2025苏教版高中数学选择性必修第二册强化练习题（含解析）--全书综合测评

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2025苏教版高中数学选择性必修第二册
全书综合测评
全卷满分150分　考试用时120分钟　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.为研究高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系,运用2×2列联表进行检验,经计算χ2=8.069,参考下表,则认为性别与喜欢数学有关犯错误的概率不超过(　　)
P(χ2≥x0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010
x0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635
A.0.1%　　　　B.1%　　　　C.99%　　　　D.99.9%
2.小张、小王两家计划国庆节期间去辽宁游玩,他们分别从丹东凤凰山、鞍山千山、本溪水洞、锦州笔架山、盘锦红海滩这五个景点中随机选择一个游玩,记事件A=“两家至少有一家选择丹东凤凰山”,事件B=“两家选择景点不同”,则P(B|A)=(　　)
A.
3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1C1∩B1D1=O,则异面直线OC与AB所成角的余弦值为(　　)
A.
4.植树节这天,某学校组织5名学生依次给树木浇水,其中甲和乙是好朋友,必须相邻,丙不在第三位,则不同的浇水顺序的种数为(　　)
A.30　　　　B.36　　　　C.40　　　　D.42
5.一个质地均匀的正方体的六个面分别标有数字1,2,3,4,5,6,现连续抛掷该正方体n次,发现落地后向上数字大于4的次数的期望不小于3,则抛掷次数n的最小值为(　　)
A.7　　　　B.8　　　　C.9　　　　D.10
6.在如图所示的直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是正方形,AB=2,AA1=3,M是BC的中点,N是棱CC1上的一个动点,则点A1到平面AMN的距离的最小值为(　　)
A.1　　　　B.
7.如图,在三棱锥P-ABC中,∠ABC=∠PAB=∠PCB=90°,PA=2AB=2,M是棱PB的中点,N是棱PC上靠近点P的四等分点,则异面直线MN与PA所成角的大小为(　　)
A.30°　　　　B.45°　　　　C.60°　　　　D.90°
8.已知m为满足S=n+的展开式中,系数最大的项为(　　)
A.第6项 B.第7项
C.第11项 D.第6项和第7项
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.下列结论正确的是(　　)
A.一组样本数据的散点图中,若所有样本点(xi,yi)(i=1,2,3,…)都在直线y=0.95x+1上,则这组样本数据的样本相关系数为0.95
B.已知随机变量ξ~N(3,4),若ξ=2η+1,则D(η)=1
C.在2×2列联表中,若每个数据a,b,c,d均变成原来的2倍,则χ2也变成原来的2倍
D.已知P(A)>0,P(B)>0,且事件A与B不独立,则P(B|A)10.在(2x-1)8的展开式中,下列说法正确的有(　　)
A.展开式中所有项的系数和为28
B.展开式中所有奇数项的二项式系数和为128
C.展开式中二项式系数最大的项为第5项
D.展开式中含x3的项的系数为-448
11.如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,M是AD的中点,将△ABM沿着直线BM翻折到△A1BM.记二面角A1-BM-C的平面角为α,当α的值在区间(0,π)内变化时,下列说法正确的有(　　)
A.存在α,使得A1B⊥CM
B.存在α,使得A1B⊥CD
C.当四棱锥A1-BCDM的体积最大时,点B到平面A1MD的距离为
D.若直线A1M与BC所成的角为β,则cosβ=sin2
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.甲罐中有4个红球,4个白球和2个黑球,乙罐中有4个红球,3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,再从乙罐中随机取出一球,事件B表示由乙罐取出的球是红球,则P(B)=　　　　.
13.已知某品牌的新能源汽车的使用年限x(年)与维护费用y(千元)之间有如下对应数据:
使用年限x/年 2 4 5 6 8
维护费用y/千元 3 4.5 6.5 7.5 9
x与y之间具有线性相关关系,且y关于x的经验回归方程为.据此估计,使用年限为7年时,维护费用为　　　　千元.
参考公式:经验回归方程.
14.至少通过一个正方体的3条棱的中点的平面个数为　　　　.
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)有6名男医生,4名女医生.
