2025苏教版高中数学选择性必修第二册强化练习题（含解析）--8.2.4　超几何分布

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2025苏教版高中数学选择性必修第二册
8.2.4　超几何分布
基础过关练　　　　　 　　　　 　　　　
题组一　超几何分布及其概率计算
1.(多选题)(2024山东潍坊临朐一中开学考试)一个袋中装有6个同样大小的黑球,编号分别为1,2,3,4,5,6,还有4个同样大小的白球,编号分别为7,8,9,10.现从中任取4个球,下列变量服从超几何分布的是(　　)
A.X表示取出球的最大号码
B.Y表示取出球的最小号码
C.取出一个黑球记2分,取出一个白球记1分,Z表示取出的4个球的总得分
D.T表示取出的黑球个数
2.(教材习题改编)一袋中装有大小、质地均相同的5个白球,3个黄球和2个黑球,从中任取3个球,则至少含有1个黑球的概率是(　　)
A.
3.(2023江苏盐城响水中学期末)若随机变量X~H(3,2,10),则P(X=1)=　　　　.
4.在10件产品中,有3件一等品,4件二等品,3件三等品,从这10件产品中任取3件,求:
(1)取出的3件产品中一等品件数为X的概率分布;
(2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率.
题组二　超几何分布的数学期望
5.(2023江苏连云港新海高级中学月考)学校要从5名男生和3名女生中随机抽取2人参加社区志愿者服务,若用X表示抽取的志愿者中女生的人数,则E(X)=(　　)
A.　　　　D.1
6.(2023江苏连云港灌南二中、南师大灌云附中检测)已知6件产品中有2件次品,4件正品,检验员从中随机抽取3件进行检测,记取到的正品数为X,则下列结论正确的是(　　)
A.E(2X-1)= B.D(X)=
C.E(X)=1 D.D(2X-1)=
7.(2024江苏南通海门中学调研)某班为了庆祝中秋节,设计了一个小游戏:在一个不透明箱中装有4个黑球,3个红球和1个黄球,这些球除颜色外完全相同.每名学生从中一次随机摸出3个球,观察颜色后放回.若摸出的球中有X个红球,则分得X个月饼;若摸出的球中有黄球,则需要表演一个节目.
(1)求一学生既分得月饼又要表演节目的概率;
(2)求每名学生分得月饼数的概率分布和数学期望.
能力提升练　　　　　 　　　　 　　　　
题组一　超几何分布的应用
1.(多选题)(2023江苏南京师范大学附属中学江宁分校期中)北京冬奥会之后,某市多个中小学开展了冬奥会项目科普活动.为了调查学生对冬奥会项目的了解情况,在该市中小学中随机抽取了10所学校中的部分同学,10所学校中了解冬奥会项目的人数如图所示:
若从这10所学校中随机选取3所学校进行冬奥会项目的宣讲活动,记X为被选中的学校中了解冬奥会项目的人数在30以上的学校数,则下列说法中正确的是(　　)
A.X的可能取值为0,1,2,3
B.P(X=0)=
C.E(X)=1.2
D.D(X)=
2.(2023湖北武汉期末)有40件产品,其中有10件次品,从中不放回地抽18件产品,最可能抽到的次品数是　　　　.
3.(2024江苏苏大附中月考)某市移动公司为了提高服务质量,决定对使用A,B两种套餐的集团用户进行调查,准备从本市n(n∈N*)个人数超过1 000的大集团和3个人数低于200的小集团中随机抽取若干个集团进行调查,若一次抽取2个集团,全是大集团的概率为.
(1)在取出的2个集团是同一类集团的情况下,求全为小集团的概率;
(2)若一次抽取3个集团,假设取出大集团的个数为X,求X的概率分布和数学期望.
4.某商场举行有奖促销活动,顾客每购买满400元的商品即可抽奖一次.抽奖规则如下:抽奖者掷各面标有1~6点数的正方体骰子1次,若掷得的点数不大于4,则可继续在抽奖箱中抽奖;否则获得三等奖,结束抽奖.已知抽奖箱中装有2个红球和m(m≥2,m∈N*)个白球,抽奖者从箱中任意摸出2个球,若2个球均为红球,则获得一等奖,若2个球为1个红球和1个白球,则获得二等奖,否则,获得三等奖(抽奖箱中的所有小球除颜色外均相同).
(1)若m=4,求顾客参加一次抽奖活动获得三等奖的概率;
(2)若一等奖可获奖金400元,二等奖可获奖金300元,三等奖可获奖金100元,记顾客一次抽奖所获得的奖金为X元,若商场希望X的数学期望不超过150,求m的最小值.
