19.1二次函数同步练习（含解析）

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19.1二次函数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列函数关系式中，二次函数的个数有（ ）
（1）y=3(x－1)2+1 （2）y=（3）S=3－2t2 （4）y＝ x4＋2x2－1 （5）y＝3x(2－x)＋ 3x2 (6) y=mx2+x
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列函数中，是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列各式中，y是x的二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数，当函数值随的增大而增大时，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．若y=（a+2）x2-3x+2是二次函数，则a的取值范围是（ ）
A．a≠0 B．a＞0 C．a＞2 D．a≠－2
6．已知A（﹣1，y1），B（2，y2）是抛物线y=﹣（x+2）2+3上的两点，则y1，y2的大小关系为（ ）
A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1≥y2 D．y1≤y
7．下列函数中，属于二次函数的是(　　)
A．y＝－2x B．y＝x2＋ C．y＝(x＋3)2－9 D．y＝＋1
8．下列函数中，是二次函数的是（ ）．
A． B．
C． D．
9．已知二次函数（h为常数），当自变量x的值满足1≤x≤3时，其对应的函数值y的最小值为1，则h的值为（ ）
A．2或4 B．0或4 C．2或3 D．0或3
10．已知二次函数y=﹣（x+k）2+h，当x＞﹣2时，y随x的增大而减小，则函数中k的取值范围是（　　）
A．k≥﹣2 B．k≤﹣2 C．k≥2 D．k≤2
11．抛物线y＝（x＋3）2﹣1的顶点坐标是（ ）
A．（3，﹣1） B．（3，1） C．（﹣3，1） D．（﹣3，﹣1）
12．抛物线的顶点坐标是(　　)
A． B．
C． D．
二、填空题
13．某抛物线满足：①开口向下；②图象经过点．请写出任意一个满足题意的二次函数的表达式 ．
14．二次函数y＝4(x﹣3)2+7的图象的顶点坐标是 ．
15．如果抛物线的开口向下，且直线不经过第四象限，那么的取值范围是 ．
16．已知的对称轴方程为，并且其图象与轴交于点，则该函数解析式为 ．
17．如果抛物线有最高点，那么的取值范围是 ．
三、解答题
18．若函数是关于x的二次函数，求m的值．
19．已知y＝是二次函数，且当x＜0时，y随x的增大而增大．
（1）则k的值为 　 　；对称轴为 　 　．
（2）若点A的坐标为（1，m），则该图象上点A的对称点的坐标为 　　．
（3）请画出该函数图象，并根据图象写出当﹣2≤x＜4时，y的范围为 　 　．
20．如图，利用一面墙（墙的长度为），用长的篱笆围成两个鸡场，中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道宽的门，设的长为．
(1)若两个鸡场的面积和为，求关于的关系式；
(2)两个鸡场面积和可以等于（）吗？如果可以，求出此时的值．
21．在一个不透明的盒子里，装有三个分别标有数字1，2，4的小球，它们的形状，大小，质地等完全相同．小明先从盒子里随机取出一个小球，记下数字为x，将球放回盒中，摇匀后，再由小亮随机取出一个小球，记下小球上的数字y．
(1)用列表法或画树状图的方法表示出所有可能出现的结果；
(2)求小明，小亮各取一次小球所确定的点落在二次函数图象上的概率．
22．某商品交易会上，一商人将每件进价为5元的纪念品，按每件9元出售，每天可售出32件．他想采用提高售价的办法来增加利润，减少库存，经试验，发现这种纪念品每件提价1元，每天的销售量会减少4件．
(1)设销售单价提高x元（x为正整数），写出每天销售量y（个）与x（元）之间的函数关系式；
(2)当售价定为多少元时，每天的利润为140元？
(3)假设这种商品每天的销售利润为w元，商人为了获得最大利润，应将该商品每件售价定为多少元？最大利润是多少元．
23．在平面直角坐标系中，设二次函数（是实数）．
(1)当时，若点在该函数图象上，求的值．
(2)若二次函数图象的顶点在某条______（A．直线 B．抛物线）上，且表达式为______；
(3)已知点，都在该二次函数图象上，求证：．
24．如图，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在一起，△ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE、始终经过点A，EF与AC交于M点．
（1）求证：△ABE∽△ECM；
（2）探究：在△DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C D A D A C C B C
题号 11 12
答案 D B
1．B
【分析】根据二次函数的定义，逐一判断可得答案．
【详解】（1）满足二次函数的定义，所以它是二次函数；
（2）分母中含有变量，不满足二次函数定义，所以它不是二次函数；
（3）满足二次函数的定义，所以它是二次函数；
（4）因为x的最高次数为4次，满足二次函数的定义，所以它不是二次函数；
（5）化简得：y=6x,它是一次函数，故它不是二次函数；
（6）当m=0时，它不是二次函数.
