2025苏教版高中数学选择性必修第二册强化练习题（含解析）--第8章 概率
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| 名称 | 2025苏教版高中数学选择性必修第二册强化练习题（含解析）--第8章 概率 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 331.2KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-12-15 18:52:21 | ||
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文档简介
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2025苏教版高中数学选择性必修第二册
第8章 概率
全卷满分150分 考试用时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.下面给出四个随机变量:
①一高速公路上某收费站处10分钟内经过的车辆数ξ;
②一个沿x轴进行随机运动的质点,它在x轴上的位置η;
③某派出所一天内接到的报警电话次数X;
④某同学上学路上离开家的距离Y.
其中是离散型随机变量的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.已知随机变量X的概率分布为
X 4 8 10
P 0.3 0.6 0.1
则D(X)=( )
A.7 B.5 C.4.8 D.4.2
3.某乳业公司新推出了一款儿童酸奶,其包装有袋装、杯装、瓶装.现有甲、乙两名学生欲从这3种包装中随机选一种,且他们的选择情况相互独立互不影响.在甲学生选杯装酸奶的前提下,两人选的包装不同的概率为( )
A.
4.某银行有一个自动取款机,在某时刻恰有k(k∈N)个人正在使用或等待使用该取款机的概率为p(k),根据统计数据得到p(k)=则在该时刻没有人正在使用或等待使用该取款机的概率为( )
A.
5.设A,B是一个随机试验中的两个事件,且P(A)=,则下列说法正确的是( )
A.P(AB)=
C.P(B|A)=
6.质数又称为素数,一个大于1的自然数,除了1和它本身外,不能被其他自然数整除,则这个数为质数.数学上把相差为2的两个素数叫作“孪生素数”,如3和5,5和7,……,如果我们在不超过30的自然数中,随机选取两个不同的数,记事件A:这两个数都是素数,事件B:这两个数不是孪生素数,则P(B|A)=( )
A.
7.现有4个人通过掷一枚质地均匀的骰子来决定去参加篮球或乒乓球的体育活动,掷出点数为1或2的人去参加篮球活动,掷出点数大于2的人去参加乒乓球活动.用X,Y分别表示这4个人中去参加篮球和乒乓球活动的人数,记ξ=|X-Y|,则随机变量ξ的数学期望E(ξ)为( )
A.
8.今有一批数量庞大的零件.假设这批零件的某项质量指标ξ(单位:毫米)服从正态分布N(5.40,0.052),现从中随机抽取N个,这N个零件中恰有K个的质量指标ξ位于区间(5.35,5.55].若K=45,则使得P(K=45)最大的N的值为( )
附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σA.45 B.53 C.54 D.90
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.下列说法正确的有( )
A.从3名男生,2名女生中任选2人,其中至少有1名女生的概率为
B.若随机变量X~B,则D(3X+2)=20
C.若随机变量ξ~N(2,δ2),P(ξ≤0)=0.34,则P(2<ξ<4)=0.16
D.已知随机变量X的分布列为P(X=i)=
10.已知编号为1,2,3的三个盒子,1号盒子内装有两个1号球,一个2号球和一个3号球;2号盒子内装有两个1号球,一个3号球;3号盒子内装有三个1号球,两个2号球.若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球,将抽出的球放入与球同编号的盒子内,第二次从该盒子内抽取1个球,则下列说法正确的是( )
A.若将10个相同的小球放入这三个盒子内,允许有空盒子,则不同的放法有36种
B.第二次抽到3号球的概率为
C.若第二次抽到的是3号球,则它来自1号盒子的概率最大
D.在第一次抽到3号球的条件下,第二次抽到2号球的概率为
11.一个不透明的箱子中装有5个小球,其中白球3个,黑球2个,小球除颜色不同外,材质和大小全部相同.现投掷一枚质地均匀的硬币,若硬币正面朝上,则从箱子里取出一个小球且不再放回;若硬币反面朝上,则不取小球;重复该试验,直至小球全部取出.假设试验开始时,试验者手中没有任何小球,下列说法正确的有( )
A.经过两次试验后,试验者手中恰有1个白球,1个黑球的概率为
B.若第一次试验取到一个黑球,则第二次试验后,试验者手中有黑、白球各1个的概率为
C.经过7次试验后试验停止的概率为
D.经过7次试验后试验停止的概率最大
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.某中学1500名同学参加一分钟跳绳测试,经统计,成绩X近似地服从正态分布N(150,σ2),已知成绩大于170的有300人,则可估计该校同学一分钟跳绳测试的成绩X在[130,150]内的人数为 .
13.甲、乙两个盒子中分别装有大小、形状完全相同的三个小球,且均各自标号为1,2,3,分别从两个盒子中随机取一个球,用X表示两球上数字之积,则D(2X-1)= .
14.如果X,Y是离散型随机变量,则X在事件Y=y下的期望满足E(X|Y=y)=,其中{x1,x2,…,xm}是X所有可能取值的集合,P(X=x,Y=y)表示事件“X=x”与事件“Y=y”都发生的概率.已知某独立重复试验的成功概率为p,共进行n次试验,则第n次试验恰好是第2次成功的条件下,第1次成功的试验次数X的数学期望是 .
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)某工厂有三个车间生产同一种通讯器材,第1个车间生产该通讯器材的优等品率为6%,第2个车间和第3个车间生产该通讯器材的优等品率均为5%,生产出来的产品混放在同一个仓库里.已知第1,2,3个车间生产的通讯器材的数量分别占总数的25%,30%,45%.
(1)现从仓库中任取一个该通讯器材,求它是优等品的概率;
(2)如果取到的通讯器材是优等品,计算它是第i(i=1,2,3)个车间生产的概率.
