2025苏教版高中数学选择性必修第二册强化练习题（含解析）--第7章 计数原理复习提升
文档属性
| 名称 | 2025苏教版高中数学选择性必修第二册强化练习题（含解析）--第7章 计数原理复习提升 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 347.2KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-12-15 18:51:45 | ||
图片预览
文档简介
中小学教育资源及组卷应用平台
2025苏教版高中数学选择性必修第二册
本章复习提升
易混易错练
易错点1 重复计数导致错误
1.从集合{1,2,3,4,5}中任取2个不同的数,作为直线方程Ax+By=0的系数,则最多可得到不同的直线的条数为( )
A.18 B.20 C.25 D.10
2.(2024江苏睢宁高级中学学情检测)某班联欢会原定3个节目已排成节目单,开演前又增加了2个节目,如果将这2个新节目插入节目单中,那么不同的插法种数为( )
A.12 B.20 C.24 D.30
3.(2024江苏南京六校调研)有5个人到南京、镇江、扬州的三所学校去应聘,若每人至多被一个学校录用,每个学校至少录用其中一人,则不同的录用情况种数是( )
A.300 B.360
C.390 D.420
4.(2024江苏泰州调研)将“用一条线段连接两个点”称为一次操作,把操作得到的线段称为“边”.若单位圆上n个颜色各不相同的点经过k次操作后,从任意一点出发,沿着边可以到达其他任意点,就称这n个点和k条边所构成的图形满足“条件T”,并将所有满足“条件T”的图形个数记为T(n,k),则T(5,4)= .
易错点2 对特殊元素或特殊位置考虑不周导致错误
5.(2024江苏南通海安高级中学阶段测试)某运动队的7名队员合影留念,计划站成一横排,但甲不站最左端,乙不站最右端,丙不站正中间,则他们的不同排法有( )
A.3 864种 B.3 216种
C.3 144种 D.2 952种
6.(多选题)(2023江苏盐城响水第二中学学情分析)现将9把椅子排成一排,5位同学随机就座,则下列说法中正确的是( )
A.4把空椅子全都相邻的排法有720种
B.4把空椅子中只有3把相邻的排法有1 800种
C.4把空椅子均不相邻的排法有1 800种
D.4把空椅子中至多有2把相邻的排法有9 000种
7.(2024江苏南通海门中学阶段考试)用0,1,2,3,4这五个数字组成无重复数字的自然数.
(1)在组成的三位数中,求所有偶数的个数;
(2)在组成的三位数中,如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小,则称这个数为“凹数”,如301,423等都是“凹数”,试求“凹数”的个数;
(3)在组成的五位数中,求恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数.
易错点3 混淆二项展开式中项的系数与二项式系数导致错误
8.(2023江苏苏州实验中学月考)若(2+ax)n(a≠0)的展开式中各项的二项式系数之和为512,且第6项的系数最大,则a的取值范围为( )
A.(-∞,0)∪[2,3] B.(-∞,0)∪
C.[2,3] D.
9.(2024山东菏泽第一中学开学考试)已知(1+2x)6的展开式的二项式系数的最大值为a,系数的最大值为b,则= .
思想方法练
一、整体思想在排列、组合中的应用
1.(多选题)(2024辽宁期末)把5件不同产品A,B,C,D,E摆成一排,则( )
A.A与B相邻有48种摆法
B.A与C相邻有48种摆法
C.A,B相邻,且A,C相邻有12种摆法
D.A与B相邻,且A与C不相邻有24种摆法
2.某电视台连续播放7个不同的广告,其中4个不同的商业广告和3个不同的公益广告,要求所有的公益广告必须连续播放,则不同的播放方式的种数为 .
二、分类讨论思想在排列、组合中的应用
3.(2024重庆乌江新高考协作体联合调研)已知无盖正方体容器的五个面上分别标有A,B,C,D,E五个字母,现需要给容器的5个表面染色,要求有公共棱的面不能染同一种颜色,有5种不同的颜色可供选择,则不同的染色方案种数为( )
A.420 B.340 C.300 D.120
4.(2024湖北武汉华中师大第一附中月考)武术是中国的四大国粹之一,某武校上午开设文化课,下午开设武术课,某年级武术课有太极拳、形意拳、长拳、兵器四门,计划从周一到周五每天下午排两门课,每周太极拳和形意拳上课三次,长拳和兵器上课两次,同样的课每天只上一次,则排课方法共有( )
A.19 840种 B.16 000种
C.31 360种 D.9 920种
三、转化与化归思想在排列、组合、二项式定理中的应用
5.(2024河北名校联合体开学测试)某单位春节共有四天假期,但每天都需要留一名员工值班,现从甲、乙、丙、丁、戊、己这六人中选出四人值班,每名员工最多值班一天.已知甲在第一天不值班,乙在第四天不值班,则值班安排共有( )
A.184种 B.196种
C.252种 D.268种
6.(2022吉林长春十一高中期中)现有红色、黄色小球各两个,蓝色小球一个,所有小球彼此不同,现将五个小球排成一行,颜色相同的小球不相邻,则不同的排法种数为( )
A.48 B.72 C.78 D.84
7.(2024四川成都第七中学模拟)的展开式中常数项为( )
A.11 B.-11 C.8 D.-7
四、函数与方程思想在二项式定理中的应用
8.(2024山西运城景胜中学月考)设ai(i=0,1,2,…,2 020)是常数, x∈R,都有x2 020=a0+a1(x-1)+a2(x-1)(x-2)+…+a2 020(x-1)·(x-2)…(x-2 020),则-a0+a1-a2+2!a3-3!a4+4!a5-…+2 018!a2 019-2 019!a2 020=( )
A.2 019 B.2 020
C.2 019! D.2 020!
