第十九章二次函数和反比例函数同步练习（含解析）

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第十九章二次函数和反比例函数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．对于的性质，下列叙述正确的是（ ）
A．顶点坐标为 B．对称轴为直线
C．当时，有最大值 D．当时，随增大而减小
2．抛物线与直线的一个交点为，那么b的值是（）
A．5 B．6 C．-5 D．-6
3．直线 与抛物线 在同一坐标系里的大致图象正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，函数与在同一坐标系内的图像大致是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，抛物线的对称轴为直线给出下列结论：①；②；③；④．其中错误的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
6．函数的图象上有两点，且，则（ ）
A． B．
C． D．与的大小关系不能确定
7．反比例函数的图像与正比例函数的图像没有交点，若点，，在这个反比例函数的图像上，则下列结论中正确的是（ ）
A．； B．； C．； D．．
8．在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新的抛物线的函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
9．若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则k的取值范围是( )
A． B． C．k > 2 D．k < 2
10．已知二次函数（）的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论：①abc＜0；②2a+b=0；③a﹣b+c＞0；④4a﹣2b+c＜0
其中正确的是（ ）
A．①② B．只有① C．③④ D．①④
11．点、在反比例函数的图象上，且，则、的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，已知反比例函数y＝（x＜0）的图象经过 OABC的顶点B，点A在x轴上，AC⊥x轴交反比例函数图象于点D，BE⊥x轴于点E，则BE：AD＝（　　）
A．1：2 B．1： C．1：3 D．1：
二、填空题
13．若抛物线的对称轴是y轴，则 ．
14．行驶中的汽车刹车后，由于惯性还会继续向前滑行一段距离，这段距离称为“刹车距离”．某车的刹车距离与车速之间的函数关系式是，若该车以的速度行驶，则该车的刹车距离为 ．
15．已知抛物线，若顶点在轴上，则 ；若对称轴是轴，则 ；若其过原点，则 ．
16．已知函数是关于的二次函数，且顶点在轴上，那么的值为 ．
17．若反比例函数y=的图象位于第二、四象限内，则m的取值范围是 ．
三、解答题
18．已知，图象顶点为A，与x轴交于B和C，是等边三角形，求a的值．
19．综合与实践：近些年来冰雪运动越来越受欢迎，一个滑雪爱好者从山坡滑下，为了推测滑行距离s（单位：m）与滑行时间t（单位：s）之间的关系，测得一组数据（如表）．
滑行时间 0 1 2 3 4
滑行距离 0 5 14 27 44
(1)为观察s与t之间的关系，建立坐标系，以t为横坐标，s为纵坐标．如图，描出表中数据对应的5个点，并用平滑的曲线连接它们；
(2)观察图象，可以看出这条曲线像是我们学过的哪种函数图象的一部分？请你用该函数关系式来近似的表示s与t之间的关系；
(3)请你用（2）中的函数关系式推测他滑行所用的时间．
20．诸暨某百货商场购进一批单价为5元的日用商品．如果以单价7元销售，每天可售出140件，根据销售经验，销售单价每提高1元，销售量每天就相应减少10件，设这种商品的销售单价为x元（）．
(1)若该商场当天销售这种商品所获得的利润为600元，求x的值．
(2)当商品的销售单价定为多少元时，该商店销售这种商品获得的利润最大？此时最大利润为多少？
21．金沙薏米是仙游县著名的土特产，它品质优异，荣获国家地理标志证明商标． 某超市销售的金沙薏米，成本价为每千克22元，超市限定售价不高于每千克34 元． 销售中平均每天销售量y（kg）与销售单价x（元）的关系可以近似地看作一次函数，如下表所示：
26 28 30 32
1 70 60 50 40
(1)求出y与x之间的函数关系式；
(2)设超市每天销售薏米的利润为 w（元），求w与x之间的函数关系式，当x取何值时，w的值达到最大？最大值是多少？
22．对于向上抛的物体，如果空气阻力忽略不计，有下面的关系式：（h是物体离起点的高度，是初速度，g是重力系数，取，t是抛出后经过的时间）．杂技演员抛球表演时，以的初速度把球向上抛出．
(1)1.2秒时球离起点的高度是多少？
(2)几秒后球离起点的高度达到？
23．已知抛物线与直线交于，两点（在左）．

(1)求，两点的坐标及的长；
(2)如图1，点是直线上点右侧一动点，过点作直线（）与抛物线有唯一公共点，
①若，求点的坐标；
②如图2，过点作直线交抛物线与，两点，且，点是的中点，当点运动时，求证：过定点，并求出定点坐标．
24．如图，直线y=x﹣2分别交x轴、y轴于A、B两点，P为AB的中点，PC⊥x轴于点C，延长PC交反比例函数y=（x＜0）的图象于点D，且OD∥AB．
（1）求k的值；
（2）连接OP、AD，求证：四边形APOD是菱形．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B D C D C B A B D
题号 11 12
答案 A A
1．B
【分析】对于，其顶点坐标为，对称轴为，当时，随的增大而增大，根据性质逐一分析即可．
【详解】解：抛物线，
所以抛物线的顶点坐标为：，对称轴为：，
，图象开口向上，当时，有最小值为，
当时，随的增大而增大，
故A，C，D不符合题意；B符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查的是抛物线的性质，结合抛物线的图象掌握抛物线的性质是解本题的关键．