16.(15分)某电商平台准备今年的周年庆典活动,为了更精准地投放优惠券以提高销售额,对去年周年庆典活动中的优惠券使用情况和用户消费金额进行了统计分析,统计结果显示,去年老用户的消费金额满足正态分布,设消费金额为X元,则X~N(600,16),如图所示,经计算得P(600≤X<720)=0.3.
(1)求P(X<480);
(2)根据去年的统计结果,该电商平台今年预备推出“消费金额每满300元减30元”和“消费金额每满800元减90元”的两种优惠券,为了进一步了解用户的购买意向,计划把去年的用户按消费金额分成四组:(0,480),[480,600),[600,720),[720,+∞),用分层抽样的方法抽取10位去年的老用户作为幸运用户,赠送礼品并进行问卷调查.
①计算各组应抽的老用户人数;
②为了了解用户对今年的两种优惠券的意见,进而确定两种优惠券的投放比例,从[480,600),[600,720)两组的幸运用户中随机抽取3人进行面对面访谈,记从[480,600)一组中抽取的人数为ξ,求ξ的概率分布和数学期望.
17.(15分)新鲜是水果品质的一个重要指标.为保障所销售的某种水果的新鲜度,某品牌水果销售店决定,当天所进的水果如果当天没有销售完,则第二天打折销售直至售罄.水果销售店以每箱进货价50元、售价100元销售该种水果,如果当天卖不完,则剩下的水果第二天将在原售价的基础上打五折特价销售,而且要整体支付包装更换与特别处理等费用30元,这样才能保障第二天特价水果售罄,并且不影响正价水果的销售.该水果销售店经理记录了在连续50天中该水果的日销售量x(单位:箱)和对应天数y的相关数据,如下表所示:
日销售量x/箱 22 23 24 25 26
天数y 10 10 15 9 6
(1)为减少打折销售的份额,决定尽70%的可能满足顾客的需求(即在100天中,大约有70天可以满足顾客需求),请根据上面表格中的数据,确定每天此种水果的进货量t;(以箱为单位,结果保留一位小数)
(2)以这50天记录的日销售量的频率作为日需求量的概率,设(1)中所求t的值满足t∈[n0,n0+1)(n0∈N*),请以期望作为决策依据,帮该水果销售店经理判断,是每天购进此种水果n0箱划算还是(n0+1)箱划算.
18.(17分)在某抽奖活动中,初始时的袋子装有3个除颜色外其余都相同的小球,颜色为2白1红.每次随机抽取一个小球后放回.抽奖规则如下:设定抽中红球为中奖,抽中白球为未中奖.若抽到白球,放回后把袋子中的一个白色小球替换为红色小球;若抽到红球,放回后保持3个小球的颜色为2白1红的初始状态.记第n次抽奖中奖的概率为Pn.
(1)求P2,P3;
(2)若存在实数a,b,c,满足对任意的不小于4的正整数n,都有Pn=aPn-1+bPn-2+cPn-3,试确定a,b,c的值,并证明上述递推公式;
(3)若累计中奖4次及以上可以获得一枚优胜者勋章,则从初始状态下连抽9次,至少获得一枚勋章的概率为多少
19.(17分)某商场周年庆进行大型促销活动,为吸引消费者,特别推出“玩游戏,送礼券”的活动,活动期间在商场消费达到一定金额的人可以参加游戏,游戏规则如下:在一个盒子里放着六枚硬币,其中有三枚正常的硬币,一面印着字,一面印着花;另外三枚硬币是特制的,有两枚的双面都印着字,一枚的双面都印着花,规定印着字的面为正面,印着花的面为反面.游戏者蒙着眼睛随机从盒子中抽取一枚硬币并连续投掷两次,由工作人员告知投掷的结果,若两次投掷向上的面都是正面,则进入最终挑战环节,否则游戏结束.最终挑战的方式是进行第三次投掷,有两个方案可供选择:方案一,继续投掷之前抽取的那枚硬币;方案二,不使用之前抽取的硬币,从盒子里剩余的五枚硬币中随机抽取一枚进行投掷.不管选择方案一还是方案二,如果掷出正面向上,则获奖.
(1)求第一次投掷后,向上的面为正面的概率;
(2)若已知某顾客进入了最终挑战环节,求他抽到的硬币是正常硬币的概率;
(3)在已知某顾客进入了最终挑战环节的条件下,试分别计算他选择两种抽奖方案最终获奖的概率,并以此判断应该选择哪种抽奖方案更合适.
答案与解析
第8章 概率
1.B 2.D 3.C 4.B 5.D 6.D
7.D 8.B 9.BCD 10.BCD 11.AB
1.B 10分钟内经过的车辆数可以一一列举出来,故①中变量是离散型随机变量;沿x轴进行随机运动的质点,其在直线上的位置不能一一列举出来,故②中变量不是离散型随机变量;一天内接到的报警电话次数可以一一列举出来,故③中变量是离散型随机变量;某同学上学路上离开家的距离可为某一区间内的任意值,不能一一列举出来,故④中变量不是离散型随机变量.故选B.
2.D 易得E(X)=4×0.3+8×0.6+10×0.1=7,所以D(X)=(4-7)2×0.3+(8-7)2×0.6+(10-7)2×0.1=4.2.故选D.
3.C 记事件C为“甲学生选杯装酸奶”,则P(C)=.故选C.
4.B 由题意可得p(0)+p(1)+p(2)+p(3)+p(4)=1,
即p(0),
即在该时刻没有人正在使用或等待使用该取款机的概率为.故选B.
5.D 由题意可得P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=,故D正确,C错误.故选D.
