2025苏教版高中数学选择性必修第二册强化练习题（含解析）--专题强化练6　离散型随机变量的分布列及数字特征

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2025苏教版高中数学选择性必修第二册
专题强化练6　离散型随机变量的分布列及数字特征　　　　　 　　　　 　　　　
1.(2024河南郑州新郑双语高中等校期中)若随机变量ξ的概率分布如表所示,则D(1-3ξ)=(　　)
ξ -1 0 1
P a a2
A.
2.(2024辽宁新高考联盟月考)概率论和统计学中常用协方差来衡量两个变量的总体误差,对于离散型随机变量X,Y,定义协方差为Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)·E(Y),已知X,Y的概率分布分别如表所示,其中0X 1 2
P p 1-p
Y 1 2
P 1-p p
A.0　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.4
3.(2022浙江温州适应性考试)甲箱中装有编号分别为1,3,5的大小相同的小球,乙箱中装有编号分别为2,4的大小相同的小球.现从甲箱中任取一个小球,上面的数字用ξ1表示,再从乙箱中任取一个小球,上面的数字用ξ2表示,记X=则(　　)
A.E(X)D(Y)
B.E(X)>E(Y),D(X)>D(Y)
C.E(X)>E(Y),D(X)=D(Y)
D.E(X)>E(Y),D(X)4.(2024江西师大附中期末)某市卫生防疫部门为了控制某种病毒的传播,提供了批号分别为1,2,3,4,5的五批疫苗,供全市所辖的A,B,C三个区的市民接种,每个区均能从中任选一个批号的疫苗接种,记A,B,C三个区选择的疫苗批号的中位数为X,则X的期望是　　　　.
5.(2024江西南昌第十九中学模拟)从1,2,3,…,n这n个数中随机抽取一个数记为X,再从1,2,…,X中随机抽取一个数记为Y,则E(Y)=　　　　.
6.(2024重庆名校联盟期中)2024年7月第33届夏季奥林匹克运动会在巴黎举行,其中男子100米短跑比赛分为预赛、半决赛和决赛三个阶段,只有预赛、半决赛都获胜才有资格进入决赛.已知甲在预赛和半决赛中获胜的概率分别为,乙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为,丙在预赛和半决赛中获胜的概率分别为p和-p,其中.
(1)在甲、乙、丙三人中,哪个人进入决赛的可能性更大
(2)在p=的条件下,设甲、乙、丙三人中进入决赛的人数为ξ,求ξ的概率分布.
7.(2024江苏徐州期中)设有甲、乙、丙三个不透明的箱子,每个箱子中装有除颜色外其他都相同的5个球,其中甲箱有3个蓝球和2个黑球,乙箱有4个红球和1个白球,丙箱有2个红球和3个白球.摸球规则如下:先从甲箱中一次摸出2个球,若从甲箱中摸出的2个球颜色相同,则从乙箱中摸出1个球放入丙箱,再从丙箱中一次摸出2个球;若从甲箱中摸出的2个球颜色不同,则从丙箱中摸出1个球放入乙箱,再从乙箱中一次摸出2个球.
(1)若最后摸出的2个球颜色不同,求这2个球是从丙箱中摸出的概率;
(2)若摸出每个红球记2分,每个白球记1分,用随机变量X表示最后摸出的2个球的分数之和,求X的概率分布及数学期望.
8.(2024江苏决胜新高考大联考)某单位有A,B,C,D四种互不相同的密码,每周使用其中的一种密码,且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种.已知第1周选择使用A种密码.
(1)求第3周使用A种密码的概率;
(2)求第k(k∈N*)周使用A种密码的概率;
(3)记前n(n∈N*)周中使用B种密码的次数为Y,求E(Y).
答案与分层梯度式解析
专题强化练6　离散型随机变量的分布列及数字特征
1.D 2.A 3.C
1.D　由已知可得+a2=1,0≤a≤1,0≤a2≤1,所以a=,所以E(ξ)=-1×,
所以D(ξ)=,
所以D(1-3ξ)=9D(ξ)=.故选D.
