浙江省 2024年秋季九年级（上）期末考模拟卷
数学·答题卡
姓 名：__________________________
准考证号： 贴条形码区
注意事项
1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准
考生禁填： 缺考标记
条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。
违纪标记
2．选择题必须用 2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用 2B铅笔填涂
答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。
3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案
选择题填涂样例：
无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
正确填涂
4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂 [×] [√] [／]
第Ⅰ卷(请用 2B铅笔填涂)
一、选择题（每小题 3分，共 30分）
1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
第Ⅱ卷（请用黑色签字笔作答）
二、填空题（每小题 3分，共 18分）
11．___________ 12．___________ 13．___________ 14．___________ 15．___________ 16．___________
三、解答题（共 72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本题满分 8分）
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
18．（本题满分 8分）
19．（本题满分 8分）
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
20. （本题满分 8分）
21.（本题满分 8分）
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
22.（本题满分 10分）
23. （本题满分 10分）
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
24. （本题满分 12分）
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！浙江省杭州市2024年九年级（上）期末考试模拟数学考试卷
解析卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列事件中，必然事件是（ ）
A．未来一月都是好天气
B．周末出门遇见同学
C．不在同一直线上的三个点确定一个圆
D．掷一次硬币，正面向上
【分析】根据事件发生的可能性大小判断．
【解答】解：A、未来一月都是好天气，是随机事件，不符合题意；
B、周末出门遇见同学，是随机事件，不符合题意；
C、不在同一直线上的三个点确定一个圆，是必然事件，符合题意；
D、掷一次硬币，正面向上，是随机事件，不符合题意；
故选：C．
2．已知⊙O的半径r为6，若点P在圆O内，则点P到圆O的距离可能是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆内 d＜r，由此得到PO＜6，即可得到答案．
【解答】解：∵⊙O的半径r为6，若点P在圆O内，
∴PO＜r，
∴PO＜6，
∴点P到圆O的距离可能是5．
故选：A．
3．抛物线y＝2（x﹣4）2+1的顶点坐标是（ ）
A．（4，1） B．（4，﹣1） C．（﹣4，1） D．（﹣4，﹣1）
【分析】根据抛物线顶点式可得抛物线顶点坐标．
【解答】解：∵抛物线y＝2（x﹣4）2+1，
∴抛物线顶点为（4，1），
故选：A．
4．把5x＝3y写成比例式，下列不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据比例的性质写出比例式进行判断即可．
【解答】解：由5x＝3y，得到，，，
故A、C、D不符合题意，B符合题意．
故选：B．
