2025苏教版高中数学选择性必修第二册强化练习题（含解析）--第2课时 组合的应用
文档属性
| 名称 | 2025苏教版高中数学选择性必修第二册强化练习题（含解析）--第2课时 组合的应用 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 329.0KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-12-15 18:48:47 | ||
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文档简介
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2025苏教版高中数学选择性必修第二册
第2课时 组合的应用
基础过关练
题组一 多面手问题
1.(2024广东清远期中)“赛龙舟”是端午节的习俗之一,也是端午节最重要的节日民俗活动之一,某单位龙舟队欲参加端午节龙舟赛,参加训练的8名队员中有3人只会划左桨,3人只会划右桨,2人既会划左桨又会划右桨.现要选派3人划左桨、3人划右桨共6人去参加比赛,则不同的选派方法共有( )
A.26种 B.31种 C.36种 D.37种
2.(2022上海市实验学校期末)某国际旅行社有11名对外翻译人员,其中有5人只会英语,4人只会法语,2人既会英语又会法语,现从这11人中选出4人当英语翻译,4人当法语翻译,则不同的选法种数为( )
A.225 B.185 C.145 D.110
题组二 有限制条件的组合问题
3.(2023重庆西南大学附属中学、重庆外国语学校、重庆育才中学期中联考)某校开设A类选修课4门,B类选修课2门,每位同学从中选3门,若要求两类课程中都至少选一门,则不同的选法种数为( )
A.32 B.20 C.16 D.14
4.(多选题)(2022山东德州第一中学月考)甲学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门课程中选三门作为选考科目,则下列说法正确的有( )
A.若任意选择三门课程,则有种选法
B.若物理和化学至少选一门,则有种选法
C.若物理和历史不能同时选,则有()种选法
D.若物理和化学至少选一门,且物理和历史不同时选,则有()种选法
5.(2024江苏泰州中学月考)某班共有团员14人,其中男团员8人,女团员6人,并且男、女团员各有一名组长,现从中选6人参加学校的团员座谈会.(用数字作答)
(1)若至少有1名组长当选,求不同的选法种数;
(2)若至多有3名女团员当选,求不同的选法种数;
(3)若既有组长当选,又有女团员当选,求不同的选法种数.
题组三 几何中的组合问题
6.(2024湖南常德汉寿第一中学月考)如图,在四棱锥P-ABCD中,从除顶点P外的其他的顶点和各条棱的中点中取3个,使它们和点P在同一平面内,则不同的取法种数为 .(用数字作答)
7.(2023江苏淮安涟水月考)平面上有9个点,其中有4个点共线,除此外无3点共线.
(1)这9个点可确定多少条不同的直线
(2)以这9个点中的3个点为顶点,可以确定多少个三角形
(3)以这9个点中的4个点为顶点,可以确定多少个四边形
题组四 分组与分配问题
8.(2024江苏淮安马坝高级中学学情调研)将5名学生分配到甲、乙两个宿舍,每个宿舍至少安排2名学生,那么互不相同的安排方法的种数为( )
A.10 B.20 C.30 D.40
9.(2024江苏镇江丹阳期初)某校高二年级在安排自习辅导时,将5位不同学科的老师分配到3个不同班级进行学科辅导,每个班级至少一位老师,则不同分配方案的种数为( )
A.60 B.150 C.180 D.240
10.(2024江苏连云港东海高级中学月考)某校将8个足球赛志愿者名额分配到高一年级的四个班级,每班至少一个名额,则不同的分配方法共有 种(用数字作答).
