19.3二次函数的性质同步练习（含解析）

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19.3二次函数的性质
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知二次函数y＝ax2+2ax+2a+5（其中x是自变量）图象上有两点（﹣2，y1），（1，y2），满足y1y2．当﹣2x1时，y的最小值为﹣5，则a的值为（　　）
A．﹣5 B．﹣10 C．﹣2 D．5
2．抛物线的图象如图所示，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．二次函数的图象如图所示，若M＝4a＋2b，N＝a－b．则M、N的大小关系为（ ）
A．M＜N B．M＝N C．M＞N D．无法确定
4．已知二次函数的图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④．正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
5．若抛物线与y轴的交点为（0，﹣3），则下列说法不正确的是【 】
A．抛物线开口向上
B．抛物线的对称轴是x=1
C．当x=1时，y的最大值为﹣4
D．抛物线与x轴的交点为（－1，0），（3，0）
6．若一次函数的图象经过第二、三、四象限，则二次函数的大致图象是 （ ）
A． B． C． D．
7．二次函数的图象如图所示，则点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
8．如图，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点在和之间，与轴交点在和之间，其部分图象如图所示，则下列结论：①；②；③点、、是抛物线上的点，则；④；⑤（为任意实数）．其中正确结论的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
9．把抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，得到的抛物线是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，在平面直角坐标系内，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点D在第四象限内，且该图象与x轴的两个交点的横坐标分别为﹣1和3．若反比例函数y=（k≠0，x＞0）的图象经过点D．则下列说法不正确的是（　　）
A．b=﹣2a B．a+b+c＜0 C．c=a+k D．a+2b+4c＜8k
11．函数的图象是由函数的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（ ）
①；②；③；④将图象向上平移个单位后与直线有个交点
A．①② B．①③ C．①③④ D．②③
12．若抛物线的顶点为，与y轴的交点为，，则b的值为（ ）．
A．0 B．1 C． D．4
二、填空题
13．若二次函数y=ax2+4x+a﹣1的最小值是2，则a的值是 ．
14．抛物线经过点且对称轴为直线，其图象如图所示，对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③点一定在抛物线上；④若，则时的函数值大于时的函数值．其中正确的结论序号是 ．
15．将向下平移2个单位，再向左平移2个单位，则平移后的二次函数的解析式是 ．
16．若(-2，5)、(4，5)是抛物线上的两点，则它的对称轴是 ．
17．抛物线经过，则抛物线的对称轴是 ．
三、解答题
18．发石车是古代远程攻击的武器，现有一发石车，发射出去的石块沿抛物线轨迹运行，距离发射点20米时达到最大高度10米，如图所示，现将发石车置于山坡底部O处，山坡上有一点A，距离O的水平距离为30米，垂直高度3米，是垂直高度为3米的防御墙．
(1)求石块运行的函数关系式；
(2)计算说明石块能否飞跃防御墙；
(3)石块飞行时与坡面之间的最大距离是多少？
(4)如果发石车想恰好击中点B，那么发石车应向后平移多远？
19．已知二次函数，完成下列各题：
将函数关系式用配方法化为的形式，并写出它的顶点坐标、对称轴．
在直角坐标系中，画出它的图象．
根据图象说明：当取何值时，随的增大而增大？
当取何值时，？
20．已知抛物线的对称轴为，且经过点．
(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；