9.(2024江苏南京六校期初调研)已知(mx-y)5的展开式中x2y4的系数为80,则m的值为 .
10.(2024福建南平高级中学月考)已知(2x+3)9=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+an(x+1)n.
(1)求a1+a2+…+an(所得结果用幂指数表示);
(2)求a2的值.
答案与分层梯度式解析
本章复习提升
易混易错练
1.A 2.B 3.C 5.B 6.AC 8.C
1.A 第一步,给A赋值有5种选择,第二步,给B赋值有4种选择,由分步计数原理知,可得到5×4=20条直线,但当A=1,B=2与A=2,B=4时,方程表示同一条直线,且当A=2,B=1与A=4,B=2时,方程也表示同一条直线,∴最多可得到不同的直线的条数为20-2=18.
易错警示 在解本题时要注意直线方程的特征,不要想当然地认为只要选取两个不同的数作为A,B就可得到不同的直线,从而得出错误答案.实际上,当A=1,B=2与A=2,B=4时,得到的是同一条直线;当A=2,B=1与A=4,B=2时,得到的也是同一条直线.所以进行计数时,不但要懂得灵活应用计数原理,更要考虑问题的实际情况,避免重复计数.
2.B 将这2个新节目插入节目单可分两种情况讨论:
①若2个新节目相邻,则在原定3个节目已排成节目单产生的4个空位中,选1个位置安排2个新节目,且2个新节目顺序可变,此时有=8种插法;
②若2个新节目不相邻,则在原定3个节目已排成节目单产生的4个空位中,选2个位置安排2个新节目,且2个新节目顺序可变,此时有=12种插法,所以共有8+12=20种插法.
故选B.
易错警示 插入2个新节目有两种情况:相邻与不相邻,解题时需分类讨论,防止只分析一种情况造成遗漏,导致解题错误.
3.C (1)当5人中有3人被录用时,不同的录用情况种数为=60;
(2)当5人中有4人被录用时,不同的录用情况种数为=180;
(3)当5人全部被录用时,不同的录用情况种数为=150.
综上,不同的录用情况种数是60+180+150=390.
故选C.
易错警示 本题是分组分配问题,当录用人数超过学校个数时,解决的步骤是先分组后分配,若采用二次分配方式,即先分3人,再分剩余人,则会因重复计数导致错误.
4.答案 125
解析 T(5,4)即n=5,k=4.在单位圆上有5个颜色不同的点,由4条边连接起来,每条边有2个端点,所以4条边一共有8个端点,又从任意一点出发,沿着边可以到达其他任意一点,所以每一点必定会作为至少一条边的端点,所以可能出现三种情况,按照5个点可能同时作几条边的公共端点来分情况讨论.
①如图1,有3个点是2条边的端点,另2个点是1条边的端点,有=60种情况;
②如图2,有1个点是3条边的端点,有1个点是2条边的端点,另3个点是1条边的端点,有=60种情况;
③如图3,有1个点是4条边的端点,另4个点是1条边的端点,共有=5种情况.
综上,T(5,4)=60+60+5=125.
易错警示 对于特殊类型的排列问题,注意根据问题的特征将其转化为等价的排列问题,涉及分类讨论时,要注意按照某一标准进行分类,确保不重不漏.
5.B 分三种情况讨论:
①当甲在最右端时,若乙在正中间,则丙有5个位置可选,再将剩余的4个人全排列安排在其余的4个位置,有5·=480种情况.此时共有120+480=600种情况.
②当甲在正中间时,分丙在最右端与丙不在最右端两种情况,共有(5+5×4)·=600种情况.
③当甲既不在正中间也不在最右端时,先排甲,有4种方法,再排乙,乙若在正中间,则丙有5种排法;若乙不在正中间,则乙有4种排法,丙有4种排法,最后将剩余的4个人全排列安排在其余的4个位置,共有4×(5+4×4)·=2 016种情况.
综上,不同的排法共有600+600+2 016=3 216(种).故选B.