6.D 不超过30的自然数有31个,其中素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,共10个,孪生素数有3和5,5和7,11和13,17和29,共4组,
所以P(A)=,
所以P(B|A)=.故选D.
7.D 依题意,得这4个人中,每个人去参加篮球活动的概率均为,
设“这4个人中恰有i人去参加篮球活动”为事件Ai(i=0,1,2,3,4),
则P(Ai)=(i=0,1,2,3,4).
ξ的所有可能取值为0,2,4,
则P(ξ=0)=P(A2)=,
P(ξ=4)=P(A0)+P(A4)=,
所以ξ的概率分布为
ξ 0 2 4
P
所以E(ξ)=0×.
8.B P(5.35<ξ≤5.55)=P(5.40-0.05<ξ≤5.40+3×0.05)=P(μ-σ所以K~B(N,0.84),P(K=45)=×0.8445×0.16N-45.
设f(x)=×0.8445×0.16x-45,
则,
令,所以f(53)>f(52).
,
令,所以f(53)>f(54).
所以所求N的值为53.故选B.
9.BCD 对于A,从3名男生,2名女生中任选2人,其中至少有1名女生的概率P=,故A错误;
对于B,若随机变量X~B,所以D(3X+2)=9D(X)=20,故B正确;
对于C,若随机变量ξ~N(2,δ2),且P(ξ≤0)=0.34,
则P(2<ξ<4)=P(0<ξ<2)=P(ξ<2)-P(ξ≤0)=0.5-0.34=0.16,故C正确;
对于D,因为P(X=i)=,故D正确.
故选BCD.
10.BCD 利用隔板法,把10个小球和3个盒子排成一行,形成12个空(不含两端),再将2块板插入其中2个空中,所以不同的放法有=66(种),故A错误.
用A1表示第一次抽到1号球,A2表示第一次抽到2号球,A3表示第一次抽到3号球,B3表示第二次抽到3号球,则P(A1)=,故B正确.
易得P(A1|B3)=,所以若第二次抽到的是3号球,则它来自1号盒子的概率最大,故C正确.
用B2表示第二次抽到2号球,则P(B2|A3)=,故D正确.
故选BCD.
11.AB 记事件E=“进行一次试验出现硬币正面朝上”,则=“进行一次试验出现硬币反面朝上”,且P(E)=P(,
从箱子中不放回地取小球时,记Ai=“第i次取到白球”,Bi=“第i次取到黑球”,Ci=“第i次硬币正面朝上且取到白球”,Di=“第i次硬币正面朝上且取到黑球”,其中i=1,2,…,n,n∈N*.
对于A,P(C1)=P(A1E)=P(E)P(A1|E)=,
经过两次试验后,试验者手中恰有1个白球,1个黑球的概率为P(C1D2+D1C2)=P(C1D2)+P(D1C2)=P(C1)P(D2|C1)+P(D1)·P(C2|D1)=,故A正确;
对于B,第一次取到黑球后,第二次取到白球的概率为P(C2|D1)=,故B正确;
对于C,试验7次结束,则前6次有4次出现硬币正面朝上,第7次硬币正面朝上,则其概率为,故C错误;
对于D,记试验n次后试验结束的概率为Pn,则n≥5,Pn=,
令≥1,又n≥5,所以5≤n≤8,所以P5P10>…,
所以经过8次或9次试验后小球全部取出的概率最大,故D错误.
故选AB.
12.答案 450
解析 由题意可得,P(X>170)==0.2,因为X~N(150,σ2),
所以P(130≤X≤150)=P(150≤X≤170)=0.5-P(X>170)=0.5-0.2=0.3,
所以可估计该校同学一分钟跳绳测试的成绩X在[130,150]内的人数为1 500×0.3=450.
13.答案
解析 X的可能取值为1,2,3,4,6,9,
P(X=1)=,
所以E(X)=1×,
所以D(2X-1)=4D(X)=4×.
14.答案
解析 设随机变量Y代表第2次成功时进行的试验次数,
则P(X=xi,Y=n)=p2(1-p)n-2,P(Y=n)=(n-1)p(1-p)n-2p=(n-1)p2·(1-p)n-2,
所以P(X=xi|Y=n)=,
所以E(X|Y=n)=.
