2025苏教版高中数学选择性必修第二册强化练习题（含解析）--第2课时　离散型随机变量的方差与标准差

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2025苏教版高中数学选择性必修第二册
第2课时　离散型随机变量的方差与标准差
基础过关练　　　　　 　　　　 　　　　
题组一　离散型随机变量的方差与标准差
1.(2023江苏连云港高级中学期中)已知离散型随机变量X的概率分布如表所示:
　　　　　 　　　　　　　　　　
X 0 2 4
P
则D(X)=(　　)
A.
2.(教材习题改编)投资甲、乙两种股票,每股收益(单位:元)分别如下表:
则下列说法正确的是(　　)
A.投资甲种股票的收益期望大
B.投资乙种股票的收益期望大
C.投资甲种股票的风险较高
D.投资乙种股票的风险较高
3.(2023江苏张家港高级中学期中)已知随机变量X的可能取值为0,1,2,若P(X=0)=,E(X)=1,则X的标准差为(　　)
A.
4.(多选题)(2023江苏泰州期末)随机变量X的概率分布如下,若E(X)=1,则下列说法正确的有(　　)
X -1 1 2 3
P a b
A.a= B.b=
C.E(3X-1)=3 D.D(X)=
5.(2024福建莆田锦江中学月考)随机变量X的概率分布如表所示:
X -1 0 1
P a b c
其中a,b,c成等差数列,若随机变量X的期望E(X)=,则其方差D(X)=　　　　.
题组二　离散型随机变量的方差的性质
6.(多选题)(2024江苏镇江第一中学学情检测)若随机变量X服从两点分布,其中P(X=0)=,E(X),D(X)分别为随机变量X的均值与方差,则下列结论中正确的是(　　)
A.P(X=1)=E(X) B.E(3X+2)=4
C.D(6X+2)=2 D.D(X)=
7.(多选题)(2023江苏无锡四校期中联考)已知随机变量ξ的概率分布如下表所示,且满足E(ξ)=0,则下列选项正确的是(　　)
ξ -1 0 2
P a b
A.D(ξ)=1 B.D(|ξ|)=1
C.D(2ξ+1)=4 D.D(3|ξ|-2)=5
8.(2023江苏扬州仪征第二中学期末)已知随机变量X满足E(2-2X)=4,D(2-2X)=4,则E(X)=　　　　,D(X)=　　　　.
9.已知袋中装有20个完全相同的球,其中记上0号的有10个,记上n号的有n个(n=1,2,3,4).现从袋中任取一球,用X表示所取球的标号.若η=aX+b,E(η)=1,D(η)=11,则a+b的值是　　　　.
能力提升练　　　　　 　　　　 　　　　
题组一　离散型随机变量的方差
1.(2023江苏泗洪中学月考)设随机变量ξ的概率分布为P(ξ=k)=(k=1,2,5),a∈R,E(ξ),D(ξ)分别为随机变量ξ的数学期望与方差,则下列结论正确的是(　　)
A.P(0<ξ<3.5)= B.E(3ξ+2)=7
C.D(ξ)=2 D.D(3ξ+1)=6
2.(多选题)(2024江苏淮安、连云港调研)已知正四面体骰子的四个面分别标有数字1,2,3,4,正六面体骰子的六个面分别标有数字1,2,3,4,5,6,抛掷一枚质地均匀的正四面体骰子,记向下的数字为X,抛掷一枚质地均匀的正六面体骰子,记向上的数字为Y,则(　　)
A.P(X=2)= B.P(Y<3)=
C.E(X)>E(Y) D.D(X)3.(多选题)已知p1,p2∈(0,1),随机变量X,Y的概率分布分别如下:
X -1 0 1
P
　
Y -1 0 1
P
则下列说法中正确的是(　　)
A.若p1<且p2<,则E(X)>E(Y)
B.若p1E(Y)
C.若p2D(Y)
D.若p1<D(Y)
4.(2023江苏盐城响水中学期中)已知a,b,c,d,e为互不相等的正实数,随机变量X和Y的概率分布如表,则D(Y)　　　　D(X).(填“>”“<”或“=”)
X a b c d e
P
Y
P
题组二　离散型随机变量的均值与方差的综合应用
5.(2023江苏南京外国语学校期中)为了回馈顾客,某商场通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励,规定:每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋子中一次性随机摸出2个球,球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励金额.