易错警示 对于特殊元素或特殊位置的排列、组合问题,要先“特殊”再“一般”,思路不当,结果会相差很大.
6.AC 对于A,将4把空椅子看成一个整体,则排法有=720(种),故A正确;
对于B,先排5位同学,有=3 600种排法,故B错误;
对于C,先排5位同学,有=1 800种排法,故C正确;
对于D,至多有2把相邻,即都不相邻或者有2把相邻,由选项C的分析可知,4把空椅子都不相邻有1 800种排法,
2把空椅子相邻,另2把空椅子也相邻,且4把空椅子不相邻,有=7 200种排法,所以共有1 800+1 800+7 200=10 800种排法,故D错误.故选AC.
易错警示 空椅子是相同元素,空椅子所在的位置可以看成不同元素,只有不同元素才可以用排列、组合的方法去计数,本题容易将空椅子而不是将空椅子所在的位置看成元素进行排列导致错误.
7.解析 (1)将所有的三位偶数分为两类:
(i)若个位数为0,则共有=12(个);
(ii)若个位数为2或4,则共有2×3×3=18(个),
所以共有12+18=30个符合题意的三位偶数.
(2)将这些“凹数”分为三类:
(i)若十位上的数字为0,则共有=12(个);
(ii)若十位上的数字为1,则共有=6(个);
(iii)若十位上的数字为2,则共有=2(个),
所以共有12+6+2=20个符合题意的“凹数”.
(3)将符合题意的五位数分为三类:
(i)若两个奇数数字分别在万位、百位上,则共有=12(个);
(ii)若两个奇数数字分别在千位、十位上,则共有=8(个);
(iii)若两个奇数数字分别在百位、个位上,则共有=8(个).
所以共有12+8+8=28个符合题意的五位数.
易错警示 在数字排列问题中,0是一个特殊元素,不能排在首位,奇数和偶数对个位数也有要求,如果忽略特殊数字在排列中的限制,就容易出现计数错误.
8.C 由题意得2n=512,解得n=9,∴(2+ax)n=(2+ax)9,其展开式的通项为Tr+1=23(ax)6,
∵第6项的系数最大,
∴解得2≤a≤3.故选C.
9.答案 12
解析 易知(1+2x)6的展开式的二项式系数的最大值为=20.
(1+2x)6的展开式的系数为2r(r=0,1,…,6),
令
即
∴,
又r∈N,∴r=4.
故系数的最大值为b=24=240.
∴=12.
易错警示 (a+b)n的展开式中,第(r+1)项的二项式系数是一定为正,而对应项的系数可能为负,解题时不要将两者混淆.
思想方法练
1.ABC 3.A 4.D 5.C 6.A 7.B 8.A
1.ABC 解决相邻问题可考虑捆绑法,体现了整体思想.
对于A,A与B相邻,把A,B看成一个整体(易错点:A,B有顺序),与C,D,E全排列,有=48种摆法,故A正确.
对于B,同A中分析可知,A与C相邻也有48种摆法,故B正确.
对于C,当A,B相邻且A,C相邻时,A在B,C之间,位置固定,所以将A,B,C捆绑起来作为一个元素(易错点:B,C有顺序),与D,E全排列,有=2×6=12种摆法,故C正确.
对于D,由A中分析可知,A与B相邻有48种摆法,由C分析知,A,B相邻且A,C相邻有12种摆法,
所以A与B相邻,且A与C不相邻有48-12=36种摆,故D不正确.
故选ABC.
2.答案 720
解析 第一步,将所有的公益广告“捆绑”在一起当成一个元素和其他4个不同的商业广告进行排列,不同的安排方式有=120(种),
第二步,对3个不同的公益广告进行排列,不同的安排方式有=6(种),
故不同的播放方式有120×6=720(种).
公益广告必须连续播放,即排列时要把3个公益广告看成一个整体,再与其他4个元素全排列,体现了整体思想.
思想方法 整体思想在排列、组合中的应用主要体现在有特殊元素、特殊位置的题目中,可以把要求相邻的元素看成一个整体,再和其他元素进行排列或组合.需要注意的是,看成一个整体的元素内部是否还有顺序的要求,若有,则还要考虑内部排列的情况.
3.A 如图,记正方体的左侧面为A,右侧面为C,前侧面为D,后侧面为B,底面为E.
以使用颜色的种数为标准进行分类.
若用5种颜色染色,则不同的染色方案种数为=120.
若用4种颜色染色,则必有A,C同色或B,D同色,则不同的染色方案种数为2=240.
若用3种颜色染色,则必有A,C同色且B,D同色,则不同的染色方案种数为=60.
综上,不同的染色方案种数为120+240+60=420.
故选A.
4.D 先确定从5天中选3天排太极拳的排法情况,再分5天中有3天既有太极拳又有形意拳,5天中有2天既有太极拳又有形意拳,5天中有1天既有太极拳又有形意拳三种情况讨论,体现了分类讨论思想.