2.A　由题可得E(X)=2-p,E(Y)=p+1,且XY的概率分布为
XY 1 2 4
P p(1-p) p2+(1-p)2 p(1-p)
则E(XY)=1×p(1-p)+2×[p2+(1-p)2]+4×p(1-p)=-p2+p+2,
所以Cov(X,Y)=-p2+p+2-(2-p)(1+p)=0.故选A.
3.C　由题意可知,摸球的结果共有6种,即①甲1,乙2,②甲3,乙2,③甲5,乙2,④甲1,乙4,⑤甲3,乙4,⑥甲5,乙4,每一种结果出现的概率均为,各种结果所对应的X,Y的取值分别为X=2,Y=1;X=3,Y=2;X=5,Y=2;X=4,Y=1;X=4,Y=3;X=5,Y=4.
故P(X=2)=,
P(Y=1)=,
P(Y=4)=,
∴E(X)=2×,
E(Y)=1×,
D(X)=,
D(Y)=,
∴E(X)>E(Y),D(X)=D(Y).故选C.
4.答案　3
解析　设三个区选择的疫苗批号的中位数为X,则X的所有可能取值为1,2,3,4,5,
由题可得P(X=1)=,
P(X=2)=,
P(X=3)=,
P(X=4)=,
P(X=5)=,
所以E(X)=1×=3.
5.答案　
解析　依题意得P(X=k)=,k=1,2,3,…,n,
由全概率公式可知P(Y=1)=P(X=1)P(Y=1|X=1)+P(X=2)P(Y=1|X=2)+P(X=3)P(Y=1|X=3)+…+P(X=n)P(Y=1|X=n)
=+…+×1++…+,
P(Y=2)=P(X=2)P(Y=2|X=2)+P(X=3)P(Y=2|X=3)+P(X=4)P(Y=2|X=4)+…+P(X=n)P(Y=2|X=n)
=+…+,
……,
P(Y=n-1)=P(X=n-1)P(Y=n-1|X=n-1)+P(X=n)P(Y=n-1|X=n)=,
P(Y=n)=P(X=n)P(Y=n|X=n)=,
所以E(Y)=1×P(Y=1)+2×P(Y=2)+…+n×P(Y=n)=×1×+…+n×
=×1++…+
=
=.
6.解析　(1)甲进入决赛的概率为,乙进入决赛的概率为,丙进入决赛的概率为p·,
因为,所以-,
显然,乙进入决赛的概率最大,所以乙进入决赛的可能性最大.
(2)当p=时,丙进入决赛的概率为,
所以甲、乙、丙三人进入决赛的概率分别为,
根据题意,可得随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,
则P(ξ=0)=,
P(ξ=1)=,
P(ξ=3)=,
P(ξ=2)=1-P(ξ=0)-P(ξ=1)-P(ξ=3)=,
所以随机变量ξ的概率分布为
ξ 0 1 2 3
P
7.解析　(1)从甲箱中一次摸出2个球,它们的颜色相同的概率为,
记事件A为“最后摸出的2个球颜色不同”,事件B为“这2个球是从丙箱中摸出的”,
则P(B|A)=.
由题得P(A)=,
P(AB)=,
所以P(B|A)=.
(2)X的所有可能取值为2,3,4,
则P(X=2)=,
P(X=4)=×=,
由(1)知P(X=3)=,
故X的概率分布为
X 2 3 4
P
故E(X)=2×.
8.解析　(1)因为第1周选择使用A种密码,
所以第2周不选择使用A种密码,
第3周从A种密码和第1,2周未选用的两种密码中任选一种,
所以第3周使用A种密码的概率为.
(2)设第k周使用A种密码的概率为ak,
则第(k+1)周使用A种密码的概率为ak+1=(1-ak),
整理,得ak+1-,
因为a1=1,所以a1-≠0,
所以数列为首项,-为公比的等比数列,
所以ak-,即ak=.
故第k周使用A种密码的概率为.
(3)由(2)知第k周使用A种密码的概率为ak=.
设第k周使用A种密码的次数为Xk(k=1,2,…,n),则Xk服从0-1分布,
所以E(X)=E(X1+X2+…+Xn)
=E(X1)+E(X2)+…+E(Xn)
=a1+a2+…+an
=.
所以前n周中使用A种密码的次数的均值为,又因为前n周中使用B,C,D三种密码的情况相同,
所以E(Y)=.
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