故是二次函数的有2个.
故选B.
【点睛】本题考查了二次函数的定义，利用了二次函数的定义，二次函数：y=ax2+bx+c（a≠0）是二次函数．
2．C
【分析】本题考查了二次函数的定义，形如的函数叫做二次函数．牢记“二次项系数不为0，未知数最高次为2”是解题关键．
【详解】A、因为未知数最高次为1，是一次函数，故A不符合题意；
B、因为未知数最高次为1，是一次函数，故B不符合题意；
C、因为未知数最高次为2，二次项系数不为0，是二次函数，故C符合题意；
D、因为是分式，不是二次函数，故D不符合题意；
故选：C．
3．D
【分析】本题考查二次函数的定义：一般地，如果（a，b，c是常数，），那么y叫做x的二次函数．此题将式子整理成一般形式后，根据二次函数的定义判定即可．
【详解】解：A、分母中含自变量，不是二次函数，故本选项错误；
B、该函数的右边不是整式，不是二次函数，故本选项错误；
C、该函数不符合二次函数的定义，属于一次函数，故本选项错误；
D、该函数符合二次函数的定义，故本选项正确．
故选：D．
4．A
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握的对称轴为，顶点坐标为；时，函数开口向上，在对称轴左边，y随x的增大而减小，在对称轴右边，y随x的增大而增大，时，函数开口向下，在对称轴左边，y随x的增大而增大，在对称轴右边，y随x的增大而减小．
【详解】解：∵，开口向下，
∴当时，随的增大而增大，
故选：A．
5．D
【分析】根据二次函数的二次项系数不为0可得关于a的不等式，解不等式即得答案.
【详解】解：由题意得： a+2 ≠0，则a≠－2.
故选：D.
【点睛】本题考查了二次函数的定义，属于基础题型，掌握二次函数的概念是关键.
6．A
【详解】试题分析：抛物线的对称轴为直线x=﹣2，根据二次函数的性质，抛物线开口向下，在对称轴的右侧y随x的增大而减小，即可判定．
解：∵y=﹣（x+2）2+3，
∴抛物线的对称轴为直线x=﹣2，抛物线开口向下，
∴当x＞﹣2，y随x的增大而减小，
∵﹣2＜﹣1＜2，
所以y1＞y2．
故选A．
考点：二次函数图象上点的坐标特征．
7．C
【分析】根据二次函数的定义进行判断即可.
【详解】A.是一次函数；
B.该函数分母中含有自变量，不是二次函数；
C.是二次函数；
D. 该函数分母中含有自变量，不是二次函数.
故选C.
