第二十五章概率的求法与应用同步练习（含解析）

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第二十五章概率的求法与应用
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．一个不透明的口袋中装有3个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在附近，则口袋中白球可能有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．在一个不透明的口袋中装有红球和白球共个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅匀后，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程．若共摸了次球，发现有次摸到红球，则估计口袋中红球的个数为（ ）
A． B． C． D．
3．书架上放着三本小说和两本散文，小明从中随机连续抽取两本（不放回），两本都是小说的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．如果从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，那么取到的数恰好是5的倍数的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．有一个不透明的盒子中装有 个除颜色外完全相同的球，这 个球中只有3个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则 的值大约是（ ）
A．12 B．15 C．18 D．21
6．人说山西好风光，地肥水美五谷香，山西面食更是特色满满，到山西太原旅游的小华一家，为中午吃山西刀削面、山西刀拨面、山西拉面、山西剔尖哪种而发愁．在一个不透明的口袋中有4个完全相同的小球，小华把山西刀削面、山西刀拨面、山西拉面、山西剔尖分别标号为1，2，3，4，随机摸出一个球，则中午吃山西剔尖的概率是（　　）
A． B． C． D．
7．在一个不透明的盒子中装有m个除颜色外完全相同的球，这m个球中只有3个红球，从中随机摸出一个小球，恰好是红球的概率为，那么m的值是（ ）
A．12 B．15 C．18 D．21
8．从一副扑克牌中任意抽取1张．估计下列事件发生的可能性大小：①这张牌是“A”；②这张牌是“红心”；③这张牌是“大王”；④这张牌是“红色的”这些事件中发生可能性最小的是事件（　　）
A．① B．② C．③ D．④
9．八卦图最早出自伏羲根据燧人氏造设的《河图洛书》所创．如图，八卦各有三爻，“乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑”分立八方，每一卦由三根线组成．如果从图中任选一卦，那么这一卦中至少有2根“”的概率是（ ）

A． B． C． D．
10．在一个不透明的盒子里有4个红球和个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，摸到红球的概率，则的值为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．16
11．如果关于x的分式方程有负数解，且关于y的不等式组无解，则符合条件的所有整数a中正数的概率为（ ）
A． B． C． D．
12．一只不透明的盒子里装有9个只有颜色不同的球，其中红球4个、白球3个、黑球2个．从盒子里任意摸出1个球，是红球的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．从一副52张的扑克牌（除去大小王）中任抽一张，抽到数字“9”的牌的概率是 ．
14．“二十四节气”是上古农耕文明的智慧结晶．八年级计划围绕节气开展主题演讲．其中，小实和小外都打算从“立春”、“立夏”、“立秋”、“立冬”四个节气中选择一个节气进行主题演讲，则恰好他们两人选到同一节气的概率为 ．
15．某水果销售网络平台以元/kg的成本价购进20000kg沃柑．如表是平台销售部通过随机取样，得到的“沃柑损坏率”统计表的一部分，从而可大约估计每千克沃柑的实际售价定为 元时（精确到元），可获得13000元利润．（销售总金额-损耗总金额-销售部分成本＝销售总利润）
沃柑总质量 … 100 200 300 400 500
损坏沃柑质量 …
沃柑损坏的频率（精确到0.001） …
16．如图，的对角线相交于O，其内部的一个动点P落在阴影部分的概率是 ．
17．一个不透明的口袋中有1个黄色球和2个红色球，这些球除颜色外其余均相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再从中随机摸出一个球，则两次都摸出红球的概率是 ．
三、解答题
18．在一个不透明的口袋里装有颜色不同的红、白两种颜色的球共5只，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次数 38 51 76 195 324 401
摸到白球的频率 0.38 0.34 0.38 0.39 0.405 0.401
（1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近_______；（精确到0.1）
（2）试估算口袋中白球有多少只？
（3）请画树状图或列表计算：从中先摸出一球，不放回，再摸出一球；摸到两只白球的概率是多少？