先从5天中选3天排太极拳,有种排法.
(1)若5天中有1天既有太极拳又有形意拳,则从排太极拳的3天中选出1天,有种排法;
(2)若5天中有2天既有太极拳又有形意拳,则从排太极拳的3天中选出2天,有)种排法;
(3)若5天中有3天既有太极拳又有形意拳,则从剩下的4节课中选2节排长拳,另外2节排兵器,但长拳和兵器不能排在同一天,所以有种排法.
综上所述,共有)]=80×(72+48+4)=9 920种排课方法.故选D.
思想方法 分类讨论思想是本章最基本的数学思想,在分析较复杂的计数问题时,对问题分类讨论是基本的策略.分类计数原理本身就体现了分类讨论的数学思想,在处理有关计数问题时,要确定恰当的分类标准,对于同一个题目,分类标准不同,分类的结果也会不同.当计数问题过于复杂或限制条件较多时,我们一般采取分类讨论的方法解决,即对计数问题中的各种情况进行分类,然后针对每一类分别研究和求解.
5.C 从六人中选出四人安排值班,共有=12种方法,
先求选四人值班的所有可能方法,然后减去不满足条件的值班方法,体现了转化与化归思想.
因此所求值班安排共有360-60-60+12=252(种).故选C.
6.A 将所求问题转化为求问题的反面,即求颜色相同的小球相邻的排列数,再用总的排列数减去该排列数即为所求,体现了转化与化归思想.
五个小球全排列,共有=120种排法.
当两个红色小球相邻,两个黄色小球相邻时,共有=24种排法;
当两个红色小球相邻,两个黄色小球不相邻时,共有=24种排法;
当两个红色小球不相邻,两个黄色小球相邻时,共有=24种排法.
∴颜色相同的小球不相邻的排法共有120-24-24-24=48(种),故选A.
7.B 将x+看成一个整体,三项式转化为二项式,
体现了转化与化归思想.
将x+(-1)r,
x4-r-3m,
令4-r-3m=0,因为m,r∈N,所以m=0或m=1.
当m=0时,r=4,系数为×(-1)4=1;
当m=1时,r=1,系数为×(-1)1=-12.
所以常数项为1-12=-11.故选B.
思想方法 转化与化归思想在排列、组合、二项式定理中的应用主要体现在当直接求解分类情形较多,计算较复杂时,可以转变思维方式,转化问题,从而利用已有知识求解或利用间接法求解.
8.A 令x=1,得a0=1,
对x2 020=a0+a1(x-1)+a2(x-1)(x-2)+…+a2 020(x-1)·(x-2)…(x-2 020)两边求导得,
2 020x2 019=a1+a2[(x-1)(x-2)]'+…+a2 020[(x-1)·(x-2)…(x-2 020)]',
令fn(x)=(x-1)(x-2)…(x-n),则f'n(x)=(x-1)×[(x-2)×…×(x-n)]'+(x-2)×…×(x-n),
构造函数fn(x),通过求导赋值得到相应的系数表达式,体现了函数思想.
所以f'n(1)=(1-2)×…×(1-n)=(-1)n-1·(n-1)!,
所以2 020×12 019=a1+a2×(-1)1×1!+a3×(-1)2×2!+…+a2 020×(-1)2 019×2 019!,
故2 020=a1-a2+2!a3-…-2 019!a2 020,
所以-a0+a1-a2+2!a3-3!a4+4!a5-…+2 018!·a2 019-2 019!a2 020=2 020-1=2 019.故选A.
9.答案 ±2
解析 (mx-y)5-2y(mx-y)5,
x4-ryr,
令(mx-y)5的展开式中没有含x2y4的项.
2y(mx-y)5的展开式的通项为Tk+1=2yx5-kyk+1,
令解得k=3,
则2y(mx-y)5的展开式中x2y4的系数为2×(-1)3m5-3=-20m2,
所以(mx-y)5的展开式中x2y4的系数为20m2,
由题意得20m2=80,解得m=±2.
由相应系数相等建立方程求解,体现了方程思想.
10.解析 (1)因为(2x+3)9=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+an(x+1)n,
所以n=9,
令t=x+1,则(2t+1)9=a0+a1t+a2t2+…+a9t9,
令t=0,得a0=1,
令t=1,得a0+a1+a2+…+a9=(2+1)9=39,
所以a1+a2+…+a9=39-1,即a1+a2+…+an=39-1.
(2)(2t+1)9的展开式的通项为Tr+1=·29-r·t9-r(0≤r≤9且r∈N),
令9-r=2,解得r=7,
建立关于r的方程求出r的值,体现了方程思想.
所以T8=·22·t2=144t2,所以a2=144.
