第十二章三角形同步练习（含解析）

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第十二章三角形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，一根笔直木棒（不计粗细）的一端固定在一竖直墙面上的A点，另一端可以绕A点自由转动，在墙面上画一条水平直线l，当木条另一端逆时针从点B转动到点C的过程中，在直线l下方木条长度的变化情况是（　　）

A．不变 B．变大 C．先变大再变小 D．先变小再变大
2．由下列条件不能判定为直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，D，E分别是边上的点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，点B、F、C、E在同一条直线上，，，添加以下条件，仍不能使△ABC≌△DEF的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，点E、F在上，，，相交于点G，添加下列哪一个条件，可使得（ ）
A． B． C． D．
7．如图，点E为平分线上一点，，的面积为15，则点E到直线的距离为（ ）

A．5 B．6 C．7 D．8
8．已知的三个内角的大小关系为，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定
9．如图，等边内部有一点，，，，在、上分别有一动点、，且，则的最小值是( )
A．5 B． C． D．7
10．如图，AB=AC，AB的中垂线MN交AC于点D，交AB于点M，且BC=AD，下列结论：①△BCD是等腰三角形；②BD平分∠ABC；③∠C=72°；④图中共有3个等腰三角形，其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
11．如图，在中，，，三角形的顶点在相互平行的三条直线上，且之间的距离为1，之间的距离为2，则的值为（ ）
A． B． C． D．
12．如图所示：AB∥CD，MN交CD于点E，交AB于F，BE⊥MN于点E，若∠DEM＝55°，则∠ABE＝（ ）
A．55° B．35° C．45° D．30°
二、填空题
13．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则 ．

14．如图，中，，，过上点D作直线，分别交、延长线于点F、点E，若，，则 ．
15．当三角形中一个内角是另一个内角的一半时，我们称此三角形为“半角三角形”，其中称为“半角”．如果一个“半角三角形”的“半角”为15°，那么这个“半角三角形”的最大内角的度数为 ．
16．利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图．从图中可以看到：大正方形面积＝小正方形面积＋四个直角三角形面积．因而 ＋ ，化简后即为 ．

17．如图，在中，是边上的高线，若，则的度数为 ．
三、解答题
18．探究：中华人民共和国国旗上的五角星的每个角均相等，小明为了计算每个角的度数，画出了如图①的五角星，每个角均相等，并写出了如下不完整的计算过程，请你将过程补充完整．

(1)解：∵，．
∴ ．
∵ ________，
∴________，
∴________．
(2)拓展：如图②，小明改变了这个五角星的五个角的度数，使它们均不相等，请你帮助小明求，，，，的和．
(3)应用：如图③．小明将图②中的点落在上，点落在上，若，则________．
19．如图，在中，
(1)作的垂直平分线，垂足为点D，交于点E（尺规作图，保留痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，求证：．
20．【问题情境】某数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度．
【实践发现】数学兴趣小组实地勘查发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．
【实践探究】设计测量方案：第一步：先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是1米；第二步：把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点C，再测量绳子底端C与旗杆根部B点之间的距离为5米；
【问题解决】设旗杆的高度为x米，通过计算即可求得旗杆的高度．
(1)依题知 米，用含有x的式子表示为 米；
(2)请你求出旗杆的高度．
21．随着人们生活水平的不断提升，汽车已成为每个家庭的常用交通工具．随着车辆的增多，道路交通管理更需要科学规范，如图，一辆家用小汽车在城市道路上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A正前方的C处，过了小汽车到达B点，测得B与A距离为． 根据“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过． 通过计算说明，这辆家用小汽车是否超速了？（，）
22．将军在B处放马，晚上回营，需要将马赶到河去饮水一次，再回到营地A，已知A到河岸的距离公里，B到河岸的距离公里，公里，求将军最短需要走多远．
23．如图，点，，，在同一条直线上，点、在的同侧，连接，，，，，，，试说明．
24．如图，P为等边△ABC外一点，AH垂直平分PC于点H，∠BAP的平分线交PC于点D，
（1）求证：DP＝DB；
（2）求证：DA+DB＝DC；
（3）若等边△ABC边长为，连接BH，当△BDH为等边三角形时，请直接写出CP的长度．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B B A B D B B A A
题号 11 12
答案 A B
1．C
【分析】过点A作直线l，根据勾股定理表示出的长，从而表示出的长，在转动过程中，先变小再变大，根据固定不变，于是先变小再变大，从而得出先变大再变小．
【详解】解：过点A作直线l，垂足为H，设与直线l交于点E，