15.解析 设事件Ai=“通讯器材为第i(i=1,2,3)个车间生产的”,事件B=“任取一个通讯器材为优等品”,
则样本空间Ω=A1∪A2∪A3,且A1,A2,A3两两互斥,P(A1)=0.25,P(A2)=0.3,P(A3)=0.45,P(B|A1)=0.06,P(B|A2)=P(B|A3)=0.05.(3分)
(1)由全概率公式,得P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)·P(B|A3)=0.25×0.06+0.3×0.05+0.45×0.05=0.052 5.(6分)
因此现从仓库中任取一个该通讯器材,它是优等品的概率是0.052 5.(7分)
(2)如果取到的通讯器材是优等品,则它是第1个车间生产的概率为P(A1|B)=,(10分)
同理,P(A2|B)=,(12分)
故如果取到的通讯器材是优等品,那么它是第1个车间生产的概率为.(13分)
16.解析 (1)因为X~N(600,16),且P(600≤X<720)=0.3,
所以P(X<480)==0.2.(4分)
(2)①根据正态密度曲线的对称性,得P(480≤X<600)=0.3,
P(X≥720)=0.2, (6分)
所以从(0,480)一组中抽10×0.2=2(人),
从[480,600)一组中抽10×0.3=3(人),
从[600,720)一组中抽10×0.3=3(人),
从[720,+∞)一组中抽10×0.2=2(人). (8分)
②由①知,两组各有幸运用户3人,则ξ的可能取值为0,1,2,3,(9分)
则P(ξ=0)=,
P(ξ=2)=,(13分)
所以ξ的概率分布为
ξ 0 1 2 3
P
(14分)
所以ξ的数学期望E(ξ)=0×.(15分)
17.解析 (1)由题意知,所求问题相当于估计此种水果日销售量的70百分位数.(2分)
将50个日销售量的数据从小到大排列,因为70%×50=35,日销售量在24箱及以下的天数为10+10+15=35,所以可以估计日销售量数据的70百分位数为=24.5,
所以估计此种水果的进货量t为24.5箱.(6分)
(2)由(1)知24≤t=24.5<25,即n0=24,(7分)
设每天的进货量为24箱的利润为X元,
由题可得,当每天的进货量为24箱时,
当天卖完的概率为,
当天卖不完且剩下1箱的概率为,
当天卖不完且剩下2箱的概率为,(9分)
若当天卖完,则X=24×(100-50)=1 200,
若当天卖不完且剩下1箱,则X=23×(100-50)-30=1 120,
若当天卖不完且剩下2箱,则X=22×(100-50)-30=1 070,
所以E(X)=×(1 120+1 070)=1 158.(11分)
设每天的进货量为25箱的利润为Y元,
由题可得,当每天的进货量为25箱时,
当天卖完的概率为,
当天卖不完且剩下1箱的概率为,
当天卖不完且剩下2箱的概率为,
当天卖不完且剩下3箱的概率为,(13分)
若当天卖完,则Y=25×(100-50)=1 250,
若当天卖不完且剩下1箱,则Y=24×(100-50)-30=1 170,
若当天卖不完且剩下2箱,则Y=23×(100-50)-30=1 120,
若当天卖不完且剩下3箱,则Y=22×(100-50)-30=1 070,
所以E(Y)=×(1 120+1 070)=1 164.(14分)
因为E(X)18.解析 (1)由题意得P2=,(2分)
P3=P2×.(4分)
(2)因为每次中奖后袋子中小球的颜色会回到初始状态,所以从初始状态开始,若第一次中奖,则第n次抽奖中奖的概率为Pn-1,
若第一次未中奖而第二次中奖,则第n次抽奖中奖的概率为Pn-2,
若前两次均未中奖,则第三次必中奖,此时第n次抽奖中奖的概率为Pn-3,(7分)
综上所述,对任意的不小于4的正整数n,都有Pn=Pn-3,(8分)
又Pn=aPn-1+bPn-2+cPn-3,所以a=.(9分)
(3)由题意知,每抽三次至少有一次中奖,故连抽9次至少中奖3次,
另外,每两次中奖的间隔不能超过三次,每次中奖后袋子中的小球会回到初始状态,
从初始状态开始,抽一次奖中奖的概率Q1=,
从初始状态开始抽两次奖,第一次未中奖而第二次中奖的概率Q2=,
从初始状态开始抽三次奖,前两次均未中奖而第三次中奖的概率Q3=,(11分)
用(i,j,k)表示第i次,第j次,第k次中奖,其余未中奖,
则三次中奖的所有情况如下:(1,4,7),(2,4,7),(2,5,7),(2,5,8),(3,4,7),(3,5,7),(3,5,8),(3,6,7),(3,6,8),(3,6,9),(13分)
故仅三次中奖的概率为Q1×,(15分)
所以从初始状态下连抽9次,至少获得一枚勋章的概率为1-.(17分)
19.解析 设第一次抽到正常硬币为事件A,抽到双面都印着字的硬币为事件B,抽到双面都印着花的硬币为事件C,第一次投掷出正面向上为事件M1,第二次投掷出正面向上为事件M2,
选择方案一进行第三次投掷并掷出正面向上为事件M3,选择方案二进行第三次投掷并掷出正面向上为事件N3.(1分)
(1)由全概率公式可得,P(M1)=P(M1|A)·P(A)+P(M1|B)·P(B)+P(M1|C)·P(C)=.(3分)
(2)连续两次都是正面的概率为P(M1M2)=P(M1M2|A)P(A)+P(M1M2|B)P(B)+P(M1M2|C)P(C)=,(6分)
又P(AM1M2)=,
所以P(A|M1M2)=.(7分)
(3)若选择方案一,设“某顾客选择方案一且最终获奖”为事件S,则
S=M3|M1M2,
则P(M3|M1M2)=
=
=.(9分)
若选择方案二,设“某顾客选择方案二且最终获奖”为事件T,
(分第一次抽到正常硬币、第一次抽到双面都印着字的硬币两种情况讨论,若第一次抽到双面都印着花的硬币则不能进入最终挑战环节)
①如果第一次抽到的是正常硬币,设此时获奖为事件T1,第二次抽到正常硬币为事件HA,第二次抽到双面都是字的硬币为事件HB,第二次抽到双面都是花的硬币为事件HC,
则T1=(M1M2A)N3,
又P(M1M2A)=P(M1M2|A)P(A)=,
P(N3)=P(N3|HA)P(HA)+P(N3|HB)P(HB)+P(N3|HC)P(HC)=,
因此P(T1)=P[(M1M2A)N3]=P(M1M2A)P(N3)=.(12分)
②如果第一次抽到的是双面都印着字的硬币,设此时获奖为事件T2,第二次抽到正常硬币为事件KA,第二次抽到双面都印着字的硬币为事件KB,第二次抽到双面都印着花的硬币为事件KC,
同理可得,P(T2)=P(M1M2|B)P(B)[P(N3|KA)P(KA)+P(N3|KB)·P(KB)+P(N3|KC)P(KC)]=1×,
所以P(M1M2N3)=P(T1)+P(T2)=,(15分)
因此P(N3|M1M2)=.(16分)
综上所述,P(S)>P(T),所以选择方案一更合适.(17分)
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2025苏教版高中数学选择性必修第二册
第8章 概率
全卷满分150分 考试用时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.下面给出四个随机变量:
①一高速公路上某收费站处10分钟内经过的车辆数ξ;
②一个沿x轴进行随机运动的质点,它在x轴上的位置η;
③某派出所一天内接到的报警电话次数X;
④某同学上学路上离开家的距离Y.
