第二十一章圆（上）同步练习（含解析）

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第二十一章圆（上）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图所示，已知矩形的边若以点为圆心作，使三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外，则的半径的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，已知正五边形内接于，连接，则的度数是（ ）

A．72° B．54° C．36° D．30°
3．如图，在半径为的中，半径垂直于弦，为上的点，，则的长是（ ）
A．4 B． C．8 D．
4．下列三个命题：
①圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；
②垂直于弦的直径平分这条弦；
③相等圆心角所对的弧相等；
其中是真命题有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，∠BAC＝70°，则∠OCB为（　　）
A．70° B．20° C．140° D．35°
6．如图，是的内接三角形，若，则（ ）
A． B． C． D．
7．下列事件中，为必然事件的是（ ）
A．等腰三角形的三条边都相等；
B．经过任意三点，可以画一个圆；
C．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；
D．任意画一个三角形，其内角和为．
8．如图，是的外接圆，，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
9．有下列说法：①直径是圆中最长的弦；②等弦所对的圆周角相等；③圆中90°的角所对的弦是直径；④相等的圆心角对的弧相等．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，过点B、C，圆心O在等腰的内部，，，．则的半径为（ ）
A．5 B． C． D．
11．如图，已知正方形的边长为6，以点C为圆心，3为半径作圆，P是上的任意一点，将点P绕点D按逆时针方向旋转90°，得到点Q，连接，则的最大值是（ ）

A．9 B． C． D．7.5
12．如图，是的外接圆，，则的度数等于( )
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，是上三点，．若，则 ．
14．如图，AB是⊙O的直径，点C、D是圆上两点，且∠CDB=27°，则∠AOC= °
15．已知：的半径是6，是的弦，且的长为，则弦所对的弧的长度为 ．（结果保留）
16．如图，在平面直角坐标系中，点A（-6，8），B（-6，0），以A为圆心，4为半径作⊙A，点P为⊙A上一动点，M为OP的中点，连接BM，设BM的最大值为m，最小值为n，则m﹣n的值为 ．
17． 是半径为 的圆内接三角形，若 ，则 的度数为 ．
三、解答题
18．【问题提出】
（1）如图①，已知在四边形中，，对角线与相交于点，则________（填“”“”或“”）．
【问题探究】
（2）如图②，在中，，，，点、点分别为、边上的两个点，连接、，过点作，交于点，连接，若恰好将分为面积相等的两部分，求的长．
【问题解决】
（3）杨叔叔承包了一块土地欲进行耕种，土地形状如图③所示，其中四边形的面积为12600 平方米，，米，米，，所在圆的半径为65米．已知的中点处有一口灌溉水井，现结合实际耕种需求，需在上找一点，使将这块土地的面积分为相等的两部分，用于耕种两种不同的作物，并沿修一条灌溉水渠（水渠的宽度忽略不计），请在图中找出点的位置，并计算灌溉水渠的长．（结果保留根号）
19．如图，在6×6的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请按要求完成下列作图：
①仅用无刻度直尺：②保留作图痕迹．
(1)在图1中请用一把无刻度的尺子，画出线段MN三等分点P，Q．
(2)在图2中以AB为直径的半圆上找一点P，画出∠PBA，使得∠PBA＝22.5°．
20．如图，在足球比赛中，甲带球奔向对方球门，当他带球冲到点A时，同伴乙已经冲到点B，此时甲是直接射门好，还是将球传给乙，让乙射门好？（仅从射门角度大小考虑）
21．一个隧道的横截面如图所示，它的形状是以点为圆心， 为半径的圆的一部分，是中弦 的中点，经过圆心交于点．若，求隧道的高（的长）．
22．唐代桨轮船是原始形态的轮船．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长为6m，轮子的吃水深度为1.5m，求该桨轮船的轮子直径．
23．如图，是的直径，是上一点，连接，若是的中点，连接，分别交于点，求证：．

