2025苏教版高中数学选择性必修第二册强化练习题--第1课时　离散型随机变量的均值

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2025苏教版高中数学选择性必修第二册
8.2.2　离散型随机变量的数字特征
第1课时　离散型随机变量的均值
基础过关练　　　　　 　　　　 　　　　
题组一　离散型随机变量的均值
1.(2024江苏常州联盟校期中)设随机变量X的分布列为P(X=i)=a,i=1,2,3,则X的数学期望E(X)=(　　)
A. B.
C. D.
2.(2023江苏常州北郊高级中学期中)某医院对10名入院人员进行一病毒感染筛查,若采用单管检验需检验10次;若采用“十合一”混管检验,当检验结果为阴性(都没有被感染)时,只需检验1次,当检验结果为阳性(至少有1人被感染)时,就要再全部进行单管检验.设10名人员都未被感染的概率为p,若对这10名人员采用“十合一”混管检验,总检验次数为ξ,则“E(ξ)<10”的充要条件是(　　)
A.0.01C.0.13.(多选题)(2024江浙高中(县中)发展共同体联考)袋中有3个大小、形状完全相同的小球,其中1个黑球2个白球.从袋中不放回地取球2次,每次取1个球,记取得黑球的次数为X;从袋中有放回地取球2次,每次取1个球,记取得黑球的次数为Y,则(　　)
A.随机变量X的可能取值为0或1
B.随机变量Y的可能取值为0或1
C.随机事件{X=1}的概率与随机事件{Y=1}的概率相等
D.随机变量X的数学期望与随机变量Y的数学期望相等
4.(多选题)(2024福建南平高级中学月考)已知X 0 1 2
P p-p2 1-p p2
A.P(X=2)的值最大
B.P(X=0)C.E(X)随着p的增大而减小
D.E(X)随着p的增大而增大
5.(2024江苏南京东山高级中学期中)某校在一次庆祝活动中,设计了一个“套圈游戏”,规则如下:每人3个圈,向M,N两个目标进行投掷,先向目标M掷一次,套中得1分,没有套中不得分,再向目标N连续掷两次,每套中一次得2分,没套中不得分,然后根据累计得分发放奖品.已知小明每投掷一次,套中目标M的概率为,套中目标N的概率为,假设小明每次投掷的结果相互独立,累计得分记为X分.
(1)求小明恰好套中2次的概率;
(2)求X的概率分布及数学期望.
题组二　离散型随机变量的均值的性质
6.(多选题)已知随机变量X的概率分布如下,且E(X)=6.3,则下列结论正确的是(　　)
X 4 a 9
P 0.5 0.1 b
A.a=7 B.b=0.4
C.E(aX)=44.1 D.E(bX+a)=2.62
7.(2024黑龙江双鸭山一中月考)设ξ的概率分布如下,且η=2ξ+a,则E(η)=　　　　.
ξ 1 2 3 4
P a
题组三　均值的实际应用
8.(2023湖南岳阳第一中学入学考试)甲、乙两人进行乒乓球比赛,每人各局取胜的概率均为,现采用五局三胜制,胜3局者赢得全部奖金800元.若前两局比赛均为甲胜,此时因某种原因比赛中止,为使奖金分配合理,则乙应得的奖金为(　　)
A.700元　　　　B.600元　　　　C.200元　　　　D.100元
9.(多选题)(2023江苏盐城响水中学期中)已知8只小白鼠中有1只患有某种疾病,需要通过血液化验来确定患这种病的小白鼠,血液化验结果呈阳性的为患病小白鼠.下面是两种化验方案:方案甲,将8只小白鼠的血液逐个化验,直到查出患病小白鼠为止;方案乙,先取4只小白鼠,将它们的血液混在一起化验,若呈阳性,则对这4只小白鼠的血液再逐个化验,直到查出患病小白鼠,若不呈阳性,则对剩下的4只小白鼠的血液再逐个化验,直到查出患病小白鼠.则下列结论正确的是(　　)
A.若用方案甲,则化验次数为2的概率为
B.若用方案乙,则化验次数为3的概率为
C.若用方案甲,则平均化验次数为4
D.若平均化验次数少的方案更好,则方案乙比方案甲好
10.(2024江苏新高考基地学校大联考)某超市准备在今年店庆日举行抽奖活动,凡购物金额超过m元的顾客均可参加一次抽奖.抽奖规则如下:从装有大小、形状完全相同的4个黑球和2个红球的盒子中随机取2个小球,若2个小球都为红色,则获100元奖金;若2个小球为1红1黑,则获30元奖金;若2个小球都为黑色,则获10元奖金.
