第十一章实数和二次根式同步练习（含解析）

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第十一章实数和二次根式
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．=（ ）．
A．-8 B．8
C．-4 D．4
2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
4．下列说法正确的是（ ）
A．是3的一个平方根 B．的平方根是
C． D．
5．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
6．下列说法不正确的是（　　）
A．的平方根是±3
B．是的平方根
C．带根号的数不一定是无理数
D．a2的算术平方根是a
7．若实数的算术平方根等于它本身，则的值为（ ）
A． B．2 C．0 D．
8．实数a，b在数轴上的位置如图所示，把a，b，，按照从小到大的顺序排列正确的是（　　）
A． B． C． D．
9．在实数0，，，中，最大的是（ ）
A．0 B． C． D．
10．已知，那么下列等式中一定不成立的是（）
A． B．
C． D．
11．在（相邻两个之间的个数逐次加）这些数中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．使二次根式有意义的x的取值范围是（）
A． B．≤2 C． D．x≠2
二、填空题
13．已知，那么 ， ．
14．定义一种新的运算“”，若，则，如：．已知，则 ．
15．计算： = .
16．下列实数：，，0，，1.5，其中是无理数且其绝对值等于它本身的数是 ．
17．观察下面的每列数，按某种规律在横线上填上适当的数，并说明你的理由．
（1），_______，_______；
（2），_______，________；
（3），_______，________；
（4），_______，________；
三、解答题
18．先化简，再求值：（x+1）2+x（x-2），其中x=-．
19．无理数的发现是实数发展史上的一个重要里程碑，在七年级我们学习了数的再一次扩充，认识了实数，请你结合本学期所学的知识完成下列问题：
(1)判断正误（正确打，错误打）：任何一个实数与数轴上的点一一对应．（ ）
(2)如图1，点A表示的数是________．
(3)如图2，直线垂直数轴于原点，请用尺规在数轴上作出表示的点B．（不写作法，保留作图痕迹）
20．公园里有一块面积为10平方米的正方形绿化地，现在这块地上划出一个扇形区域举办花展，并在扇形的周边围上低矮的篱笆，如图所示，正方形为绿化地，扇形为所划区域，，求需要多长的篱笆．（，结果精确到十分位）
21．如图，正方形和正方形分别是边长为和的正方形相框．
(1)求大相框的面积是小相框面积的多少倍？
(2)现在小华想用长为的彩带给这两个相框镶边，请你帮忙计算现有的彩带够吗？如果不够用，大约还需要买多长的彩带？（参考数据：）
22．某市在招商引资期间，把土地出租给外地某投资商，该投资商为更好地利用土地，将土地的一部分从原来的正方形改建成的长方形，且其长、宽的比为．
(1)求原来正方形场地的周长；
(2)如果把原来正方形场地的铁栅栏围墙全部利用，围成新场地的长方形围墙，那么这些铁栅栏是否够用？试利用所学知识说明理由．
23．（1）发现．①；②；③；……写出④ ；⑤ ；
（2）归纳与猜想．如果n为正整数，用含n的式子表示这个运算规律；
（3）证明这个猜想．
24．对于正数x，规定：．例如：，，．
(1)求值：=_______；=_______；
(2)猜想：=_______，并证明你的结论；
(3)求的值．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A B A C D C C D A
题号 11 12
答案 B B
1．D
【分析】求一个数的立方根；
【详解】4，
故选：D．
【点睛】本题考查求一个数的立方根，注意计算的准确性
2．A
【分析】本题考查了最简二次根式．最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
【详解】解：A、是最简二次根式，故此选项符合题意；
B、，原式不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
C、的被开方数是小数，原式不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
D、的被开方数是分数，原式不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
故选：A．
3．B
【分析】本题考查了算术平方根，解题的关键是掌握算术平方根的定义．由得到，即可求解．
【详解】解：，，
，
故选：B．
4．A
【分析】本题考查了平方根的求解，立方根的求解，根据平方根，立方根的定义进行求解判断即可．
【详解】解：A、3的平方根为，则是3的一个平方根，正确，符合题意；
B、负数没有平方根，故本选项不正确，不符合题意；
C、，故本选项不正确，不符合题意；
D、，故本选项不正确，不符合题意；
故选：A．
5．C
【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
【详解】解：A、被开方数中含有分母，不是最简二次根式，不符合题意；
B、27＝3×32，被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
C、是最简二次根式，符合题意；