2．B
【分析】此题考查了二次函数一次函数的交点问题．把代入即可得到答案．
【详解】解：把代入得到，
把代入得到，解得，
∴一次函数为，
故选：B
3．D
【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，根据题意和各个选项中的函数图象，可以得到一次函数中和的正负情况和二次函数图象中的正负情况，然后即可判断哪个选项中的图象符合题意，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
【详解】解：、由一次函数的图象可知，，由二次函数的性质可知图象，，故选项不符合题意；
、由一次函数的图象可知，，由二次函数的性质可知图象，，故选项不符合题意；
、由一次函数的图象可知，，由二次函数的性质可知图象，，，而抛物线对称轴位于轴右侧，则，故选项不符合题意；
、由一次函数的图象可知，，由二次函数的性质可知图象，，对称轴位于轴左侧，则，故选项符合题意；
故选：．
4．C
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由k的取值确定函数所在的象限．根据一次函数及反比例函数的图象与系数的关系作答．
【详解】解：A、从一次函数的图象经过二、四象限知与反比例函数的图象相矛盾，错误；
B、从一次函数的图象经过一、三象限知，则，一次函数过一、三、四象限，错误；
C、从一次函数的图象经过二、四象限知，则，一次函数过一、二、四象限，反比例函数的图象过二、四象限，正确；
D、从一次函数的图象经过一、三象限知，则，一次函数过一、三、四象限，错误．
故选：C．
5．D
【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，根据图象的性质判定系数的符号，对称轴，特殊值法代入计算即可求解，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
【详解】解：①∵抛物线与轴有个交点，
∴，
∴，故①错误；
②∵抛物线开口向上，
∴，
∵抛物线的对称轴在轴的左侧，即，
∴同号，
∴，
∵抛物线与轴交点在轴上方，
∴，
∴，故②正确；
③∵时，，即，
∵对称轴为直线，
∴，
∴，即，故③正确；
④∵抛物线的对称轴为直线，
∴和时的函数值相等，
∴时，，故④正确．
综上所述，错误的有①，共1个，
故选：D．
6．C
【分析】根据、与对称轴的大小关系，判断、的大小关系．
【详解】解：，
此函数的对称轴为：，
，两点都在对称轴的右侧，，
对称轴右侧随的增大而增大，
∴．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了函数的对称轴求法和二次函数的性质，解题的关键是利用二次函数的增减性解题时，利用对称轴进行求解．
7．B
【分析】先判断k的正负，然后根据反比例函数的增减性解答即可．
【详解】∵反比例函数的图像与正比例函数的图像没有交点，
∴，
∴在二四象限内反比例函数y随x的增大而增大，
∵，
∴．
故选B．
【点睛】本题考查了反比例函数和正比例函数的图形与性质，判断出是解答本题的关键．
8．A
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．根据图象的平移规律，可得答案．
【详解】解：将抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新的抛物线的函数解析式为，即．
故选：A．
9．B
【分析】根据反比例函数的图象和性质，由1 2k＜0即可解得答案．
【详解】∵反比例函数的图象分布在第二、四象限，
∴1 2k＜0，
解得，
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质：①、当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．②、当k＞0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在同一个象限，y随x的增大而增大．
10．D
【详解】试题分析：∵抛物线的开口向上，∴a＞0，∵，∴b＞0，∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c＜0，∴abc＜0，①正确；
∵对称轴为直线，∴，即2a﹣b=0，②错误；
∴时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，③错误；
∴x=﹣2时，y＜0，∴4a﹣2b+c＜0，④正确；
故选D．
考点：二次函数图象与系数的关系．
11．A
【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据x1＜x2＜0即可得出结论．
【详解】解：∵反比例函数中k=-3＜0，
∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大．
∵x1＜x2＜0，
∴A、B都在第二象限，
∴y2＞y1＞0．
故选：A．
【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
12．A
【分析】根据四边形ABCD是平行四边形，得到BC＝OA，根据已知条件得到BE∥AC，推出四边形ACBE是矩形，根据矩形的性质得到AE＝BC，得到OE＝2OA，设B（2x，），D（x，），于是得到结论．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝OA，
∵AC⊥x轴，BE⊥x轴，
∴BE∥AC，
∴四边形ACBE是矩形，
∴AE＝BC，
∴OE＝2OA，
设B（2x，），D（x，），
∴BE＝，AD＝，
∴BE：AD＝＝，
故选A．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，矩形的判定和性质，正确的理解题意是解题的关键．
13．2.