(1)记参加抽奖的一名顾客获得的奖金为X元,求X的概率分布和数学期望;
(2)该超市去年店庆日共有3 000名顾客购物,统计购物金额得到如下的频率直方图.若今年抽奖活动总奖金预设为12 000元,依据去年店庆日的数据,给出合理的m的值,并说明理由.
能力提升练　　　　　 　　　　 　　　　
题组　离散型随机变量的均值及其应用
1.(2023江苏常州八校联考,)甲、乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得1分,负者得0分,比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止,设甲在每局中获胜的概率为,乙在每局中获胜的概率为,且各局胜负相互独立,则比赛停止时已打局数X的期望E(X)为(　　)
A.
2.(多选题)(2024江西部分学校开学考试)甲盒中装有3个蓝球、2个黄球,乙盒中装有2个蓝球、3个黄球,同时从甲、乙两盒中取出i(i=1,2)个球进行交换,记交换后甲、乙两个盒子中蓝球个数的数学期望分别为Ei(X),Ei(Y),则下列结论正确的是(　　)
A.E1(X)+E1(Y)=5 B.E1(X)>E1(Y)
C.E2(X)3.(2023江苏连云港灌南高级中学月考)某超市举行五一优惠活动,购物满100元即可参加一次游戏抽奖活动,游戏抽奖规则如下:顾客将一个半径适当的小球放入如图所示的容器正上方的入口处,小球将自由落下,在此过程中,小球将3次遇到黑色障碍物,最后落入A袋或B袋,落入A袋可获得奖金4元,落入B袋可获得奖金8元,且小球每次遇到黑色障碍物时,向左或向右下落的概率都为,则小球落在A袋中的概率为　　　　;已知活动当天小刚在该超市购物消费了108元,按照活动规则要求,他得到的奖金的期望为　　　　元.
4.(2023江苏常州北郊高级中学期中,)设随机变量ξ的取值为弧度制角.在某正三棱柱的九条棱中任取两条,当两条棱平行时,ξ=0,当两条棱相交时,ξ为这两条棱的夹角,当两条棱异面时,ξ为这两条棱所在的异面直线所成的角,则E(ξ)=　　　　.
5.(2024江苏苏南八校联考)设a,b是从集合{1,2,3,4}中随机选取的数,直线l:y=ax+b,圆O:x2+y2=1,则直线l与圆O有公共点的概率是　　　　;直线l与圆O的公共点个数的数学期望是　　　　.
6.(2024北京石景山期末)某学校体育课进行投篮练习,投篮地点分为A区和B区,每名同学投每一个球可以选择在A区内投篮,也可以选择在B区内投篮,在A区内每投进一球得2分,没有投进得0分;在B区内每投进一球得3分,没有投进得0分.已知学生甲在A,B两区内的投篮练习情况统计如下表:
投篮地点 A区 B区
投篮次数 30 20
得分 40 30
用频率估计概率,假设学生甲每次投篮结果相互独立.
(1)试分别估计甲在A区,B区内投篮命中的概率;
(2)若甲在A区内投3个球,在B区内投2个球,求甲在A区内投篮的得分高于在B区内投篮得分的概率;
(3)若甲在A区,B区内一共投篮5次,投篮得分的期望不低于7分,请直接写出甲选择在A区内投篮的最多次数.(结论不要求证明)
7.某市开展了“学党史,知党情”大型党史知识竞赛活动.竞赛活动后,在参赛的人员中,随机抽取了100名参赛人员,对他们的成绩(满分150分)进行统计分析,将所抽取的100名参赛人员的成绩(单位:分)数据绘制成频率直方图,如图所示.直方图中m,n的关系为m-n=,根据频率直方图中的信息解答下列问题.