19．我省某校想知道学生对“开阳十里画廊”、“贵定音寨”、“安顺天龙屯堡”等旅游名片的了解程度，随机抽查了部分学生进行问卷调查，问卷有四个选项（每位被调查的学生必选一项）A．不知道，B．了解较少，C．了解较多，D．十分了解．将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：
(1)本次调查了多少名学生？
(2)补全条形统计图；
(3)该校共有650名学生，请你估计“十分了解”的学生共有多少名？
(4)在被调查“十分了解”的学生中有四名普通话较好，他们中有3名男生和1名女生，学校想从这4人中任选两人做家乡旅游品牌的宣传员，请用列表或画树状图法求出被选中的两人恰好是一男一女的概率．
20．为弘扬传统文化，某校举行“校园谜语大赛”，比赛结束后,组织者将所有参赛选手的比赛成绩(得分均为5的倍数)进行整理,并分别绘制成扇形统计图和频数直方图，部分信息如下:

(1)本次比赛参赛选手共有 人，其中分有 人，分有 人；
(2)赛前规定,成绩达到平均分的参赛选手即可获奖.某参赛选手的比赛成绩为75分,试判断他能否获奖,并说明理由；
(3)成绩前四名是2名男生和2名女生,若从他们中任选2人作为获奖代表发言,试求恰好选中1男1女的概率.
21．某校英语社团举行了“单词听写大赛”，每位参赛选手共听写单词100个现从参加比赛的男女选手中分别随机抽取部分学生进行调查，对答对的情况进行分组如下：A组：，B组：，C组：，D组：，E组：并绘制了如下不完整的统计图：

请根据以上信息解答下列问题：
本次调查共抽取了多少名学生，并将条形统计图补充完整；
求出A组所对的扇形圆心角的度数；
若从D、E两组中分别抽取一位学生进行采访，请用画树状图或列表法求出恰好抽到两位女学生的概率．
22．某校为了庆祝2022年元旦，举行了书法比赛，赛后整理参赛同学的成绩，并制作成图表如下：请根据以上图表提供的信息，解答下列问题：
分数段 频数 频率
30 0.15
m 0.45
60 n
20 0.1
(1)这次共调查了 名学生；表中的数 ， ．
(2)请在图中补全频数分布直方图．
(3)若绘制扇形统计图，分数段所对应扇形的圆心角的度数是 ．
(4)如果比赛成绩在80分以上(含80分)可获得奖励，那么获奖概率是 ．
23．一个不透明的箱子里装有3个红色小球和若干个白色小球，每个小球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复试验后，发现摸到红色小球的频率稳定于0.75左右．
(1)请你估计箱子里白色小球的个数；
(2)从箱子中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图的方法，求取出的两个球的颜色不同的概率P1；
(3)从箱子中任取一球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出1个小球，两次摸出的小球颜色恰好不同的概率P2，指出P1，P2的大小，并证明你的结论．
24．解答下列各题．
（1）已知，求证：．
（2）在个不透明的口袋里，装有红、白、黄三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同），其中有白球个，黄球个，若从中任意摸出一个球，这个球是白球的概率为．
①求口袋中红球的个数；
②若摸到红球记分，摸到白球记分，摸到黄球记分，甲从口袋中摸出一球，不放回，再摸出一个．请用画树状图或列表的方法求甲摸得两个球得分的概率．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B A D B C B C B D
题号 11 12
答案 A D
1．A
【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，分式方程的应用，由摸到白球的频率稳定在附近得出口袋中得到白球的概率，进而求出白球个数即可．
【详解】解：∵摸到白色球的频率稳定在左右，
∴口袋中得到白色球的概率为，
设白球个数为：个，依题意得
∴，
解得：，
经检验是原方程的根，
故白球的个数为个．
故选：A．
2．B
【分析】本题考查了利用频率估计概率，用乘以摸到红球的频率即可求解，理解实验次数很大时，事件发生的频率接近事件发生的概率是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴估计口袋中红球的个数为个，
故选：．
3．A
【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件的结果数目m，然后根据概率公式计算事件的概率．
画树状图（用A、B、C表示三本小说，a、b表示两本散文）展示所有20种等可能的结果数，找出从中随机抽取2本都是小说的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解： 用A、B、C表示三本小说，a、b表示两本散文，画树状图为：
共有20种等可能的结果数，其中从中随机抽取2本都是小说的结果数为6，
所以从中随机抽取2本都是小说的概率．
故选：A．
4．D
【分析】先找到5的倍数的结果数，再利用概率公式求解即可．
【详解】解：从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，共有10种等可能的结果，其中取到的数恰好是5的倍数的有2种，
∴取到的数恰好是5的倍数的概率为，
故选：D．
【点睛】本题考查简单的概率计算，理解题意，掌握求概率公式是解答的关键．
5．B
【详解】解：由题意得，×100％=20％，
解得，a=15.