(2)抛物线上是否存在点，若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．
21．某商家计划在抖音直播平台上直播销售当地特产，将其中一种特产在网上进行试销售．
该商家在试销售期间调查发现，每天销售量y（万件）与销售单价x（元/件）的数据如表：
x（元/件） … 10 12 14 16 …
y（万件） … 14 12 10 8 …
(1)根据所给数据判断函数类型，并求y关于x的函数表达式；
(2)总成本P（万元）与销售量y（万件）之间存在如图所示的变化趋势，当时可看成一条线段，当时可看成抛物线
①销售量不超过万件时，利润为万元，求此时的售价为多少元/件？
②当售价为多少元时，利润最大，最大值是多少万元？（利润＝销售总额－总成本）
22．为增加农民收入，助力乡村振兴，某驻村干部指导农户进行草莓种植和销售．已知草莓的种植成本为8元/千克，经市场调查发现，今年五一期间草莓的销售量（千克）与销售单价（元/千克）（）满足的函数图象如图所示．
(1)根据图象信息，求与的函数表达式（）；
(2)当草莓的销售单价定为30元/千克时，求草莓的销售量的值；
(3)求当销售单价（元/千克）满足（）时销售草莓获得的最大利润．
23．如图1，在四边形中，为边的中点，F为边上一动点，连接并延长至点G，使得，连接．
图1 图2 备用图
(1)①四边形一定是_______（填特殊四边形的名称）；
②若，点F在上运动，当四边形为正方形时，_______．
(2)如图2，若点F运动到的中点时，四边形为矩形，设，则k是否为定值，如果是定值，求出k的值；如果不是定值，请说明理由．
(3)若，是否存在点F，使得四边形为矩形，若存在，请求出的最大值；若不存在，请说明理由．
24．已知一元二次方程，
（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；
（2）若抛物线经过原点，求的值．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C A C C C C B C D
题号 11 12
答案 C D
1．C
【分析】将点的坐标代入解析式，可求a＜0，由取值范围可求当x＝1时，y有最小值，即可求解．
【详解】解：当x＝﹣2时，y1＝4a﹣4a+2a+5＝2a+5，当x＝1时，y2＝a+2a+2a+5＝5a+5，
∵y1＞y2，
∴2a+5＞5a+5，
∴a＜0，
∵二次函数y＝ax2+2ax+2a+5的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
∴当﹣2≤x≤1时，y的最小值为5a+5＝﹣5，
∴a＝﹣2，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，确定a的取值范围是本题的关键．
2．C
【分析】根据开口方向判断的符号，根据对称轴的位置判断的符号，即可求解．
【详解】解：∵抛物线开口向下，则，
∵，则，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，数形结合是解题的关键．
3．A
【分析】由图像可知，当时，，当时，，然后用作差法比较即可.
【详解】解：当时，，
当时，，
，
即，
故选：A.
【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，作差法比较代数式的大小，熟练掌握二次函数图像上点的坐标满足二次函数解析式是解答本题的关键.
4．C
【分析】根据二次函数图象和系数的关系逐项判断即可．
【详解】解：根据函数图象，当x=1时，y=，①正确；
当x=-1时，y=，②正确；
抛物线的对称轴为直线x=-1，根据对称性可知，当x=-2时，y=，④错误；
抛物线开口向下，，对称轴在y轴左侧，同号，，抛物线与y轴交点在正半轴，，所以，，③正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题关键是准确识图，利用数形结合思想从图象上获取正确信息．
5．C
【分析】把（0，-3）代入抛物线解析式求c的值，然后再求出顶点坐标、与x轴的交点坐标．
【详解】把(0, 3)代入y=x2 2x+c中得c= 3，
抛物线为y=x2 2x 3=(x 1)2 4=(x+1)(x 3)
所以：抛物线开口向上，对称轴是x=1，
当x=1时，y的最小值为 4，
与x轴的交点为( 1,0),(3,0)；C错误.
故选C.