D、18＝2×32，被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，注意：满足下列两个条件的二次根式，叫最简二次根式：①被开方数的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数或因式．
6．D
【分析】根据平方根的定义，判断A与B的正误，根据无理数的定义判断C的正误，根据算术平方根的定义判断D的正误．
【详解】解：的平方根是：±3，故A正确；
，则是的平方根，故B正确；
是有理数，则带根号的数不一定是无理数，故C正确；
∵a2的算术平方根是|a|，
∴当a≥0，算术平方根为a，当a＜0时，算术平方是﹣a，
故a2的算术平方根是a不正确．故D不一定正确；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平方根，算术平方根，无理数的定义，熟记几个定义是解题的关键．
7．C
【分析】一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根，0的算术平方根是0．据此逐一判断，即可得到答案．
【详解】解：A、算术平方根不能是负数，不符合题意，选项错误；
B、2的算术平方根是，不符合题意，选项错误；
C、0的算术平方根是0，符合题意，选项正确；
D、算术平方根不能是负数，不符合题意，选项错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了算术平方根的定义，解题关键是掌握算术平方根的定义，注意0的算术平方根是0．
8．C
【分析】先求解，再根据，及，互为相反数的特点，分别在数轴上描出：a，b，，，结合数轴可得答案．
【详解】解：∵，则，
根据，及，互为相反数的特点，分别在数轴上描出：a，b，，如下图：
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了实数与数轴的相关知识，相反数的含义，化简绝对值，做题关键要掌握数轴上的点表示的数的特点．
9．D
【分析】根据正数大于0，负数小于0，正数大于负数即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴最大的实数是，
故选：D．
【点睛】本题考查了实数大小比较，掌握正数大于0，负数小于0，正数大于负数是解题的关键．
10．A
【分析】根据二次根式有意义的条件、二次根式的性质判断即可．
【详解】A.，当时式子成立，而，所以本选项一定不成立；
B.，对于任意的值都成立；
C.由得，解得，此时本选项成立；
D.变形得，只有当时成立；
故选A．
【点睛】本题考查的是二次根式的性质，掌握二次根式有意义的条件、二次根式的性质是解题的关键．
11．B
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】为有理数
无理数有：-π，3.1212212221…（相邻两个1之间2的个数逐次加1），共2个．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0．1010010001…，等有这样规律的数．
12．B
【分析】通过二次根式要满足被开方数≥0，即可求得答案．
【详解】解：由题意可知：需满足2-x≥0，
解得≤2，
故选B．
【点睛】本题考查二次根式的定义，比较容易，熟记二次根式定义即可解答此题．
13． 2
【分析】根据算术平方根和绝对值的非负数性质得到，，然后解两个一元一次方程即可．
【详解】解：∵，
∴且，
∴，，
∴，．
故答案为：；2
【点睛】本题考查了算术平方根的非负性，绝对值的非负性，解题的关键是根据题意得出，．
14．
【分析】本题考查了新定义运算，代数式求值，乘方运算，根据新定义先求出，代入即可，掌握新定义的计算方法是解题的关键．
【详解】解：由新定义可知，，，
∴，，
∴，
故答案为：．
15．
【详解】分析：根据立方根和平方根的性质，化简计算即可求解.
详解：
=-3×
=-3×
=-.
故答案为-.
点睛：此题主要考查了立方根和平方根的计算，关键是要把带分数化为假分数.
16．
【分析】本题考查了无理数的定义，求一个数的绝对值，根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有的数，结合所给数据进行判断即可，解题的关键是掌握无理数的几种形式．
先找出这些实数中的无理数，进而求出其绝对值，进行判断即可解答．
【详解】解：这些实数中，，是无理数，
而，，
∴的绝对值等于它本身．
故答案为：
17．（1）；（2）；（3）32，；（4）0，4．
【分析】（1）观察可看出后一个数比前一个大5，以此推断即可；
（2）观察可看出分母扩大2倍，分子加1，并且正负相间，以此推断即可；
（3）观察可看出第1个数的绝对值是，第2个数的绝对值是，第3个数的绝对值是，第4个数的绝对值是，并且正负相间，以此推断即可；
（4）观察可看出第1个数减2得到第2个数，第2个数加4得到第3个数，再减2得到第4个数，加4得到第5个数，以此推断即可．
【详解】（1）后一个数比前一个大5，后面两个数为；
（2）分母扩大2倍，分子加1，并且正负相间，后面两个数为；
（3）第1个数的绝对值是，第2个数的绝对值是，第3个数的绝对值是，第4个数的绝对值是，并且正负相间，后面两个数为32，；
（4）第1个数减2得到第2个数，第2个数加4得到第3个数，再减2得到第4个数，加4得到第5个数，后面两个数为0，4．
【点睛】本题考查了有理数的数字规律，大胆尝试，小心求证是解决本题的关键．
18．；5.