故选：B.
6．C
【分析】此题主要考查了概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
由一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，它们分别标号为1，2，3，4直接利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：∵一个不透明的口袋中有4个完全相同的小球，它们分别标号为1，2，3，4，
∴随机摸取一个小球，直接写出“摸出的小球标号是4”的概率为：，
故选：C．
7．B
【分析】根据概率的计算法则可得方程求解即可.
【详解】根据概率的计算法则可得：，
则m=15.
故选：B
考点：概率的应用
8．C
【分析】分别求出抽出各种扑克牌的概率，比较大小即可求解．
【详解】解：∵①这张牌是“A”的概率为 ；
②这张牌是“红心”的概率为 ；
③这张牌是“大王”的概率为；
④这张牌是“红色的”的概率为，
∴这些事件中发生可能性最小的是事件③．
故选：C．
【点睛】本题考查的是概率公式的应用，解决这类题目要注意具体情况具体对待．用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比，掌握计算公式是解题的关键．
9．B
【分析】
本题考查了概率公式、古典概率问题，从八卦中任选一卦，基本事件总数，这一卦中至少有2根“”的基本事件个数，根据概率公式计算即可．熟练掌握概率公式是关键．
【详解】
解：从八卦中任选一卦，基本事件总数，这一卦中至少有2根“”的基本事件个数，
∴这一卦中至少有2根“”的概率是，
故选：B．
10．D
【分析】根据摸出红球的概率，列式求出n的值．
【详解】解：盒子里有4个红球，n个白球，
摸出红球的概率=，
解得．
故选：D．
【点睛】本题考查概率，解题的关键是掌握概率的求解方法．
11．A
【分析】本题考查的是解分式方程与解不等式组，求各种特殊解的前提都是先求出整个解集，再在解集中求特殊解，也考查了概率，解关于y的不等式组，结合解集无解，确定a的范围，再由分式方程有负数解，且a为整数，即可确定符合条件的所有整数a的值，再得出正数有几个，再根据概率公式求概率即可．
【详解】解：由关于y的不等式组，可整理得，
该不等式组解集无解，
即，
又解得，
而关于x的分式方程有负数解，
且，
且，
，且取的整数，
、、、0、1、3，
符合条件的所有整数a中正数的概率为．
故选：A．
12．D
【分析】用红球的个数除以所有球的总数即可求得答案．
【详解】解：袋子中球的总数为9，而红球有4个，
则从中任摸一球，恰为红球的概率为．
故选：D．
【点睛】本题考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
13．
【分析】每一张扑克被抽到的可能性是相同的，可知有52种结果，而抽到数字“9”的可能情况有4种，根据概率求解公式就可以求解
【详解】∵52张扑克中有4张9，
∴抽到数字 “9”的牌的概率是＝，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了概率求解公式的运用．一般的，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且他们发生的可能性都相等，而事件A包含其中的有m种结果，则事件A发生的概率为：．准确运用求概率公式是解决本题的关键．
14．
【分析】本题考查列表法或画树状图法求概率，先画出树状图得到所有等可能的结果，找出符合题意的结果数，然后利用概率公式求解即可．
【详解】解：分别设“立春”、“立夏”、“立秋”、“立冬”为A、B、C、D，
画树状图如图：
共有16种等可能的结果，其中恰好他们两人选到同一节气的有4种，
∴恰好他们两人选到同一节气的概率为，
故答案为：．
15．
【分析】本题主要考查了利用频率估计概率、一元一次方程的应用等知识，正确确定沃柑的完好率是解题关键．
从表格中可以看出，沃柑损坏的频率在常数左右摆动，并且随统计量的增加这种规律逐渐明显，易得沃柑的完好率应为．设每千克沃柑的实际售价定为元，根据题意列方程求解即可获得答案．