思想方法 函数与方程思想在二项式定理中的应用主要体现在:(1)求解展开式中的特定项以及系数相关的参数问题;(2)展开式中系数的最大(最小)值问题.通常分析二项展开式的有关量与所求量的数量关系,利用二项式定理建立函数或方程并求解.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
2025苏教版高中数学选择性必修第二册
本章复习提升
易混易错练
易错点1 重复计数导致错误
1.从集合{1,2,3,4,5}中任取2个不同的数,作为直线方程Ax+By=0的系数,则最多可得到不同的直线的条数为( )
A.18 B.20 C.25 D.10
2.(2024江苏睢宁高级中学学情检测)某班联欢会原定3个节目已排成节目单,开演前又增加了2个节目,如果将这2个新节目插入节目单中,那么不同的插法种数为( )
A.12 B.20 C.24 D.30
3.(2024江苏南京六校调研)有5个人到南京、镇江、扬州的三所学校去应聘,若每人至多被一个学校录用,每个学校至少录用其中一人,则不同的录用情况种数是( )
A.300 B.360
C.390 D.420
4.(2024江苏泰州调研)将“用一条线段连接两个点”称为一次操作,把操作得到的线段称为“边”.若单位圆上n个颜色各不相同的点经过k次操作后,从任意一点出发,沿着边可以到达其他任意点,就称这n个点和k条边所构成的图形满足“条件T”,并将所有满足“条件T”的图形个数记为T(n,k),则T(5,4)= .
易错点2 对特殊元素或特殊位置考虑不周导致错误
5.(2024江苏南通海安高级中学阶段测试)某运动队的7名队员合影留念,计划站成一横排,但甲不站最左端,乙不站最右端,丙不站正中间,则他们的不同排法有( )
A.3 864种 B.3 216种
C.3 144种 D.2 952种
6.(多选题)(2023江苏盐城响水第二中学学情分析)现将9把椅子排成一排,5位同学随机就座,则下列说法中正确的是( )
A.4把空椅子全都相邻的排法有720种
B.4把空椅子中只有3把相邻的排法有1 800种
C.4把空椅子均不相邻的排法有1 800种
D.4把空椅子中至多有2把相邻的排法有9 000种
7.(2024江苏南通海门中学阶段考试)用0,1,2,3,4这五个数字组成无重复数字的自然数.
(1)在组成的三位数中,求所有偶数的个数;
(2)在组成的三位数中,如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小,则称这个数为“凹数”,如301,423等都是“凹数”,试求“凹数”的个数;
(3)在组成的五位数中,求恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数.
易错点3 混淆二项展开式中项的系数与二项式系数导致错误
8.(2023江苏苏州实验中学月考)若(2+ax)n(a≠0)的展开式中各项的二项式系数之和为512,且第6项的系数最大,则a的取值范围为( )
A.(-∞,0)∪[2,3] B.(-∞,0)∪
C.[2,3] D.
9.(2024山东菏泽第一中学开学考试)已知(1+2x)6的展开式的二项式系数的最大值为a,系数的最大值为b,则= .
思想方法练
一、整体思想在排列、组合中的应用
1.(多选题)(2024辽宁期末)把5件不同产品A,B,C,D,E摆成一排,则( )
A.A与B相邻有48种摆法
B.A与C相邻有48种摆法
C.A,B相邻,且A,C相邻有12种摆法
D.A与B相邻,且A与C不相邻有24种摆法
2.某电视台连续播放7个不同的广告,其中4个不同的商业广告和3个不同的公益广告,要求所有的公益广告必须连续播放,则不同的播放方式的种数为 .
二、分类讨论思想在排列、组合中的应用
3.(2024重庆乌江新高考协作体联合调研)已知无盖正方体容器的五个面上分别标有A,B,C,D,E五个字母,现需要给容器的5个表面染色,要求有公共棱的面不能染同一种颜色,有5种不同的颜色可供选择,则不同的染色方案种数为( )
A.420 B.340 C.300 D.120
4.(2024湖北武汉华中师大第一附中月考)武术是中国的四大国粹之一,某武校上午开设文化课,下午开设武术课,某年级武术课有太极拳、形意拳、长拳、兵器四门,计划从周一到周五每天下午排两门课,每周太极拳和形意拳上课三次,长拳和兵器上课两次,同样的课每天只上一次,则排课方法共有( )
A.19 840种 B.16 000种
C.31 360种 D.9 920种
三、转化与化归思想在排列、组合、二项式定理中的应用
5.(2024河北名校联合体开学测试)某单位春节共有四天假期,但每天都需要留一名员工值班,现从甲、乙、丙、丁、戊、己这六人中选出四人值班,每名员工最多值班一天.已知甲在第一天不值班,乙在第四天不值班,则值班安排共有( )
A.184种 B.196种
C.252种 D.268种
6.(2022吉林长春十一高中期中)现有红色、黄色小球各两个,蓝色小球一个,所有小球彼此不同,现将五个小球排成一行,颜色相同的小球不相邻,则不同的排法种数为( )
A.48 B.72 C.78 D.84
7.(2024四川成都第七中学模拟)的展开式中常数项为( )
A.11 B.-11 C.8 D.-7
四、函数与方程思想在二项式定理中的应用
8.(2024山西运城景胜中学月考)设ai(i=0,1,2,…,2 020)是常数, x∈R,都有x2 020=a0+a1(x-1)+a2(x-1)(x-2)+…+a2 020(x-1)·(x-2)…(x-2 020),则-a0+a1-a2+2!a3-3!a4+4!a5-…+2 018!a2 019-2 019!a2 020=( )
A.2 019 B.2 020
C.2 019! D.2 020!