5．活动课上进行盲盒摸球（除了颜色，其他都一样）活动，已知盲盒里有3个白球、5个黑球和2个红球，则摸到红球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据概率等于所求情况数与总情况数之比，即可求得摸到红球的概率．
【解答】解：∵盲盒里有3个白球、5个黑球和2个红球，
∴摸到红球的概率为：，
故选：B．
6．若点A（﹣6，y1），B（﹣2，y2），C（2，y3）在二次函数y＝2x2﹣4x+m的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y2＜y1
【分析】先把A，B，C三点的坐标代入二次函数解析式y＝2x2﹣4x+m，分别求出y1，y2，y3，再进行比较大小即可．
【解答】解：当x＝﹣6时，，
当x＝﹣2时，，
当x＝2时，，
∵m＜m+16＜m+96，
∴y3＜y2＜y1，
故选：D．
7．如图，将△ABC绕B点顺时针方向旋转一个角α到△DBE，点A的对应点D恰好落在AC上，且BE∥AC．若∠DBC＝30°，则α的度数为（ ）
A．30° B．40° C．45° D．36°
【分析】首先利用旋转的性质和等腰三角形的性质得到∠ABD＝∠CBE＝α，∠ABC＝∠DBE＝α+30°，然后利用已知条件可以求出∠A＝∠ADB＝α+30°，然后利用三角形内角和定理列式计算即可求解．
【解答】解：∵将△ABC绕点B顺时针旋转到△DBE，∠DBC＝30°，
∴∠ABD＝∠CBE＝α，AB＝BD，∠E＝∠C，
∴∠ABC＝∠DBE＝α+30°，∠A＝∠ADB，
∵BE∥AC，
∴∠ADB＝∠DBE＝α+30°，
∴∠A＝∠ADB＝α+30°，
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴α+30°+α+30°+α＝180°，
解得α＝40°，
故选：B．
8．如图，A、B、C、D都是⊙O上的点，若CD＝BD，∠AOC＝108°，则∠AOD＝（ ）
A．140° B．144° C．146° D．150°
【分析】先利用平角的定义计算出∠BOC＝72°，再根据圆心角、弧、弦的关系，由CD＝BD得到∠BOD＝∠COD＝36°，然后计算∠AOC+∠COD即可．
【解答】解：∵∠AOC＝108°，
∴∠BOC＝180°﹣108°＝72°，
∵CD＝BD，
∴∠BOD＝∠COD∠BOC＝36°，
∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝108°+36°＝144°．
故选：B．
9．如图，已知△A′B′C′与△ABC是以点O为位似中心的位似图形，位似比为2：3，则下列说法错误的是（ ）
A．△BCO∽△B′C′O
B．△A′B′C′与△ABC周长比为2：3
C．S△A′B′C′：S△ABC＝4：9
D．OB′：BB′＝3：2
【分析】根据位似变换得到△A′B′C′∽△ABC，AC∥A′C′，BC∥B′C′，则S△A′B′C′：S△ABC＝4：9，△BCO∽△B′C′O′，△A′B′C′与△ABC周长比为2：3，OB′：BB′＝2：1，即可得到答案．
【解答】解：∵△A′B′C′与△ABC是以点O为位似中心的位似图形，位似比为2：3，
∴△A′B′C′∽△ABC，AC∥A′C′，BC∥B′C′，
∴S△A′B′C′：S△ABC＝4：9，△BCO∽△B′C′O′，△A′B′C′与△ABC周长比为2：3，
∴OB′：OB＝2：3，
∴OB′：BB′＝2：1．
故选项A、B、C说法正确，选项D说法错误，
即选项A、B、C不符合题意，选项D符合题意．
故选：D．
10．如图，P点是圆O劣弧AB上的一个动点（不与点A，B重合），且满足∠BPC＝∠APC＝60°，D是△ABC内一点，AD＝3，CD＝4，BD＝5，点P在劣弧AB上运动的过程中，2m＝PA2+PB2+PC2，则m的值满足（ ）
A． B．
C． D．m＝50
【分析】延长BP到点F，使得PF＝AP，过点A作AE⊥PF于点E，先求出∠APF＝60°，根据等边三角形的判定和性质可得AF＝AP，∠FAP＝60°，推得AC＝BC，根据圆内接四边形的性质可得∠ACB＝60°，根据等边三角形的判定和性质可得AB＝AC，∠BAC＝60°，根据全等三角形的判定的和性质可得BF＝PC，推得PC＝AP+BP；根据直角三角形的性质可得，根据勾股定理求得，根据勾股定理可得出AB2＝AP2+BP2+BP AP，结合题意可得m＝AB2；将△BCD绕点C顺时针旋转60°得到△ACD′，连接DD′，过点C作CG⊥AD延长线交于点G，根据全等三角形的判定和性质可得DD′＝CD＝4，∠D′DC＝60°，根据勾股定理的逆定理可得∠ADD′＝90°，求得∠GDC＝30°，根据直角三角形的性质可得CG＝2，根据勾股定理求得，，即可求解．