6．C
【分析】根据一次函数图象所经过的三个象限，可判断、的符号；再根据、的符号，判断二次函数图象的开口方向，对称轴，选择正确答案．
【详解】解：一次函数的图象经过二、三、四象限，
，，
二次函数的图象的开口向下，二次函数的对称轴，
对称轴应在轴的左侧．
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，解决本题的关键是确定、的符号，进而判断二次函数的开口方向及对称轴位置．
7．C
【详解】由图像可知，，则在第三象限．故选C
8．B
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据图象确定式子的符号及系数的符号，由对称轴为直线可判断①；由时，，且可判断②；由抛物线与对称轴的距离可判断③；由抛物线的顶点位置可判定④；由抛物线的最值即可判断⑤．关键是掌握二次函数的图象与性质，注意数形结合．
【详解】解：∵对称轴为直线，
∴，
∴，故①正确；
∵时，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故②正确；
∵抛物线开口向下，且点到对称轴的距离最大，到对称轴的距离最小，
∴，故③错误；
∵，与轴交点在和之间，
∴，
∴，故④错误；
∵当时，函数有最大值，
∴当为任意实数时，，
∴（为任意实数），故⑤正确，
综上所述，正确的结论是①②⑤，共3个，
故选：B．
9．C
【分析】本题考查了抛物线的平移，按照“左加右减，上加下减”的规律进行解答即可，掌握抛物线“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键．
【详解】解：把抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，得到的抛物线是，
故选：．
10．D
【详解】试题分析：根据二次函数可得对称轴为直线x=1，即-=1，则b=-2a，则①正确；根据图像可得：当x=1时，y＜0，则a+b+c＜0，则②正确；根据图像可得：k=-2，a+b+c=-2，b=-2a，则a-2a+c=-2=k，即c=a+k，则③正确；根据b=-2a，c=a+k可得：a+2b+4c=a+2（-2a）+4（a+k）=a-4a+4a+4k=a+4k8k，则④错误.
考点：（1）、二次函数的性质；（2）、反比例函数的性质
11．C
【分析】根据图象判断出对称轴的位置，再利用二次函数的对称轴公式，即可得到，故①正确；由图象可判断二次函数与轴的交点为，即，故②错误；根据图象判断，，结合，可知，故③正确；求出原二次函数的表达式，即可判断函数顶点的坐标，可以得到将图象向上平移个单位后，函数顶点的坐标为，继而得出直线与平移后的函数图像有个交点，故④正确．
【详解】解：∵由图象可知二次函数与轴的交点为和，
∴二次函数的对称轴为，
∴，
∴，故①正确；
∵由图象可知二次函数与轴的交点为，
∴二次函数与轴的交点为，
∴，故②错误；
∵由图象可知二次函数的开口向上，对称轴在轴的右侧，
∴，，
又∵，
∴，故③正确；
∵将点和代入，
∴，解得，
∴二次函数的表达式为：，
∵当时，，
∴图象上当时，函数顶点的坐标为，
∴将图象向上平移个单位后，函数顶点的坐标为，如图所示：
∴此时，直线与函数图像有个交点，故④正确，
综上：正确的有①③④，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的对称轴公式、系数与图象的关系、待定系数法求二次函数的表达式等是解答本题的关键．
12．D
【分析】由抛物线顶点为得，，则，把点代入，得，把代入②，得，把③代入④，得解得或，又∵，∴，即可得出答案．
【详解】解：∵抛物线的顶点为，
∴，，
∴，
把代入，得，
把代入②，得，
∴，
把③代入④，得，
∴或，
∵
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数图象，熟练掌握抛物线的顶点，对称轴与系数的关系是解题的关键．
13．4
【详解】试题解析：∵二次函数y=ax2﹣4x+a﹣1有最小值2，
∴a＞0，
y最小值=，
整理，得a2﹣3a﹣4=0，
解得a=﹣1或4，
∵a＞0，
∴a=4．
故答案为4．
点睛：求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次系数a的绝对值是较小的整数时，用配方法较好，如y=-x2-2x+5，y=3x2-6x+1等用配方法求解比较简单．
14．①③④
【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，熟记二次函数的对称性，增减性是解本题的关键；本题根据二次函数经过点，对称轴为直线逐一分析各选项即可得到答案．
