2025苏教版高中数学选择性必修第二册强化练习题（含解析）--7.4.1 二项式定理
文档属性
| 名称 | 2025苏教版高中数学选择性必修第二册强化练习题（含解析）--7.4.1 二项式定理 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 305.7KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-12-15 17:32:00 | ||
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2025苏教版高中数学选择性必修第二册
7.4 二项式定理
7.4.1 二项式定理
基础过关练
题组一 二项式定理的正用与逆用
1.若(1+b(a,b均为有理数),则a+b=( )
A.33 B.29 C.23 D.19
2.(2023江苏连云港赣榆期中)(x-y)(x+y)10的展开式中的项数为( )
A.11 B.12 C.22 D.211
3.(2023江苏南京、盐城期末)若(x+a)5=(x+1)5-5(x+1)4+10(x+1)3-10(x+1)2+5(x+1)-1,则a=( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
4.(2022北京东城期末)已知3n-2+…+=1 024,则n= .
题组二 二项展开式的特定项或特定项的系数
5.(2023江苏盐城期中)(1-2x)6的展开式的第3项为( )
A.60 B.-120 C.60x2 D.-120x2
6.(2024北京第一六一中学开学测试)设n为正整数,的展开式中存在常数项,则n的最小值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
7.(2023江苏扬州高邮一中期末)的展开式中含x4项的系数为 .
8.(2024江西鹰潭一模)的系数为 .
9.(2024江苏清江中学、南通部分学校调研)已知的展开式中,第2项与第3项的二项式系数之比为1∶3.
(1)求n的值;
(2)求展开式中所有的有理项.
题组三 赋值法求系数和
10.(2024江苏苏锡常镇调研)设(1+2x)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,则a1+a2+…+a5=( )
A.-2 B.-1 C.242 D.243
11.(多选题)(2024江苏连云港厉庄高级中学期中)若(x+2+m)9=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a9(x+1)9,且(a0+a2+…+a8)2-(a1+a3+…+a9)2=39,则实数m的值为( )
A.1 B.-2 C.-3 D.0
12.(2022天津西青阶段考试)设(1-3x)9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9,则|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|的值为( )
A.29 B.49 C.39 D.59
13.已知多项式(x+1)5=a0(x-1)5+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则a0+a1+…+a5= .
14.(2024江苏射阳中学阶段测试)已知(a-2x)7=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a7(x-1)7,其中a>0,且此二项展开式的x3项的系数是-22 680,则
(1)实数a的值为 ;
(2)(a0+a2+a4+a6)(a1+a3+a5+a7)的值为 .(结果可保留幂的形式)
能力提升练
题组一 二项展开式的特定项与项的系数
1.(2023江苏无锡太湖高级中学期中,)若(2+x)10=a0+a1(x+3)+a2(x+3)2+…+a10(x+3)10,则a7=( )
A.45 B.120 C.-10 D.-120
2.(2024江苏扬州中学阶段测试)已知(x2+x+a)·(2x-1)6的展开式中各项系数之和为3,则展开式中x的系数为( )
A.-10 B.-11 C.-13 D.-15
3.(2024江苏南通如皋中学阶段考试)已知(ax-2)(x+1)4的展开式中x3的系数为-2,则实数a= .
4.(2024江苏南通徐州联考)已知(1+x)·的展开式中常数项为280,则n= .
5.(2023浙江乐清知临中学月考)在(-1)6·(2+1)9的展开式中,x的系数为 .
6.(2024江苏南通如皋、连云港调研,)(2x2+x-y)5的展开式中x6y2的系数为 .(用数字作答)
7.(2024江苏南京五校期中,)已知(a>0,n∈N*)的展开式中,前3项的二项式系数之和等于56.
(1)求n的值;
(2)若展开式中的常数项为.
①求a的值;
②第(k+1)项的系数是第k项系数的6倍,求k的值.