其中是离散型随机变量的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.已知随机变量X的概率分布为
X 4 8 10
P 0.3 0.6 0.1
则D(X)=( )
A.7 B.5 C.4.8 D.4.2
3.某乳业公司新推出了一款儿童酸奶,其包装有袋装、杯装、瓶装.现有甲、乙两名学生欲从这3种包装中随机选一种,且他们的选择情况相互独立互不影响.在甲学生选杯装酸奶的前提下,两人选的包装不同的概率为( )
A.
4.某银行有一个自动取款机,在某时刻恰有k(k∈N)个人正在使用或等待使用该取款机的概率为p(k),根据统计数据得到p(k)=则在该时刻没有人正在使用或等待使用该取款机的概率为( )
A.
5.设A,B是一个随机试验中的两个事件,且P(A)=,则下列说法正确的是( )
A.P(AB)=
C.P(B|A)=
6.质数又称为素数,一个大于1的自然数,除了1和它本身外,不能被其他自然数整除,则这个数为质数.数学上把相差为2的两个素数叫作“孪生素数”,如3和5,5和7,……,如果我们在不超过30的自然数中,随机选取两个不同的数,记事件A:这两个数都是素数,事件B:这两个数不是孪生素数,则P(B|A)=( )
A.
7.现有4个人通过掷一枚质地均匀的骰子来决定去参加篮球或乒乓球的体育活动,掷出点数为1或2的人去参加篮球活动,掷出点数大于2的人去参加乒乓球活动.用X,Y分别表示这4个人中去参加篮球和乒乓球活动的人数,记ξ=|X-Y|,则随机变量ξ的数学期望E(ξ)为( )
A.
8.今有一批数量庞大的零件.假设这批零件的某项质量指标ξ(单位:毫米)服从正态分布N(5.40,0.052),现从中随机抽取N个,这N个零件中恰有K个的质量指标ξ位于区间(5.35,5.55].若K=45,则使得P(K=45)最大的N的值为( )
附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.下列说法正确的有( )
A.从3名男生,2名女生中任选2人,其中至少有1名女生的概率为
B.若随机变量X~B,则D(3X+2)=20
C.若随机变量ξ~N(2,δ2),P(ξ≤0)=0.34,则P(2<ξ<4)=0.16
D.已知随机变量X的分布列为P(X=i)=
10.已知编号为1,2,3的三个盒子,1号盒子内装有两个1号球,一个2号球和一个3号球;2号盒子内装有两个1号球,一个3号球;3号盒子内装有三个1号球,两个2号球.若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球,将抽出的球放入与球同编号的盒子内,第二次从该盒子内抽取1个球,则下列说法正确的是( )
A.若将10个相同的小球放入这三个盒子内,允许有空盒子,则不同的放法有36种
B.第二次抽到3号球的概率为
C.若第二次抽到的是3号球,则它来自1号盒子的概率最大
D.在第一次抽到3号球的条件下,第二次抽到2号球的概率为
11.一个不透明的箱子中装有5个小球,其中白球3个,黑球2个,小球除颜色不同外,材质和大小全部相同.现投掷一枚质地均匀的硬币,若硬币正面朝上,则从箱子里取出一个小球且不再放回;若硬币反面朝上,则不取小球;重复该试验,直至小球全部取出.假设试验开始时,试验者手中没有任何小球,下列说法正确的有( )
A.经过两次试验后,试验者手中恰有1个白球,1个黑球的概率为
B.若第一次试验取到一个黑球,则第二次试验后,试验者手中有黑、白球各1个的概率为
C.经过7次试验后试验停止的概率为
D.经过7次试验后试验停止的概率最大
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.某中学1500名同学参加一分钟跳绳测试,经统计,成绩X近似地服从正态分布N(150,σ2),已知成绩大于170的有300人,则可估计该校同学一分钟跳绳测试的成绩X在[130,150]内的人数为 .
13.甲、乙两个盒子中分别装有大小、形状完全相同的三个小球,且均各自标号为1,2,3,分别从两个盒子中随机取一个球,用X表示两球上数字之积,则D(2X-1)= .
14.如果X,Y是离散型随机变量,则X在事件Y=y下的期望满足E(X|Y=y)=,其中{x1,x2,…,xm}是X所有可能取值的集合,P(X=x,Y=y)表示事件“X=x”与事件“Y=y”都发生的概率.已知某独立重复试验的成功概率为p,共进行n次试验,则第n次试验恰好是第2次成功的条件下,第1次成功的试验次数X的数学期望是 .
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)某工厂有三个车间生产同一种通讯器材,第1个车间生产该通讯器材的优等品率为6%,第2个车间和第3个车间生产该通讯器材的优等品率均为5%,生产出来的产品混放在同一个仓库里.已知第1,2,3个车间生产的通讯器材的数量分别占总数的25%,30%,45%.
(1)现从仓库中任取一个该通讯器材,求它是优等品的概率;
(2)如果取到的通讯器材是优等品,计算它是第i(i=1,2,3)个车间生产的概率.