(1)选3名男医生,2名女医生,让这5名医生分别到5个不同的地区巡回医疗,共有多少种方法
(2)把10名医生分成两组,每组5人且每组都要有女医生,则有多少种不同的分法 若将这两组医生分派到两地去,并且每组选出正、副组长两人,有多少种不同的方案
16.(15分)根据交管部门有关规定,驾驶电动自行车必须佩戴头盔,保护自身安全,某市去年上半年对此不断进行安全教育.下表是该市某主干路口去年连续5个月监控设备抓拍到的电动自行车驾驶员不戴头盔的统计数据:
月份x 1 2 3 4 5
不戴头盔人数y 120 100 90 75 65
(1)请利用所给数据求不戴头盔人数y与月份x之间的经验回归方程;
(2)交管部门统计连续5年来通过该路口的电动自行车出事故的100人,分析不戴头盔行为与事故是否伤亡的关系,得到下表,则不戴头盔行为与事故伤亡是否有关
不戴头盔 戴头盔
伤亡 15 10
不伤亡 25 50
参考数据和公式:,χ2=,其中n=a+b+c+d.
P(χ2≥x0) 0.10 0.05 0.01 0.005
x0 2.706 3.841 6.635 7.879
17.(15分)已知(n∈N*)的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是1∶3.
(1)求n的值;
(2)求展开式中各二项式系数的和以及各项系数的和;
(3)求展开式中系数绝对值最大的项.
18.(17分)如图,圆台O1O的轴截面为四边形A1B1BA,其中AB=2A1B1=4,P为圆O1上异于A1,B1的点,M为PB的中点.
(1)证明:MB1∥平面AA1P;
(2)当三棱锥A-PBB1的体积取得最大值时,平面AA1P∩平面PBB1=l,求二面角A1-l-B的余弦值.
19.(17分)法国数学家庞加莱是个喜欢吃面包的人,他每天都会到同一家面包店购买一个面包.该面包店的面包师声称自己所出售的面包的平均质量是1000g,上下浮动不超过50g.这句话用数学语言来表达就是每个面包的质量服从期望为1000g,标准差为50g的正态分布.
(1)已知如下结论:若X~N(μ,σ2),从X的取值中随机抽取k(k∈N*,k≥2)个数据,记这k个数据的平均值为Y,则随机变量Y~N,利用该结论解决下面的问题.
①假设面包师的说法是真实的,随机购买25个面包,记随机购买25个面包的质量的平均值为Y,求P(Y<980);
②庞加莱每天都会将买来的面包称重并记录,25天后,得到的数据都落在(950,1050)上,并经计算25个面包的平均质量为978.72g.庞加莱通过分析举报了该面包师,从概率角度说明庞加莱举报该面包师的理由;
(2)假设有两箱面包(面包除颜色外,其他都一样),已知第一箱中共装有6个面包,其中黑色面包有2个;第二箱中共装有8个面包,其中黑色面包有3个.现随机挑选一箱,然后从该箱中随机取出2个面包,求取出黑色面包个数的概率分布及数学期望.
附:(i)随机变量η服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ≤η≤μ+σ)=0.6827,P(μ-2σ≤η≤μ+2σ)=0.9545,P(μ-3σ≤η≤μ+3σ)=0.9973;
(ii)通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件,小概率事件基本不会发生.
答案与解析
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1.B 2.D 3.A 4.C 5.C 6.D
7.B 8.B 9.BC 10.BCD 11.ACD
1.B　因为χ2=8.069>6.635,所以认为性别与喜欢数学有关犯错误的概率不超过0.010.
故选B.
2.D　易得事件A的对立事件为两家都没选择丹东凤凰山,
则P(,
事件AB为有一家选择丹东凤凰山,另一家选别的景点,则P(AB)=.故选D.
3.A　解法一:易得,
所以,
不妨设AB=2,则OC1==2,
所以异面直线OC与AB所成角的余弦值为.
解法二:如图,以D为坐标原点,建立空间直角坐标系D-xyz,
设AB=2,则A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),O(1,1,2),
所以=(-1,1,-2),
故|cos<,
故异面直线OC与AB所成角的余弦值为.故选A.
解法三:如图,因为AB∥CD,所以异面直线OC与AB所成的角为∠DCO或其补角,
设正方体的棱长为2,连接OD,则OC=OD=,
取CD的中点M,连接OM,则OM⊥CD,
在Rt△MCO中,cos∠MCO=,
所以异面直线OC与AB所成角的余弦值为.