题组二 二项式系数和
8.(2024北京昌平期末)已知(1-3x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则a2+a4=( )
A.-32 B.32 C.495 D.585
9.(2022江西部分学校期末联考)若(1+2x)(1-x+x2)9=a0+a1x+a2x2+…+a19x19,则a1+a2+…+a18的值是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
10.(多选题)(2023江苏连云港期末)已知(1-2x)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6,则( )
A.a0=1
B.a2=120
C.|a0|+|a1|+|a2|+…+|a6|=729
D.a1+a2+…+a5=0
11.(多选题)(2024浙江宁波期末)已知(2x-1)7=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a6(x-1)6+a7(x-1)7,则( )
A.a0=1
B.a1+a2+a3+…+a7=37-1
C.a5=-672
D.a1+2a2+3a3+…+7a7=14×36
12.(多选题)(2024辽宁新高考联盟月考)已知(1+x)7=a0+a1(1-x)+a2(1-x)2+…+a7(1-x)7,则下列选项正确的有( )
A.a0=1
B.a6=14
C.a0+a1+…+a7=1
D.a1+a3+a5+a7=-364
13.的展开式中,不含x的各项系数之和为 .
14.(2022湖南益阳箴言中学期中)若x2+x8=a0+a1(x+1)+…+a7(x+1)7+a8(x+1)8,则a0+a1+2a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8= .
答案与分层梯度式解析
7.4 二项式定理
7.4.1 二项式定理
基础过关练
1.B 2.B 3.B 5.C 6.B 10.C 11.AC 12.B
1.B ∵(1+b,∴a=17,b=12,∴a+b=29,故选B.
2.B 因为(x+y)10=x10+10x9y+45x8y2+…+45x2y8+10xy9+y10,
所以x(x+y)10=x11+10x10y+45x9y2+…+45x3y8+10x2y9+xy10,
y(x+y)10=x10y+10x9y2+45x8y3+…+45x2y9+10xy10+y11,
则(x-y)(x+y)10=x(x+y)10-y(x+y)10=x11+9x10y+35x9y2+…-35x2y9-9xy10-y11,
共有12项,故选B.
3.B (x+1)5-5(x+1)4+10(x+1)3-10(x+1)2+5(x+1)-1=(-1)5=[(x+1)-1]5=x5,所以x+a=x,即a=0.
故选B.
4.答案 5
解析 3n-2+…+3n-2×12+…+30×1n=(3+1)n=4n=1 024=210,即22n=210,解得n=5.
5.C (1-2x)6的展开式的第3项为T3=×14×(-2x)2=60x2.故选C.
6.B 的展开式的通项为Tr+1=(2x2)n-r··x2n-3r,
令2n-3r=0,得n=r,因为n∈N*,所以当r=2时,n取得最小值3.故选B.
7.答案 40
解析 (x+2)5的展开式的通项为Tr+1=x5-r·,
令5-=4,解得r=2,故含x4项的系数为22=40.
8.答案 -12
解析 26-r(-1)rx4-ryr-4(0≤r≤6,r∈N),
令r-4=1,解得r=5,所以26-5(-1)5=-6×2=-12.
9.解析 (1)因为的展开式中,第2项与第3项的二项式系数之比为1∶3,
所以,即,
解得n=7或n=0(舍去),故n的值为7.
(2)的展开式的通项为Tr+1=)7-r·(r=0,1,2,…,7),
当∈Z,即r=1,3,5,7时,对应的是有理项,
所以的展开式中,有理项为T2=·36·x2=5 103x2,T4=·34·x-1=2 835x-1,T6=·32·x-4=189x-4,T8=·30·x-7=x-7.
10.C 令x=0,得15=a0,即a0=1,
令x=1,得35=a0+a1+a2+a3+a4+a5,
∴a1+a2+a3+a4+a5=35-1=242.
故选C.
11.AC 令x=0,得a0+a1+a2+…+a9=(2+m)9,
令x=-2,得a0-a1+a2-…-a9=m9,
由题意得(2+m)9·m9=39,即m2+2m=3,解得m=-3或m=1.
故选AC.