9.(2024江苏南京六校期初调研)已知(mx-y)5的展开式中x2y4的系数为80,则m的值为 .
10.(2024福建南平高级中学月考)已知(2x+3)9=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+an(x+1)n.
(1)求a1+a2+…+an(所得结果用幂指数表示);
(2)求a2的值.
答案与分层梯度式解析
本章复习提升
易混易错练
1.A 2.B 3.C 5.B 6.AC 8.C
1.A 第一步,给A赋值有5种选择,第二步,给B赋值有4种选择,由分步计数原理知,可得到5×4=20条直线,但当A=1,B=2与A=2,B=4时,方程表示同一条直线,且当A=2,B=1与A=4,B=2时,方程也表示同一条直线,∴最多可得到不同的直线的条数为20-2=18.
易错警示 在解本题时要注意直线方程的特征,不要想当然地认为只要选取两个不同的数作为A,B就可得到不同的直线,从而得出错误答案.实际上,当A=1,B=2与A=2,B=4时,得到的是同一条直线;当A=2,B=1与A=4,B=2时,得到的也是同一条直线.所以进行计数时,不但要懂得灵活应用计数原理,更要考虑问题的实际情况,避免重复计数.
2.B 将这2个新节目插入节目单可分两种情况讨论:
①若2个新节目相邻,则在原定3个节目已排成节目单产生的4个空位中,选1个位置安排2个新节目,且2个新节目顺序可变,此时有=8种插法;
②若2个新节目不相邻,则在原定3个节目已排成节目单产生的4个空位中,选2个位置安排2个新节目,且2个新节目顺序可变,此时有=12种插法,所以共有8+12=20种插法.
故选B.
易错警示 插入2个新节目有两种情况:相邻与不相邻,解题时需分类讨论,防止只分析一种情况造成遗漏,导致解题错误.
3.C (1)当5人中有3人被录用时,不同的录用情况种数为=60;
(2)当5人中有4人被录用时,不同的录用情况种数为=180;
(3)当5人全部被录用时,不同的录用情况种数为=150.
综上,不同的录用情况种数是60+180+150=390.
故选C.
易错警示 本题是分组分配问题,当录用人数超过学校个数时,解决的步骤是先分组后分配,若采用二次分配方式,即先分3人,再分剩余人,则会因重复计数导致错误.
4.答案 125
解析 T(5,4)即n=5,k=4.在单位圆上有5个颜色不同的点,由4条边连接起来,每条边有2个端点,所以4条边一共有8个端点,又从任意一点出发,沿着边可以到达其他任意一点,所以每一点必定会作为至少一条边的端点,所以可能出现三种情况,按照5个点可能同时作几条边的公共端点来分情况讨论.
①如图1,有3个点是2条边的端点,另2个点是1条边的端点,有=60种情况;
②如图2,有1个点是3条边的端点,有1个点是2条边的端点,另3个点是1条边的端点,有=60种情况;
③如图3,有1个点是4条边的端点,另4个点是1条边的端点,共有=5种情况.
综上,T(5,4)=60+60+5=125.
易错警示 对于特殊类型的排列问题,注意根据问题的特征将其转化为等价的排列问题,涉及分类讨论时,要注意按照某一标准进行分类,确保不重不漏.
5.B 分三种情况讨论:
①当甲在最右端时,若乙在正中间,则丙有5个位置可选,再将剩余的4个人全排列安排在其余的4个位置,有5·=480种情况.此时共有120+480=600种情况.
②当甲在正中间时,分丙在最右端与丙不在最右端两种情况,共有(5+5×4)·=600种情况.
③当甲既不在正中间也不在最右端时,先排甲,有4种方法,再排乙,乙若在正中间,则丙有5种排法;若乙不在正中间,则乙有4种排法,丙有4种排法,最后将剩余的4个人全排列安排在其余的4个位置,共有4×(5+4×4)·=2 016种情况.
综上,不同的排法共有600+600+2 016=3 216(种).故选B.
易错警示 对于特殊元素或特殊位置的排列、组合问题,要先“特殊”再“一般”,思路不当,结果会相差很大.