题组五 排列与组合的综合应用
11.(2024陕西榆林二模)甲、乙、丙、丁四人计划一起去陕西省榆林市旅游,他们从榆林古城、镇北台、红石峡、榆林沙漠国家森林公园、红碱淖、白云山、易马城遗址这7个景点中选4个游玩(按照游玩的顺序,最先到达的称为第一站,后面到达的依次称为第二、三、四站),已知他们第一站不去榆林沙漠国家森林公园,且第四站去红碱淖或白云山,则他们这四站景点的选法共有( )
A.180种 B.200种 C.240种 D.300种
12.(2024湖北荆州沙市中学月考)某小组两名男生和两名女生邀请一名老师排成一排合影留念,要求两名男生不相邻,两名女生也不相邻,老师不站在两端,则不同的排法共有( )
A.8种 B.16种 C.24种 D.32种
13.(2024山东青岛期末)一排有8个座位,如果每个座位只能坐1人,现安排四人就座,恰有两个空位相邻的不同坐法有 种(用数字作答).
能力提升练
题组一 组合的实际应用
1.(2024江苏镇江第一中学月考)三位同学参加某项体育测试,每人要从100 m跑、引体向上、跳远、铅球四个项目中选出两个项目参加测试,则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是( )
A.
2.(多选题)(2023江苏南京第九中学期末)如图,在某城市中,M,N两地之间有整齐的方格形道路网,其中A1,A2,A3,A4是道路网中位于一条对角线上的4个交会处.今在道路网M,N处的甲、乙两人分别要到N,M处,他们分别随机选择一条沿街的最短路径,以相同的速度同时出发,直到到达N,M处为止,则下列说法正确的有( )
A.甲从M到达N处的走法种数为20
B.甲从M必须经过A3到达N处的走法种数为9
C.甲、乙两人能在A3处相遇的走法种数为36
D.甲、乙两人能相遇的走法种数为162
3.以长方体ABCD-A1B1C1D1的任意三个顶点为顶点作三角形,从中随机取出2个三角形,则这2个三角形不共面的情况种数为( )
A.1 480 B.1 468
C.1 516 D.1 492
题组二 排列与组合的综合应用
4.(2023江苏郑梁梅高级中学期中)在数学中,自然常数e≈2.718 28.小明打算将自然常数的前6位数字2,7,1,8,2,8进行某种排列得到密码.如果排列时要求2不排在第一位,两个8相邻,那么小明可以设置的不同的密码个数为( )
A.48 B.36 C.32 D.30
5.(2022江苏无锡天一中学期末)甲、乙、丙、丁4人站到共有4级的台阶上,若每级台阶最多站2人,同一级台阶上的人不区分站的位置,则不同的站法种数是( )
A.204 B.84 C.66 D.60
6.(2024湖南长沙第一中学模拟)设集合A={a,b,c},其中a,b,c为自然数且a+b+c=100,则符合条件的集合A的个数为( )
A.833 B.884 C.5 050 D.5 151
7.(2024江西宜春丰城第九中学期末)如图,将1,2,3,4这四个数字填在6个“”中,每个“”中填一个数字,有线段连接的两个“”不能填相同数字,四个数字不必均使用,则不同的填数方法有 种.
8.(2024广东惠州三校联考)已知10件不同的产品中有4件次品,现对这10件产品一一进行测试,直至找到所有次品.
(1)若恰在第2次测试找到第一件次品,第8次测试才找到最后一件次品,则共有多少种不同的测试情况
(2)若至多测试6次就能找到所有次品,则共有多少种不同的测试情况
答案与分层梯度式解析
第2课时 组合的应用
基础过关练
1.D 2.B 3.C 4.AC 8.B 9.B 11.B 12.D
1.D 记既会划左桨又会划右桨的2人分别为A,B,分三种情况讨论:
①从只会划左桨的3人中选3人划左桨,从剩下的人中选3人划右桨,则有=10种选法;
②从只会划左桨的3人中选2人划左桨,从A,B中选1人划左桨,再从剩下的会划右桨的4个人中选3人划右桨,则有=24种选法;
③从只会划左桨的3人中选1人划左桨,A,B这两人划左桨,会划右桨的3人划右桨,则有=3种选法.
综上,共有10+24+3=37种不同的选法.
故选D.