4.C　若丙在第一位或第五位,则甲、乙进行捆绑,内部全排列,再和剩余的2名学生进行全排列,因此不同的浇水顺序有2=24种;
若丙在第二位或第四位,则甲、乙进行捆绑,内部全排列,且捆绑后的甲、乙这个整体只能有2种选择,再将剩余的2名学生全排列,因此不同的浇水顺序有2×2=16种,
所以不同的浇水顺序共有24+16=40(种).故选C.
5.C　依题意,每次抛掷正方体落地后出现向上数字大于4的概率为,
设X表示抛掷n次落地后向上数字大于4的次数,则X~B,
则由题意得E(X)=n≥3,解得n≥9,所以抛掷次数n的最小值为9.
6.D　由题意知,该几何体为长方体,以D为坐标原点,建立空间直角坐标系D-xyz,如图所示,
则A(2,0,0),A1(2,0,3),M(1,2,0),所以=(0,0,3),设N(0,2,t)(0≤t≤3),则=(-1,0,t).
设平面AMN的一个法向量为n=(x,y,z),则
取y=t,则x=2t,z=2,则n=(2t,t,2),
所以点A1到平面AMN的距离为,
又0≤t≤3,所以4≤5t2+4≤49,所以≤3,
所以点A1到平面AMN的距离的最小值为.故选D.
7.B　如图,根据题意可将三棱锥P-ABC补形成长、宽、高分别为4,2,2的长方体ABCD-A1B1C1P,
以A为坐标原点,AD,AB,AA1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,
则A(0,0,0),P(2,0,2),M(1,2,1),N,
所以,
所以cos<,
所以异面直线MN与PA所成角的大小为45°.故选B.
8.B　因为=2100,
所以=299,
所以=299-1,
则S=n+
=299+n-1=23×33+n-1=833+n-1=(9-1)33+n-1
=+n-1
=()×9+n-2,
显然为正整数,
所以()×9能被9整除,
又n≥3且S能被9整除,所以n-2能被9整除,
所以n-2=9k(k∈N*),则n=9k+2(k∈N*),
所以nmin=11,即m=11,
所以,在的展开式中,二项式系数最大的项为第6项和第7项,
又的展开式的通项公式为Tr+1=(0≤r≤11,r∈N),所以第6项的系数为负数,第7项的系数为正数,
故第6项的系数最小,第7项的系数最大.故选B.
9.BC　对于A,因为所有样本点(xi,yi)都在直线y=0.95x+1上,且0.95>0,所以这组样本数据的样本相关系数为1,故A错误;
对于B,由ξ~N(3,4),得D(ξ)=4,因为ξ=2η+1,所以η=,所以D(η)=×D(ξ)=1,故B正确;
对于C,在2×2列联表中,若每个数据a,b,c,d均变成原来的2倍,则,所以χ2也变成原来的2倍,故C正确;
对于D,若某班有50人,女生有20人,男团员为10人,女团员为15人,
从中随机选一名学生,记事件A=“该生为团员”,事件B=“该生为女生”,则P(B)=,所以P(B|A)>P(B),故D错误.
故选BC.
10.BCD　对于A,令x=1,可知展开式中所有项的系数和为1,故A错误;对于B,展开式中所有奇数项的二项式系数和为=128,故B正确;对于C,易知展开式中二项式系数最大的项为第5项,故C正确;对于D,展开式中含x3的项为×(2x)3×(-1)5=-448x3,故D正确.故选BCD.
11.ACD　连接CM,取BM的中点G,BC的中点H,连接A1G,GH,MH,易知A1G⊥BM,GH⊥BM,
故∠A1GH即为二面角A1-BM-C的平面角,即∠A1GH=α,
当α=时,A1G⊥平面BCM,
因为CM 平面BCM,所以A1G⊥CM,
在矩形ABCD中,易得AB=AM,CD=DM,故△ABM,△CDM为等腰直角三角形,
故∠AMB=∠DMC=45°,所以∠BMC=90°,即BM⊥CM,
因为A1G∩BM=G,A1G,BM 平面A1BM,所以CM⊥平面A1BM,
因为A1B 平面A1BM,所以A1B⊥CM,故存在α,使得A1B⊥CM,故A正确.