(1)若袋子中所装的4个球中有2个所标的面值为50元,2个所标的面值为10元,求顾客所获的奖励金额的概率分布和数学期望;
(2)现有标有面值为10元,20元,40元,50元的小球(除所标面值外其他属性都相同)若干.
①若袋子中的4个球有且仅有两种面值,且两种面值的和为60元,求袋子中的4个球有多少种装法;
②若商场奖励总金额的预算是60 000元,为了使顾客得到的奖励尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励金额相对均衡,请从①的装法中选择一个最合适的,并说明理由.
答案与分层梯度式解析
第2课时　离散型随机变量的方差与标准差
基础过关练
1.A 2.C 3.C 4.AD 6.AB 7.ACD
1.A　由已知得,E(X)=0×=2,所以D(X)=(0-2)2×.
2.C　设甲种股票的收益为X元,乙种股票的收益为Y元.由题表中的数据,得期望E(X)=-1×0.1+0×0.3+2×0.6=1.1,
方差D(X)=(-1-1.1)2×0.1+(0-1.1)2×0.3+(2-1.1)2×0.6=1.29;
期望E(Y)=0×0.2+1×0.5+2×0.3=1.1,
方差D(Y)=(0-1.1)2×0.2+(1-1.1)2×0.5+(2-1.1)2×0.3=0.49,
所以E(X)=E(Y),D(X)>D(Y),
则投资甲种股票的收益期望与投资乙种股票的收益期望相等,投资甲种股票比投资乙种股票的风险高.故选C.
3.C　设P(X=1)=p,则P(X=2)=-p,
由E(X)=p+2=1,解得p=,
由D(X)=pi,得D(X)=,
则X的标准差为.
故选C.
4.AD　由题意得=1,解得a=,
所以E(3X-1)=3E(X)-1=2,D(X)=E(X2)-[E(X)]2=1×.
故选AD.
5.答案　
解析　因为a,b,c成等差数列,所以a+c=2b,
又a+b+c=1,所以b=,
则E(X)=-1×a+0×b+1×c=c-a=,且a+c=,
所以a=,
所以D(X)=.
6.AB　由题意得P(X=1)=,则E(X)=0×.
A中,P(X=1)=E(X),故A正确;
B中,E(3X+2)=3E(X)+2=3×+2=4,故B正确;
C中,D(6X+2)=36D(X)=36×=8,故C错误;
D中,D(X)=,故D错误.
故选AB.
7.ACD　依题意得
则D(ξ)=×(-1-0)2+×(0-0)2+×(2-0)2=1,则D(2ξ+1)=22D(ξ)=4,|ξ|的概率分布为
|ξ| 1 0 2
P
则E(|ξ|)=1×,
所以D(3|ξ|-2)=32D(|ξ|)=5.
故选ACD.
8.答案　-1;1
解析　根据方差和期望的性质可得E(2-2X)=-2E(X)+2=4,D(2-2X)=4D(X)=4,所以E(X)=-1,D(X)=1.
9.答案　0或2
解析　由题意可知,X的所有可能取值为0,1,2,3,4,
且P(X=0)=,
则E(X)=,
所以D(X)=.
由η=aX+b,得D(η)=a2D(X)=11,即a2×=11,即a=±2.
又E(η)=aE(X)+b=1,
所以当a=2时,1=2×+b,得b=-2,此时a+b=0;
当a=-2时,1=-2×+b,得b=4,此时a+b=2.
能力提升练
1.C 2.BD 3.AC
1.C　因为随机变量ξ的概率分布为P(ξ=k)=(k=1,2,5),
所以P(ξ=1)+P(ξ=2)+P(ξ=5)==1,解得a=1.