12.B 易得(1-3x)9的通项为Tr+1=(-3)rxr,
∴a0,a2,a4,a6,a8为正数,a1,a3,a5,a7,a9为负数,
∴|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|=a0-a1+a2-a3+…+a8-a9,
令x=-1,得(1+3)9=a0-a1+a2-a3+…+a8-a9=49,
∴|a0|+|a1|+…+|a9|=49.
13.答案 31
解析 令x=1,得a1+a2+a3+a4+a5=25=32,
令x=0,得-a0=1,即a0=-1,
所以a0+a1+…+a5=32-1=31.
14.答案 (1)3 (2)
解析 (1)(a-2x)7的展开式中含x3的项为a4·(-2x)3=-280a4x3,
∴-280a4=-22 680,则a4=81,
又a>0,∴a=3.
(2)由(1)可得(3-2x)7=[1-2(x-1)]7=a0+a1(x-1)+…+a7(x-1)7,
令x=2,则a0+a1+…+a7=(1-2)7=-1①,
令x=0,则a0-a1+a2-…-a7=(1+2)7=37②,
①+②得,a0+a2+a4+a6=,
①-②得,a1+a3+a5+a7=,
∴(a0+a2+a4+a6)(a1+a3+a5+a7)=.
能力提升练
1.D 2.B 8.C 9.A 10.AC 11.ABD 12.BC
1.D (2+x)10=[-1+(x+3)]10=·(-1)10·(x+3)0+·(-1)9·(x+3)1+…+·(x+3)10,
展开式中含有(x+3)7的系数为a7=·(-1)3=-=-120.故选D.
2.B 令x=1,可得展开式中各项系数之和为2+a,则2+a=3,解得a=1,
∴(x2+x+a)(2x-1)6=(x2+x+1)(2x-1)6,
(2x-1)6的展开式的通项为Tk+1=·(2x)6-k·(-1)k=·26-k·(-1)k·x6-k.
当在(x2+x+1)中取x2时,(2x-1)6的展开式中需取x-1,不符合条件;
当在(x2+x+1)中取x时,(2x-1)6的展开式中需取x0,则6-k=0,即k=6,此时x的系数为·20·(-1)6=1;
当在(x2+x+1)中取1时,(2x-1)6的展开式中需取x,则6-k=1,即k=5,此时x的系数为·21·(-1)5=-12.
综上所述,(x2+x+a)(2x-1)6的展开式中x的系数为1+(-12)=-11.
故选B.
3.答案 1
解析 (ax-2)(x+1)4=ax(x+1)4-2(x+1)4,
因为(x+1)4的展开式中含x2的项为x2,含x3的项为x3,
所以(ax-2)(x+1)4的展开式中含x3的项为axx3,
故a=-2,解得a=1.
4.答案 7
解析 的展开式的通项为Tr+1=·(2x)n-r·2n-r·xn-2r,0≤r≤n,r∈N.
①当n为偶数时,n-2r为偶数,令n=2r,得(1+x)··2r=280,此时方程无解;
②当n为奇数时,n-2r为奇数,令n=2r-1,得(1+x)··2r-1=280,解得r=4,n=7.
综上所述,n=7.
5.答案 687
解析 (-1)6的展开式的通项为Tr+1=)6-r·(-1)r=·(-1)r,r=0,1,2,…,6,
(2+1)9的展开式的通项为Tk+1=·29-k,k=0,1,2,…,9,
所以(-1)6·(2+1)9的展开式的通项为Tr+1,k+1=·(-1)r·29-k·(-1)r·29-k·,其中r=0,1,2,…,6,k=0,1,2,…,9.令6-=1,得3r+2k=30,所以r=4,k=9或r=6,k=6,
所以展开式中x的系数为×(-1)6×23=687.
6.答案 80
解析 解法一:(2x2+x-y)5的展开式的通项为Tk+1=(2x2+x)5-k·(-y)k,
令k=2,得T3=(2x2+x)3y2,
(2x2+x)3的展开式的通项为T'r+1=(2x2)3-rxr=23-r·x6-r,令6-r=6,得r=0,
所以在(2x2+x-y)5的展开式中,x6y2的系数为=80.
