第二十三章图形的变换同步练习（含解析）

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第二十三章图形的变换
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在线段、圆、角、正三角形、平行四边形、矩形中，既是轴对称又是中心对称的图形有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
2．下列四幅图案，既是轴对称又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．如图所示绕点旋转到，则下列选项错误的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为（9，0）、（6，﹣9），△AB'O'是△ABO关于点A的位似图形，且O'的坐标为（﹣3，0），则点B'的坐标为（ ）

A．（8，﹣12） B．（﹣8，12）
C．（8，﹣12）或（﹣8，12） D．（5，﹣12）
5．已知A、B两点的坐标分别是（-2，3）和（2，3），则下面四个结论：①A、B关于x轴对称；②A、B关于y轴对称；③A、B之间的距离为4，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
6．如图（1）是一段长方形纸带，∠DEF＝，将纸带沿EF折叠成图（2），再沿BF折叠成图（3），则图（3）中的∠CFE的度数为（　　）
A．180°﹣3 B．180°﹣2 C．90°﹣ D．90°＋
7．如图，在平面直角坐标系中，A（1，1），B（3，3），点P为x轴上的动点，则PA+PB的最小值为（　　）
A．2 B．2 C．5 D．
8．如图，点为内一点，点，分别是射线，上一点，当的周长最小时，，则的度数是( )

A． B． C． D．
9．如图，已知点O是等边△ABC三条高的交点，现将△AOB绕点O旋转，要使旋转后能与△BOC重合，则旋转的最小角度为（　　）
A．60° B．120° C．240° D．360°
10．如图，在平行四边形中，是边上的中点，是边上的一动点，将沿所在直线翻折得到,连接，则的最小值为( )
A． B． C． D．
11．如图，在平面直角坐标系中，Rt的直角顶点C的坐标为，点A在x轴正半轴上，且，将先绕点C逆时针旋转，再向左平移5个单位长度，则变换后点A的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，△与位似，点是它们的位似中心，其中相似比为，则与的面积之比是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E在AD上，且AE＝1，P为对角线BD上的一个动点，则APE周长的最小值是 ．
14．如图，中，，，，将绕点按顺时针方向旋转后得到，且点点刚好落在上，则 ．
15．正方形ABCD的边长为4，则图中阴影部分的面积为 ．
16．在平面直角坐标系中，将点绕原点旋转，所得到的对应点的坐标为 ．
17．平行四边形，长方形，等边三角形 ，半圆这几个几何图形中，对称轴最多的是 ．
三、解答题
18．如图，抛物线与x轴交于点A，顶点为点P．
(1)用含a的代数式表示顶点P的坐标______；
(2)把抛物线绕点旋转得到抛物线（其中），抛物线与x轴右侧的交点为点B，顶点为点Q．
①当时，求线段的长；
②在①的条件下，是否存在为等腰三角形，若存在请求出a的值，若不存在，请说明理由．
19．如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，．

(1)平移，若点A的对应点的坐标为，画出平移后的；
(2)将以点(0，2)为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的；
(3)已知将绕某一点旋转可以得到，则旋转中心的坐标为__________．
20．如图1，在中，，，平分，交边于点，点为边上的一个动点，连接．
(1)当是四边形的对称轴时，求线段的长；
(2)若是以为腰的等腰三角形，求的度数；
(3)如图2，点是的中点，点在线段上，连接、，直接写出最小时的长．
21．如图，的顶点A、B、C都在边长为1的小正方形的顶点上，像这样的三角形叫格点三角形，试在方格纸上按下列要求画格点三角形：