16.(15分)某电商平台准备今年的周年庆典活动,为了更精准地投放优惠券以提高销售额,对去年周年庆典活动中的优惠券使用情况和用户消费金额进行了统计分析,统计结果显示,去年老用户的消费金额满足正态分布,设消费金额为X元,则X~N(600,16),如图所示,经计算得P(600≤X<720)=0.3.
(1)求P(X<480);
(2)根据去年的统计结果,该电商平台今年预备推出“消费金额每满300元减30元”和“消费金额每满800元减90元”的两种优惠券,为了进一步了解用户的购买意向,计划把去年的用户按消费金额分成四组:(0,480),[480,600),[600,720),[720,+∞),用分层抽样的方法抽取10位去年的老用户作为幸运用户,赠送礼品并进行问卷调查.
①计算各组应抽的老用户人数;
②为了了解用户对今年的两种优惠券的意见,进而确定两种优惠券的投放比例,从[480,600),[600,720)两组的幸运用户中随机抽取3人进行面对面访谈,记从[480,600)一组中抽取的人数为ξ,求ξ的概率分布和数学期望.
17.(15分)新鲜是水果品质的一个重要指标.为保障所销售的某种水果的新鲜度,某品牌水果销售店决定,当天所进的水果如果当天没有销售完,则第二天打折销售直至售罄.水果销售店以每箱进货价50元、售价100元销售该种水果,如果当天卖不完,则剩下的水果第二天将在原售价的基础上打五折特价销售,而且要整体支付包装更换与特别处理等费用30元,这样才能保障第二天特价水果售罄,并且不影响正价水果的销售.该水果销售店经理记录了在连续50天中该水果的日销售量x(单位:箱)和对应天数y的相关数据,如下表所示:
日销售量x/箱 22 23 24 25 26
天数y 10 10 15 9 6
(1)为减少打折销售的份额,决定尽70%的可能满足顾客的需求(即在100天中,大约有70天可以满足顾客需求),请根据上面表格中的数据,确定每天此种水果的进货量t;(以箱为单位,结果保留一位小数)
(2)以这50天记录的日销售量的频率作为日需求量的概率,设(1)中所求t的值满足t∈[n0,n0+1)(n0∈N*),请以期望作为决策依据,帮该水果销售店经理判断,是每天购进此种水果n0箱划算还是(n0+1)箱划算.
18.(17分)在某抽奖活动中,初始时的袋子装有3个除颜色外其余都相同的小球,颜色为2白1红.每次随机抽取一个小球后放回.抽奖规则如下:设定抽中红球为中奖,抽中白球为未中奖.若抽到白球,放回后把袋子中的一个白色小球替换为红色小球;若抽到红球,放回后保持3个小球的颜色为2白1红的初始状态.记第n次抽奖中奖的概率为Pn.
(1)求P2,P3;
(2)若存在实数a,b,c,满足对任意的不小于4的正整数n,都有Pn=aPn-1+bPn-2+cPn-3,试确定a,b,c的值,并证明上述递推公式;
(3)若累计中奖4次及以上可以获得一枚优胜者勋章,则从初始状态下连抽9次,至少获得一枚勋章的概率为多少
19.(17分)某商场周年庆进行大型促销活动,为吸引消费者,特别推出“玩游戏,送礼券”的活动,活动期间在商场消费达到一定金额的人可以参加游戏,游戏规则如下:在一个盒子里放着六枚硬币,其中有三枚正常的硬币,一面印着字,一面印着花;另外三枚硬币是特制的,有两枚的双面都印着字,一枚的双面都印着花,规定印着字的面为正面,印着花的面为反面.游戏者蒙着眼睛随机从盒子中抽取一枚硬币并连续投掷两次,由工作人员告知投掷的结果,若两次投掷向上的面都是正面,则进入最终挑战环节,否则游戏结束.最终挑战的方式是进行第三次投掷,有两个方案可供选择:方案一,继续投掷之前抽取的那枚硬币;方案二,不使用之前抽取的硬币,从盒子里剩余的五枚硬币中随机抽取一枚进行投掷.不管选择方案一还是方案二,如果掷出正面向上,则获奖.
(1)求第一次投掷后,向上的面为正面的概率;
(2)若已知某顾客进入了最终挑战环节,求他抽到的硬币是正常硬币的概率;
(3)在已知某顾客进入了最终挑战环节的条件下,试分别计算他选择两种抽奖方案最终获奖的概率,并以此判断应该选择哪种抽奖方案更合适.
答案与解析
第8章 概率
1.B 2.D 3.C 4.B 5.D 6.D
7.D 8.B 9.BCD 10.BCD 11.AB
1.B 10分钟内经过的车辆数可以一一列举出来,故①中变量是离散型随机变量;沿x轴进行随机运动的质点,其在直线上的位置不能一一列举出来,故②中变量不是离散型随机变量;一天内接到的报警电话次数可以一一列举出来,故③中变量是离散型随机变量;某同学上学路上离开家的距离可为某一区间内的任意值,不能一一列举出来,故④中变量不是离散型随机变量.故选B.
2.D 易得E(X)=4×0.3+8×0.6+10×0.1=7,所以D(X)=(4-7)2×0.3+(8-7)2×0.6+(10-7)2×0.1=4.2.故选D.
3.C 记事件C为“甲学生选杯装酸奶”,则P(C)=.故选C.
4.B 由题意可得p(0)+p(1)+p(2)+p(3)+p(4)=1,
即p(0),
即在该时刻没有人正在使用或等待使用该取款机的概率为.故选B.
5.D 由题意可得P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=,故D正确,C错误.故选D.