【详解】解：从表格中可以看出，沃柑损坏的频率在常数左右摆动，并且随统计量的增加这种规律逐渐明显，所以沃柑的完好率应为，
设每千克沃柑的实际售价定为元，
则有，
解得，
所以，可大约估计每千克沃柑的实际售价定为元时，可获得13000元利润．
故答案为：．
16．
【分析】根据平行四边形的性质可得，则，利用概率公式即可得答案．本题考查了几何概率、平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质并熟练掌握概率公式是解题关键．
【详解】∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积，
∴平行四边形内的一个动点P落在阴影部分的概率是，
故答案为：
17．
【分析】本题考查了放回式的概率计算，根据题意准确列出表格是解题的关键．先画表格图确定所有可能性，再根据概率公式计算即可．
【详解】解：黄色球用数字1表示，两个红色球分别用2和3表示，列表得：
1 2 3
1
2
3
由上表可知，从袋子中随机摸出两个小球可能会出现9个等可能的结果，其中两球都是红色的结果有4个，
所以两次摸出的球都是红球的概率是，
故答案为：．
18．（1）0.4；（2）2 ；（3）图详见解析，
【分析】（1）根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近0.4；
（2）根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为0.4，然后利用概率公式计算白球的个数；
（3）先利用列表法展示所有20种等可能的结果数，再找出两只球颜色不同所占结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：(1)答案为：0.4；
(2)由(1)摸到白球的概率为0.4,所以可估计口袋中白种颜色的球的个数=5×0.4=2(只)；
(3)画树状图为：
共有20种等可能的结果数，其中两白球颜色相同占2种，
所以两只球颜色不同的概率==.
【点睛】本题主要考查概率相关知识，提取正确信息是关键.
19．(1)本次调查了50名学生；
(2)见解析；
(3)估计“十分了解”的学生有130名；
(4)
【分析】（1）根据C组人数以及百分比计算即可解决问题；
（2）求出B组人数，画出条形图即可解决问题；
（3）用650ד十分了解”所占的比例即可；
（4）先画出树状图，继而根据概率公式可求出两位参赛选手恰好是一男一女的概率．
【详解】（1）解：15÷30%＝50（人），
答：本次调查了50名学生．
（2）解：50﹣10﹣15﹣5＝20（人），
补全条形图如图所示：
（3）解：650130（人），
答：估计“十分了解”的学生有130名．
（4）解：树状图如下：
共有12种等可能情况，其中所选两位参赛选手恰好是一男一女有6种．
所以，所选两人恰好是一男一女的概率为
【点睛】此题考查了条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
20．（1）50，，；（2）他可以获奖；理由见解析；（3）.
【分析】（1）用“55～60”这组的人数除以它所占的百分比可得到调查的总人数；再计算出“85～90”这一组人数占总参赛人数的百分比，然后用1分别减去其它三组的百分比得到“65～70”这一组人数占总参赛人数的百分比，分别计算“65-70”和“75-80”这两组的人数，即可求解；
（2）求出平均数即可判断他能不能获奖；
（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出恰好选中1男1女的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】（1）（2+3）÷10%=50，
（8+4）÷50=24%，
1-10%-24%-36%=30%，
50×30%=15（人），
∴得65分的人数为：15-8=7（人），
50×36%=18（人），
∴得分为80分的人数为：18-10=8（人）.