【解答】解：如图：延长BP到点F，使得PF＝AP，过点A作AE⊥PF于点E，
∵∠BPC＝∠APC＝60°，
∴∠APB＝∠BPC+∠APC＝120°，
则∠APF＝180°﹣∠APB＝60°，
∵∠APF＝60°，PF＝AP，
∴△APF是等边三角形，
∴AF＝AP，∠FAP＝60°，
∵∠BPC＝∠APC＝60°，
∴AC＝BC，
∵A、B、C、P四点共圆，∠APB＝120°，
∴∠ACB＝180°﹣∠APB＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵∠FAP＝∠BAC＝60°，
∴∠FAP+∠PAB＝∠BAC+∠PAB，
即∠FAB＝∠PAC，
∴△FAB≌△PAC（SAS），
∴BF＝PC，
即PC＝PF+BP＝AP+BP，
∵AE⊥BE，
∴∠PAE＝90°﹣∠APE＝30°，
故，
则，
在Rt△AEB中，AB2＝AE2+BE2，BE＝BP+PE，
即，
整理得：AB2＝AP2+BP2+BP AP，
∵2m＝PA2+PB2+PC2＝PA2+PB2+（PB+PA）2＝2（PB2+PA2+PB PA），
∴2m＝PA2+PB2+PC2＝2AB2，
∴m＝AB2，
将△BCD绕点C顺时针旋转60°得到△ACD′，连接DD′，过点C作CG⊥AD延长线交于点G，如图：
则CD＝CD′，BD＝AD′＝5，∠DCD′＝60°，
∵CD＝CD′，∠DCD′＝60°，
∴△DCD′是等边三角形，
∴DD′＝CD＝4，∠D′DC＝60°，
∵AD2+D′D2＝32+42＝25，D′A2＝52＝25，
∴AD2+D′D2＝D′A2，
即△ADD′是直角三角形，
∴∠ADD′＝90°，
∴∠ADC＝∠ADD′+∠D′DC＝90°+60°＝150°，
∴∠GDC＝180°﹣∠ADC＝30°，
∴，，
∴，
则，
∵AC＝AB，
∴．
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．如图，AB∥CD，AC，BD相交于点E，AE＝1，EC＝2，DE＝3，则BE的长为 1.5 ．
【分析】判定△ABE∽△CDE，推出，代入有关数据即可求出BE的长．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴△ABE∽△CDE，
∴，
∴，
∴BE＝1.5．
故答案为：1.5．
12．在不透明袋子中有1个黄球、2个白球和7个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球最有可能是 白球 ．
【分析】观察统计图得该球得频率稳定在0.20左右，进而计算抽到每种颜色球的概率即可判断．
【解答】解：观察统计图可知，该球得频率稳定在0.20左右，
∴抽到该球的概率为0.20，
∵抽到黄球概率为，抽到白球概率为，抽到红球概率为，
∵0，10＜0.20＜0.70，
∴该球最有可能是白球，
故答案为：白球．
13．如果一个矩形的宽与长的比值正好是黄金比，人们就称它为“黄金矩形”．现需设计一扇符合黄金矩形的窗户，若窗户的长为2米，则窗户的宽为 （1） 米（结果保留根号）．
【分析】由黄金分割的定义列式计算即可．
【解答】解：由黄金分割的定义得：窗户的宽为2＝（1）（米），
故答案为：（1）．
14．如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD＝100°，则∠BCD＝ 130° ．
【分析】根据圆内接四边形的对角互补求得∠A的度数，再根据圆周角定理求解即可．
【解答】解：∵∠BOD＝100°
∴∠A＝50°
∠BCD＝180°﹣∠A＝130°
故答案为：130°．
15．如图，有一个截面边缘为抛物线型的水泥门洞．门洞内的地面宽度为8m，两侧距地面4m高处各有一盏灯，两灯间的水平距离为6m，则这个门洞内部顶端离地面的距离为 m ．
【分析】由题意可知各点的坐标，A（﹣4，0），B（4，0），D（﹣3，4），又由抛物线的顶点在y轴上，即可设抛物线的解析式为y＝ax2+c，然后利用待定系数法即可求得此二次函数的解析式，继而求得这个门洞的高度．
【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系，
由题意可知各点的坐标，A（﹣4，0），B（4，0），D（﹣3，4）．
设抛物线的解析式为：y＝ax2+c（a≠0），
把B（4，0），D（﹣3，4）代入，得：
，
解得：，
∴该抛物线的解析式为：yx2，