解法二:因为(2x2+x-y)5可看成5个(2x2+x-y)相乘,
所以要得到含x6y2的项,只需从5个因式中任选3个因式取2x2,剩余的2个因式取-y,然后相乘即可.
所以在(2x2+x-y)5的展开式中,x6y2的系数为×23×(-1)2=80.
7.解析 (1)依题意得=56,即1+n+=56,整理,得n2+n-110=0,
又n∈N*,所以n=10.
(2)①由(1)知,的展开式的通项为Tr+1=,r∈N,r≤10,
令r-20=0,得r=8,因此a2,即45a2=,
又a>0,所以a=.
②由①知,Tr+1=5r-10,r∈N,r≤10,
依题意,得5k-10=6·5k-11,
即5·=6·,
化简,得5(11-k)=6k,解得k=5.
8.C 令x=0,得a0=1,
令x=1,得(1-3)5=a0+a1+a2+a3+a4+a5,则a0+a1+a2+a3+a4+a5=(-2)5,
令x=-1,得(1+3)5=a0-a1+a2-a3+a4-a5,则a0-a1+a2-a3+a4-a5=45=210,
令S1=a0+a1+a2+a3+a4+a5,S2=a0-a1+a2-a3+a4-a5,
则a2+a4=-1=495.
故选C.
9.A 令x=0,得a0=1,
令x=1,得a0+a1+a2+…+a18+a19=(1+2)×(1-1+1)9=3,又(1+2x)(1-x+x2)9的展开式中含x19的项为2x·(x2)9=2x19,所以a19=2,
所以a1+a2+…+a18=3-a0-a19=3-1-2=0,故选A.
10.AC 对于A,令x=0,得a0=1,故A正确;
对于B,(1-2x)6的展开式的通项为Tr+1=·(-2x)r=(-2)rxr,令r=2,得a2=(-2)2=60,故B错误;
对于C,易知a1,a3,a5<0,a0,a2,a4,a6>0,
令x=-1,得36=a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6,
而|a0|+|a1|+|a2|+…+|a6|=a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6=36=729,故C正确;
对于D,令r=6,得a6=(-2)6=64,
令x=1,得1=a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6,
所以a1+a2+…+a5=1-64-1=-64,故D错误.
故选AC.
11.ABD 对于A,令x=1,得(2×1-1)7=a0 a0=1,故A正确;
对于B,令x=2,得(2×2-1)7=a0+a1+a2+…+a7 a1+a2+…+a7=37-1,故B正确;
对于C,因为(2x-1)7=[2(x-1)+1]7,所以含(x-1)5的项的系数为a5=×25×12=672,故C错误;
对于D,等式两边同时求导,得7×(2x-1)6×2=a1+2a2·(x-1)+…+7a7(x-1)6,在该式中,令x=2,则有14×36=a1+2a2+…+7a7,故D正确.
故选ABD.
12.BC 令t=1-x,则x=1-t,所以(2-t)7=a0+a1t+a2t2+…+a7t7.
对于A,令t=0,得a0=(2-0)7=27=128,故A错误;
对于B,因为(2-t)7的展开式的通项为Tr+1=27-r·(-t)r=(-1)r27-rtr,
令r=6,则a6=(-1)6×2=14,故B正确;
对于C,令t=1,得a0+a1+a2+…+a7=(2-1)7=1①,故C正确;
对于D,令t=-1,得a0-a1+a2-…-a7=(2+1)7=37②,
由①②得a1+a3+a5+a7==-1 093,故D错误.故选BC.
13.答案 256
解析 的展开式的通项为Tr+1=·(-4y+2)r,易知r=8时的项不含x,此时T8+1=·(-4y+2)8=(-4y+2)8,令y=1,可得各项系数之和为256.