【详解】解：∵抛物线经过点，
∴，故①符合题意；
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴即，故②不符合题意；
∵抛物线经过点且对称轴为直线，
∴，解得：，
∴，
由对称性可得：一定在抛物线上，
∴点一定在抛物线上，故③符合题意；
∵抛物线当时，随的增大而增大，
而，则，
∴时的函数值大于时的函数值．故④符合题意；
故答案为：①③④
15．
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律求解即可．
【详解】∵将向下平移2个单位再向左平移2个单位
∴可得，即．
故答案为．
【点睛】本题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减，熟练掌握其性质是解决此题的关键．
16．
【分析】根据抛物线的对称性可知，对称轴即为与x轴的两点交点横坐标的平均数．
【详解】∵(-2，5)、(4，5)是抛物线上对称的两点，
∴抛物线的对称轴为．
故答案是：．
【点睛】本题考查了抛物线的对称性，对称轴的求法．抛物线是关于对称轴成轴对称图形．
17．
【分析】抛物线经过且两点的纵坐标相等，它们是抛物线上的对称点，则其对称轴为两点横坐标的平均数．
【详解】∵抛物线经过且两点的纵坐标相等，
∴M、N两点关于抛物线的对称轴对称，
∴抛物线的对称轴是，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是解答的关键．
18．(1)y＝－x2＋x（0≤x≤40）
(2)能，理由见解析
(3)8.1米
(4)（4－10）米
【分析】（1）设石块运行的函数关系式为y＝a（x－20）2＋10，用待定系数法求得a的值，即可求得答案；
（2）把x＝30代入y＝－x2＋x，求得y的值,与6作比较即可；
（3）用待定系数法求得OA的解析式为y＝，设抛物线上一点P（t，－），过点P作PQ⊥x轴，交OA于点Q，则Q（t，），利用二次函数的性质可得答案；
（4）设向后平移后的解析式为y＝－（x－h）2＋10，把（30，6）代入解析式，求得h即可.
【详解】（1）解：设石块运行的函数关系式为y＝a（x－20）2＋10，
把（0，0）代入解析式得：400a＋10＝0，解得：a＝－
∴石块运行的函数解析式为：y＝－（x－20）2＋10，
即y＝－x2＋x（0≤x≤40）；
（2）解：石块能飞越防御墙AB，理由如下：
把x＝30代入y＝－x2＋x得：y＝－×900＋30＝7.5，
而点B的最大垂直高度为3＋3＝6，
由于7.5＞6，
∴石块能飞越防御墙AB；
（3）解：设OA的解析式为y＝kx，
由于A（30，3），
∴3＝30k，
∴k＝．
∴OA的解析式为y＝；
如图，设抛物线上一点P（t，－），过点P作PQ⊥x轴，交OA于点Q，则Q（t，）
∴PQ的长d＝－t2＋t－t＝－t2＋t
∵－＜0，
∴函数图象的开口向下，d有最大值．
当t＝－＝18时，dmax＝－×182＋×18＝8.1
∴石块飞行时与坡面OA之间的最大距离时8.1米；
（4）解：设向后平移后的解析式为y＝－（x－h）2＋10，
把（30，6）代入解析式，得：6＝－（30－h）2＋10，
解得h1＝30－4，h2＝30＋4（不合题意，舍去）
∴20－（30－4）＝4－10．
∴如果发石车想恰好击中点B，那么发石车应向后平移（4－10）米．
【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
19．（1），它的顶点坐标为、对称轴为：；画图象见解析；时，随的增大而增大；时，．
【分析】（1）用配方法整理，进而得出顶点坐标和对称轴即可；
（2）让函数值为0，求得一元二次方程的两个解即为这个二次函数的图象与坐标轴的交点的横坐标，让x=0，可求得抛物线与y轴的交点坐标；
找到与y轴的交点，x轴的交点，对称轴，即可画出大致图象；
（3）根据对称轴为x=2，结合图象开口方向，即可得出答案；
（4）找到x轴上方函数图象所对应的自变量的取值即可.
【详解】解:（1）；
故它的顶点坐标为、对称轴为：；
图象与轴相交是，则：
，
解得，，
∴这个二次函数的图象与轴的交点坐标为，；
当时，，
∴与轴的交点坐标为；
画出大致图象为：
；
根据图象对称轴为，，则当时，随的增大而增大；
由图中可以看出，当时，．
【点睛】此题主要考查了二次函数的图象，用到的知识点为：抛物线与x轴的交点的纵坐标为0，与y轴交点的横坐标为0；函数值大于0，相对应的自变量的取值是x轴上方函数图象所对应的.