(1)将先向下平移4个单位，再向右平移2个单位得到；
(2)线段与的关系 ；
(3)画的垂线；（利用网格点和直尺画图）
(4)连接、，则 ．
22．某研究性学习小组在学习第三章第4节《简单的图案设计》时，发现了一种特殊的四边形，如图1，在四边形中，，，我们把这种四边形称为“等补四边形”．如何求“等补四边形”的面积呢？
探究一：
（1）如图2，已知“等补四边形”，若，将“等补四边形”绕点顺时针旋转，可以形成一个直角梯形（如图3）．若，，则“等补四边形”的面积为______
探究二：
（2）如图4，已知“等补四边形”，若，将“等补四边形”绕点顺时针旋转，再将得到的四边形按上述方式旋转，可以形成一个等边三角形（如图5）．若，，求“等补四边形”的面积．
探究三：
（3）由以上探究可知，对一些特殊的“等补四边形”，只需要知道，的长度，就可以求它的面积．那么如图6，已知“等补四边形”，连接，若，，，试求出“等补四边形”的面积（用含，的代数式表示）．
23．（1）观察推理：如图1，△ABC中，∠ ACB=90°，AC=BC，直线l过点C，点A、B在直线l同侧， BD⊥ l，AE⊥ l，垂足分别为D、E ．求证：△AEC≌△CDB；
（2）类比探究：如图2，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，将斜边AB绕点A逆时针旋转90°至A，连接C，求△AC的面积．
（3）拓展提升：如图3，等边△EBC中，EC=BC=6cm，点O在BC上，且OC=4 cm，动点P从点E沿射线EC以1 cm/s速度运动，连结OP，将线段OP绕点O逆时针旋转120 得到线段OF．要使点F恰好落在射线EB上，求点P运动的时间ts．
24．如图1，在中，，将绕点A逆时针旋转，得到，旋转角为（），连接交于点F．
(1)如图2，当时，求证：．
(2)在旋转过程中，问（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D C D B A A C B C
题号 11 12
答案 D B
1．A
【分析】本题考查了中心对称图形的知识属于基础题，解答本题的关键是掌握中心对称图形及轴对称图形的定义，属于基础题，比较简单．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，如果一个图形绕某一点旋转后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，结合所给图形判断即可．
【详解】解：线段、圆、矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形；
角、正三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意．
共3个既是轴对称图形又是中心对称图形．
故选：A．
2．D
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3．C
【分析】由旋转的性质，则△ACO≌△BDO，然后分别进行判断，即可得到答案．
【详解】解：根据题意，由旋转的性质则
△ACO≌△BDO，
∴，，，
则A、B、D选项正确；
题目条件不能证明；则C错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，解题的关键是掌握所学的性质进行判断．
4．D
【分析】过点B作BC⊥OA于点C，过点B′作B′D⊥AO于点D，利用位似图形的性质可求出B′D的长，可得B′的纵坐标，利用待定系数法可得直线AB的解析式，把B′纵坐标代入即可得B′的横坐标，即可得答案.
【详解】过点B作BC⊥OA于点C，过点B′作B′D⊥AO于点D，
∴BC、B′D分别是△ABO和△AB′O′的高，
∵A（9，0）、B（6，﹣9），O′（-3，0），
∴AO=9，AO′=12，BC=9，
∵△AB′O′是△ABO关于点A的位似图形，
∴＝，即＝，
解得：B′D＝12，
∴点B′的纵坐标为-12，
设直线AB的解析式为：y＝kx+b，
∴，
解得：，
∴直线AB的解析式为：y＝3x﹣27，
当y＝﹣12时，﹣12＝3x﹣27，
解得：x＝5，
故B′点坐标为：（5，﹣12），