2.B 分三类:①既会英语又会法语的2人均未入选,有=120种选法.故共有5+60+120=185种不同的选法.
故选B.
3.C 若从A类选修课中选1门,B类选修课中选2门,则不同的选法种数为=12.所以两类课程中都至少选一门,不同的选法种数为4+12=16.故选C.
4.AC 对于A,从六门课程中选三门,共有种选法,故A正确;
对于B,从物理、化学中选一门,从除物理、化学之外的其他课程中任选两门,有)种选法,故B错误;
对于C,六门课程中任选三门有)种选法,故C正确;
对于D,应分三种情况:
①只选物理,不选化学,且物理和历史不同时选,有种选法;
②只选化学,不选物理,有种选法;
③若物理与化学都选,则有种选法.
故共有()种选法,故D错误.
故选AC.
5.解析 (1)解法一(直接法):至少有1名组长包含两种情况:有1名组长和2名组长,
故不同的选法种数为=2 079.
解法二(间接法):若选出的人中没有组长,则共有种选法,
故至少有1名组长当选的选法种数为=2 079.
(2)至多有3名女团员包含四种情况:有3名女团员,有2名女团员,有1名女团员,没有女团员,故不同的选法种数为=2 534.
(3)既有组长当选,又有女团员当选包含两种情况:
①女组长当选,再从剩余13人中选5人即可,有种选法;
②女组长不当选,男组长当选,从剩余7名男团员,5名女团员(不包括女组长)中选5人,且至少选择1名女团员,有()种选法.
综上,满足条件的不同的选法种数为=2 058.
6.答案 56
解析 分为三类:
第一类,从四棱锥的每个侧面上除点P外的5个点中任取3个点,有4种取法;
第二类,从对角面PBD和对角面PAC上除点P外的4个点中任取3个点,有2种取法;
第三类,在过点P的侧棱中,每条棱上的3个点和与这条棱成异面直线的底面棱的中点也共面,有4种取法.
所以满足题意的不同取法共有4=56(种).
7.解析 把共线的4点分别记为A,B,C,D.
(1)解法一(直接法):可分为三类:
第一类:A,B,C,D确定1条直线;
第二类:除A,B,C,D外的5个点可确定条直线;
第三类:从A,B,C,D中任取1个点,从除A,B,C,D外的5个点中任取1个点,可确定条直线.
根据分类计数原理可得不同的直线共有1+=1+10+20=31(条).
解法二(间接法):从9个点中任取2个点,共有+1=31(条).
(2)解法一(直接法):①从A,B,C,D中任取2个点,从除A,B,C,D外的5个点中任取1个点,可确定个三角形;
②从A,B,C,D中任取1个点,从除A,B,C,D外的5个点中任取2个点,可确定个三角形;
③从除A,B,C,D外的5个点中任取3个点,可确定个三角形.
故可确定=80个三角形.
解法二(间接法):从9个点中任取3个点,共有=80个三角形.
(3)解法一(直接法):从除A,B,C,D外的5个点中任取4个、3个、2个点,可确定=105个四边形.
解法二(间接法):从9个点中任取4个点,共有种取法,其中不构成四边形的可分为两类:
第一类:4个点共线,有种取法;
第二类:从共线的4个点中任取3个点,第4个点来自于从除A,B,C,D外的5个点中任取1个点,共有种取法.
故可确定=105个四边形.
8.B 将5名学生分配到甲、乙两个宿舍,每个宿舍至少安排2名学生,那么必然是一个宿舍2名,而另一个宿舍3名,所以互不相同的安排方法的种数为=20.故选B.
9.B 将5位老师按照“2,2,1”或“3,1,1”进行分组,再分配给3个班级,所以不同分配方案的种数为=150.
故选B.
10.答案 35
解析 将8个名额排成一列,有7个间隔,在这7个间隔中插入3个隔板,可将8个名额分成4组,依次对应4个班级,所以有=35种分配方法.