点A和直线l的位置固定，
点A到直线l的距离不变，即的长不变，
设直线l下方木条长度为，
，
在中，由勾股定理得：，
，且，在转动过程中长度始终不变，
①当木条从点B往H点方向转动时，不断减小，
则不断减小，即AE不断减小，
所以不断变大；
②当木条从H点往C点方向转动时，不断增大，
则不断增大，即不断增大，
所以不断变小；
综上，木条从B点转动到C点的过程中，在直线l下方木条的长度先变大再变小．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，在转动过程中，长度始终不变，观察出的变化，从而得出的变化是解题的关键．
2．B
【分析】根据三角形的内角和以及勾股定理的逆定理分别判断，进而得出结论．
【详解】解：A、52+122=132，故△ABC是直角三角形，不符合题意．
B、∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，∴∠C=180°×=75°，故不是直角三角形，符合题意；
C、∵∠A=∠B-∠C，∴∠B-∠C+∠B+∠C=180°，∴∠B=90°，故是直角三角形，不符合题意；
D、12+22=（）2，故是直角三角形，不符合题意．
故选B．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和勾股定理的逆定理，求出各选项中的最大角是解题的关键．
3．B
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角相等等知识，掌握这两个知识点是关键．
首先根据平行线的性质得到，然后利用三角形外角的性质求出，最后利用对顶角相等求解即可．
【详解】如图所示
∵，
∴
∵
∴
∴．
故选：B．
4．A
【分析】根据全等三角形的性质得出，，根据邻补角定义求出、的度数，根据三角形的内角和定理求出即可．
【详解】解：，
，，
，，
，，
．
故选：A．
【点睛】本题主要考查对全等三角形的性质，三角形的内角和定理，邻补角的定义等知识，解题的关键是判断出是直角三角形．
5．B
【分析】根据平行线的性质和全等三角形的判定条件逐项判断即可．
【详解】∵，
∴．
A．∵，，，
∴可利用“ASA”证明，故该选项不符合题意；
B．因为没有“SSA”或“ASS” 证明三角形全等，所以不能证明，故该选项符合题意；
C．∵，
∴．
又∵，，
∴可利用“AAS”证明，故该选项不符合题意；
D．∵，
∴，即．
又∵，，
∴可利用“SAS”证明，故该选项不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查全等三角形的判定，平行线的性质．熟练掌握全等三角形的判定条件是解题关键．
6．D
【分析】根据全等三角形的判定条件逐一判断即可．
【详解】解：A、由，，，不能证明，不符合题意；
B、由，，，不能证明，不符合题意；
C、由，，，不能证明，不符合题意；
D、由即可证明，，，可以由 证明，符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有．
7．B
【分析】设点到直线的距离为，根据三角形面积公式即可求解．
【详解】解：如图，过点作，垂足分别为，

∵为平分线上一点，
∴，
∵，的面积为15，
∴，
∴，
∴，
即点到直线的距离为6．
故选：B．
【点睛】本题考查角平分线的性质定理及点到直线的距离之概念．其关键要理解角平分线上一点到角两边距离相等．
8．B
【分析】根据∠A、∠B、∠C之间的关系结合三角形内角和定理即可得出∠A=90°，进而可得结论．
【详解】解：∵∠A-∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=∠B+∠C，
即2∠A=180°，∠A=90°．
∴△ABC为直角三角形，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，求出∠A的度数是解题的关键．
9．A
【分析】过作于，使，连接，，根据证明，得出，则，当的最小时，最小，当、、在同一条直线时，最小，根据勾股定理算出结果即可．
【详解】解：如图，过作于，使，连接，，
，
，
，
，
∵为等边三角形，
，，
，
，
，
，
∵在和中，
，
，
，
当的最小时，最小，
当、、在同一条直线时，最小，
在中，，，
，
∴的最小值是5，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，余角的性质，解题的关键是作出辅助线，证明．
10．A
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理即可求得
【详解】解：∵MN是AB的中垂线
∴DA=DB
∴△ABD是等腰三角形
又∵BC=AD
∴BC=AD=DB
∴△BCD是等腰三角形
∴∠A=∠ABD，∠C=∠CBD
又∵AB=AC
∴∠C=∠CBA
根据三角形内角和定理可得
∠A+∠CBA+∠C=180°
∠CBD +∠CDB+∠C=180°
∴∠C=72°，∠CBD=∠ABD=72°
∴BD平分∠ABC
∴①②③④正确
故选A
【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定、线段垂直平分线的性质，掌握垂直平分线定理是解题的关键．
11．A
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定、勾股定理的应用，解题关键是作出辅助线，构造直角三角形，并运用全等三角形的判定和性质以及勾股定理进行计算．作于，作于，构造出直角三角形，根据三角形全等求出，由勾股定理求出的长，再利用勾股定理即可求出的值．
【详解】解：作于，作于，
∵之间的距离为1，之间的距离为2，
∴，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，根据勾股定理，得，
∴，
在中，根据勾股定理，得．
故选：A．
12．B
【详解】∵AB∥CD，
∴∠EFB=∠DEM＝55°，
∵BE⊥MN,
∴∠ABE=90°-55°=35°.
故选B.
13．/45度
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，网格结构．利用“边角边”证明，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，再判断出，然后计算即可得解．
【详解】解：标注字母，如图所示，