24．已知，如图，四边形中，，，，，．试判断点，，，是否在同一圆上；若在，请证明，并求出该圆的面积；若不在，请说明理由．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C B C B A C C A A
题号 11 12
答案 A B
1．C
【分析】根据勾股定理求出的长，进而得出点与的位置关系，即可得出半径的取值范围．
【详解】解；连接，
∵矩形中，，
∴，
∴，
∵以点为圆心作，使三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外，
∴的半径的取值范围是：．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了点与圆的位置关系，解决本题要注意点与圆的位置关系，要熟悉勾股定理，及点与圆的位置关系．
2．C
【分析】求出的度数，再根据圆周角定理即可解决问题．
【详解】解：如图多边形是正五边形，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查正多边形和圆、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握圆周角定理．
3．B
【分析】设交于点，根据垂径定理得出，，根据圆周角定理及其推理得出，进而根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，即可求解．
【详解】解：如图，设交于点，
∵半径垂直于弦，
∴，
∵
∴，
在中，，
,
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，熟练运用以上知识是解题的关键．
4．C
【详解】试题分析：：①圆既是轴对称图形又是中心对称图形，正确；
②垂直于弦的直径平分弦，正确；
③在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧才相等，所以相等的圆心角所对的弧相等，错误．
故真命题是①②．
故选C．
考点：1．圆心角、弧、弦的关系；2．垂径定理；3．命题与定理．
5．B
【分析】由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ACB＝90°，继而求得∠B的度数，然后由OB＝OC，即可求得答案．
【详解】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BAC＝70°，
∴∠B＝90°﹣∠BAC＝20°，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠B＝20°，
故选B．
【点睛】本题是对圆中角度转换的考查，熟练掌握圆周角知识是解决本题的关键.
6．A
【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，圆周角定理的应用，先求解，再利用等腰三角形的性质结合三角形的内角和定理可得答案.
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故选A
7．C
【分析】根据题意并熟知事件分为确定事件和不确定事件，确定事件分为必然事件和不可能事件，再逐一分析每个选项即可得到本题答案．
【详解】解：∵等腰三角形只有两个腰相等，故选项说法错误，即不可能事件，故A选项排除，
∵经过不在同一直线上三个点可以确定一个圆，故B选项不是必然事件，
∵在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧必定相等，故C选项为必然事件，
∵三角形内角和为，故选项说为为不可能事件，故D选项排除．
故选：C．
【点睛】本题考查随机事件，等腰三角形性质，圆的性质，圆心角和弧的关系，三角形内角和．
8．C
【分析】本题考查了等边对等角、圆周角定理、三角形内角和．
连接，根据等边对等角得出，再根据三角形内角和得出，最后根据圆周角定理即可得出答案．
【详解】解：连接

，，
故选C．
9．A
【分析】根据直径的定义对①进行判断；根据圆周角定理对②③进行判断；根据圆心角、弧、弦的关系对④进行判断．
【详解】解：直径是圆中最长的弦，所以①正确；
在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等，所以②错误；
90°的圆周角所对的弦是直径，所以③错误；
在同圆或等圆中，相等的圆心角对的弧相等，所以④错误．
故选：A．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了圆的认识和圆心角、弧、弦的关系．掌握这些知识点是解题关键．
10．A
【分析】过O作OD⊥BC，由垂径定理可知BD=CD= BC，根据△ABC是等腰直角三角形可知∠ABC=45°，故△ABD也是等腰直角三角形，BD=AD，再由OA=1可求出OD的长，在Rt△OBD中利用勾股定理即可求出OB的长．
【详解】
解：过O作OD⊥BC，
∵BC是⊙O的一条弦，且BC=8，
∴BD=CD= ，
∴OD垂直平分BC，又AB=AC，
∴点A在BC的垂直平分线上，即A，O及D三点共线，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°，
∴△ABD也是等腰直角三角形，
∴AD=BD=4，
∵OA=1，
∴OD=AD-OA=4-1=3，
在Rt△OBD中，
OB= ．
故答案为A．
【点睛】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
11．A
【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，圆外一点到圆上一点的最值．连接，，证明，得到，进而得到点在以点为圆心，为半径的圆上，进而得到当三点共线时，的值最大为，即可得出结果．确定点的运动轨迹，是解题的关键．
【详解】解：连接，，如图：