(1)从成绩在[90,110)内的参赛人员中任取3人,求其中至少有2人的成绩在[90,100)内的概率;
(2)用分层抽样的方法,先从成绩分别在[110,120),[120,130),[130,140)内的参赛人员中抽取9人,再从这9人中任取4人,设抽取的4人中成绩在[110,120)内的人数为ξ,求ξ的概率分布和数学期望;
(3)若参赛人员共有1 000人,现有B公司准备拿出一定资金,奖励成绩在120分及以上的参赛人员,并拟定了两种奖励方案.方案一:人均奖励333元;方案二:把成绩在[120,130)内的记为等级三,成绩在[130,140)内的记为等级二,成绩在[140,150]内的记为等级一,并按等级每人分别奖励200元,400元,600元.若你是竞赛活动的负责人,你将选择哪一种奖励方案 并说明理由.
8.(2024江苏海安高级中学期中)某大学为响应国家号召,大力推行全民健身运动,向全校学生开放了A,B两个健身中心,要求全校学生每周都必须利用课外时间去健身中心进行适当的体育锻炼.
(1)该校学生甲、乙、丙三人某周均从A,B两个健身中心中任意选择一个进行体育锻炼,若甲、乙、丙该周选择A健身中心的概率分别为,求这三人在这一周内恰好有一人选择A健身中心的概率;
(2)该校学生丁每周六、日均去健身中心进行体育锻炼,且这两天中每天只选择两个健身中心中的一个,其中周六选择A健身中心的概率为.若丁周六选择A健身中心,则周日仍选择A健身中心的概率为;若周六选择B健身中心,则周日选择A健身中心的概率为.求丁周日选择B健身中心的概率;
(3)现用健身指数k(k∈[0,10])来衡量各学生在一个月内的健身运动后的健身效果,并规定k值低于1的学生为健身效果不佳的学生,经统计发现从全校学生中随机抽取一人,其k值低于1的概率为0.12.现从全校学生中随机抽取一人,如果抽取到的学生不是健身效果不佳的学生,则继续抽取下一个,直到抽取到一位健身效果不佳的学生为止,但抽取的总次数不超过n.若抽取次数的期望值不超过3,求n的最大值.
参考数据:0.8829≈0.025,0.8830≈0.022,0.8831≈0.019,ln 0.88≈-0.128.
答案与分层梯度式解析
8.2.2　离散型随机变量的数字特征
第1课时　离散型随机变量的均值
基础过关练
1.A 2.C 3.AD 4.BD 6.ABC 8.D 9.AD
1.A　由题意可得P(X=1)=,所以=1,解得a=,
所以E(X)=1×.故选A.
2.C　由题意可得ξ的可能取值为1,11,
且P(ξ=1)=p,P(ξ=11)=1-p.
所以E(ξ)=1×p+11×(1-p)=11-10p,则E(ξ)<10 11-10p<10 p>0.1,
又p≤1,所以0.13.AD　对于A,B,根据题意可知,随机变量X的可能取值为0或1,
随机变量Y的可能取值为0或1或2,故A正确,B错误;
对于C,由题意可知P(X=1)=,P(X=1)≠P(Y=1),故C错误;
对于D,P(X=0)=,
故E(X)=0×,E(X)=E(Y),故D正确.故选AD.
4.BD　取p=,则P(X=2)=,A错误;
因为E(X)=1×(1-p)+2p2=2,
又因为5.解析　(1)记“小明恰好套中2次”为事件A,则事件A包含三种情况:第一次和第二次套中;第一次和第三次套中;第二次和第三次套中,
则P(A)=,
故小明恰好套中2次的概率为.
(2)由题意可得X的可能取值为0,1,2,3,4,5,
P(X=0)=,
P(X=2)=,
P(X=4)=,
所以X的概率分布为
X 0 1 2 3 4 5
P
所以E(X)=0×.
6.ABC　由概率分布的性质得0.5+0.1+b=1,解得b=0.4,又E(X)=4×0.5+0.1a+9×0.4=6.3,∴a=7,
∴E(aX)=aE(X)=7×6.3=44.1,E(bX+a)=bE(X)+a=0.4×6.3+7=9.52.故选ABC.
7.答案　6
解析　由概率分布的性质得+a=1,得a=,从而E(ξ)=1×,
而η=2ξ+a=2ξ+,
所以E(η)=E=6.
8.D　设甲应得的奖金为X元,则X的可能取值为800,0.
甲赢得比赛有3种情况:①第3局胜,甲赢的概率为;②第3局输,第4局胜,甲赢的概率为;③第3,4局输,第5局胜,甲赢的概率为.∴甲赢的概率为,
∴E(X)=800×=700,∴乙应得的奖金为800-700=100(元).故选D.