方法总结 解决相同元素分配问题常用隔板法,用隔板将相同元素分成若干份,不同的分法对应不同的分配数量.
11.B 先考虑第四站,第四站去红碱淖或白云山,有=200种.故选B.
12.D 当老师从左到右排在第二或第四的位置时,有=16种排法.
综上,共有16+16=32种排法.故选D.
13.答案 720
解析 可看成4个坐着人的座位和4个空座位排队,
先安排4个坐着人的座位,共有种排法,产生5个空,
然后安排空座位到空中,分两步:①将相邻的两个空座位捆在一起看成一个元素安排到空中,有种方法.
所以共有=720种坐法.
能力提升练
1.C 2.AB 3.B 4.B 5.A 6.A
1.C 三位同学选择两个项目的试验的基本事件有(-1)个,
所以有且仅有两人选择的项目完全相同的概率P=.故选C.
2.AB 对于A,甲从M到达N处只需向上、向右各走3步,共走6步,走法种数为=20,故A正确;
对于B,甲从M到A3的走法有=9种走法,故B正确;
对于C,甲经过A3的走法有9种,同理乙经过A3的走法有9种,则两人能在A3处相遇共有9×9=81种走法,故C错误;
对于D,若甲、乙两人相遇,则相遇点为A1,A2,A3,A4中的一个,在A1,A4相遇各有1种走法,在A2,A3相遇各有81种走法,故甲、乙两人能相遇的走法有1+1+81+81=164(种),故D错误.
故选AB.
3.B 因为长方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点中的任意三个均不共线,所以从八个顶点中任取三个均可构成1个三角形,共有=1 468(种),故选B.
4.B 分两种情况:
①8排在第一位,则第二位也是8,再从剩下的4个位置中选出2个,安排两个2,最后安排7和1,此时有=12个不同的密码;
②8不排在第一位,则第一位安排7或1,将两个8看成一个整体,与两个2,7和1中剩下的数排列,此时有=24个不同的密码.
综上,共有12+24=36个不同的密码.故选B.
5.A 分三类:
第一类:甲、乙、丙、丁各自站在一级台阶上,共有=24种站法;
第二类:有2人站在同一级台阶上,剩余2人站在剩余3级台阶中的同一级台阶上,共有=36种站法;
第三类:有2人站在同一级台阶上,剩余2人各自站在剩余3级台阶中的一级台阶上,共有=144种站法.
所以不同的站法种数是24+36+144=204.故选A.
6.A 将100个小球排成一列,在101个空位(包括两端的空位)中插入第一个挡板,再在产生的102个空位中插入第二个挡板,将小球分成三段,记每段中的小球个数分别为a,b,c,共有=5 151种结果,
因为a,b,c中含有两个0,1,2,…,50的情况各有3种,
所以a,b,c三个数各不相等的结果共有5 151-3×51=4 998种,
因为三个元素的每种取值有6种不同顺序,
所以由集合元素的无序性可知符合条件的集合A的个数为4 998÷6=833.故选A.
7.答案 264
解析 如图,
当用四个数字时,先填A,E,D,有种填法,再从B,F,C中选一处填第四个数,如B,再填F,
若F与D相同,则C有2种填法,若F与D不同,则C有1种填法,故有(2+1)种填法;
当用三个数字时,先填A,E,D,有种填法.
由分类计数原理得,不同的填数方法为=264(种).
8.解析 (1)需测试8次,按顺序可看成8个位置,第一步,第一个位置放置正品,第二步,选2个次品放在第二和第八个位置,第三步,在第三到第七个位置中选2个位置放置剩余的2个次品,其他3个位置放3个正品,由分步计数原理可得,共有=86 400种不同的测试情况.
(2)分三种情况:
①恰好4次找到所有次品,即前4次测试都是次品,有种不同的情况;
②恰好5次找到所有次品,即第5次是次品,前4次中有3次是次品,有种不同的情况;
③恰好6次找到所有次品,即第6次是次品,前5次中有3次是次品或前6次都是正品,有()种不同的情况.