题组二　超几何分布与二项分布的综合应用
5.(2024江苏南通质检)为推动党史学习教育工作扎实开展,营造“学党史、悟思想、办实事、开新局”的浓厚氛围,某校党委决定在教师党员中开展“学党史”知识竞赛.该校理综支部经过层层筛选,还有最后一个参赛名额要在甲、乙两名教师中产生,支部书记设计了两种测试方案供两名教师选择.
方案一:从装有6个不同问题的纸盒中依次有放回地抽取4个问题作答;
方案二:从装有6个不同问题的纸盒中依次不放回地抽取4个问题作答.
已知这6个问题中,甲、乙两名教师都能正确回答其中的4个问题,且甲、乙两名教师对每个问题回答正确与否都是相互独立、互不影响的.假设甲教师选择方案一,乙教师选择方案二.
(1)求甲、乙两名教师都只答对2个问题的概率;
(2)若测试过程中每名教师答对1个问题得2分,答错得0分.你认为安排哪名教师参赛比较合适 请说明理由.
6.(2024山东德州中英文高级中学月考)随着网络的快速发展,电子商务成为新的经济增长点,市场竞争也日趋激烈,除了产品品质外,客服团队良好的服务品质也是电子商务的核心竞争力,衡量一位客服工作能力的重要指标——询单转化率,是指咨询该客服的顾客中成交人数占比,可以看成一位顾客咨询该客服后成交的概率.已知某网店共有10位客服,按询单转化率分为A,B两个等级如表所示:
等级 A B
询单转化率 [70%,90%) [50%,70%)
人数 6 4
视A,B等级客服的询单转化率分别为对应区间的中点值,完成下列两个问题的解答:
(1)现从这10位客服中任意抽取4位进行培训,设抽取的A等级客服的人数为X,求随机变量X的概率分布,并求这4人的询单转化率的中位数不低于70%的概率;
(2)已知该网店日均咨询顾客约为1万人,为保证服务质量,每位客服日接待顾客的数量不超过1 300人,在网店的前期经营中,进店咨询的每位顾客由系统等可能地安排给任一位客服接待,为了提升店铺成交量,网店实施改革,经系统调整,进店咨询的每位顾客被任一位A等级客服接待的概率为a,被任一位B等级客服接待的概率为b,若希望改革后经咨询日均成交人数至少比改革前增加300,则a应该控制在什么范围内
答案与分层梯度式解析
8.2.4　超几何分布
基础过关练
1.CD 2.B 5.C 6.D
1.CD　
2.B　至少含有1个黑球的概率是.故选B.
3.答案　
解析　因为X~H(3,2,10),
所以P(X=1)=.
4.解析　(1)由题意得X的可能取值为0,1,2,3,
则P(X=0)=,
P(X=2)=,
所以X的概率分布为
X 0 1 2 3
P
(2)设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A,“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A1,“恰好取出2件一等品”为事件A2,“恰好取出3件一等品”为事件A3.
事件A1,A2,A3彼此互斥,且A=A1∪A2∪A3,
P(A1)=,
P(A2)=P(X=2)=,
P(A3)=P(X=3)=,
所以取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=.
5.C　由题意可得,X的可能取值为0,1,2,
则P(X=0)=,
P(X=2)=,
故E(X)=0×.故选C.
6.D　解法一:根据题意可得,X的可能取值为1,2,3,且X服从超几何分布,
则P(X=1)=,
P(X=3)=,
所以E(X)=1×=2,
D(X)=(1-2)2×,
E(2X-1)=2E(X)-1=2×2-1=3,
D(2X-1)=4D(X)=,故选D.
解法二:根据题意知,X服从超几何分布H(3,4,6),
所以E(X)=,
所以E(2X-1)=2E(X)-1=2×2-1=3,D(2X-1)=4D(X)=,故选D.
知识总结　超几何分布的期望与方差
若X~H(n,M,N),则E(X)=.
7.解析　(1)记“一学生既分得月饼又要表演节目”为事件A,
由题可知有两种可能:“2个红球,1个黄球”和“1个黑球,1个红球,1个黄球”,
所以P(A)=.
(2)由题意可知,X的可能取值为0,1,2,3,
则P(X=0)=,
P(X=2)=,
所以X的概率分布为
X 0 1 2 3
P
所以E(X)=0×.
能力提升练
1.ACD　由题图可得,这10所学校中了解冬奥会项目的人数在30以上的有4所,则X的可能取值为0,1,2,3,故A正确;
易知X~H(3,4,10),且P(X=k)=(k=0,1,2,3),则P(X=0)=,故B错误;
E(X)==1.2,故C正确;
D(X)=(0-1.2)2×,故D正确.