∵四边形是正方形，
∴，
∴，
根据旋转的性质可得，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴点在以点为圆心，为半径的圆上，
∴当点在的延长线上时，取最大值，如图：

∴的最大值为．
故选A．
12．B
【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和定理以及圆周角定理；在等腰三角形中，由已知和三角形内角和定理求得顶角的度数，然后由同弧所对的圆周角是圆心角的度数一半的圆周角定理，求得答案．
【详解】在中，的半径)，
等边对等角)；
，，
；
又同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半)，
，
故选B．
13．25
【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理，连接，圆周角定理得到，垂径定理得到，得到，即可．
【详解】解：连接，则：，
∵，为半径，
∴，
∴，
故答案为：25．
14．126°
【分析】先利用圆周角定理得到∠BOC=54°，然后利用邻补角的定义计算∠AOC的度数．
【详解】解：∵∠BOC=2∠CDB=2×27°=54°，
∴∠AOC=180°-∠BOC=180°-54°=126°．
故答案为：126．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
15．或/或
【分析】过点作，交于点，交于点、，首先根据垂径定理可得，，再利用三角函数解得，，然后利用弧长公式，即可获得答案．
【详解】解：如下图，过点作，交于点，交于点、，
根据题意，的半径是6，，
∴，，，
∴在中，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了垂径定理、圆周角定理、解直角三角形、弧长公式等知识，利用垂径定理和三角函数求出的值是解题关键．
16．4
【分析】在x轴上取一点E（-12，0），连接PE．由OM＝PM，OB＝BE，推出BM＝PE，因为点P在⊙A上运动，所以P，A，B共线时，可以取得最大值或最小值，最大值＝EP′＝10＋4＝14，最小值EP″＝10 4＝6，由此即可解决问题．
【详解】解：在x轴上取一点E（－12，0），连接PE．
∵点A（-6，8），B（-6，0），
∴OB＝BE＝6，AE＝，
∵OM＝PM，OB＝BE，
∴BM＝PE，
∵点P在⊙A上运动，
∴P，A，B共线时，可以取得最大值或最小值，最大值＝EP′＝10＋4＝14，最小值EP″＝10 4＝6，
∴m＝7，n＝3，
∴m n＝4，
故答案为4．
【点睛】本题考查点与圆的位置关系，三角形中位线定理，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．
17．或
【分析】如图所示：由 是半径为 的圆内接三角形，若 ，可得出 是等边三角形，分两种情况①当点在优弧上时，②当点在劣弧上时，即可得出结论．
【详解】解：如图，连接 ，，