则C（0，）．
∴这个门洞内部顶端离地面的距离为m，
故答案为：m．
16．抛物线y＝﹣x2+nx+m交x轴于点A（a，0）和B（b，0），交y轴于点C，顶点为点D，将其向左平移一个单位长度后图象关于y轴对称．下列四个命题，其中真命题的序号是 ①③ ；
①a+b＝2；
②对于任意实数t，总有﹣t2+nt＜﹣1+n；
③抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2；
④点C关于抛物线对称轴的对称点为E，点G，F分别在x轴和y轴上，当m＝2时，四边形EDFG周长的最小值为6．
【分析】由抛物线与x轴两交点关于对称轴对称即可判断①；
由题易得抛物线y＝﹣x2+nx+m关于直线x＝1对称，所以当x＝1有最大值，对于任意实数t，﹣t2+nt+m≤﹣1+n+m，当x＝t时取等，即可判断②；
根据x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，可以得到点Q距离对称轴更远，因此再根据开口方向即可判断出③；
先求出抛物线解析式，再求出D和E坐标，进而画出图形，作对称，根据两点距离公式求解即可判断④．
【解答】解：∵将抛物线y＝﹣x2+nx+m向左平移一个单位长度后图象关于y轴对称，
∴平移后的交点（a﹣1，0）和（b﹣1，0）关于y轴对称，
∴a﹣1+b﹣1＝0，
∴a+b＝2，
故①正确，符合题意；
∵将抛物线y＝﹣x2+nx+m向左平移一个单位长度后图象关于y轴对称，
∴抛物线y＝﹣x2+nx+m关于直线x＝1对称，
∴当x＝1时，y有最大值，即y＝﹣1+n+m，
∴对于任意实数t，﹣t2+nt+m≤﹣1+n+m，当x＝t时取等，
∴﹣t2+nt≤﹣1+n，
故②错误，不符合题意；
∵x1＜1＜x2，
∴点P和点Q在对称轴两侧，即点P在对称轴左侧，点Q在对称轴右侧，
∵x1+x2＞2，
∴x2﹣1＞1﹣x1，
∴点Q距离对称轴更远，
∵开口向下，
∴y1＞y2，
故③正确，符合题意；
∵抛物线y＝﹣x2+nx+m关于直线x＝1对称，
∴1，
∴n＝2，
当m＝2时，抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+2，
∴C（0，2），D（1，3），
∵点C和点E关于对称轴对称，
∴E（2，2），
∴DE，
如图，作点D关于y轴对称点D'，作点E关于x轴对称点E'，则D'（﹣1，3），E'（2，﹣2），
∴D'E'，
四边形EDFG周长＝DE+DF+FG+GED'F+FG+GE'，
当D'、F、G、E'四点共线时，D'F+FG+GE'＝D'E'，
此时四边形EDFG周长有最小值为，
故④错误，不符合题意；
综上，真命题的有①③，
故答案为：①③．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）已知电流在一定时间段内正常通过电子元件的概率是．（提示：在一次试验中，每个电子元件的状态有两种可能：通电、断开，并且这两种状态的可能性相等．）
（1）如图1，在一定时间段内，A、B之间电流能够正常通过的概率为 ；
（2）如图2，求在一定时间段内，C、D之间电流能够正常通过的概率．
【分析】（1）画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可；
（2）画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）画树状图如下：
由图知，共有4种等可能结果，其中A、B之间的两个元件都通过电流才能正常通过的只有1种结果，
所以A、B之间的两个元件都通过电流才能正常通过概率为，
故答案为：；
（2）由图知，共有4种等可能结果，其中C、D之间的两个元件都通过电流才能正常通过的有3种结果，
∴C、D之间两个元件中至少有一个元件通时电流就能通过的概率为．
18．（8分）学习了相似三角形知识后，小丽同学准备用自制的直角三角形纸板测量校园内一棵古树的高度．已知三角形纸板的斜边长为0.5米，较短的直角边长为0.3米，小丽先调整自己的位置至点P，将直角三角形纸板的三个顶点位置记为A、B、C（如图），斜边AB平行于地面MN（点M、P、E、N在一条直线上），且点D在边AC（较长直角边）的延长线上，此时测得边AB距离地面的高度EF为1.5米，小丽与古树的距离AF为16米，求古树的高度DE．
【分析】先在直角三角形ABC中，由勾股定理求得AC，再利用直角三角形ABC和ADF相似求得DF的长，加上DF，即可求得树高DE．
【解答】解：∵∠DFA＝∠ACB＝90°，且∠DAF＝∠CAB，
