2025苏教版高中数学选择性必修第二册强化练习题（含解析）--8.1.1　条件概率

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2025苏教版高中数学选择性必修第二册
第8章　概率
8.1　条件概率
8.1.1　条件概率
基础过关练　　　　　 　　　　 　　　　
题组一　定义法求条件概率
1.(2024福建三明第一中学月考)某单位开展主题为“学习强国,我学习我成长”的知识竞赛活动,甲选手答对第一道题的概率为,连续答对两道题的概率为.用事件A表示“甲选手答对第一道题”,事件B表示“甲选手答对第二道题”,则P(B|A)=(　　)
A.
2.(2024江西部分学校阶段性考试)先后两次抛一枚质地均匀的正方体骰子,记事件A=“第一次抛出的点数小于3”,事件B=“两次点数之和大于3”,则P(B|A)=(　　)
A.
3.(2024江苏南通、徐州联考)如图,高速服务区的停车场某片区内有A至H共8个停车位(每个车位只停一辆车),现有2辆黑色车和2辆白色车要在该停车场该片区内停车,则在2辆黑色车停在同一列的条件下,2辆白色车也停在同一列的概率为(　　)
A.
4.(2024江苏无锡锡东高级中学期中)在某地区进行流行病调查,随机调查了100名某种疾病患者的年龄(单位:岁),发现有30名的年龄在区间[40,50)内.已知该地区这种疾病的患病率为0.15%,年龄在区间[40,50)内的人口占该地区总人口的20%.现从该地区任选一人,若此人年龄在区间[40,50)内,则此人患该疾病的概率为(　　)
A.0.05%　　　　B.0.125%　　　　C.0.225%　　　　D.0.325%
5.(2024江苏常熟期中)已知A,B为随机试验的两个事件,是事件A的对立事件,若P(A)=,则P(B|)=(　　)
A.
6.(2024江苏淮安调研)在我国长江中下游地区,每年的6月中旬到7月上、中旬为梅雨期,这段时间内阴雨天气较多.这个地区的一个市级监测资料表明,该市某天为阴雨天气的概率是0.8,连续两天为阴雨天气的概率是0.72,已知某天为阴雨天气,则随后一天也为阴雨天气的概率是　　　　.
7.(教材习题改编)袋子中有10个除颜色外其他均完全相同的球,其中7个白球,3个黑球.每次从袋子中随机摸出1个球,摸出的球不再放回.在第1次摸到白球的条件下,第2次摸到白球的概率为　　　　.
题组二　缩小样本空间法求条件概率
8.(2024江苏宿迁泗洪第一高级中学月考)有两位游客慕名来到芜湖,都准备从甲、乙、丙、丁4个著名旅游景点中随机选择一个游玩.设事件A为“两人中至少有一人选择丙景点”,事件B为“两人选择的景点不同”,则P(B|A)=(　　)
A.
9.(2024江苏南京田家炳高级中学期中)元宵节是中国传统节日,当天人们会吃汤圆、赏花灯、猜灯谜.小华爸爸手里有6个灯谜,其中4个事物谜,2个字谜,小华随机抽取2个灯谜,记事件A为“取到的2个为同一类灯谜”,事件B为“取到的2个均为事物谜”,则P(B|A)=(　　)
A.
10.(2024辽宁新高考联盟阶段测试)某市为迎接即将到来的省辩论大赛,准备在全市高中生范围内选择成员,经过第一轮比赛,9人脱颖而出,其中5名女生,4名男生,并且男生和女生中各有1名参加过去年的比赛.现从这9人中选2名男生与2名女生参赛,若在至少有1名参加过去年比赛的成员被选中的条件下,2名去年参赛的成员都被选中的概率是(　　)
A.
11.(2023江苏溧水高级中学期中)某学校某班有五名学生报名参加社团活动,社团活动共有“记者在线”“机器人行动”“音乐之声”三个项目,每人都要报名且限报其中一项,已知其中一项恰好只有三名学生报名,则只有学生甲一人报名“记者在线”的概率为　　　　.
题组三　条件概率的性质
12.(2023江苏南京师范大学附属中学江宁分校期中)已知A,B为两个随机事件,P(A)=,则P(|A)=　　　　.
13.(2024陕西西安田家炳中学阶段测试)在一个不透明的袋子中装有10个球,其中1个红球,2个黄球,3个黑球,4个白球,这些球除颜色外完全相同,从中依次摸2个球,则在第一次摸到红球的条件下,第二次摸到黄球或黑球的概率为　　　　.
14.(2024江苏南菁高级中学期中)银行卡的密码由6位数字组成.某人在银行自动取款机上取钱时,忘记了密码的最后一位数字.如果记得密码的最后一位数字是奇数,则不超过2次就按对的概率为　　　　.