所以不同的测试情况种数为)=8 520.
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2025苏教版高中数学选择性必修第二册
第2课时 组合的应用
基础过关练
题组一 多面手问题
1.(2024广东清远期中)“赛龙舟”是端午节的习俗之一,也是端午节最重要的节日民俗活动之一,某单位龙舟队欲参加端午节龙舟赛,参加训练的8名队员中有3人只会划左桨,3人只会划右桨,2人既会划左桨又会划右桨.现要选派3人划左桨、3人划右桨共6人去参加比赛,则不同的选派方法共有( )
A.26种 B.31种 C.36种 D.37种
2.(2022上海市实验学校期末)某国际旅行社有11名对外翻译人员,其中有5人只会英语,4人只会法语,2人既会英语又会法语,现从这11人中选出4人当英语翻译,4人当法语翻译,则不同的选法种数为( )
A.225 B.185 C.145 D.110
题组二 有限制条件的组合问题
3.(2023重庆西南大学附属中学、重庆外国语学校、重庆育才中学期中联考)某校开设A类选修课4门,B类选修课2门,每位同学从中选3门,若要求两类课程中都至少选一门,则不同的选法种数为( )
A.32 B.20 C.16 D.14
4.(多选题)(2022山东德州第一中学月考)甲学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门课程中选三门作为选考科目,则下列说法正确的有( )
A.若任意选择三门课程,则有种选法
B.若物理和化学至少选一门,则有种选法
C.若物理和历史不能同时选,则有()种选法
D.若物理和化学至少选一门,且物理和历史不同时选,则有()种选法
5.(2024江苏泰州中学月考)某班共有团员14人,其中男团员8人,女团员6人,并且男、女团员各有一名组长,现从中选6人参加学校的团员座谈会.(用数字作答)
(1)若至少有1名组长当选,求不同的选法种数;
(2)若至多有3名女团员当选,求不同的选法种数;
(3)若既有组长当选,又有女团员当选,求不同的选法种数.
题组三 几何中的组合问题
6.(2024湖南常德汉寿第一中学月考)如图,在四棱锥P-ABCD中,从除顶点P外的其他的顶点和各条棱的中点中取3个,使它们和点P在同一平面内,则不同的取法种数为 .(用数字作答)
7.(2023江苏淮安涟水月考)平面上有9个点,其中有4个点共线,除此外无3点共线.
(1)这9个点可确定多少条不同的直线
(2)以这9个点中的3个点为顶点,可以确定多少个三角形
(3)以这9个点中的4个点为顶点,可以确定多少个四边形
题组四 分组与分配问题
8.(2024江苏淮安马坝高级中学学情调研)将5名学生分配到甲、乙两个宿舍,每个宿舍至少安排2名学生,那么互不相同的安排方法的种数为( )
A.10 B.20 C.30 D.40
9.(2024江苏镇江丹阳期初)某校高二年级在安排自习辅导时,将5位不同学科的老师分配到3个不同班级进行学科辅导,每个班级至少一位老师,则不同分配方案的种数为( )
A.60 B.150 C.180 D.240
10.(2024江苏连云港东海高级中学月考)某校将8个足球赛志愿者名额分配到高一年级的四个班级,每班至少一个名额,则不同的分配方法共有 种(用数字作答).
题组五 排列与组合的综合应用
11.(2024陕西榆林二模)甲、乙、丙、丁四人计划一起去陕西省榆林市旅游,他们从榆林古城、镇北台、红石峡、榆林沙漠国家森林公园、红碱淖、白云山、易马城遗址这7个景点中选4个游玩(按照游玩的顺序,最先到达的称为第一站,后面到达的依次称为第二、三、四站),已知他们第一站不去榆林沙漠国家森林公园,且第四站去红碱淖或白云山,则他们这四站景点的选法共有( )
A.180种 B.200种 C.240种 D.300种
12.(2024湖北荆州沙市中学月考)某小组两名男生和两名女生邀请一名老师排成一排合影留念,要求两名男生不相邻,两名女生也不相邻,老师不站在两端,则不同的排法共有( )
A.8种 B.16种 C.24种 D.32种
13.(2024山东青岛期末)一排有8个座位,如果每个座位只能坐1人,现安排四人就座,恰有两个空位相邻的不同坐法有 种(用数字作答).