∴△DFA∽△BCA，
∴，
在Rt△ABC中，AB＝0.5米，BC＝0.3米，
∴米，
∵AF＝16米，
∴，
∴DF＝12米，
∴DE＝DF+EF＝13.5米．
答：古树的高度DE是13.5米．
19．（8分）已知抛物线的对称轴为直线x＝1．
（1）求m的值；
（2）将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，求得到的新抛物线y1是否经过点P（1，﹣3）．
【分析】（1）抛物线的对称轴为直线，由此可解；
（2）先根据抛物线的平移方式确定新抛物线的解析式，进而判断是否经过点P（1，﹣3）．
【解答】解：（1）∵对称轴为直线，
解得，
∴m的值为；
（2）由（1）可知，，
∴将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，
可得，
将x＝1代入，
解得y1＝﹣3，
∴得到的新抛物线y1经过点P（1，﹣3）．
20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的三个顶点的坐标分别为A（6，3），O（0，0），B（0，6）．
（1）以原点O为位似中心，在第一象限内将△AOB缩小得到△A1OB1，相似比为，请画出△A1OB1；
（2）直接写出点A1的坐标（ 3 ， ）；
（3）求出△A1OB1的面积．
【分析】（1）根据位似的性质作图即可．
（2）由位似的性质可得出答案．
（3）利用三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：（1）如图，△A1OB1即为所求.
（2）∵以原点O为位似中心，将△AOB缩小得到△A1OB1，相似比为，A（6，3），
∴点A1的坐标为（3，）．
故答案为：3；．
（3）△A1OB1的面积为．
21．（8分）如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC＝∠A．
（1）求证：△BDC∽△ABC；
（2）若BC＝4，AC＝8，求CD的长．
【分析】（1）根据相似三角形的判定即可求出答案．
（2）根据相似三角形的性质即可求出CD的长度．
【解答】解：（1）∵∠DBC＝∠A，∠BCD＝∠ACB，
∴△BDC∽△ABC；
（2）∵△BDC∽△ABC，
∴，
∵BC＝4，AC＝8，
∴CD＝2．
22．（10分）如图，在半圆O中，直径AB＝6，点C在上，连接BC，弦BD平分∠ABC，连接OD．
（1）求证：OD∥BC；
（2）连接OC，AD．若OC∥AD，求BD的长．
【分析】（1）利用角平分线的定义结合平行线的性质和判定即可得证；
（2）先证明△AOD是等边三角形，再利用圆周角定理和勾股定理即可求解．
【解答】（1）证明：∵弦BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵OB＝OD，
∴∠ABD＝∠ODB，
∴∠ODB＝∠CBD，
∴OD∥BC；
（2）解：∵OC∥AD，
∴∠BAD＝∠BOC，
∵∠BOD＝2∠BAD，
∴∠BOD＝2∠BOC，
∴∠BOC＝∠COD，
∵∠ABD＝∠CBD，
∴∠AOD＝∠COD，
∴∠BOC＝∠AOD＝∠COD＝60°，
∵OA＝OD，AB＝6，
∴△AOD是等边三角形，
∴，
∵AB是半圆的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴BD3．
23．（10分）如图，⊙O的半径为1，直径AB，CD的夹角∠AOD＝60°，点P是上一点，连接PA，PC分别交CD，AB于点M，N．
（1）若PC⊥AB，求证：PA⊥CD．
（2）当点P在上运动时，
①猜想：线段AM与CN有怎样的数量关系，并给出证明．
②求证：PA+PC．
【分析】（1）由圆周角定理得出∠BAP＝30°，由三角形内角和定理可求出∠AMO＝90°，则可得出结论；
（2）①连接AD，证出∠D＝60°，OA＝AD＝OD，证明△ADM≌△CON（ASA），由全等三角形的性质得出AM＝CN；
②证明△AOM∽△APN，由相似三角形的性质得出，证明△CON∽△CPM，由相似三角形的性质得出，由全等三角形的性质得出AM＝CN，DM＝ON，代入PA+PC并化简整理可得出答案．
【解答】（1）证明：∵∠AOD＝∠BOC＝60°，PC⊥AB，
∴60°，
∴∠BAP＝30°，
∴∠AMO＝180°﹣∠MAO﹣∠AOM＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