【分析】先将原式展开，再合并同类项，代入求值即可.
【详解】解：原式
当时，
原式．
【点睛】本题考查了完全平方公式和整式乘法，熟练掌握运算法则是解题关键.
19．(1)
(2)
(3)作图见解析
【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理与无理数．熟练掌握实数和数轴上的点一一对应以及勾股定理，是解题的关键．
（1）直接利用实数与数轴的关系分析得出即可．即可解答；
（2）勾股定理进行求解即可；
（3）取数轴上C点表示，数轴且，取数轴上O点表示0，则，由勾股定理得：，以点A为圆心，长为半径作圆弧与数轴交于点B，则，又点B在原点O左侧，所以B点表示的数为，
【详解】（1）解：实数与数轴上的点是一一对应关系．任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．
本题说法正确，
故答案为：．
（2）解：由勾股定理可知直角三角形的斜边长为：，
∴点A表示的数在O的右侧，距离O的距离为，即A点表示的数是．
故答案为：；
（3）如图所示：点B即为所求；
，
20．需要米的篱笆
【分析】本题考查了算术平方根的应用、求扇形的周长，由算术平方根的定义得出，结合得出，求出扇形的周长，即可得出答案．
【详解】解：公园里有一块面积为10平方米的正方形绿化地，
（米），
，，
（米），
扇形为所划区域，
（米），扇形的周长（米），
需要的篱笆长度（米），
需要米的篱笆．
21．(1)大相框的面积是小相框面积的倍
(2)现有的彩带不够用，还需要购买约长的彩带
【分析】本题主要考查了二次根式的应用：
（1）分别求出正方形和正方形的面积相除即可得出答案；
（2）求出两个正方形的周长，即可判断彩带的长度够不够．
【详解】（1）解∶∵大相框的面积为，小相框的面积为，
∴，
答∶大相框的面积是小相框面积的倍；
（2）解：不够用．
镶边所需要的彩带长为，
则现有的彩带不够用，还需买，
答∶现有的彩带不够用，还需要购买约长的彩带．
22．(1)28
(2)够用，理由见详解
【分析】本题主要考查了算术平方根的实际应用、实数比较大小等知识，熟练掌握算术平方根的性质是解题关键．
（1）先求出原正方形场地的边长，进而求出其周长即可；
（2）设新长方形场地的长和宽分别为，，根据长方形面积公式得到方程，解方程得到新长方形场地的长和宽，则新长方形场地的周长为，再证明，即可得到结论．
【详解】（1）解：∵原来正方形场地的面积为，
∴原来正方形场地的边长为，
∴原来正方形场地的周长为；
（2）解：这些铁栅栏够用，理由如下：
设新长方形场地的长和宽分别为，，
由题意得，
∴（负值舍去），
∴新长方形场地的长和宽分别为，，
∴新长方形场地的周长为，
∵，
∴，
∴这些铁栅栏够用．
23．（1），；（2）；（3）证明见解析.
【分析】(1)根据题目中的例子直接写出结果；
(2)根据(1)中的特例，可以写出相应的猜想；
(3)根据(2)中的猜想，对等号左边的式子进行化简，即可得到等号右边的式子，从而可以解答本题.
【详解】解：（1）由例子可得，
④为：==，⑤=，
（2）如果n为正整数，用含n的式子表示这个运算规律：= ，
（3）证明：∵n是正整数，
∴==．
即= ．
故答案为(1)==，=；(2)= ；(3)证明见解析.
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算、数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件.
24．(1)1，1
(2)1
(3)
【分析】（1）分别算出（3），，（4），的值，再求和即可；
（2）将代入所给式子，求和即可得出结论；
（3）按照定义式发现规律，首尾两两组合相加，剩下中间的，最后再求和即可．
【详解】（1）解：（3）；；
；
（4）；；
；
故答案为：1；1；
（2）=1
证明：；
；
故答案为：1；
（3）
（2）（1）
．
【点睛】本题考查了定义新运算在有理数的混合运算中的应用，读懂定义，发现规律，是解题的关键．
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