6.D 不超过30的自然数有31个,其中素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,共10个,孪生素数有3和5,5和7,11和13,17和29,共4组,
所以P(A)=,
所以P(B|A)=.故选D.
7.D 依题意,得这4个人中,每个人去参加篮球活动的概率均为,
设“这4个人中恰有i人去参加篮球活动”为事件Ai(i=0,1,2,3,4),
则P(Ai)=(i=0,1,2,3,4).
ξ的所有可能取值为0,2,4,
则P(ξ=0)=P(A2)=,
P(ξ=4)=P(A0)+P(A4)=,
所以ξ的概率分布为
ξ 0 2 4
P
所以E(ξ)=0×.
8.B P(5.35<ξ≤5.55)=P(5.40-0.05<ξ≤5.40+3×0.05)=P(μ-σ
设f(x)=×0.8445×0.16x-45,
则,
令,所以f(53)>f(52).
,
令,所以f(53)>f(54).
所以所求N的值为53.故选B.
9.BCD 对于A,从3名男生,2名女生中任选2人,其中至少有1名女生的概率P=,故A错误;
对于B,若随机变量X~B,所以D(3X+2)=9D(X)=20,故B正确;
对于C,若随机变量ξ~N(2,δ2),且P(ξ≤0)=0.34,
则P(2<ξ<4)=P(0<ξ<2)=P(ξ<2)-P(ξ≤0)=0.5-0.34=0.16,故C正确;
对于D,因为P(X=i)=,故D正确.
故选BCD.
10.BCD 利用隔板法,把10个小球和3个盒子排成一行,形成12个空(不含两端),再将2块板插入其中2个空中,所以不同的放法有=66(种),故A错误.
用A1表示第一次抽到1号球,A2表示第一次抽到2号球,A3表示第一次抽到3号球,B3表示第二次抽到3号球,则P(A1)=,故B正确.
易得P(A1|B3)=,所以若第二次抽到的是3号球,则它来自1号盒子的概率最大,故C正确.
用B2表示第二次抽到2号球,则P(B2|A3)=,故D正确.
故选BCD.
11.AB 记事件E=“进行一次试验出现硬币正面朝上”,则=“进行一次试验出现硬币反面朝上”,且P(E)=P(,
从箱子中不放回地取小球时,记Ai=“第i次取到白球”,Bi=“第i次取到黑球”,Ci=“第i次硬币正面朝上且取到白球”,Di=“第i次硬币正面朝上且取到黑球”,其中i=1,2,…,n,n∈N*.
对于A,P(C1)=P(A1E)=P(E)P(A1|E)=,
经过两次试验后,试验者手中恰有1个白球,1个黑球的概率为P(C1D2+D1C2)=P(C1D2)+P(D1C2)=P(C1)P(D2|C1)+P(D1)·P(C2|D1)=,故A正确;
对于B,第一次取到黑球后,第二次取到白球的概率为P(C2|D1)=,故B正确;
对于C,试验7次结束,则前6次有4次出现硬币正面朝上,第7次硬币正面朝上,则其概率为,故C错误;
对于D,记试验n次后试验结束的概率为Pn,则n≥5,Pn=,
令≥1,又n≥5,所以5≤n≤8,所以P5
所以经过8次或9次试验后小球全部取出的概率最大,故D错误.
故选AB.
12.答案 450
解析 由题意可得,P(X>170)==0.2,因为X~N(150,σ2),
所以P(130≤X≤150)=P(150≤X≤170)=0.5-P(X>170)=0.5-0.2=0.3,
所以可估计该校同学一分钟跳绳测试的成绩X在[130,150]内的人数为1 500×0.3=450.
13.答案
解析 X的可能取值为1,2,3,4,6,9,
P(X=1)=,
所以E(X)=1×,
所以D(2X-1)=4D(X)=4×.
14.答案
解析 设随机变量Y代表第2次成功时进行的试验次数,
则P(X=xi,Y=n)=p2(1-p)n-2,P(Y=n)=(n-1)p(1-p)n-2p=(n-1)p2·(1-p)n-2,
所以P(X=xi|Y=n)=,
所以E(X|Y=n)=.
