ ，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及点的坐标的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决本题的关键．
15．
【分析】证明，列出比例式求出的长，进而得到的长，勾股定理求出的长即可．
【详解】解：∵矩形，
∴，
∵点E是边的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，即：，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似，是解题的关键．
16．4或6/6或4
【分析】设，则，利用相似三角形的性质求出x，分两种情形分别求解即可．
【详解】如图，设，则·
，
解得，或，
当时，
；
当时，，此时点E在上，
综上所述，的值为4或6，
故答案为4或6．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，一元二次方程等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
17．/
【分析】过点作，交于点D，交于点E，可得四边形和四边形是平行四边形，设，从而得到，，进而得到，，，再根据，即可求解．
【详解】解：如图，过点作，交于点D，交于点E，
设，
∵，
∴四边形和四边形是平行四边形，
∴，，
∵，，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得：，
即．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
18．(1)7.(2)证明见解析；；（3）；（4）+，-；，-．
【详解】试题分析：过点A做AG⊥BC于G，通过解直角三角形得BG和CG的长，从而可求出BC的长；
由旋转易证∠CC1A1 =∠CC1B+∠A1C1B =45°＋45°=90°，故A1C1⊥CC1；四边形A1BCC1的面积=△CC1B的面积+△A1C1B的面积=；由△∽△C1BC易求点C到BC1的距离为.
计算：
解：过点A做AG⊥BC于G，
∵∠ACB = 45°
∴∠GAC = 45°
∴AG=CG
∴在Rt△AGC中， AG="CG" ==4
∴在Rt△ABG中，由勾股定理得，BG=3
∴BC=BG+CG=4+3=7．
操作：
（1）证明：由旋转的性质可得∠A1C1B =∠ACB =45°，BC=BC1
∴∠CC1B =∠C1CB =45°
∴∠CC1A1 =∠CC1B+∠A1C1B =45°＋45°=90°
∴A1C1⊥CC1
（2）四边形A1BCC1的面积=△C C1B的面积+ △A1C1B的面积=×7×7+×7×4=．
探究：
解：设△中A1B边为的高为m；△C1CB中BC1边为的高为n．
∵×5m=5
∴m=2
∵∠ABC=∠A1B C1
∴∠ C1BC=∠A1BA
∵
∴△∽△C1BC
∴==
∴n=
∴点C到BC1的距离.
拓展：
（1）过点P做PH⊥BC，得到：PH=CH=2，
∴BH=BC－CH=7－2=5．
在Rt△BHP中，根据勾股定理得：BP==．
①△ABC绕点B旋转，点P的对应点P1在线段BA的延长线上时，
EP1最小，最小值为B P1－BE=BP－BE=－；
②△ABC绕点B旋转，点P的对应点P1在线段AB的延长线上时,
EP1最大，最大值为BP1+ BE =BP+ BE =+．
（2）过点B作BD⊥AC，D为垂足,
∵△ABC为锐角三角形
∴点D在线段AC上
在Rt△BCD中，BD=BC×sin45°=．
①当P在AC上运动至垂足点D，△ABC绕点B旋转，
点P的对应点P1在线段AB上时，
EP1最小，最小值为-
②当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，
点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，
EP1最大，最大值为+7= ．
考点：1.解直角三角形；2.相似三角形.