∴PA⊥CD；
（2）解：①AM＝CN．
证明：连接AD，
∵OA＝OD，∠AOD＝60°，
∴△OAD是等边三角形，
∴∠D＝60°，OA＝AD＝OD，
∵OC＝OD，∠BOC＝∠AOD＝60°，
∴AD＝OC，∠D＝∠BOC＝60°，
又∵∠DAP＝∠DCP，
∴△ADM≌△CON（ASA），
∴AM＝CN；
②证明：∵⊙O的半径为1，
∴OA＝OB＝OC＝OD＝1，
∵∠P＝∠D＝60°，∠AOD＝60°，
∴∠P＝∠AOD，
又∵∠BAP＝∠BAP，
∴△AOM∽△APN，
∴，
∴，即PA，
∵∠BOC＝∠CPM＝60°，∠C＝∠C，
∴△CON∽△CPM，
∴，
∴PC，
∵△ADM≌△CON，
∴AM＝CN，DM＝ON，
又∵DM+OM＝OD＝1，
∴PA+PC．
24．（12分）若函数G在m≤x≤n（m＜n）上的最大值记为ymax，最小值记为ymin，且满足ymax﹣ymin＝1，则称函数G是在m≤x≤n上的“美好函数”．
（1）函数①y＝x+1；②y＝|2x|；③y＝x2，其中函数 ① 是在1≤x≤2上的“美好函数”；（填序号）
（2）已知函数G：y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）．
①函数G是在1≤x≤2上的“美好函数”，求a的值；
②当a＝1时，函数G是在t≤x≤t+1上的“美好函数”，请直接写出t的值；
（3）已知函数G：y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0），若函数G是在m+2≤x≤2m+1（m为整数）上的“美好函数”，且存在整数k，使得k，求a的值．
【分析】（1）根据材料提示的“美好函数”的计算方法即可求解；
（2）①根据二次函数的特点，确定自变量取值范围内的最大值，最小值，再根据材料提示“美好函数”的计算方法即可求解；②根据材料提示的“美好函数”的运算方法，即可求解；
（3）根据二次函数图象的性质，结合材料提示的“美好函数”的运算方法，即可求解．
【解答】解：（1）对于①y＝x+1，
当x＝1时，y＝2，
当x＝2时，y＝3，
∴ymax﹣ymin＝1，符合题意；
对于②y＝|2x|，
当x＝1时，y＝2，
当x＝2时，y＝4，
∴ymax﹣ymin≠1，不符合题意；
对于③y＝x2，
当x＝1时，y＝1，
当x＝2时，y﹣4，
∴ymax﹣ymin≠1，不符合题意；
故答案为：①；
（2）①二次函数G：y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）对称轴为直线x＝1，
当x＝1时，y1＝4a，当x＝2时，y2＝﹣3a，
当a＞0时，则当1≤x≤2时，y随x的增大而增大，
∴y2﹣y1＝﹣3a﹣（﹣4a）＝1，
∴a＝1，
当a＜0时，则当1≤x≤2时，y随x的增大而减小，
∴y2﹣y1＝﹣4a﹣（﹣3a）＝1，
∴a＝﹣1，
综上所述，a＝1或a＝﹣1；
②二次函数G：y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）为y＝x2﹣2x﹣3，对称轴为直线x＝1，
当x＝t，y1＝t2﹣2t﹣3，
当x＝t+1时，y2＝（t+1）2﹣2（t+1）﹣3＝t2﹣4，
当x＝1时，y3＝﹣4．
若t＞1，则y2﹣y1＝t2﹣4﹣（t2﹣2t﹣3）＝1，解得t＝1（舍去）；
若t≤1，则y2﹣y3＝t2﹣4﹣（﹣4）＝1，解得t＝﹣1（舍去），t＝1；
若0≤t，则y1﹣y3＝（t2﹣2t﹣3）﹣（﹣4）＝1，解得t＝0，t＝2（舍去）；
若t＜0，则y1﹣y2＝t2﹣2t﹣3﹣（t2﹣4）＝1，解得t＝0（舍去）．
综上所述，t＝0或t＝1；
（3）由上可知，二次函数G：y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）对称轴为直线x＝1，
又∵m+2≤x≤2m+1，
∴m＞1，
∴3＜m+2≤x≤2m+1，
∴当m+2≤x≤2m+1时，y随x的增大而增大，
当x＝2m+1时取得最大值，x＝m+2时取得最小值，
∴k4，
∵m，k为整数，且m＞1，
∴m+3＝8，即m的值为5，
又∵ymax﹣ymin＝1，
∴a（10+1）2﹣2a（10+1）﹣3a﹣[a（5+2）2﹣2a（5+2）﹣3a]＝1，
∴a．中小学教育资源及组卷应用平台
浙江省杭州市2024年九年级（上）期末考试模拟数学考试卷
满分：120分 时间：120分钟 范围：九上全部
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列事件中，必然事件是（ ）