能力提升练
题组一 组合的实际应用
1.(2024江苏镇江第一中学月考)三位同学参加某项体育测试,每人要从100 m跑、引体向上、跳远、铅球四个项目中选出两个项目参加测试,则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是( )
A.
2.(多选题)(2023江苏南京第九中学期末)如图,在某城市中,M,N两地之间有整齐的方格形道路网,其中A1,A2,A3,A4是道路网中位于一条对角线上的4个交会处.今在道路网M,N处的甲、乙两人分别要到N,M处,他们分别随机选择一条沿街的最短路径,以相同的速度同时出发,直到到达N,M处为止,则下列说法正确的有( )
A.甲从M到达N处的走法种数为20
B.甲从M必须经过A3到达N处的走法种数为9
C.甲、乙两人能在A3处相遇的走法种数为36
D.甲、乙两人能相遇的走法种数为162
3.以长方体ABCD-A1B1C1D1的任意三个顶点为顶点作三角形,从中随机取出2个三角形,则这2个三角形不共面的情况种数为( )
A.1 480 B.1 468
C.1 516 D.1 492
题组二 排列与组合的综合应用
4.(2023江苏郑梁梅高级中学期中)在数学中,自然常数e≈2.718 28.小明打算将自然常数的前6位数字2,7,1,8,2,8进行某种排列得到密码.如果排列时要求2不排在第一位,两个8相邻,那么小明可以设置的不同的密码个数为( )
A.48 B.36 C.32 D.30
5.(2022江苏无锡天一中学期末)甲、乙、丙、丁4人站到共有4级的台阶上,若每级台阶最多站2人,同一级台阶上的人不区分站的位置,则不同的站法种数是( )
A.204 B.84 C.66 D.60
6.(2024湖南长沙第一中学模拟)设集合A={a,b,c},其中a,b,c为自然数且a+b+c=100,则符合条件的集合A的个数为( )
A.833 B.884 C.5 050 D.5 151
7.(2024江西宜春丰城第九中学期末)如图,将1,2,3,4这四个数字填在6个“”中,每个“”中填一个数字,有线段连接的两个“”不能填相同数字,四个数字不必均使用,则不同的填数方法有 种.
8.(2024广东惠州三校联考)已知10件不同的产品中有4件次品,现对这10件产品一一进行测试,直至找到所有次品.
(1)若恰在第2次测试找到第一件次品,第8次测试才找到最后一件次品,则共有多少种不同的测试情况
(2)若至多测试6次就能找到所有次品,则共有多少种不同的测试情况
答案与分层梯度式解析
第2课时 组合的应用
基础过关练
1.D 2.B 3.C 4.AC 8.B 9.B 11.B 12.D
1.D 记既会划左桨又会划右桨的2人分别为A,B,分三种情况讨论:
①从只会划左桨的3人中选3人划左桨,从剩下的人中选3人划右桨,则有=10种选法;
②从只会划左桨的3人中选2人划左桨,从A,B中选1人划左桨,再从剩下的会划右桨的4个人中选3人划右桨,则有=24种选法;
③从只会划左桨的3人中选1人划左桨,A,B这两人划左桨,会划右桨的3人划右桨,则有=3种选法.
综上,共有10+24+3=37种不同的选法.
故选D.
2.B 分三类:①既会英语又会法语的2人均未入选,有=120种选法.故共有5+60+120=185种不同的选法.
故选B.