6.AC 对于A,将4把空椅子看成一个整体,则排法有=720(种),故A正确;
对于B,先排5位同学,有=3 600种排法,故B错误;
对于C,先排5位同学,有=1 800种排法,故C正确;
对于D,至多有2把相邻,即都不相邻或者有2把相邻,由选项C的分析可知,4把空椅子都不相邻有1 800种排法,
2把空椅子相邻,另2把空椅子也相邻,且4把空椅子不相邻,有=7 200种排法,所以共有1 800+1 800+7 200=10 800种排法,故D错误.故选AC.
易错警示 空椅子是相同元素,空椅子所在的位置可以看成不同元素,只有不同元素才可以用排列、组合的方法去计数,本题容易将空椅子而不是将空椅子所在的位置看成元素进行排列导致错误.
7.解析 (1)将所有的三位偶数分为两类:
(i)若个位数为0,则共有=12(个);
(ii)若个位数为2或4,则共有2×3×3=18(个),
所以共有12+18=30个符合题意的三位偶数.
(2)将这些“凹数”分为三类:
(i)若十位上的数字为0,则共有=12(个);
(ii)若十位上的数字为1,则共有=6(个);
(iii)若十位上的数字为2,则共有=2(个),
所以共有12+6+2=20个符合题意的“凹数”.
(3)将符合题意的五位数分为三类:
(i)若两个奇数数字分别在万位、百位上,则共有=12(个);
(ii)若两个奇数数字分别在千位、十位上,则共有=8(个);
(iii)若两个奇数数字分别在百位、个位上,则共有=8(个).
所以共有12+8+8=28个符合题意的五位数.
易错警示 在数字排列问题中,0是一个特殊元素,不能排在首位,奇数和偶数对个位数也有要求,如果忽略特殊数字在排列中的限制,就容易出现计数错误.
8.C 由题意得2n=512,解得n=9,∴(2+ax)n=(2+ax)9,其展开式的通项为Tr+1=23(ax)6,
∵第6项的系数最大,
∴解得2≤a≤3.故选C.
9.答案 12
解析 易知(1+2x)6的展开式的二项式系数的最大值为=20.
(1+2x)6的展开式的系数为2r(r=0,1,…,6),
令
即
∴,
又r∈N,∴r=4.
故系数的最大值为b=24=240.
∴=12.
易错警示 (a+b)n的展开式中,第(r+1)项的二项式系数是一定为正,而对应项的系数可能为负,解题时不要将两者混淆.
思想方法练
1.ABC 3.A 4.D 5.C 6.A 7.B 8.A
1.ABC 解决相邻问题可考虑捆绑法,体现了整体思想.
对于A,A与B相邻,把A,B看成一个整体(易错点:A,B有顺序),与C,D,E全排列,有=48种摆法,故A正确.
对于B,同A中分析可知,A与C相邻也有48种摆法,故B正确.
对于C,当A,B相邻且A,C相邻时,A在B,C之间,位置固定,所以将A,B,C捆绑起来作为一个元素(易错点:B,C有顺序),与D,E全排列,有=2×6=12种摆法,故C正确.
对于D,由A中分析可知,A与B相邻有48种摆法,由C分析知,A,B相邻且A,C相邻有12种摆法,
所以A与B相邻,且A与C不相邻有48-12=36种摆,故D不正确.
故选ABC.
2.答案 720
解析 第一步,将所有的公益广告“捆绑”在一起当成一个元素和其他4个不同的商业广告进行排列,不同的安排方式有=120(种),
第二步,对3个不同的公益广告进行排列,不同的安排方式有=6(种),
故不同的播放方式有120×6=720(种).
公益广告必须连续播放,即排列时要把3个公益广告看成一个整体,再与其他4个元素全排列,体现了整体思想.
思想方法 整体思想在排列、组合中的应用主要体现在有特殊元素、特殊位置的题目中,可以把要求相邻的元素看成一个整体,再和其他元素进行排列或组合.需要注意的是,看成一个整体的元素内部是否还有顺序的要求,若有,则还要考虑内部排列的情况.
3.A 如图,记正方体的左侧面为A,右侧面为C,前侧面为D,后侧面为B,底面为E.
以使用颜色的种数为标准进行分类.
若用5种颜色染色,则不同的染色方案种数为=120.
若用4种颜色染色,则必有A,C同色或B,D同色,则不同的染色方案种数为2=240.
若用3种颜色染色,则必有A,C同色且B,D同色,则不同的染色方案种数为=60.
综上,不同的染色方案种数为120+240+60=420.
故选A.
4.D 先确定从5天中选3天排太极拳的排法情况,再分5天中有3天既有太极拳又有形意拳,5天中有2天既有太极拳又有形意拳,5天中有1天既有太极拳又有形意拳三种情况讨论,体现了分类讨论思想.
先从5天中选3天排太极拳,有种排法.