20．(1)抛物线的解析式为，顶点坐标为
(2)不存在，理由见详解
【分析】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，及二次函数的性质．
（1）直接利用待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）把点代入二次函数的解析，再解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：抛物线的对称轴为，且经过点，
，
，
故抛物线的解析式为，
，
顶点坐标为；
（2）解：不存在，理由如下：
把代入，得
，
，
，
原方程无解，即抛物线上不存在点．
21．(1)y关于x的函数表达式为；
(2)①此时的售价为或元/件；②当售价为元时，利润最大，最大利润为万元．
【分析】（1）根据表格数据，用待定系数法求函数解析式；
（2）①先求出P关于x的解析式，再根据利润=销售额-总成本列出方程，解方程即可，再根据的关系式求出x的取值范围，从而得出结论；②设利润为w万元，分两种情况求出w的最大值，然后比较即可．
【详解】（1）解：根据表格中数据可知，y与x是一次函数类型．
设y关于x的函数表达式为,
将，代入解析式得：，解得，
∴y关于x的函数表达式为；
（2）解：①设时，，
将，代入解析式得：，
解得，
,
，
整理得：，
解得，
，即，
，
∴此时的售价为或元/件；
②设利润为w万元，
当时，即，
则，，
当时，w有最大值，最大值为；
当时，
把代入
得， ，
解得，
，
，
，
当时，w有最大值，最大值为，
此时，
综上所述，当售价为元时，利润最大，最大利润为万元．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、二次函数在实际问题中的应用，数形结合并明确二次函数的相关性质，是解题的关键．
22．(1)
(2)126
(3)3840元
【分析】（1）根据图象分当时和当时，求解析式．
（2）当时，代入即可求解．
（3）根据“利润=（售价-成本）×销售量”列出；利润的表达式，再根据函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：当时，设，由图象可得：
，解得，
∴当时，，
当时，，
∴．
（2）当时，则
，
∴销售量的值为126．
（3）设利润为W，则：
当时，
，
∵开口向下，对称轴，
∴当时，W随x的增大而增大，
∴当时，，
当时，，
∵W随x的增大而增大，
∴当时，，
，
∴最大利润为3840元．
【点睛】本题考查了函数与销售的实际问题、利用待定系数法求一次函数的解析式、分段函数的表达式、二次函数的性质，本题解题的时候要注意分段函数对应的自变量的取值范围和函数的增减性，熟练掌握一次函数的性质及二次函数的性质．
23．(1)①平行四边形；②6
(2)是，4
(3)存在，
【分析】（1）①利用对角线互相平分的四边形是平行四边形即可判断；
②利用证明，即可求解；
（2）证明，利用相似三角形的性质可得，然后结合即可求解；
（3）设，证明，利用相似三角形的性质可求出，利用二次函数的性质可求出m的最大值为，过点D作，可求，利用勾股定理求出，利用矩形的性质可求出，即可求解．
【详解】（1）解：①E 为边的中点，
，
又，
四边形是平行四边形；
②四边形为正方形
，，
又，
，
，
，
故答案为：平行四边形；6；
（2）解：k是定值．理由如下：
是的中点，四边形是矩形，
，
．
，
，
，
，
，
即，
，
为定值4；
（3）解：存在点F，使得四边形为矩形．理由如下：
如图，四边形是平行四边形，
∴当时，四边形是矩形，
．
，
，
，
，
，
设，
，
，
与x满足二次函数关系，且，
当时，m有最大值为，
如图，过点D作，垂足为M．
则四边形是矩形，
，
，
由勾股定理得，
当m取最大值时，，
．
四边形是矩形，
，
的最大值为．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判断与性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，二次函数的性质等知识，明确题意，证明是解题的关键．
24．（1）见解析；（2）
【分析】（1）求出判别式△，判断△的符号即可得出结论；
（2）将原点坐标（0,0）代入抛物线解析式中求解即可．
【详解】（1）证明：依题意得：
=1﹥0，
故此方程有两个不相等的实数根；
（2）∵抛物线经过原点，
∴将原点坐标代入抛物线的解析式中，得：，
解得：．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式、解一元二次方程、抛物线与坐标原点的交点问题，掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系是解答的关键．
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