（2）
，
∴他可以获奖.
（3）法1：列表如下：
男1 男2 女1 女2
男1 （男1，男2） （男1，女1） （男1，女2）
男2 （男2，男1） （男2，女1） （男2，女2）
女1 （女1，男1） （女1，男2） （女1，女2）
女2 （女2，男1） （女2，男2） （女2，女1）
由列表法可得，所有等可能的结果共有12种，其中一男一女有8种
∴.
法2：画树状图如下：
由树状图可得，所有等可能的结果共有12种，其中一男一女有8种，
∴.
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．
21．（1）20人，条形统计图补充见解析；（2）36°；（3）.
【分析】由C组所占的百分比及C组有6人即可求得总人数，然后求得B组的女生数及E组的男生数，从而补全直方图；
用乘A组人数所占比例可得；
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与所抽的两位学生恰好是两位女生的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解:本次调查的学生总人数为人，
则B项目中女生人数为，E组男生有人，
补全图形如下：
组所对的扇形圆心角的度数为；
画树状图如下：

由树状图知共有12种等可能结果，其中恰好抽到两位女学生的有2种结果，
所以恰好抽到两位女学生的概率为．
【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率以及直方图的知识注意概率所求情况数与总情况数之比．
22．(1)200；90；0.3
(2)见解析
(3)
(4)
【分析】本题主要考查了频数分布图，频数分布表，样本估计总体，求概率，扇形统计图：
（1）根据分数段的有30人，占0.15，推出总人数，由此即可解决问题；
（2）利用（1）中结论画出条形图即可；
（3）用360度乘以分数段的频率，计算即可；
（4）用80分以上的人数除以总人数即可．
【详解】（1）解：这次共调查的学生的人数为；
；；
故答案为：200；90；0.3
（2）解：补全频数分布直方图，如图：
（3）解：分数段所对应扇形的圆心角的度数是；
故答案为：
（4）解：．
即获奖概率是．
故答案为：
23．(1)估计箱子里白色小球的个数为1
(2)取出的两个球的颜色不同的概率
(3)两次摸出的小球颜色恰好不同的概率为，证明见解析
【分析】（1）根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率，得到摸到红球的概率为0.75，设白球有x个，然后根据概率计算公式列出方程求解即可；
（2）先画出树状图，得到所有的等可能性的结果数，然后找出符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可；
（3）同（2）原理求出即可得到答案．
【详解】（1）解：通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.75左右，
估计摸到红球的概率为0.75，
设白球有x个，
根据题意，得：，
解得，
经检验是分式方程的解，
估计箱子里白色小球的个数为1；
（2）解：画树状图如下所示：
由树状图克重一共有12种等可能性的结果数，其中取出的两个球的颜色不同的结果数有6种，
∴取出的两个球的颜色不同的概率；
（3）解：画树状图如下所示：
由树状图可知，从箱子中任取一球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出1个小球，一共有16种等可能的结果数，其中两次摸出的球恰好颜色不同的结果数为6，
∴取出的两个球的颜色不同的概率，
∴．
【点睛】本题主要考查了根据频率估计概率，树状图法求解概率，熟练掌握树状图法求解概率是解题的关键．
24．（1）见解析；（2）①个；②画图见解析，．
【分析】（1）根据∠1=∠2，由内角相等证明BD∥CE，则有，从而得出，再根据三角形的内角和及对顶角相等即可得出结论．
（2）①根据概率的公式先得出白球的个数，从而得出红球的个数
②依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．
【详解】（1）
又
又（对顶角相等），
（三角形内角和为），
①因为口袋里只有红、白、黄三种颜色的球，
白色有个，且摸到白球的概率为，
一共有（个）
红色的球有（个）
②设红球为，白球分别为，黄球为，则树状图如下
一共有种，得两分的有共种，
【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形的内角和，以及用树状图或表格可求概率，熟练掌握险关知识是解题的关键
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