3.C 若从A类选修课中选1门,B类选修课中选2门,则不同的选法种数为=12.所以两类课程中都至少选一门,不同的选法种数为4+12=16.故选C.
4.AC 对于A,从六门课程中选三门,共有种选法,故A正确;
对于B,从物理、化学中选一门,从除物理、化学之外的其他课程中任选两门,有)种选法,故B错误;
对于C,六门课程中任选三门有)种选法,故C正确;
对于D,应分三种情况:
①只选物理,不选化学,且物理和历史不同时选,有种选法;
②只选化学,不选物理,有种选法;
③若物理与化学都选,则有种选法.
故共有()种选法,故D错误.
故选AC.
5.解析 (1)解法一(直接法):至少有1名组长包含两种情况:有1名组长和2名组长,
故不同的选法种数为=2 079.
解法二(间接法):若选出的人中没有组长,则共有种选法,
故至少有1名组长当选的选法种数为=2 079.
(2)至多有3名女团员包含四种情况:有3名女团员,有2名女团员,有1名女团员,没有女团员,故不同的选法种数为=2 534.
(3)既有组长当选,又有女团员当选包含两种情况:
①女组长当选,再从剩余13人中选5人即可,有种选法;
②女组长不当选,男组长当选,从剩余7名男团员,5名女团员(不包括女组长)中选5人,且至少选择1名女团员,有()种选法.
综上,满足条件的不同的选法种数为=2 058.
6.答案 56
解析 分为三类:
第一类,从四棱锥的每个侧面上除点P外的5个点中任取3个点,有4种取法;
第二类,从对角面PBD和对角面PAC上除点P外的4个点中任取3个点,有2种取法;
第三类,在过点P的侧棱中,每条棱上的3个点和与这条棱成异面直线的底面棱的中点也共面,有4种取法.
所以满足题意的不同取法共有4=56(种).
7.解析 把共线的4点分别记为A,B,C,D.
(1)解法一(直接法):可分为三类:
第一类:A,B,C,D确定1条直线;
第二类:除A,B,C,D外的5个点可确定条直线;
第三类:从A,B,C,D中任取1个点,从除A,B,C,D外的5个点中任取1个点,可确定条直线.
根据分类计数原理可得不同的直线共有1+=1+10+20=31(条).
解法二(间接法):从9个点中任取2个点,共有+1=31(条).
(2)解法一(直接法):①从A,B,C,D中任取2个点,从除A,B,C,D外的5个点中任取1个点,可确定个三角形;
②从A,B,C,D中任取1个点,从除A,B,C,D外的5个点中任取2个点,可确定个三角形;
③从除A,B,C,D外的5个点中任取3个点,可确定个三角形.
故可确定=80个三角形.
解法二(间接法):从9个点中任取3个点,共有=80个三角形.
(3)解法一(直接法):从除A,B,C,D外的5个点中任取4个、3个、2个点,可确定=105个四边形.
解法二(间接法):从9个点中任取4个点,共有种取法,其中不构成四边形的可分为两类:
第一类:4个点共线,有种取法;
第二类:从共线的4个点中任取3个点,第4个点来自于从除A,B,C,D外的5个点中任取1个点,共有种取法.
故可确定=105个四边形.
8.B 将5名学生分配到甲、乙两个宿舍,每个宿舍至少安排2名学生,那么必然是一个宿舍2名,而另一个宿舍3名,所以互不相同的安排方法的种数为=20.故选B.
9.B 将5位老师按照“2,2,1”或“3,1,1”进行分组,再分配给3个班级,所以不同分配方案的种数为=150.
故选B.
10.答案 35
解析 将8个名额排成一列,有7个间隔,在这7个间隔中插入3个隔板,可将8个名额分成4组,依次对应4个班级,所以有=35种分配方法.
方法总结 解决相同元素分配问题常用隔板法,用隔板将相同元素分成若干份,不同的分法对应不同的分配数量.