(1)若5天中有1天既有太极拳又有形意拳,则从排太极拳的3天中选出1天,有种排法;
(2)若5天中有2天既有太极拳又有形意拳,则从排太极拳的3天中选出2天,有)种排法;
(3)若5天中有3天既有太极拳又有形意拳,则从剩下的4节课中选2节排长拳,另外2节排兵器,但长拳和兵器不能排在同一天,所以有种排法.
综上所述,共有)]=80×(72+48+4)=9 920种排课方法.故选D.
思想方法 分类讨论思想是本章最基本的数学思想,在分析较复杂的计数问题时,对问题分类讨论是基本的策略.分类计数原理本身就体现了分类讨论的数学思想,在处理有关计数问题时,要确定恰当的分类标准,对于同一个题目,分类标准不同,分类的结果也会不同.当计数问题过于复杂或限制条件较多时,我们一般采取分类讨论的方法解决,即对计数问题中的各种情况进行分类,然后针对每一类分别研究和求解.
5.C 从六人中选出四人安排值班,共有=12种方法,
先求选四人值班的所有可能方法,然后减去不满足条件的值班方法,体现了转化与化归思想.
因此所求值班安排共有360-60-60+12=252(种).故选C.
6.A 将所求问题转化为求问题的反面,即求颜色相同的小球相邻的排列数,再用总的排列数减去该排列数即为所求,体现了转化与化归思想.
五个小球全排列,共有=120种排法.
当两个红色小球相邻,两个黄色小球相邻时,共有=24种排法;
当两个红色小球相邻,两个黄色小球不相邻时,共有=24种排法;
当两个红色小球不相邻,两个黄色小球相邻时,共有=24种排法.
∴颜色相同的小球不相邻的排法共有120-24-24-24=48(种),故选A.
7.B 将x+看成一个整体,三项式转化为二项式,
体现了转化与化归思想.
将x+(-1)r,
x4-r-3m,
令4-r-3m=0,因为m,r∈N,所以m=0或m=1.
当m=0时,r=4,系数为×(-1)4=1;
当m=1时,r=1,系数为×(-1)1=-12.
所以常数项为1-12=-11.故选B.
思想方法 转化与化归思想在排列、组合、二项式定理中的应用主要体现在当直接求解分类情形较多,计算较复杂时,可以转变思维方式,转化问题,从而利用已有知识求解或利用间接法求解.
8.A 令x=1,得a0=1,
对x2 020=a0+a1(x-1)+a2(x-1)(x-2)+…+a2 020(x-1)·(x-2)…(x-2 020)两边求导得,
2 020x2 019=a1+a2[(x-1)(x-2)]'+…+a2 020[(x-1)·(x-2)…(x-2 020)]',
令fn(x)=(x-1)(x-2)…(x-n),则f'n(x)=(x-1)×[(x-2)×…×(x-n)]'+(x-2)×…×(x-n),
构造函数fn(x),通过求导赋值得到相应的系数表达式,体现了函数思想.
所以f'n(1)=(1-2)×…×(1-n)=(-1)n-1·(n-1)!,
所以2 020×12 019=a1+a2×(-1)1×1!+a3×(-1)2×2!+…+a2 020×(-1)2 019×2 019!,
故2 020=a1-a2+2!a3-…-2 019!a2 020,
所以-a0+a1-a2+2!a3-3!a4+4!a5-…+2 018!·a2 019-2 019!a2 020=2 020-1=2 019.故选A.
9.答案 ±2
解析 (mx-y)5-2y(mx-y)5,
x4-ryr,
令(mx-y)5的展开式中没有含x2y4的项.
2y(mx-y)5的展开式的通项为Tk+1=2yx5-kyk+1,
令解得k=3,
则2y(mx-y)5的展开式中x2y4的系数为2×(-1)3m5-3=-20m2,
所以(mx-y)5的展开式中x2y4的系数为20m2,
由题意得20m2=80,解得m=±2.
由相应系数相等建立方程求解,体现了方程思想.
10.解析 (1)因为(2x+3)9=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+an(x+1)n,
所以n=9,
令t=x+1,则(2t+1)9=a0+a1t+a2t2+…+a9t9,
令t=0,得a0=1,
令t=1,得a0+a1+a2+…+a9=(2+1)9=39,
所以a1+a2+…+a9=39-1,即a1+a2+…+an=39-1.
(2)(2t+1)9的展开式的通项为Tr+1=·29-r·t9-r(0≤r≤9且r∈N),
令9-r=2,解得r=7,
建立关于r的方程求出r的值,体现了方程思想.
所以T8=·22·t2=144t2,所以a2=144.
思想方法 函数与方程思想在二项式定理中的应用主要体现在:(1)求解展开式中的特定项以及系数相关的参数问题;(2)展开式中系数的最大(最小)值问题.通常分析二项展开式的有关量与所求量的数量关系,利用二项式定理建立函数或方程并求解.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)