故选D．
【点睛】此题主要考查了位似图形的性质以及相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的对应高的比等于相似比是解题关键.
5．B
【详解】试题分析：关于横轴的对称点，横坐标相同，纵坐标变成相反数；关于纵轴的对称点，纵坐标相同，横坐标变成相反数；A，B两点的坐标分别是（﹣2，3）和（2，3），纵坐标相同，因而AB平行于x轴，关于y轴对称，A，B之间的距离为4．
故选B
考点：平面直角坐标系的对称
6．A
【分析】如图（1），先根据长方形的对边平行，证明∠CFE＝180° α．再证明图（2）中∠CFG＝180° 2α，进而证明图（3）中∠CFE＝180° 3α，即可解决问题．
【详解】解：如图（1）∵长方形的对边是平行的，
∴ADBC，
∴∠DEF＝∠EFB＝α，∠DEF＋∠CFE＝180°
∴∠CFE＝180° α．
如图（2），∵∠DEF＝∠EFB＝α，
∴∠CFG＝∠CFE－∠EFB ＝180° α α＝180° 2α．
如图（3），∠CFE＝∠CFG－∠EFB ＝180° 2α α＝180° 3α．
故选：A．
【点睛】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．
7．A
【分析】求出A点关于x轴的对称点A′，连接A′B，交x轴于点P，则P即为所求点，利用两点间的距离公式即可求解．
【详解】解：作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B交x轴于点P，则P即为所求点；
∵点A（1，1），
∴点A关于x轴的对称点A′的坐标为（1，-1），
∵A′（1，-1），B（3，3），
∴A′B==2，
即PA+PB的最小值为2，
故选∶A．
【点睛】此题考查了最短线路问题及两点间的距离公式，解答此题的关键是熟知两点之间线段最短的知识．
8．C
【分析】作关于，的对称点，连接，则当，是与，的交点时，的周长最短，连接、，由轴对称知，是等腰三角形，
，，得出结论．
【详解】作关于，的对称点，连接，则当，是与，的交点时，的周长最短，连接、，
关于对称，
，，，
同理，，，
，，
是等腰三角形．
，
，
，
故选：C
【点睛】本题考查轴对称的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，两点之间线段最短；添加辅助线，构造轴对称，得到相等线段，相等的角是解题的关键．
9．B
【分析】因为是等边三角形，当A与B重合时则B与O重合，可得到答案．
【详解】解：∵△ABC为等边三角形，
∴AO、BO平分∠BAC和∠ABC，
∴∠OAB＝∠OBA＝30°，
∴∠AOB＝120°，
∴△AOB绕点O旋转120°可与△BOC重合，
∴旋转的最小角为120°，
故选B．
【点睛】本题主要考查等边三角形的性质及旋转的性质，掌握等边三角形的三条高线、三条角平分线、三条中线相互重合是解题的关键．
10．C
【分析】如图，先作辅助线，首先根据垂直条件，求出线段ME、DE长度，然后运用勾股定理求出DE的长度，再根据翻折的性质，当折线，与线段CE重合时，线段长度最短，可以求出最小值.
【详解】
如图，连接EC,过点E作EM CD交CD的延长线于点M.
四边形ABCD是平行四边形，
E为AD的中点，
又 ,
根据勾股定理得：
根据翻折的性质，可得,
当折线，与线段CE重合时，线段长度最短，此时= .
【点睛】本题是平行四边形翻折问题，主要考查直角三角形勾股定理，根据题意作出辅助线是解题的关键.
11．D
【分析】本题考查了旋转变换的性质，平移的性质，掌握旋转变换的性质，平移的性质是解本题关键．
将先绕点C逆时针旋转，得到A的对应点的坐标，向左平移5个单位长度，变换后点A的对应点的坐标为，即可得出结果．
【详解】解：由题意得，，
将先绕点C逆时针旋转，得到A的对应点的坐标，
向左平移5个单位长度，变换后点A的对应点的坐标为．
故选：D．
12．B
【分析】根据相似图形的性质，面积比等于相似比的平方即可求解．
【详解】解：∵△与位似，点是它们的位似中心，其中相似比为，
∴与的面积之比是，
故选：B．
【点睛】本题考查了相似图形的性质，面积比等于相似比的平方，熟练掌握相似图形的性质是解题的关键．
13．6
【分析】由正方形的性质可知A点与C点关于BD对称，连接CE与BD交于点P，此时PA+PE最小为EC，则△APE周长的最小为EC+AE．
【详解】解：∵正方形ABCD，
∴A点与C点关于BD对称，
连接CE与BD交于点P，则PA+PE＝PC+PE＝CE，此时PA+PE最小，
∵正方形的边长为4，
∴CD＝4，
∵AE＝1，
∴ED＝3，
在Rt△CDE中，EC2＝DC2+ED2，
∴EC2＝42+32＝25，
∴EC＝5，
∴△APE周长＝AP+PE+AE＝EC+AE＝5+1＝6，
∴△APE周长的最小值为6，
故答案为6．
【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握正方形的性质，能确定A点与C点关于BD对称是解题的关键．
14．/3.6
【分析】先求出，，作AF⊥BC于点F，利用旋转的性质和等腰三角形的性质得到，再求出，即可得到答案．
【详解】解：根据题意，
∵中，，，
∴，
∴；
由勾股定理，则
；
将绕点按顺时针方向旋转后得到，且点点刚好落在上，作AF⊥BC于点F，如图：
∴AD=AB=3，∠AFC=90°，BF=DF=，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角函数，旋转的性质，勾股定理解直角三角形，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握所学的知识，正确的作出辅助线进行解题．
15．8
【分析】根据正方形的轴对称的性质可得阴影部分的面积等于正方形的面积的一半，然后列式进行计算即可得解．
【详解】解：×4×4＝8．
故答案为：8．
【点睛】本题考查正方形的性质，轴对称的性质，将阴影面积转化为三角形面积是解题的关键，学会于转化的思想思考问题．
16．或
【分析】本题考查了坐标与图形的性质，勾股定理．分顺时针旋转和逆时针旋转时两种情况讨论，作出图形，利用勾股定理结合坐标图形求解即可．
【详解】解：如图，当点绕原点顺时针旋转时，
过点作轴于点，
由题意得，
∴，
∴点的坐标为；
当点绕原点逆时针旋转时，
过点作轴于点，
由题意得，
∴，
∴点的坐标为；
综上，点的坐标为或
故答案为：或．
17．等边三角形
【分析】根据平行四边形，长方形，等边三角形 ，半圆的性质解答即可.
【详解】∵平行四边形没有对称轴，长方形有2条对称轴，等边三角形有3条对称轴 ，半圆有1条对称轴，
∴对称轴最多的是等边三角形.
故答案为等边三角形.
【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键.如果一个图形沿着一条直线对折后两部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.
18．(1)
(2)①6 ②存在，
【分析】本题考查了抛物线的顶点坐标计算，抛物线的旋转，线段的长，等腰三角形的分类计算．
（1）对抛物线解析式，确定得到坐标即可．
（2）①令得到，解得，结合图像，得到，根据得到，根据题意，得，列式，确定点B的坐标，根据计算即可．
②利用等腰三角形的定义，分类计算即可．
【详解】（1）∵，
∴顶点P坐标为，
故答案为：．
（2）①令得到，
解得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
∵，
∴．
②∵，，，
∴，，；
当时，
∴，
解得或（舍去）；
当时，
∴，
解得或（舍去）；
当时，，不可能，
故存在为等腰三角形，且或．
19．(1)见解析
(2)见解析
(3)(2，1)
【分析】本题考查旋转的性质，旋转作图和中心对称作图，掌握旋转和中心对称的性质是解题的关键．
（1）根据点A的对应点的坐标为确定平移方式，再根据平移方程确定其它两点的对应点，最后连线即可；
（2）根据中心对称的性质，找到三个顶点的对应点，再连线即可；
（3）连接对应点，对应点的交点就是旋转中心(对称中心)．
【详解】（1）解：作图如下，即为所求作的三角形：