9.AD　若用方案甲,设化验次数为X,则X的可能取值为1,2,3,4,5,6,7,P(X=2)=,A正确;
若用方案乙,设化验次数为Y,当Y=3时,有两种情况:
①先取的4只均为阴性,其概率P1=,
②先取的4只中有阳性,其概率P2=,
所以化验次数为3的概率为P(Y=3)=,B错误;
若用方案甲,则P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=P(X=4)=P(X=5)=P(X=6)=,
所以E(X)=(1+2+3+4+5+6)×,C错误;
由B可知,P(Y=3)=,又Y的可能取值为2,3,4,
且P(Y=2)=,
所以E(Y)=2×,
因为E(X)>E(Y),所以若平均化验次数少的方案更好,则方案乙比方案甲好,D正确.
故选AD.
10.解析　(1)由题意得X的取值可能为10,30,100,
且P(X=10)=.
所以X的概率分布为
X 10 30 100
P
所以E(X)=10×.
(2)由(1)知,一名顾客参与抽奖所获的奖金均值为元,若今年抽奖活动总奖金预设为12 000元,则参与抽奖的人数可以为=450,
所以一名顾客可以参与抽奖的概率为=0.15.
又因为100×(0.002+0.004+0.002 5)=0.85,所以m=300.
能力提升练
1.B　由题意得随机变量X的可能取值是2,4,6,设每两局比赛为一轮,则一轮结束时比赛停止的概率为,
若一轮结束时比赛还要继续,则甲、乙在该轮中必是各得1分,此时该轮比赛结果对下一轮比赛是否停止没有影响,
所以P(X=2)=,
所以E(X)=2×.故选B.
2.ABC　由题意知X表示交换后甲盒子中的蓝球个数,Y表示交换后乙盒子中的蓝球个数,
当i=1时,根据题意可知,X的可能取值为2,3,4,Y的可能取值为1,2,3,且P(X=2)=P(Y=3)=,
则E1(X)=2×=5,故A,B正确;
当i=2时,根据题意可知,X的可能取值为1,2,3,4,5,Y的可能取值为0,1,2,3,4,且P(X=1)=P(Y=4)=,
P(X=3)=P(Y=2)=,
因此E2(X)=1×,
E2(Y)=4×,故C正确,D错误.
故选ABC.
3.答案　;5
解析　记“小球落入A袋”为事件M,“小球落入B袋”为事件N,
若小球落入B袋,则小球一直向左落下或一直向右落下,
故P(N)=,则P(M)=1-P(N)=1-.
由题意可得小刚可以参加一次抽奖活动,设小刚获得的奖金为X元,则X的可能取值为4,8,
P(X=8)=P(N)=,故小刚得到的活动奖金的期望E(X)=8×=5.
4.答案　
解析　任取一正三棱柱ABC-A1B1C1,如图所示,
从正三棱柱ABC-A1B1C1的九条棱中任取两条,有=36种取法.
若所取的两条棱平行,如AA1和BB1,AB和A1B1,则有6种取法,此时ξ=0;
若所取的两条棱相交且同在上底面(或下底面)内,如AB和BC,则有2×=6种取法,此时ξ=;
若所取的两条棱相交且同在侧面内,如AB和AA1,则有3×4=12种取法,此时ξ=;
若所取的两条棱所在直线为异面直线,且一条在底面上,另一条为相对的侧棱,如AB和CC1,则有6种取法,此时ξ=;
若所取的两条棱所在直线为异面直线且一条在上底面内,另一条在下底面内,如AB和B1C1,则有6种取法,此时ξ=.
所以P(ξ=0)=,
所以E(ξ)=0×.
5.答案　
解析　圆O:x2+y2=1的圆心为O(0,0),半径r=1,
圆心O(0,0)到直线l的距离d=.
若直线l与圆O有公共点,则d≤r=1,整理可得a2+1≥b2.
又因为a,b∈{1,2,3,4},所以a≥b,
则满足条件的(a,b)可能为(1,1),(2,1),(3,1),(4,1),(2,2),(3,2),(4,2),(3,3),(4,3),(4,4),共10个.
又(a,b)的所有可能结果的个数为4×4=16,
所以直线l与圆O有公共点的概率为.
设直线l与圆O的公共点个数为X,则X的可能取值为0,2,
P(X=2)=.
所以E(X)=0×P(X=0)+2×P(X=2)=0×.