A．未来一月都是好天气
B．周末出门遇见同学
C．不在同一直线上的三个点确定一个圆
D．掷一次硬币，正面向上
2．已知⊙O的半径r为6，若点P在圆O内，则点P到圆O的距离可能是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．抛物线y＝2（x﹣4）2+1的顶点坐标是（ ）
A．（4，1） B．（4，﹣1） C．（﹣4，1） D．（﹣4，﹣1）
4．把5x＝3y写成比例式，下列不成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．活动课上进行盲盒摸球（除了颜色，其他都一样）活动，已知盲盒里有3个白球、5个黑球和2个红球，则摸到红球的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．若点A（﹣6，y1），B（﹣2，y2），C（2，y3）在二次函数y＝2x2﹣4x+m的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y2＜y1
7．如图，将△ABC绕B点顺时针方向旋转一个角α到△DBE，点A的对应点D恰好落在AC上，且BE∥AC．若∠DBC＝30°，则α的度数为（ ）
A．30° B．40° C．45° D．36°
8．如图，A、B、C、D都是⊙O上的点，若CD＝BD，∠AOC＝108°，则∠AOD＝（ ）
A．140° B．144° C．146° D．150°
9．如图，已知△A′B′C′与△ABC是以点O为位似中心的位似图形，位似比为2：3，则下列说法错误的是（ ）
A．△BCO∽△B′C′O
B．△A′B′C′与△ABC周长比为2：3
C．S△A′B′C′：S△ABC＝4：9
D．OB′：BB′＝3：2
10．如图，P点是圆O劣弧AB上的一个动点（不与点A，B重合），且满足∠BPC＝∠APC＝60°，D是△ABC内一点，AD＝3，CD＝4，BD＝5，点P在劣弧AB上运动的过程中，2m＝PA2+PB2+PC2，则m的值满足（ ）
A． B．
C． D．m＝50
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．如图，AB∥CD，AC，BD相交于点E，AE＝1，EC＝2，DE＝3，则BE的长为 ．
12．在不透明袋子中有1个黄球、2个白球和7个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球最有可能是 ．
13．如果一个矩形的宽与长的比值正好是黄金比，人们就称它为“黄金矩形”．现需设计一扇符合黄金矩形的窗户，若窗户的长为2米，则窗户的宽为 米（结果保留根号）．
14．如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD＝100°，则∠BCD＝ ．
15．如图，有一个截面边缘为抛物线型的水泥门洞．门洞内的地面宽度为8m，两侧距地面4m高处各有一盏灯，两灯间的水平距离为6m，则这个门洞内部顶端离地面的距离为 ．
16．抛物线y＝﹣x2+nx+m交x轴于点A（a，0）和B（b，0），交y轴于点C，顶点为点D，将其向左平移一个单位长度后图象关于y轴对称．下列四个命题，其中真命题的序号是 ；
①a+b＝2；
②对于任意实数t，总有﹣t2+nt＜﹣1+n；
③抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2；
④点C关于抛物线对称轴的对称点为E，点G，F分别在x轴和y轴上，当m＝2时，四边形EDFG周长的最小值为6．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）已知电流在一定时间段内正常通过电子元件的概率是．（提示：在一次试验中，每个电子元件的状态有两种可能：通电、断开，并且这两种状态的可能性相等．）
（1）如图1，在一定时间段内，A、B之间电流能够正常通过的概率为 ；
（2）如图2，求在一定时间段内，C、D之间电流能够正常通过的概率．
18．（8分）学习了相似三角形知识后，小丽同学准备用自制的直角三角形纸板测量校园内一棵古树的高度．已知三角形纸板的斜边长为0.5米，较短的直角边长为0.3米，小丽先调整自己的位置至点P，将直角三角形纸板的三个顶点位置记为A、B、C（如图），斜边AB平行于地面MN（点M、P、E、N在一条直线上），且点D在边AC（较长直角边）的延长线上，此时测得边AB距离地面的高度EF为1.5米，小丽与古树的距离AF为16米，求古树的高度DE．