在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴．
故答案为：．
14．
【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键．过点F作交于点G，过点F作，由等腰三角形的性质与判定得出，，设设，则，再根据勾股定理求解即可．
【详解】解：过点F作交于点G，过点F作，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
设，则
，
，
，
中，，
，
，
故答案为：
15．135°/135度
【分析】根据 “半角三角形”的定义及已知条件求得β的度数，再由三角形内角和定理求出另一个内角即可．
【详解】解：∵α=15°，
∴β=2α=30°，
∴最大内角的度数=180°-30°-15°=135°．
故答案为：135°．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解决问题的关键．
16．
【分析】用大正方形的面积等于4个三角形的面积加上中间小正方形的面积，进而证明问题即可．
【详解】解：根据题意，得
=
=，
∵，
∴；
故答案为，，.
【点睛】本题考查了勾股定理的证明，利用图形的面积得出结论是解题关键．
17．/18度
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理．根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理求得，推出，再利用余角的性质即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，
故答案为：．
18．(1)，，
(2)
(3)
【分析】（1）根据阅读材料、三角形内角和定理、三角形的外角的性质、结合图形解得即可；
（2）根据阅读材料、三角形内角和定理、三角形的外角的性质、结合图形解得即可；
（3）根据阅读材料、三角形内角和定理、三角形的外角的性质、结合图形解得即可；
【详解】（1），．
．
，
，
；
（2），．
．
，
；
（3）．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理、三角形外角的性质，掌握三角形内角和等于和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
19．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）分别以为圆心，大于的一半为半径画弧，得到两弧的交点，再过两个交点作直线即可；
（2）连接．利用等腰三角形的性质先求解．结合线段的垂直平分线的性质证明． 可得 从而可得结论．
【详解】（1）解：如图即为所求作的图形．
（2）连接．
∵垂直平分，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴
∴
∴
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的作图，等腰三角形的性质，含的直角三角形的性质，证明是解本题的关键．
20．(1)5；
(2)12米
【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．
（1）根据“测量绳子底端C与旗杆根部B点之间的距离，测得距离为5米”和“测得多出部分绳子的长度是1米”填空；
（2）因为旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为米，根据勾股定理即可求得旗杆的高度．
【详解】（1）解：根据题意知：米，米．
故答案为：5；；
（2）解：在直角中，由勾股定理得：
，
即．
解得．
答：旗杆的高度为12米．
21．未超速，理由见解析
【分析】本题主要考查了勾股定理在实际生活中的应用，利用勾股定理解得是解题的关键．
由题意知，为直角三角形，且是斜边，已知根据勾股定理可以求，然后求得速度与比较即可．
【详解】解：未超速，理由如下：
由题意知，，
由勾股定理可得，
则．
所以．
所以这辆家用小汽车未超速．
22．13公里
【分析】此题考查了轴对称中最短路径问题在生活中的应用，将此题转化为轴对称问题，作出点关于河岸的对称点，根据两点之间线段最短得出的长即为将军要走的最短路程，利用勾股定理解答即可．
【详解】作点关于河岸的对称点，连接交河岸与，连接，则，
则最短，故将军应将马赶到河边的地点．
作，且，
，，，
四边形是矩形，
，
在中，
，
答：将军最短需要走13公里．
23．见解析
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，根据平行线的性质可得，进而证明，根据全等三角形的性质即可得证．
【详解】解；∵，
∴．
在和中，
∴．
∴．
24．(1)证明见解析(2)证明见解析 (3)
【详解】试题分析：（1）首先由等边三角形的性质易得AB=AC=BC，由垂直平分线的性质易得AP=AC，即AP=AB，由SAS可证得△PAD≌△BAD，利用全等三角形的性质可得结论；
（2）在CP上截取CQ=PD，证明△ACQ≌△APD，利用全等三角形的性质可得△ADQ是等边三角形，得出结论；
（3）连接BH，延长AD交PB于点E，根据PA=PB，AD是角平分线得出AE⊥PB，且平分PB，由△BDH是等边三角形，知PD=BD，易得BD=DH=BH，∠BPH=30°，然后根据30°角的直角三角形的三角函数和勾股定理可求解.
试题解析：(1) ∵AH是PC的垂直平分线
∴PA＝PC＝AB
∵AD平分∠PAB
∴∠PAD＝∠BAD
在△PAD和△BAD中，
∴△PAD≌△BAD（SAS）
∴DP＝DB

(2) 在CP上截取CQ＝PD，连接AQ
∵AP＝AC
∴∠APD＝∠ACQ
在△APD和△ACQ中，
∴△APD≌△ACQ（SAS）
∴AD＝AQ，∠CAQ＝∠PAD
∴∠BAC＝∠CAQ＋∠BAQ＝∠PAD＋∠BAQ＝∠BAD＋∠BAQ＝∠DAQ＝60°
∴△ADQ为等边三角形
∴AD＝DQ
∴CD＝DQ＋CQ＝AD＋DB
(3) （提示：设DP＝DB＝DH＝x，则CH＝2x，CD＝3x，AD＝CD－DB＝2x）
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