6.解析　(1)由题表可知,甲在A区内投篮30次,投进20次,所以可估计甲在A区内投篮命中的概率为.
甲在B区内投篮20次,投进10次,所以可估计甲在B区内投篮命中的概率为.
(2)由(1)知甲在A区内进球的概率为,在B区内进球的概率为.
由题意得甲在A区内投3个球的得分可能为0分,2分,4分,6分,在B区内投2个球的得分可能是0分,3分,6分.
则甲在A区内投篮的得分高于在B区内投篮得分的情况如下:
①A区得2分,B区得0分,其概率为;
②A区得4分,B区得0分,其概率为;
③A区得4分,B区得3分,其概率为;
④A区得6分,B区得0分,其概率为;
⑤A区得6分,B区得3分,其概率为,
则甲在A区内投篮的得分高于在B区内投篮得分的概率为.
(3)甲在A区内投篮一次的得分的期望是2×(分),
甲在B区内投篮一次的得分的期望是3×(分),
设甲在A区内投篮x次,0≤x≤5,则甲在B区内投篮(5-x)次,
则甲总得分的期望为分,令(5-x)≥7,解得0≤x≤3,
则甲选择在A区内投篮的次数最多是3.
7.解析　(1)因为(0.005+m+0.032+0.024+n+0.006)×10=1,所以m+n=0.033,又m-n=,
所以m=0.017,n=0.016,
所以成绩在[90,100)内的有0.005×10×100=5(人),成绩在[100,110)内的有0.017×10×100=17(人),
所以至少有2人的成绩在[90,100)内的概率P=.
(2)由题意及(1)知,成绩在[110,120),[120,130),[130,140)内的分别有32人,24人,16人,
因此,抽取的9人中成绩在[110,120)内的有9×=4(人),成绩在[120,130)内的有9×=3(人),成绩在[130,140)内的有9×=2(人),
所以ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4,
所以P(ξ=0)=,
P(ξ=2)=,
P(ξ=4)=.
所以ξ的概率分布为
ξ 0 1 2 3 4
P
故E(ξ)=0×.
(3)由题意及(2)知,在所抽取的这100人的成绩中,成绩在[120,130),[130,140),[140,150]内的人数分别为24,16,6,
所以方案一所需费用为(24+16+6)×10×333=153 180(元);
方案二所需费用为(24×200+16×400+6×600)×10=148 000(元).
因为153 180>148 000,所以选择方案一,既能使获奖人员得到的奖励资金总额较多,又淡化了等级意识,可以更好地发挥激励作用(也可以选择方案二,既能相对的节约资金,又能激励等级竞争意识).
8.解析　(1)由题意得,这三人在这一周内恰好有一人选择A健身中心的概率P=.
(2)记事件C:丁周六选择A健身中心,事件D:丁周日选择B健身中心,
则P(C)=P(,
由全概率公式得P(D)=P(C)P(D|C)+P(,
故丁周日选择B健身中心的概率为.
(3)设从全校学生中随机抽取1人,抽取到的学生是健身效果不佳的学生的概率为p,则p=0.12,
设抽取次数为X,则X的概率分布为
X 1 2 3 … n-1 n
P p (1-p)p (1-p)2p … (1-p)n-2p (1-p)n-1
故E(X)=p+(1-p)p×2+(1-p)2p×3+…+(1-p)n-2p×(n-1)+(1-p)n-1×n,
则(1-p)E(X)=(1-p)p+(1-p)2p×2+(1-p)3p×3+…+(1-p)n-1p×(n-1)+(1-p)n×n,
两式相减得pE(X)=p+(1-p)p+(1-p)2p+…+(1-p)n-2p+(1-p)n-1p-(1-p)n×n,
所以E(X)=1+(1-p)+(1-p)2+…+(1-p)n-2+(1-p)n-1-,
令f(x)=(1+x)0.88x,则f '(x)=0.88x+(1+x)0.88x×ln 0.88=0.88x[1+(1+x)ln 0.88],
令f '(x)<0,得1+(1+x)ln 0.88<0,即x>-1≈6.8,
所以f(x)在(7,+∞)上单调递减,
故E(X)=在n>7,n∈N*时单调递增,
当n=29时,E(X)=≈2.08;
当n=30时,E(X)==2.65;
当n=31时,E(X)=≈3.27.
若抽取次数的期望值不超过3,则n的最大值为30.
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