11.B 先考虑第四站,第四站去红碱淖或白云山,有=200种.故选B.
12.D 当老师从左到右排在第二或第四的位置时,有=16种排法.
综上,共有16+16=32种排法.故选D.
13.答案 720
解析 可看成4个坐着人的座位和4个空座位排队,
先安排4个坐着人的座位,共有种排法,产生5个空,
然后安排空座位到空中,分两步:①将相邻的两个空座位捆在一起看成一个元素安排到空中,有种方法.
所以共有=720种坐法.
能力提升练
1.C 2.AB 3.B 4.B 5.A 6.A
1.C 三位同学选择两个项目的试验的基本事件有(-1)个,
所以有且仅有两人选择的项目完全相同的概率P=.故选C.
2.AB 对于A,甲从M到达N处只需向上、向右各走3步,共走6步,走法种数为=20,故A正确;
对于B,甲从M到A3的走法有=9种走法,故B正确;
对于C,甲经过A3的走法有9种,同理乙经过A3的走法有9种,则两人能在A3处相遇共有9×9=81种走法,故C错误;
对于D,若甲、乙两人相遇,则相遇点为A1,A2,A3,A4中的一个,在A1,A4相遇各有1种走法,在A2,A3相遇各有81种走法,故甲、乙两人能相遇的走法有1+1+81+81=164(种),故D错误.
故选AB.
3.B 因为长方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点中的任意三个均不共线,所以从八个顶点中任取三个均可构成1个三角形,共有=1 468(种),故选B.
4.B 分两种情况:
①8排在第一位,则第二位也是8,再从剩下的4个位置中选出2个,安排两个2,最后安排7和1,此时有=12个不同的密码;
②8不排在第一位,则第一位安排7或1,将两个8看成一个整体,与两个2,7和1中剩下的数排列,此时有=24个不同的密码.
综上,共有12+24=36个不同的密码.故选B.
5.A 分三类:
第一类:甲、乙、丙、丁各自站在一级台阶上,共有=24种站法;
第二类:有2人站在同一级台阶上,剩余2人站在剩余3级台阶中的同一级台阶上,共有=36种站法;
第三类:有2人站在同一级台阶上,剩余2人各自站在剩余3级台阶中的一级台阶上,共有=144种站法.
所以不同的站法种数是24+36+144=204.故选A.
6.A 将100个小球排成一列,在101个空位(包括两端的空位)中插入第一个挡板,再在产生的102个空位中插入第二个挡板,将小球分成三段,记每段中的小球个数分别为a,b,c,共有=5 151种结果,
因为a,b,c中含有两个0,1,2,…,50的情况各有3种,
所以a,b,c三个数各不相等的结果共有5 151-3×51=4 998种,
因为三个元素的每种取值有6种不同顺序,
所以由集合元素的无序性可知符合条件的集合A的个数为4 998÷6=833.故选A.
7.答案 264
解析 如图,
当用四个数字时,先填A,E,D,有种填法,再从B,F,C中选一处填第四个数,如B,再填F,
若F与D相同,则C有2种填法,若F与D不同,则C有1种填法,故有(2+1)种填法;
当用三个数字时,先填A,E,D,有种填法.
由分类计数原理得,不同的填数方法为=264(种).
8.解析 (1)需测试8次,按顺序可看成8个位置,第一步,第一个位置放置正品,第二步,选2个次品放在第二和第八个位置,第三步,在第三到第七个位置中选2个位置放置剩余的2个次品,其他3个位置放3个正品,由分步计数原理可得,共有=86 400种不同的测试情况.
(2)分三种情况:
①恰好4次找到所有次品,即前4次测试都是次品,有种不同的情况;
②恰好5次找到所有次品,即第5次是次品,前4次中有3次是次品,有种不同的情况;
③恰好6次找到所有次品,即第6次是次品,前5次中有3次是次品或前6次都是正品,有()种不同的情况.
所以不同的测试情况种数为)=8 520.
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