【分析】根据抛物线的对称轴公式即可得出关于m的方程，解方程即得答案.
【详解】解：根据题意，得：，解得：m=2.
故答案为：2.
【点睛】本题考查了二次函数的对称轴公式，属于基本题型，熟知抛物线的对称轴是直线是解题关键.
14．
【分析】本题考查二次函数的实际应用，理解题意求时的函数值是解题的关键．
将代入求解即可．
【详解】根据题意得，
将代入关系式中，
得．
故答案为：．
15． 4或-8 0 8
【详解】解：若顶点在轴上，则，解得：，．
若对称轴是轴，则，解得：．
若其过原点，则，解得：．
故答案为4或－8，0，8．
16．
【分析】根据二次函数解析式的特征和二次函数的性质，列出关于的方程即可求得的值
【详解】∵函数是关于的二次函数，
∴
解得：，或；
∵顶点在轴上，
∴，
解得：
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了二次函数的解析式和二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解决问题的关键
17．m＜1
【详解】试题分析：直接根据反比例函数的性质即可得出结论．
解：∵反比例函数y=的图象位于第二、四象限内，
∴m﹣1＜0，解得m＜1．
故答案为m＜1．
考点：反比例函数的性质．
18．
【分析】本题主要考查了二次函数与等边三角形综合．熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系，等边三角形的性质，含30度的直角三角形性质，是解题关键．
令，求出，配方，得到对称轴为直线，顶点，根据是等边三角形，得到，得到，即可求得．
【详解】如图，设点B在点C的左侧，抛物线对称轴交x轴于点D．
当时，
．
∴．
∴．
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为．
∴．
∵是等边三角形，
∴．
∴．
∴．
∴．
解得 （舍去）或．
故．
19．(1)见解析
(2)
(3)滑雪者滑行的时间是3秒
【分析】本题考查了二次函数和一元二次方程的应用，根据点的坐标利用待定系数法求出二次函数关系式是解题的关键．
（1）描点，连线，画出函数图象，
（2）由图象可得出s与t的关系可近似看成二次函数，再根据点的坐标利用待定系数法求出二次函数关系式即可；
（3）把代入（2）中解析式，解方程即可得出结论．
【详解】（1）解：描点，连线，如图所示：
（2）解：观察函数图象，s与t的关系可近似看成二次函数，
设s关于t的函数关系式为，
将代入，得：，
解得：．
∴近似表示s关于t的函数关系式为；
（3）解：把代入得：
，即，
解得：（舍去），
∴滑雪者滑行的时间是3秒．
20．(1)或15
(2)当商品的销售单价定为13元时，该商店销售这种商品获得的利润最大，此时最大利润为640元
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，正确理解题意列出对应的方程和函数关系式是解题的关键．
（1）由题意得，单价利润为元，销售量为件，再根据利润（售价进价）销售量列出方程求解即可
（2）由题意得，单价利润为元，销售量为件，再根据利润（售价进价）销售量列出利润关于x的函数关系式，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，，
整理得，
解得或，
∴该商场当天销售这种商品所获得的利润为600元，x的值为11或15；
（2）解：设利润为W，
由题意得，
，
∵，
∴当时，W最大，最大值为640，
∴当商品的销售单价定为13元时，该商店销售这种商品获得的利润最大，此时最大利润为640元．
21．(1)
(2)，当时，w取得最大值，最大值是405．
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，二次函数的实际应用：
（1）利用待定系数法解答，即可求解；
（2）根据题意，列出w关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为，依题意，得
解得：
∴；
（2）解：由题意， 得
，
∵，
∴当时，w取得最大值，最大值是405．