19．(1)与的数量关系是相等，证明见解析
(2)
(3)示意图见解析，或
【分析】（1）与的数量关系是相等．如图，过点作，，垂足分别为点、，根据是的平分线可以得到，又，易得，由此得到，最后得到，现在可以证明，然后根据全等三角形的性质即可得证；
（2）根据（1）可以得到，而，所以，然后根据相似三角形的性质和已知条件就可以求出的值；
（3）分两种情况讨论即可．①如图1所示，若与射线相交，交点与点在点的同侧，②如图2所示，若与射线相交，交点与点在点的两侧．
【详解】（1）解： 与的数量关系是相等．
证明：过点作，，垂足分别为点、，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵是的平分线，
∴，，
在和中，
，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：①如图1所示，若与射线相交，交点与点在点的同侧，
∵，，
∴，
∴，
即，，
∵以、、为顶点的三角形与相似，，
∴，即，
∴，
∵即，
∴，
∵，，
∴；
②如图2所示，若与射线相交，交点与点在点的两侧，过点作，，垂足分别为点、，
∴，
∵是的平分线，
∴，，
∵，
又∵以、、为顶点的三角形与相似，，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，
∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，设边长为，
∴，
∴，即，
∴或（舍去），
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
即，
综上所述，或．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，勾股定理等知识点，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
20．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查相似三角形，矩形，平行四边形，全等三角形的知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，矩形和平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用．
（1）根据矩形的性质，则，，根据，勾股定理，则，即可；
（2）作点关直线的对称点，连接交于点，连接，，点在上是一个动点，根据对称点的性质，则，；根据三角形三边的关系，当当点不与点重合时点、、可构成一个三角形，当点与点重合时点、，在同一条直线上，推出，时，由最小值，即四边形的周长为：，即可；
（3）过点作，根据正方形的性质，全等三角形的判定，则，推出，，根据勾股定理求出；根据相似三角形的判定和性质，则，推出，求出；再根据相似三角形的判定和性质，求出；，推出；根据，根据，求出；最后再根据，，则，，则，即可．
【详解】（1）∵四边形是矩形
∴，，，
∵
∴
∴
（2）作点关直线的对称点，连接交于点，连接，，点在上是一个动点，
∴，，
∴，
当点不与点重合时点、、可构成一个三角形，
，
当点与点重合时点、，在同一条直线上，
∴，
∴当点于点重合是，有最小值，即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平行四边形周长的最小值为：．
（3）∵四边形是正方形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
过点作，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴．
综合所述，：的值为．
21．(1)条幅的长度为；
(2)经过秒或秒后，以、、为顶点的三角形与相似．
【分析】本题考查了相似三角形的应用，平行线的判定，平行线分线段成比例，熟练掌握并灵活运用这些性质是解答本题的关键．
（1）根据已知求出、和，再根据同位角相等求出，根据成比例线段求出长度；
（2）设经过秒后，以、、为顶点的三角形与相似，则，，利用三角形相似对应边成比例，分成和两种情况求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：，，，
，
，
，即，
解得，
条幅的长度为；
（2）解：设经过秒后，以、、为顶点的三角形与相似，则，，
当时，，即，
解得；
当时，，即，
解得，
∴经过秒或秒后，以、、为顶点的三角形与相似．
22．(1)，1
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）利用正方形的性质、旋转的性质可得，，可得，根据全等三角形的性质可得．
（2）通过证明，可得．
（3）连接，过点作，交直线于点，连接，设与交于点，与交于点，证明，得，根据得，证明，根据得，利用，证明，可得，，根据，点是的中点可得，最终可得．
（4）取中点，连接，根据，三角形中位线定理可得，，点在以点为圆心，为半径的圆上运动，点在以为圆心，3为半径的圆上运动，可得线段扫过的面积为．
【详解】（1）解：根据正方形的性质、旋转的性质可得，
（2）解：如图，连接、
四边形和四边形都是正方形
，，
（3）解：如图，连接，过点作，交直线于点，连接，设与交于点，与交于点，
点是的中点
又
（）
又
，点是的中点
（4）解：如图，取中点，连接
点是的中点，点是的中点，点是的中点
点在以点为圆心，为半径的圆上运动，点在以为圆心，3为半径的圆上运动
线段扫过的面积
【点睛】此题考查了全等三角形、相似三角形、三角形中位线定理、正方形的性质等，熟练掌握相关知识点，利用数形结合的思想是解题的关键．
23．(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用平行线的性质和判定得出，结论即可得证；
（2）利用相似三角形的判定得出，再由相似的性质即可得出答案．
【详解】（1）证明：，
（2）解:且D为中点
∵D为中点
【点睛】本题考查了行线的判定与性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握其性质是解决此题的关键．
24．(1)见解析
(2)45
【分析】（1）由平行线的性质得出，，即可得出结论；
（2）先求出，易证，由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出结果．
【详解】（1）解：证明：，
，
∵，
；
（2），
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
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