14.答案 29
解析 令x=0,得a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=0,又因为x2+x8=[(x+1)-1]2+[(x+1)-1]8,所以a2=(-1)6=29,
所以a0+a1+2a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a2=29.
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2025苏教版高中数学选择性必修第二册
7.4 二项式定理
7.4.1 二项式定理
基础过关练
题组一 二项式定理的正用与逆用
1.若(1+b(a,b均为有理数),则a+b=( )
A.33 B.29 C.23 D.19
2.(2023江苏连云港赣榆期中)(x-y)(x+y)10的展开式中的项数为( )
A.11 B.12 C.22 D.211
3.(2023江苏南京、盐城期末)若(x+a)5=(x+1)5-5(x+1)4+10(x+1)3-10(x+1)2+5(x+1)-1,则a=( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
4.(2022北京东城期末)已知3n-2+…+=1 024,则n= .
题组二 二项展开式的特定项或特定项的系数
5.(2023江苏盐城期中)(1-2x)6的展开式的第3项为( )
A.60 B.-120 C.60x2 D.-120x2
6.(2024北京第一六一中学开学测试)设n为正整数,的展开式中存在常数项,则n的最小值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
7.(2023江苏扬州高邮一中期末)的展开式中含x4项的系数为 .
8.(2024江西鹰潭一模)的系数为 .
9.(2024江苏清江中学、南通部分学校调研)已知的展开式中,第2项与第3项的二项式系数之比为1∶3.
(1)求n的值;
(2)求展开式中所有的有理项.
题组三 赋值法求系数和
10.(2024江苏苏锡常镇调研)设(1+2x)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,则a1+a2+…+a5=( )
A.-2 B.-1 C.242 D.243
11.(多选题)(2024江苏连云港厉庄高级中学期中)若(x+2+m)9=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a9(x+1)9,且(a0+a2+…+a8)2-(a1+a3+…+a9)2=39,则实数m的值为( )
A.1 B.-2 C.-3 D.0
12.(2022天津西青阶段考试)设(1-3x)9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9,则|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|的值为( )
A.29 B.49 C.39 D.59
13.已知多项式(x+1)5=a0(x-1)5+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则a0+a1+…+a5= .
14.(2024江苏射阳中学阶段测试)已知(a-2x)7=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a7(x-1)7,其中a>0,且此二项展开式的x3项的系数是-22 680,则
(1)实数a的值为 ;
(2)(a0+a2+a4+a6)(a1+a3+a5+a7)的值为 .(结果可保留幂的形式)
能力提升练
题组一 二项展开式的特定项与项的系数
1.(2023江苏无锡太湖高级中学期中,)若(2+x)10=a0+a1(x+3)+a2(x+3)2+…+a10(x+3)10,则a7=( )
A.45 B.120 C.-10 D.-120
2.(2024江苏扬州中学阶段测试)已知(x2+x+a)·(2x-1)6的展开式中各项系数之和为3,则展开式中x的系数为( )
A.-10 B.-11 C.-13 D.-15
3.(2024江苏南通如皋中学阶段考试)已知(ax-2)(x+1)4的展开式中x3的系数为-2,则实数a= .
4.(2024江苏南通徐州联考)已知(1+x)·的展开式中常数项为280,则n= .
5.(2023浙江乐清知临中学月考)在(-1)6·(2+1)9的展开式中,x的系数为 .
6.(2024江苏南通如皋、连云港调研,)(2x2+x-y)5的展开式中x6y2的系数为 .(用数字作答)
7.(2024江苏南京五校期中,)已知(a>0,n∈N*)的展开式中,前3项的二项式系数之和等于56.
(1)求n的值;
(2)若展开式中的常数项为.
①求a的值;
②第(k+1)项的系数是第k项系数的6倍,求k的值.