22．(1)秒时球离起点的高度是；
(2)秒或秒后球离起点的高度达到．
【分析】本题为二次函数实际应用问题，解答时注意将相应的函数值或自变量值代入函数关系式中求解即可．
（1）把代入即可求解；
（2）把代入求t即可．
【详解】（1）解：由题意，将分别代入函数关系式，
得，
当时，代入解得，
∴秒时球离起点的高度是；
（2）解：当时，，
解得．
故秒或秒后球离起点的高度达到．
23．(1)，，
(2)①；②证明见解析，定点坐标为
【分析】（1）根据题意联立，解方程组即可得解；
（2）①设点，利用且，得到，继而得到，可得，联立，得，根据题意得，即，根据点在直线（）上，可得，联立，解得，可得直线的解析式，最后根据函数图像上点的坐标特征即可得解；
②设，，，，联立，可得，，由点是的中点，得；联立，得，根据点是直线（）与抛物线唯一公共点，得，即，则，由点是直线（）与直线的交点，可得，，设直线的解析式为，可得，解得：，即直线的解析式为，当时，，即可得解．
【详解】（1）解：∵抛物线与直线交于，两点（在左），
∴，
解得：，，
∴，，
∴，
∴，两点的坐标分别为，，的长为；
（2）①如图，设点，
∴，
∵，且在（1）中可知，
∴，
解得：，
∵点是直线上点右侧一动点，点是直线（）与抛物线唯一的公共点，
∴，，
∴，
得：，
∴或（负值不符合题意，舍去），
∴，
联立，得，
∵点是直线（）与抛物线唯一的公共点，
∴，即，
∵点在直线（）上，
∴，
联立，解得，
∴此时直线的解析式为，
∴当时，得，
解得：，
∴；

②证明：设，，，，
∵过点作直线交抛物线与，两点，且，
∴，得：，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴，
联立，得：，
∵点是直线（）与抛物线唯一公共点，即有两个相等的实数根，
∴，即，
∴，
∵点是直线（）与直线的交点，
∴，，
设直线的解析式为，过点，，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，得：，
∴直线恒过定点：．
【点睛】本题是一次函数和二次函数的综合题，考查了二次函数的图像与性质，利用一元二次方程求解一次函数与二次函数的交点，利用待定系数法求解一次函数解析式，一元二次方程的根与系数的关系及根的判别式，中点坐标公式，两点之间的距离等知识，联立方程表示出，是解题的关键．
24．（1）-3；（2）证明见解析.
【详解】分析：（1）在直角三角形AOB中，利用斜边上的中线等于斜边的一半得到AP=OP=PB，再由PC与x轴垂直，利用三线合一得到C为OA中点，根据OD与AB平行，得到一对内错角相等，利用ASA得到三角形DCO与三角形ACP全等，利用全等三角形对应边相等得到DC=PC，求出A与B坐标，进而确定出D坐标，代入反比例解析式求出k的值即可；
（2）由（1）的全等得到OD=AP，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得到APOD为平行四边形，再根据AP=OP即可得证．
详解：（1）∵∠AOB=90°，P为AB中点，
∴AP=OP=PB，
∵PC⊥AO，
∴AC=OC，
∵DO∥AB，
∴∠DOA=∠OAB，
∴△ACP≌△OCD，
∴DC=CP，
一次函数y=﹣x﹣2中，令y=0，得到x=﹣6，令x=0，得到y=﹣2，
即B点坐标（0，﹣2），A点坐标（﹣6，0），
∴OA=6，OB=2，
∵tan∠OAB=tan∠AOD=，又OC=3，
∴DC=1，
所以点D的坐标（﹣3，1），
代入反比例解析式得k=﹣3；
（2）证明：由（1）△ACP≌△OCD，得AP=DO，又AP∥DO，
∴四边形APOD为平行四边形，
又AP=PO，
∴四边形APOD为菱形．
点睛：此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，全等三角形的判定与性质，一次函数与反比例函数的性质，平行四边形及菱形的判定，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
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