8．C
【分析】根据二次函数的概念进行判断即可；
【详解】解：A． 是一次函数，不符合题意；
B． ，当时，不是二次函数，不符合题意；
C． 是二次函数，符合题意；
D． 是一次函数，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查二次函数的概念，掌握二次函数的概念是解本题的关键．
9．B
【分析】根据函数的对称轴为：x=h和的位置关系，分三种情况讨论即可求解．
【详解】解：函数的对称轴为：x=h，
①当时，x=3时，函数取得最小值1，即，
解得h=4或h=2（舍去）；
②当时，x=1时，函数取得最小值1，即，
解得h=0或h=2（舍去）；
③当时，x=h时，函数取得最小值1，不成立，
综上，h=4或h=0，
故选：B．
【点睛】此题考查函数的最值，函数的对称轴，分情况讨论解决问题是解此题的关键．
10．C
【详解】解：抛物线的对称轴为直线x=-k，
因为a=-1＜0，
所以抛物线开口向下，
所以当x＞-k时，y的值随x值的增大而减小，
而x＞-2时，y的值随x值的增大而减小，
所以-k≤-2，
所以k≥2．
故选：C．
11．D
【分析】根据二次函数顶点式的特点即可求解．
【详解】抛物线y＝（x＋3）2﹣1的顶点坐标是（-3，﹣1）
故选D．
【点睛】此题主要考查二次函数的顶点，解题的关键是熟知二次函数y＝（x-h）2+k的顶点为（h，k）．
12．B
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据顶点式的顶点坐标为，即可求解．
【详解】解：抛物线的顶点坐标是，
故选：B．
13．
【分析】由开口向下可知二次项系数小于0，由图象经过点可知当时，，可求得答案．
【详解】解∶设
∵二次函数开口向下，
∴，
∴取，则，
∵图象经过点，
∴，
∴当，时，成立，
∴抛物线解析式为，
故答案为∶．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为，顶点坐标为．
14．（3，7）
【分析】由抛物线解析式可求得答案．
【详解】∵y=4（x﹣3）2+7，
∴顶点坐标为（3，7），
故答案为（3，7）．
15．
【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，一次函数图象与系数的关系，根据二次函数的图像与性质以及一次函数的图象与系数的关系进行解答即可．
【详解】解：抛物线的开口向下，
，
直线不经过第四象限，
，
，
故答案为：．
16．
【分析】由y=x2+ax+b的对称轴方程为x=-2，可求出a的值，再根据图象与y轴交于点（0，-12），即可求出b的值．
【详解】∵y=x2+ax+b的对称轴方程为x=-2，
∴-=-2，
解得a=4，
又图象与y轴交于点（0，-12），
∴b=-12，
故答案是：y=x2+4x-12．
【点睛】考查了待定系数法求二次函数解析式，属于基础题，关键掌握用待定系数法求函数解析式及二次函数图象的性质．
17．
【分析】根据二次函数有最高点，得出抛物线开口向下，即，即可得出答案．
【详解】解：∵抛物线有最高点，
∴抛物线开口向下，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟知二次函数的最值与开口方向的特点．
18．
【分析】本题考查的是二次函数的定义，即一般地，形如是常数，的函数，叫做二次函数．
【详解】解：函数是关于x的二次函数，
∴，
解得．
19．（1）-3，y轴；（2）（﹣1，m），（3）﹣16＜y≤0
【分析】（1）根据二次函数的性质（未知数的最高次数为2）且当x＜0时，y随x的增大而增大列出相应的方程组，求解可得k值，代入二次函数确定解析式，即可确定其对称轴；
（2）根据坐标系中轴对称的性质：关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数即可得；
（3）当时，，当x＝4时，，结合函数图象可得：当x＝0时，y取得最大值即可得出解集．
【详解】解：（1）由是二次函数，且当x＜0时，y随x的增大而增大，得
，
解得：，
∴二次函数的解析式为，
∴对称轴为y轴，
故答案为：-3，y轴；
（2）∵点A（1，m），
∴点A关于y轴对称点的坐标为（﹣1，m），
故答案为：（﹣1，m），
故答案为：（﹣1，m）；
（3）如图所示：
当时，，