题组二 二项式系数和
8.(2024北京昌平期末)已知(1-3x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则a2+a4=( )
A.-32 B.32 C.495 D.585
9.(2022江西部分学校期末联考)若(1+2x)(1-x+x2)9=a0+a1x+a2x2+…+a19x19,则a1+a2+…+a18的值是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
10.(多选题)(2023江苏连云港期末)已知(1-2x)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6,则( )
A.a0=1
B.a2=120
C.|a0|+|a1|+|a2|+…+|a6|=729
D.a1+a2+…+a5=0
11.(多选题)(2024浙江宁波期末)已知(2x-1)7=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a6(x-1)6+a7(x-1)7,则( )
A.a0=1
B.a1+a2+a3+…+a7=37-1
C.a5=-672
D.a1+2a2+3a3+…+7a7=14×36
12.(多选题)(2024辽宁新高考联盟月考)已知(1+x)7=a0+a1(1-x)+a2(1-x)2+…+a7(1-x)7,则下列选项正确的有( )
A.a0=1
B.a6=14
C.a0+a1+…+a7=1
D.a1+a3+a5+a7=-364
13.的展开式中,不含x的各项系数之和为 .
14.(2022湖南益阳箴言中学期中)若x2+x8=a0+a1(x+1)+…+a7(x+1)7+a8(x+1)8,则a0+a1+2a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8= .
答案与分层梯度式解析
7.4 二项式定理
7.4.1 二项式定理
基础过关练
1.B 2.B 3.B 5.C 6.B 10.C 11.AC 12.B
1.B ∵(1+b,∴a=17,b=12,∴a+b=29,故选B.
2.B 因为(x+y)10=x10+10x9y+45x8y2+…+45x2y8+10xy9+y10,
所以x(x+y)10=x11+10x10y+45x9y2+…+45x3y8+10x2y9+xy10,
y(x+y)10=x10y+10x9y2+45x8y3+…+45x2y9+10xy10+y11,
则(x-y)(x+y)10=x(x+y)10-y(x+y)10=x11+9x10y+35x9y2+…-35x2y9-9xy10-y11,
共有12项,故选B.
3.B (x+1)5-5(x+1)4+10(x+1)3-10(x+1)2+5(x+1)-1=(-1)5=[(x+1)-1]5=x5,所以x+a=x,即a=0.
故选B.
4.答案 5
解析 3n-2+…+3n-2×12+…+30×1n=(3+1)n=4n=1 024=210,即22n=210,解得n=5.
5.C (1-2x)6的展开式的第3项为T3=×14×(-2x)2=60x2.故选C.
6.B 的展开式的通项为Tr+1=(2x2)n-r··x2n-3r,
令2n-3r=0,得n=r,因为n∈N*,所以当r=2时,n取得最小值3.故选B.
7.答案 40
解析 (x+2)5的展开式的通项为Tr+1=x5-r·,
令5-=4,解得r=2,故含x4项的系数为22=40.
8.答案 -12
解析 26-r(-1)rx4-ryr-4(0≤r≤6,r∈N),
令r-4=1,解得r=5,所以26-5(-1)5=-6×2=-12.
9.解析 (1)因为的展开式中,第2项与第3项的二项式系数之比为1∶3,
所以,即,
解得n=7或n=0(舍去),故n的值为7.
(2)的展开式的通项为Tr+1=)7-r·(r=0,1,2,…,7),
当∈Z,即r=1,3,5,7时,对应的是有理项,
所以的展开式中,有理项为T2=·36·x2=5 103x2,T4=·34·x-1=2 835x-1,T6=·32·x-4=189x-4,T8=·30·x-7=x-7.
10.C 令x=0,得15=a0,即a0=1,
令x=1,得35=a0+a1+a2+a3+a4+a5,
∴a1+a2+a3+a4+a5=35-1=242.
故选C.
11.AC 令x=0,得a0+a1+a2+…+a9=(2+m)9,
令x=-2,得a0-a1+a2-…-a9=m9,
由题意得(2+m)9·m9=39,即m2+2m=3,解得m=-3或m=1.
故选AC.