19．（8分）已知抛物线的对称轴为直线x＝1．
（1）求m的值；
（2）将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，求得到的新抛物线y1是否经过点P（1，﹣3）．
20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的三个顶点的坐标分别为A（6，3），O（0，0），B（0，6）．
（1）以原点O为位似中心，在第一象限内将△AOB缩小得到△A1OB1，相似比为，请画出△A1OB1；
（2）直接写出点A1的坐标（ ， ）；
（3）求出△A1OB1的面积．
21．（8分）如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC＝∠A．
（1）求证：△BDC∽△ABC；
（2）若BC＝4，AC＝8，求CD的长．
22．（10分）如图，在半圆O中，直径AB＝6，点C在上，连接BC，弦BD平分∠ABC，连接OD．
（1）求证：OD∥BC；
（2）连接OC，AD．若OC∥AD，求BD的长．
23．（10分）如图，⊙O的半径为1，直径AB，CD的夹角∠AOD＝60°，点P是上一点，连接PA，PC分别交CD，AB于点M，N．
（1）若PC⊥AB，求证：PA⊥CD．
（2）当点P在上运动时，
①猜想：线段AM与CN有怎样的数量关系，并给出证明．
②求证：PA+PC．
24．（12分）若函数G在m≤x≤n（m＜n）上的最大值记为ymax，最小值记为ymin，且满足ymax﹣ymin＝1，则称函数G是在m≤x≤n上的“美好函数”．
（1）函数①y＝x+1；②y＝|2x|；③y＝x2，其中函数 是在1≤x≤2上的“美好函数”；（填序号）
（2）已知函数G：y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）．
①函数G是在1≤x≤2上的“美好函数”，求a的值；
②当a＝1时，函数G是在t≤x≤t+1上的“美好函数”，请直接写出t的值；
（3）已知函数G：y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0），若函数G是在m+2≤x≤2m+1（m为整数）上的“美好函数”，且存在整数k，使得k，求a的值．浙江省2024年秋季九年级（上）期末考模拟卷
数学·答题卡
第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂)
第Ⅱ卷（请用黑色签字笔作答）
贴条形码区
考生禁填： 缺考标记
违纪标记
以上标志由监考人员用2B铅笔填涂
选择题填涂样例：
正确填涂
错误填涂 [×] [√] [／]
1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。
2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。
3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。
注意事项
姓 名：__________________________
准考证号：
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．___________ 12．___________ 13．___________ 14．___________ 15．___________ 16．___________
三、解答题（共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本题满分8分）
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
18．（本题满分8分）
19．（本题满分8分）
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
20. （本题满分8分）
21.（本题满分8分）
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
22.（本题满分10分）
23. （本题满分10分）
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
24. （本题满分12分）
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