15.解析 设事件Ai=“通讯器材为第i(i=1,2,3)个车间生产的”,事件B=“任取一个通讯器材为优等品”,
则样本空间Ω=A1∪A2∪A3,且A1,A2,A3两两互斥,P(A1)=0.25,P(A2)=0.3,P(A3)=0.45,P(B|A1)=0.06,P(B|A2)=P(B|A3)=0.05.(3分)
(1)由全概率公式,得P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)·P(B|A3)=0.25×0.06+0.3×0.05+0.45×0.05=0.052 5.(6分)
因此现从仓库中任取一个该通讯器材,它是优等品的概率是0.052 5.(7分)
(2)如果取到的通讯器材是优等品,则它是第1个车间生产的概率为P(A1|B)=,(10分)
同理,P(A2|B)=,(12分)
故如果取到的通讯器材是优等品,那么它是第1个车间生产的概率为.(13分)
16.解析 (1)因为X~N(600,16),且P(600≤X<720)=0.3,
所以P(X<480)==0.2.(4分)
(2)①根据正态密度曲线的对称性,得P(480≤X<600)=0.3,
P(X≥720)=0.2, (6分)
所以从(0,480)一组中抽10×0.2=2(人),
从[480,600)一组中抽10×0.3=3(人),
从[600,720)一组中抽10×0.3=3(人),
从[720,+∞)一组中抽10×0.2=2(人). (8分)
②由①知,两组各有幸运用户3人,则ξ的可能取值为0,1,2,3,(9分)
则P(ξ=0)=,
P(ξ=2)=,(13分)
所以ξ的概率分布为
ξ 0 1 2 3
P
(14分)
所以ξ的数学期望E(ξ)=0×.(15分)
17.解析 (1)由题意知,所求问题相当于估计此种水果日销售量的70百分位数.(2分)
将50个日销售量的数据从小到大排列,因为70%×50=35,日销售量在24箱及以下的天数为10+10+15=35,所以可以估计日销售量数据的70百分位数为=24.5,
所以估计此种水果的进货量t为24.5箱.(6分)
(2)由(1)知24≤t=24.5<25,即n0=24,(7分)
设每天的进货量为24箱的利润为X元,
由题可得,当每天的进货量为24箱时,
当天卖完的概率为,
当天卖不完且剩下1箱的概率为,
当天卖不完且剩下2箱的概率为,(9分)
若当天卖完,则X=24×(100-50)=1 200,
若当天卖不完且剩下1箱,则X=23×(100-50)-30=1 120,
若当天卖不完且剩下2箱,则X=22×(100-50)-30=1 070,
所以E(X)=×(1 120+1 070)=1 158.(11分)
设每天的进货量为25箱的利润为Y元,
由题可得,当每天的进货量为25箱时,
当天卖完的概率为,
当天卖不完且剩下1箱的概率为,
当天卖不完且剩下2箱的概率为,
当天卖不完且剩下3箱的概率为,(13分)
若当天卖完,则Y=25×(100-50)=1 250,
若当天卖不完且剩下1箱,则Y=24×(100-50)-30=1 170,
若当天卖不完且剩下2箱,则Y=23×(100-50)-30=1 120,
若当天卖不完且剩下3箱,则Y=22×(100-50)-30=1 070,
所以E(Y)=×(1 120+1 070)=1 164.(14分)
因为E(X)
P3=P2×.(4分)
(2)因为每次中奖后袋子中小球的颜色会回到初始状态,所以从初始状态开始,若第一次中奖,则第n次抽奖中奖的概率为Pn-1,
若第一次未中奖而第二次中奖,则第n次抽奖中奖的概率为Pn-2,
若前两次均未中奖,则第三次必中奖,此时第n次抽奖中奖的概率为Pn-3,(7分)
综上所述,对任意的不小于4的正整数n,都有Pn=Pn-3,(8分)
又Pn=aPn-1+bPn-2+cPn-3,所以a=.(9分)
(3)由题意知,每抽三次至少有一次中奖,故连抽9次至少中奖3次,
另外,每两次中奖的间隔不能超过三次,每次中奖后袋子中的小球会回到初始状态,
从初始状态开始,抽一次奖中奖的概率Q1=,
从初始状态开始抽两次奖,第一次未中奖而第二次中奖的概率Q2=,
从初始状态开始抽三次奖,前两次均未中奖而第三次中奖的概率Q3=,(11分)
用(i,j,k)表示第i次,第j次,第k次中奖,其余未中奖,
则三次中奖的所有情况如下:(1,4,7),(2,4,7),(2,5,7),(2,5,8),(3,4,7),(3,5,7),(3,5,8),(3,6,7),(3,6,8),(3,6,9),(13分)
故仅三次中奖的概率为Q1×,(15分)
所以从初始状态下连抽9次,至少获得一枚勋章的概率为1-.(17分)
19.解析 设第一次抽到正常硬币为事件A,抽到双面都印着字的硬币为事件B,抽到双面都印着花的硬币为事件C,第一次投掷出正面向上为事件M1,第二次投掷出正面向上为事件M2,
选择方案一进行第三次投掷并掷出正面向上为事件M3,选择方案二进行第三次投掷并掷出正面向上为事件N3.(1分)
(1)由全概率公式可得,P(M1)=P(M1|A)·P(A)+P(M1|B)·P(B)+P(M1|C)·P(C)=.(3分)
(2)连续两次都是正面的概率为P(M1M2)=P(M1M2|A)P(A)+P(M1M2|B)P(B)+P(M1M2|C)P(C)=,(6分)
又P(AM1M2)=,
所以P(A|M1M2)=.(7分)
(3)若选择方案一,设“某顾客选择方案一且最终获奖”为事件S,则
S=M3|M1M2,
则P(M3|M1M2)=
=
=.(9分)
若选择方案二,设“某顾客选择方案二且最终获奖”为事件T,
(分第一次抽到正常硬币、第一次抽到双面都印着字的硬币两种情况讨论,若第一次抽到双面都印着花的硬币则不能进入最终挑战环节)
①如果第一次抽到的是正常硬币,设此时获奖为事件T1,第二次抽到正常硬币为事件HA,第二次抽到双面都是字的硬币为事件HB,第二次抽到双面都是花的硬币为事件HC,
则T1=(M1M2A)N3,
又P(M1M2A)=P(M1M2|A)P(A)=,
P(N3)=P(N3|HA)P(HA)+P(N3|HB)P(HB)+P(N3|HC)P(HC)=,
因此P(T1)=P[(M1M2A)N3]=P(M1M2A)P(N3)=.(12分)
②如果第一次抽到的是双面都印着字的硬币,设此时获奖为事件T2,第二次抽到正常硬币为事件KA,第二次抽到双面都印着字的硬币为事件KB,第二次抽到双面都印着花的硬币为事件KC,
同理可得,P(T2)=P(M1M2|B)P(B)[P(N3|KA)P(KA)+P(N3|KB)·P(KB)+P(N3|KC)P(KC)]=1×,
所以P(M1M2N3)=P(T1)+P(T2)=,(15分)
因此P(N3|M1M2)=.(16分)
综上所述,P(S)>P(T),所以选择方案一更合适.(17分)
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