当x＝4时，，
根据函数图象可得当x＝0时，y取得最大值，当x＝0时，，
∴当时，；
故答案为：．
【点睛】题目主要考查二次函数得定义和性质、轴对称的性质，理解题意，熟练掌握定义和性质是解题关键
20．(1)
(2)不能
【分析】本题考查了列二次函数关系，解一元二次方程的应用；
（1）根据题意和图形可以求得关于的关系式；
（2）令，解方程即可求解．
【详解】（1）解：由题意可得，
，
即关于的关系式是；
（2）解：依题意，
即
∵，
原方程无实数解，
∴两个鸡场面积和不能等于（）
21．(1)，，，，，，，，
(2)
【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率及二次函数的定义．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
（1）依据题意先用列表法分析所有等可能的出现结果．
（2）根据（1）得出所有情况数，再根据概率公式求出答案即可．
【详解】（1）解：列表如下：
1 2 4
1
2
4
所有可能出现的结果为：，，，，，，，，；
（2）解：共有9种情形，其中落在二次函数的图象上有2中，即点，，
．
22．(1)
(2)当售价定为元时，每天的利润为140元
(3)当售价为 元时，利润最大为．
【分析】（1）设售价单价提高元时，利用每天的销售量会减少4件即可列出函数关系式；
（2）售价为元，每天的利润为140元，根据题意列方程即可得到结论；
（3）根据题中等量关系为：利润（售价进价）售出件数，根据等量关系列出函数关系式，将函数关系式配方，根据配方后的方程式即可求出的最大值．
【详解】（1）解：设售价单价提高元，则
；
（2）解：由题可知售价为元，
即，
解得，，
故售价为：或，
需要减少库存，并且每提高1元，销售量会减少4件，
故售价定为10元，
当售价定为元时，每天的利润为140元；
（3）解：，
当时，最大值为，
故售价为，
当售价为 元时，利润最大为．
【点睛】本题考查的是二次函数的应用，熟知利润（售价进价）售出件数是解答此题的关键．
23．(1)
(2)；
(3)见解析
【分析】（1）把代入得出函数解析式，再把点坐标代入函数解析式即可得出的值；
（2）设①，②，可得，从而知顶点在一条直线上，且表达式为；
（3）由点，都在该二次函数图象上，可得对称轴为直线，从而得出，则，最后得出，即可得出结论．
【详解】（1）解：当时，，
点在该函数图象上，
，
（2）顶点是，设①，②，
由①得，由②得，
，
顶点在一条直线上，且表达式为，
故选：；故答案为；
（3）证明：点，都在该二次函数图象上，
对称轴为直线，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
24．（1）由AB=AC，根据等边对等角，可得∠B=∠C，再结合△ABC≌△DEF与三角形外角的性质，可得∠CEM=∠BAE，即可证得结论；（2）能，BE=1或
【详解】试题分析：（1）由AB=AC，根据等边对等角，可得∠B=∠C，再结合△ABC≌△DEF与三角形外角的性质，可得∠CEM=∠BAE，即可证得结论；
（2）首先由∠AEF=∠B=∠C，且∠AME＞∠C，可得AE≠AM，然后分别从AE=EM与AM=EM去分析，注意利用全等三角形与相似三角形的性质求解即可得到答案.
（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠AEF=∠B，
又∵∠AEF+∠CEM=∠AEC=∠B+∠BAE，
∴∠CEM=∠BAE，
∴△ABE∽△ECM；
（2）∵∠AEF=∠B=∠C，且∠AME＞∠C，
∴∠AME＞∠AEF，
∴AE≠AM；
当AE=EM时，则△ABE≌△ECM，
∴CE=AB=5，
∴BE=BC﹣EC=6﹣5=1，
当AM=EM时，则∠MAE=∠MEA，
∴∠MAE+∠BAE=∠MEA+∠CEM，
即∠CAB=∠CEA，
又∵∠C=∠C，
∴△CAE∽△CBA，
∴，
∴CE=，
∴BE=6﹣=.
考点：相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及二次函数的最值
点评：此题难度较大，注意数形结合思想、分类讨论思想与函数思想的应用是解答本题的关键．
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