是等边三角形，
．
当点在优弧上时，
当点在劣弧上时，记点为点
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查圆周角定理，掌握同圆或等圆中同弧或等弧所对的圆周角是圆心角的一半是解此题的关键．
18．（1）；（2）；（3）点Q见解析，
【分析】（1）利用平行线间的距离相等，可得和的边上的高相等，则和是同底等高的三角形，它们的面积相等，都减去的面积后即可得到结论；
（2）由于，利用（1）的结论可得，利用已知和面积割补法可得，由此得到点为的中点，即为斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求得结论；
（3）过点作于点，延长交于点，在上截取，连接，则由，，，围成的图形与，，，围成的图形面积相等；在上取一点，使的面积等于面积的一半即可；过点作于点，过点作于点，过点作于点，设的圆心为，连接，利用梯形的面积公式，垂径定理及其推论和解直角三角形求出相应的线段即可得出结论．
【详解】解：（1），
．
．
．
故答案为：．
（2），
，
．
恰好将分为面积相等的两部分，
．
．
即．
．
即．
，
即为斜边上的中线．
．
在中，
，
．
．
（3）过点作于点，则将弓形面积二等分．
延长交于点，在上截取，连接，
则由，，，围成的图形与，，，围成的图形面积相等．
若想将图形的面积二等分，只需在上取一点，使即可，如图，
则为所开挖的渠道．
过点作于点，过点作于点，过点作于点，
设的圆心为，连接，
是的中点，，
的圆心在线段上，
，
（米）．
（米）．
（米）．
四边形的面积为12600平方米，，
．
（米）．
（米）．
（米）．
在中，
，
．
（米）．
，，
四边形为平行四边形．
（米）．
（米）．
（米）．
在和中，
，
．
（米）．
（米）．
（米）．
（米）．
，
．
（米）．
（米）．
的位置在距离点米的地方．
在中，
（米）．
【点睛】本题是一道圆的综合题，主要考查了同底等高的三角形的面积的关系，平行线的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，梯形的面积，直角三角形斜边上的中线的性质，利用面积割补法进行计算是解题的关键．
19．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）取格点E、F、J、K、G，连接EF、JK、NG交MN于点P、Q，即可得出答案；
（2）连接OT，交于一点P，连接PB，即可得出答案．
【详解】（1）解：取格点E、F、J、K、G，连接EF、JK、NG交MN于点P、Q，如图所示：
根据格点特点可知，，
∴，
∵，
∴，
即点P，点Q即为所求作的点．
（2）解：连接OT，交于一点P，连接PB，点P即为所求，如图所示：
∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查作图 应用与设计作图，圆周角定理，平行分线段成比例定理等知识，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型．
20．甲将球传给乙，让乙射门好
【分析】设AQ交⊙O于点M，连接PM，则∠B＝∠PMQ，因为∠PMQ是△PAM的一个外角，由外角性质得∠PMQ＞∠A，所以∠B＞∠A，即可分析求得答案．
【详解】解：甲将球传给乙，让乙射门好，理由如下：
如图所示，设AQ交⊙O于点M，连接PM，
则∠B＝∠PMQ，因为∠PMQ是△PAM的一个外角，
由外角性质得∠PMQ＞∠A，所以∠B＞∠A，
所以仅从射门角度考虑，甲将球传给乙，让乙射门好．
【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，三角形的外角性质，添加辅助线转化为是解题的关键．
21．隧道的高（的长）为
【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理的综合，连接，可得，，运用勾股定理可得的值，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，
∴，
∵过圆心，点是中点，
∴，且，
在中，，
∴，
∴隧道的高（的长）为．
22．该桨轮船的轮子直径为
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，根据题意在圆内构建直角三角形，利用勾股定理求出直径是解答本题的关键．连接，构建，利用勾股定理求出轮子的直径．
【详解】解：依题意，得，，
如图，连接，设轮子的直径为，则其半径为，

在中，,
解得，
答：该桨轮船的轮子直径为．
23．见解析
【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，掌握圆周角定理是解题的关键．由圆周角定理可得，由于，可得，即可证得结论．
【详解】证明：是的中点，
，
，
，
，
，
，
．
24．点，，，在同一圆上，理由见解析；面积为
【分析】由勾股定理求出，由勾股定理的逆定理得出是直角三角形，，得出即可证明结论；证明是圆的直径，得出圆的半径==5，即可求出外接圆的面积．
【详解】点，，，在同一圆上；
证明：连接，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，，
设中点为点，连接、，
则，
∴点，，，同在以点为圆心，为直径的圆上，
∴圆的半径，
∴圆的面积．
【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、四点共圆、圆周角定理；熟练掌握勾股定理和勾股定理逆定理，证明三角形是直角三角形是解决问题的关键．
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