12.B 易得(1-3x)9的通项为Tr+1=(-3)rxr,
∴a0,a2,a4,a6,a8为正数,a1,a3,a5,a7,a9为负数,
∴|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|=a0-a1+a2-a3+…+a8-a9,
令x=-1,得(1+3)9=a0-a1+a2-a3+…+a8-a9=49,
∴|a0|+|a1|+…+|a9|=49.
13.答案 31
解析 令x=1,得a1+a2+a3+a4+a5=25=32,
令x=0,得-a0=1,即a0=-1,
所以a0+a1+…+a5=32-1=31.
14.答案 (1)3 (2)
解析 (1)(a-2x)7的展开式中含x3的项为a4·(-2x)3=-280a4x3,
∴-280a4=-22 680,则a4=81,
又a>0,∴a=3.
(2)由(1)可得(3-2x)7=[1-2(x-1)]7=a0+a1(x-1)+…+a7(x-1)7,
令x=2,则a0+a1+…+a7=(1-2)7=-1①,
令x=0,则a0-a1+a2-…-a7=(1+2)7=37②,
①+②得,a0+a2+a4+a6=,
①-②得,a1+a3+a5+a7=,
∴(a0+a2+a4+a6)(a1+a3+a5+a7)=.
能力提升练
1.D 2.B 8.C 9.A 10.AC 11.ABD 12.BC
1.D (2+x)10=[-1+(x+3)]10=·(-1)10·(x+3)0+·(-1)9·(x+3)1+…+·(x+3)10,
展开式中含有(x+3)7的系数为a7=·(-1)3=-=-120.故选D.
2.B 令x=1,可得展开式中各项系数之和为2+a,则2+a=3,解得a=1,
∴(x2+x+a)(2x-1)6=(x2+x+1)(2x-1)6,
(2x-1)6的展开式的通项为Tk+1=·(2x)6-k·(-1)k=·26-k·(-1)k·x6-k.
当在(x2+x+1)中取x2时,(2x-1)6的展开式中需取x-1,不符合条件;
当在(x2+x+1)中取x时,(2x-1)6的展开式中需取x0,则6-k=0,即k=6,此时x的系数为·20·(-1)6=1;
当在(x2+x+1)中取1时,(2x-1)6的展开式中需取x,则6-k=1,即k=5,此时x的系数为·21·(-1)5=-12.
综上所述,(x2+x+a)(2x-1)6的展开式中x的系数为1+(-12)=-11.
故选B.
3.答案 1
解析 (ax-2)(x+1)4=ax(x+1)4-2(x+1)4,
因为(x+1)4的展开式中含x2的项为x2,含x3的项为x3,
所以(ax-2)(x+1)4的展开式中含x3的项为axx3,
故a=-2,解得a=1.
4.答案 7
解析 的展开式的通项为Tr+1=·(2x)n-r·2n-r·xn-2r,0≤r≤n,r∈N.
①当n为偶数时,n-2r为偶数,令n=2r,得(1+x)··2r=280,此时方程无解;
②当n为奇数时,n-2r为奇数,令n=2r-1,得(1+x)··2r-1=280,解得r=4,n=7.
综上所述,n=7.
5.答案 687
解析 (-1)6的展开式的通项为Tr+1=)6-r·(-1)r=·(-1)r,r=0,1,2,…,6,
(2+1)9的展开式的通项为Tk+1=·29-k,k=0,1,2,…,9,
所以(-1)6·(2+1)9的展开式的通项为Tr+1,k+1=·(-1)r·29-k·(-1)r·29-k·,其中r=0,1,2,…,6,k=0,1,2,…,9.令6-=1,得3r+2k=30,所以r=4,k=9或r=6,k=6,
所以展开式中x的系数为×(-1)6×23=687.
6.答案 80
解析 解法一:(2x2+x-y)5的展开式的通项为Tk+1=(2x2+x)5-k·(-y)k,
令k=2,得T3=(2x2+x)3y2,
(2x2+x)3的展开式的通项为T'r+1=(2x2)3-rxr=23-r·x6-r,令6-r=6,得r=0,
所以在(2x2+x-y)5的展开式中,x6y2的系数为=80.