故选ACD.
2.答案　4
解析　设抽到的次品数为X,易知X服从超几何分布,
假设抽到次品数为n的概率最大,
则有
即
解得≤n≤,
又n∈N*,所以n=4,
故最可能抽到的次品数是4.
3.解析　(1)由题意知共有(n+3)个集团,取出2个集团的方法总数是,其中全是大集团的取法有种,故一次抽取2个集团全是大集团的概率为,
整理,得9n2-39n-30=0,解得n=5或n=-(舍去).
若取出的2个全是大集团,则有=10种情况;若取出的2个全是小集团,则有=3种情况,
故在取出的2个集团是同一类集团的情况下,全为小集团的概率为.
(2)由题意得,X的可能取值为0,1,2,3,
则P(X=0)=,
P(X=2)=,
所以X的概率分布为
X 0 1 2 3
P
则E(X)=0×.
4.信息提取　①若掷得的点数不大于4,则可继续在抽奖箱中抽奖,否则获得三等奖,结束抽奖;②若2个球均为红球,则获得一等奖,若2个球为1个红球和1个白球,则获得二等奖,否则,获得三等奖.
数学建模　根据红球的个数判断获得的奖项可知其概率模型为超几何分布.(1)顾客获得三等奖分为两种情况,利用古典概型求概率;(2)先根据骰子的点数判断是获得三等奖还是继续抽奖,然后根据顾客摸出小球的情况得到X的取值和对应的概率,利用X的数学期望不超过150求出m的最小值.
解析　(1)设顾客获得三等奖为事件A,则事件A有两种情况:
顾客掷骰子掷得的点数大于4,其概率为;
顾客掷骰子掷得的点数不大于4,且摸出的2个球均为白球,其概率为,
所以P(A)=.
故当m=4时,顾客参加一次抽奖活动获得三等奖的概率为.
(2)由题意得,X的可能取值为100,300,400,
则P(X=100)=,
P(X=300)=,
P(X=400)=,
故E(X)=100P(X=100)+300P(X=300)+400×P(X=400)=,
由题意可得,E(X)≤150,即3m2-23m-18≥0,
又m≥2,m∈N*,所以m≥9,
即m的最小值为9.
5.解析　(1)设甲、乙两名教师都只答对2个问题分别为事件A与事件B,
则P(A)=.
(2)设甲教师得了X分,则答对题数为,
故E(X)=2E,
设乙教师得了Y分,则Y的可能取值为4,6,8,
则P(Y=4)=,
P(Y=8)=,
则E(Y)=4×,
D(Y)=,
因为E(X)=E(Y),D(X)>D(Y),所以乙教师发挥更稳定,故选择乙教师参赛比较合适.
6.解析　(1)依题意,A,B等级客服的询单转化率分别为80%,60%,X的可能取值为0,1,2,3,4,且X服从超几何分布,
则P(X=0)=,
P(X=1)=,
P(X=2)=,
P(X=3)=,
P(X=4)=,
所以X的概率分布为
X 0 1 2 3 4
P
当X=0时,4人的询单转化率分别为60%,60%,60%,60%,其中位数为60%;
当X=1时,4人的询单转化率分别为60%,60%,60%,80%,其中位数为60%;
当X=2时,4人的询单转化率分别为60%,60%,80%,80%,其中位数为70%;
当X=3时,4人的询单转化率分别为60%,80%,80%,80%,其中位数为80%;
当X=4时,4人的询单转化率分别为80%,80%,80%,80%,其中位数为80%.
所以当X≥2时,这4人的询单转化率的中位数不低于70%,
所以P(X≥2)=1-P(X=0)-P(X=1)=1-.
(2)设改革前、后A等级客服的接待顾客人数分别为Y,Z,则改革前每位进店咨询的顾客被A等级客服接待的概率P1=,
所以Y~B=6 000.
因为A,B等级客服的询单转化率分别为80%,60%,
所以改革前日均成交人数为6 000×80%+(10 000-6 000)×60%=7 200.
改革后,每位进店咨询的顾客被A等级客服接待的概率P2=6a,
所以Z~B(10 000,6a),则E(Z)=10 000×6a=60 000a,
故改革后日均成交人数为60 000a×80%+(10 000-60 000a)×60%=12 000a+6 000.
令12 000a+6 000≥7 200+300,解得a≥.①
由题意可得,6a+4b=1,所以b=.
因为每位客服日接待顾客的数量不超过1 300人,
所以②
由①②,得,
所以a应该控制在内.
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