题组四　概率的乘法公式的应用
15.(2023江苏南京第二十九中学月考)设P(A|B)=P(B|A)=,则P(B)=(　　)
A.
16.(2023江苏南京六校联考)已知A,B为两个随机事件,P(B)=0.3,P(B|A)=0.9,P(B|)=0.2,则P(A)=(　　)
A.0.1　　　　B.
17.(2023湖北部分重点中学联考)从装有3个红球和3个蓝球的袋中,每次随机摸出1个球,摸出的球不再放回,记Ai表示事件“第i次摸出红球”,i=1,2,…,6.
(1)求在第一次摸出蓝球的条件下第二次摸出红球的概率;
(2)记P(A1A2A3)表示A1,A2,A3同时发生的概率,P(A3|A1A2)表示已知A1与A2都发生时A3发生的概率.
①证明:P(A1A2A3)=P(A1)P(A2|A1)·P(A3|A1A2);
②求P(A3).
答案与分层梯度式解析
第8章　概率
8.1　条件概率
8.1.1　条件概率
基础过关练
1.D 2.B 3.A 4.C 5.C 8.D 9.B 10.C
15.B 16.B
1.D　因为P(AB)=,所以P(B|A)=.故选D.
2.B　由题意可得P(A)=,所以P(B|A)=.故选B.
3.A　设事件A=“2辆黑色车停在同一列”,事件B=“2辆白色车停在同一列”,则所求概率为P(B|A),
易得P(A)=,
所以P(B|A)=.故选A.
4.C　设“此人年龄在区间[40,50)内”为事件A,“此人患该疾病”为事件B,则所求概率为P(B|A)==0.225%.故选C.
5.C　∵P(A)=,
∴P(.故选C.
6.答案　0.9
解析　设“第一天为阴雨天气”为事件A,“第二天为阴雨天气”为事件B,
由题意知P(A)=0.8,P(AB)=0.72,
所以P(B|A)==0.9.
7.答案　
解析　记事件A为“第1次摸到白球”,事件B为“第2次摸到白球”,
则P(A)=,
所以P(B|A)=.
8.D　两人中至少有一人选择丙景点分两种情况:一是两人均选择丙景点,二是只有一人选择丙景点,故事件A包含的样本点个数为1+=7,而事件AB包含的样本点个数为=6,
所以P(B|A)=.故选D.
9.B　由题意可得事件A包含两种情况:取到的2个都是事物谜,取到的2个都是字谜,故n(A)=,易得n(AB)=,所以P(B|A)=.故选B.
10.C　设事件A=“至少有1名参加过去年比赛的成员被选中”,事件B=“2名去年参赛的成员都被选中”,
则n(AB)==42,
所以P(B|A)=,故选C.
11.答案　
解析　记事件A为“其中一项恰好只有三名学生报名”,事件B为“只有学生甲一人报名‘记者在线’”,
则事件A包含=120个样本点.
若A,B同时发生,即其中一项恰好只有三名学生报名,且只有学生甲一人报名“记者在线”,
则事件AB包含=8个样本点,
所以P(B|A)=.
12.答案　
解析　因为P(A|B)=,
所以P(AB)=,
故P(B|A)=,
所以P(.
13.答案　
解析　设“第一次摸到红球”为事件A,“第二次摸到黄球”为事件B,“第二次摸到黑球”为事件C.
则P(A)=,
∴P(B|A)=,
∴P((B+C)|A)=P(B|A)+P(C|A)=,
∴所求的概率为.
14.答案　
解析　设Ai为“第i(i=1,2)次按对密码”,“不超过2次就按对”为事件A,则A=A1∪(A2),
记B=“密码的最后一位数字是奇数”,
则由条件概率的性质可得P(A|B)=P(A1|B)+P(.
15.B　由题意得P(AB)=P(A)P(B|A)=,
又P(A|B)=.故选B.
16.B　∵P(B|A)==0.9,∴P(BA)=0.9P(A),
∵P(B|),
则P(BA)+P(B),
即P(BA)+P(B)=0.9P(A)+0.2[1-P(A)],
即P(B)=0.9P(A)+0.2[1-P(A)],
即0.3=0.7P(A)+0.2,解得P(A)=.故选B.
17.解析　(1)P(A2|,
所以在第一次摸出蓝球的条件下第二次摸出红球的概率为.
(2)①证明:因为P(A1A2A3)=P(A1A2)P(A3|A1A2),P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1),
所以P(A1A2A3)=P(A1A2)P(A3|A1A2)=P(A1)·P(A2|A1)P(A3|A1A2).
②P(A3)=P(A1A2A3)+P()·P(A2||A1)·P(A3|A1.
方法总结　乘法公式可以推广到三个或三个以上的事件.设A,B,C是三个随机事件,且P(AB)>0,则P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB).
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