解法二:因为(2x2+x-y)5可看成5个(2x2+x-y)相乘,
所以要得到含x6y2的项,只需从5个因式中任选3个因式取2x2,剩余的2个因式取-y,然后相乘即可.
所以在(2x2+x-y)5的展开式中,x6y2的系数为×23×(-1)2=80.
7.解析 (1)依题意得=56,即1+n+=56,整理,得n2+n-110=0,
又n∈N*,所以n=10.
(2)①由(1)知,的展开式的通项为Tr+1=,r∈N,r≤10,
令r-20=0,得r=8,因此a2,即45a2=,
又a>0,所以a=.
②由①知,Tr+1=5r-10,r∈N,r≤10,
依题意,得5k-10=6·5k-11,
即5·=6·,
化简,得5(11-k)=6k,解得k=5.
8.C 令x=0,得a0=1,
令x=1,得(1-3)5=a0+a1+a2+a3+a4+a5,则a0+a1+a2+a3+a4+a5=(-2)5,
令x=-1,得(1+3)5=a0-a1+a2-a3+a4-a5,则a0-a1+a2-a3+a4-a5=45=210,
令S1=a0+a1+a2+a3+a4+a5,S2=a0-a1+a2-a3+a4-a5,
则a2+a4=-1=495.
故选C.
9.A 令x=0,得a0=1,
令x=1,得a0+a1+a2+…+a18+a19=(1+2)×(1-1+1)9=3,又(1+2x)(1-x+x2)9的展开式中含x19的项为2x·(x2)9=2x19,所以a19=2,
所以a1+a2+…+a18=3-a0-a19=3-1-2=0,故选A.
10.AC 对于A,令x=0,得a0=1,故A正确;
对于B,(1-2x)6的展开式的通项为Tr+1=·(-2x)r=(-2)rxr,令r=2,得a2=(-2)2=60,故B错误;
对于C,易知a1,a3,a5<0,a0,a2,a4,a6>0,
令x=-1,得36=a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6,
而|a0|+|a1|+|a2|+…+|a6|=a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6=36=729,故C正确;
对于D,令r=6,得a6=(-2)6=64,
令x=1,得1=a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6,
所以a1+a2+…+a5=1-64-1=-64,故D错误.
故选AC.
11.ABD 对于A,令x=1,得(2×1-1)7=a0 a0=1,故A正确;
对于B,令x=2,得(2×2-1)7=a0+a1+a2+…+a7 a1+a2+…+a7=37-1,故B正确;
对于C,因为(2x-1)7=[2(x-1)+1]7,所以含(x-1)5的项的系数为a5=×25×12=672,故C错误;
对于D,等式两边同时求导,得7×(2x-1)6×2=a1+2a2·(x-1)+…+7a7(x-1)6,在该式中,令x=2,则有14×36=a1+2a2+…+7a7,故D正确.
故选ABD.
12.BC 令t=1-x,则x=1-t,所以(2-t)7=a0+a1t+a2t2+…+a7t7.
对于A,令t=0,得a0=(2-0)7=27=128,故A错误;
对于B,因为(2-t)7的展开式的通项为Tr+1=27-r·(-t)r=(-1)r27-rtr,
令r=6,则a6=(-1)6×2=14,故B正确;
对于C,令t=1,得a0+a1+a2+…+a7=(2-1)7=1①,故C正确;
对于D,令t=-1,得a0-a1+a2-…-a7=(2+1)7=37②,
由①②得a1+a3+a5+a7==-1 093,故D错误.故选BC.
13.答案 256
解析 的展开式的通项为Tr+1=·(-4y+2)r,易知r=8时的项不含x,此时T8+1=·(-4y+2)8=(-4y+2)8,令y=1,可得各项系数之和为256.
14.答案 29
解析 令x=0,得a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=0,又因为x2+x8=[(x+1)-1]2+[(x+1)-1]8,所以a2=(-1)6=29,
所以a0+a1+2a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a2=29.
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