（2）作图如下，即为所求作的三角形：

（3）连接，对应点的交点就是旋转中心(对称中心) ，即点，
故答案是：．
20．(1)3
(2)或
(3)1.5
【分析】本题考查了轴对称的性质、等腰三角形的判定和性质、线段的最值等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键．
（1）由勾股定理求出，根据轴对称的性质即可得出答案；
（2）分类讨论等腰三角形的腰和底，根据等腰三角形的性质和三角形内角和即可求解；
（3）作点关于的对称点，对线段进行转化，从而根据垂线段最短、两点之间线段最短确定点的位置，从而可求解．
【详解】（1）解：在中，，
则
是四边形的对称轴
．
（2）当时，
，平分
当时，
综上所述或．
（3）在上截取，连接、
，平分
垂直平分
，且的值最小时，的值最小，此时的值最小则当，且点在上时，的值最小
过作
点是的中点，
．
21．(1)见解析
(2)，
(3)见解析
(4)5
【分析】（1）将A、B、C按平移条件找出它们的对应点，顺次连接，即得到平移后的图形；
（2）根据平移的性质即可求解；
（3）根据网格的特点即可求解；
（4）利用割补法求出的面积即可．
【详解】（1）解：如图，为所求：
（2）解：根据平移可知：，．
（3）解：如图，为所求；
（4）解：．
故答案为：5．