对于A,P(0<ξ<3.5)=P(ξ=1)+P(ξ=2)=,故A不正确;
对于B,因为E(ξ)=1×=2,
所以E(3ξ+2)=3E(ξ)+2=3×2+2=8,故B不正确;
对于C,D(ξ)=×(5-2)2=2,故C正确;
对于D,因为D(ξ)=2,所以D(3ξ+1)=9D(ξ)=18,故D不正确.故选C.
2.BD　对于A,易知P(X=2)=,故A错误;
对于B,当Y<3时,Y=1或Y=2,则P(Y<3)=P(Y=1)+P(Y=2)=,故B正确;
对于C,D,易得X的概率分布为
X 1 2 3 4
P
则E(X)=1×,且D(X)=E(X2)-[E(X)]2=12×,
Y的概率分布为
Y 1 2 3 4 5 6
P
则E(Y)=1×,且D(Y)=E(Y2)-[E(Y)]2=12×,
所以E(X)故选BD.
3.AC　依题意得E(X)=-1×,
则E(X)-E(Y)==1-(p1+p2),
又E(X2)=(-1)2×,
E(Y2)=(-1)2×,
所以D(X)=E(X2)-[E(X)]2=,
所以D(X)-D(Y)==(p2-p1)(p2+p1-1).
对于A,因为p1<且p2<,所以p1+p2<1,所以E(X)-E(Y)>0,所以E(X)>E(Y),故A正确;
对于B,无法确定p1+p2与1的大小关系,即无法判断1-(p1+p2)的正负,故无法确定E(X)与E(Y)的大小关系,故B错误;
对于C,因为p2所以(p2-p1)(p2+p1-1)>0,即D(X)-D(Y)>0,
即D(X)>D(Y),故C正确;
对于D,因为p1<0,但是无法确定p1+p2与1的大小关系,即无法判断p1+p2-1的正负,故无法确定D(X)与D(Y)的大小关系,故D错误.
故选AC.
4.答案　<
解析　由题得E(X)=(a+b+c+d+e)=E(X),
所以D(X)={[a-E(X)]2+[b-E(X)]2+…+[e-E(X)]2}=(a2+b2+…+e2)-[E(X)]2,
D(Y)=+…+=-[E(X)]2,
又因为a,b,c,d,e为互不相等的正实数,
所以D(Y)-D(X)=+…+-(a2+b2+…+e2)=-+…+<0,即D(Y)5.解析　(1)设顾客所获的奖励金额为X元,则X的可能取值为20,60,100,
P(X=20)=,
P(X=60)=,
P(X=100)=,
所以X的概率分布为
X 20 60 100
P
故E(X)=20×=60.
(2)①因为两种面值的和为60元,所以可以装10元与50元面值的小球,也可以装20元与40元面值的小球,
每类都有3种装法:其中一种面值的小球装1,2,3个,另一种面值的小球对应装3,2,1个,
由分类计数原理知,袋中小球的不同装法共有3+3=6(种).
②选择(20,20,40,40)的方案,理由如下:
根据商场的预算,每位顾客的平均奖励金额为60 000÷1 000=60(元),故先寻找数学期望为60元的可能方案.
当小球标有的面值分别为10元和50元时,若选择(10,10,10,50)的方案,则60元是面值之和的最大值,数学期望不可能为60元;
当选择(50,50,50,10)的方案时,60元是面值之和的最小值,数学期望也不可能是60元.
因此可能的方案是(10,10,50,50),记为方案1.
当小球标有的面值分别为20元和40元时,同理可排除(20,20,20,40),(40,40,40,20)的方案,
因此可能的方案是(20,20,40,40),记为方案2.
下面对这两个方案进行分析:
对于方案1,即方案(10,10,50,50),由(1)知E(X)=60,
D(X)=(20-60)2×.
对于方案2,即方案(20,20,40,40),设顾客所获的奖励金额为Y元,则Y的可能取值为40,60,80,
P(Y=40)=,
P(Y=80)=,
所以Y的概率分布为
Y 40 60 80
P
所以E(Y)=40×=60,
D(Y)=(40-60)2×.
因为两种方案的奖励金额的数学期望都符合要求,但方案2的奖励金额的方差要比方案1的小,
所以应选择方案2,即袋子中装有标有面值为20元和40元的球各2个.
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