【点睛】此题主要考查平移作图，三角形面积的计算，平移的性质，作垂线，解题的关键是熟知网格的特点，数形结合．
22．（1）；（2）；（3）
【分析】本题考查“等补四边形”，旋转、等边三角形，勾股定理的知识等，解题的关键是掌握“等补四边形”的性质，旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理的运用，即可．
（1）根据旋转的性质，则四边形的面积等于直角梯形面积的一半，结合题意，求出直角梯形的面积，即可；
（2）根据旋转的性质，四边形的面积等于等边三角形的面积的，根据等边三角形的性质，则，，根据直角三角形的中所对的直角边等于斜边的一半，，根据勾股定理求出三角形的高，即可求出等边三角形的面积，即可；
（3）作于点，根据等补四边形中，，推出，；当点，，在同一直线上，则，
求出，根据，则，
求出，根据“等补四边形”的面积等于的面积，即可．
【详解】（1）等补四边形”的面积为，
故答案为：．
（2）如图，过点作交于点，
根据题意可得：，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴“等补四边形”的面积为：．
（3）如图，将绕点顺时针旋转得到，
作于点，
∴，，，，
在等补四边形中，，
∴，
∴点，，在同一直线上，
∴，
∵，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴，
∴“等补四边形”的面积等于的面积：．
23．（1）见解析
（2）18
（3）2s
【分析】（1）由“AAS”可证△AEC≌△CDB；
（2）由“AAS”可证△B′AD≌△ABC，可得B′D=AC=6cm，由三角形的面积公式可求解；
（3）先证△POC是等边三角形，可得CP=4cm，即可求解．
【详解】（1）证明：如图1，∵BD⊥l，AE⊥l，
∴∠AEC=∠BDC=90°，
∵∠EAC+∠ACE=90°，∠BCD+∠ACE=90°，
∴∠EAC=∠BCD，
在△AEC和△CDB中，
，
∴△AEC≌△CDB（AAS）；
（2）解：如图2，作D⊥AC于D，
∵斜边AB绕点A逆时针旋转90°至A，
∴A=AB，∠AB=90°，
即∠AC+∠BAC=90°，
而∠B+∠CAB=90°，
∴∠B=∠AC，
在△AD和△ABC中，
，
∴△AD≌△ABC（AAS），
∴D=AC=6，
∴△AC的面积=×6×6=18；
（3）解：由题意得：EP=t cm，则PC=(6-t)cm，
∵OFED，
∴∠POF+∠OPC=180°，
∵∠POF=120°，
∴∠OPC=60°，
∵△BEC是等边三角形，
∴∠BCE=60°=∠OPC，
∴∠E=∠OPC=60°，
∴△COP是等边三角形，
∴PC=OC=4cm，
∴4=6-t，
∴t=2，
即当t=2s时，OFED．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，旋转的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
24．(1)见解析
(2)仍然成立，理由见解析
【分析】（1）利用旋转的性质得是等边三角形，是等边三角形，从而得出，即可得出结论；
（2）连接，根据，得点A、B、C、F四点共圆，则，利用等腰三角形的性质可得结论．
【详解】（1）证明：∵将绕点A逆时针旋转，得到，旋转角为，
，
是等边三角形，
，
同理是等边三角形，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
；
（2）仍然成立，理由如下：
证明：连接，
，
，
∴点A、B、C、F四点共圆，
，
，
．
【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质等值知识，说明是解题的关键．
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