以M为坐标原点,MH,MD所在直线分别为x轴,y轴,过点M且垂直于平面BCDM的直线为z轴,建立空间直角坐标系,如图,
则M(0,0,0),B(2,-2,0),C(2,2,0),D(0,2,0),所以=(-2,0,0),
当α∈(0,π)时,A1(cos α+1,cos α-1,sin α),
所以sin α),
故=2cos α-2≠0,
故不存在α,使得A1B⊥CD,故B错误.
当α=),
设平面A1MD的一个法向量为m=(x,y,z),
则
令z=1,则x=-,0,1),
故点B到平面A1MD的距离d=,故C正确.
易得sin α),=(0,4,0),
则cos β=|cos<,故D正确.
故选ACD.
12.答案　
解析　设事件A1,A2,A3分别表示由甲罐取出的球是红球,白球,黑球,
则P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=.
13.答案　8.2
解析　=6.1,则样本点的中心的坐标为(5,6.1),将其代入,得=6.1-1.05×5=0.85,则=1.05x+0.85,令x=7,则=1.05×7+0.85=8.2,故估计使用年限为7年时,维护费用为8.2千元.
14.答案　81
解析　一个正方体有12条棱,即有12个棱中点,任意3个中点不共线,故任取3个中点可得=220个平面,其中过4个中点的平面有:正方体的6个面,正方体的3个中截面(过互相平行的4条棱的中点),与面对角线和棱平行的面有4×3=12个,共有6+3+12=21(个),过6个中点的平面有4个,所以重复的有21×(-1)=139个平面,所以满足条件的平面有220-139=81(个).
15.解析　(1)分三步完成:
第一步:从6名男医生中选3名,有种方法;(2分)
第二步:从4名女医生中选2名,有种方法;(4分)
第三步:将选出的5人分配到5个地区,有种方法.
根据分步计数原理,得共有=14 400种方法.(6分)
(2)医生的选法有以下两类情况:
①一组中女医生1名,男医生4名,另一组中女医生3名,男医生2名,共有种不同的分法;(8分)
②两组中都有女医生2名,男医生3名,因为组与组之间无顺序,所以共有种不同的分法.(10分)
因此,把10名医生分成两组,每组5人且每组都要有女医生的不同的分法共有=120(种).(12分)
若将这两组医生分派到两地去,并且每组选出正、副组长两人,则共有×120=96 000种不同的方案.(13分)
16.解析　(1)由题表得=55,(3分)
所以=-13.5,
=90+13.5×3=130.5,(6分)
所以经验回归方程为=-13.5x+130.5.(8分)
(2)提出假设H0:不戴头盔行为与事故伤亡无关.
由题意得χ2=≈5.556>3.841,(13分)
故有充分证据推断H0不成立,即我们有95%的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关.(15分)
17.解析　(1)由题意得=1∶3,n∈N*,
所以n=7.(2分)
(2)由(1)得,
所以展开式中各二项式系数的和为27=128.(4分)
令x=1,则展开式中各项系数的和为=1.(6分)
(3)的展开式的通项为Tr+1=(3x)7-r·,(8分)
设第(r+1)项的系数的绝对值最大, f(r)=×37-r×2r,
则
即(11分)
解得,又r∈N*,所以r=3.(13分)
故展开式中系数绝对值最大的项为T4==-22 680.(15分)
18.解析　(1)证法一:如图,连接B1O,OM.
∵M为PB的中点,O为AB的中点,∴MO∥AP.
∵AP 平面AA1P,MO 平面AA1P,∴MO∥平面AA1P.(2分)
∵AB=2A1B1,AB∥A1B1,∴四边形AOB1A1为平行四边形,∴B1O∥A1A.
∵A1A 平面AA1P,B1O 平面AA1P,∴B1O∥平面AA1P.
又MO∩B1O=O,MO,B1O 平面MOB1,∴平面MOB1∥平面AA1P.(5分)
∵MB1 平面MOB1,∴MB1∥平面AA1P.(6分)
证法二:如图,取PA的中点N,连接MN,A1N.
∵M为PB的中点,N为PA的中点,∴MN∥AB,且MN=AB,(2分)
又AB∥A1B1,且AB=2A1B1,∴MN∥A1B1,MN=A1B1,
∴四边形A1B1MN为平行四边形,∴B1M∥A1N.(5分)
∵A1N 平面AA1P,B1M 平面AA1P,∴B1M∥平面AA1P.(6分)
(2)设点P到平面ABB1的距离为h,
则·h.
当P为的中点时,h取最大值1,此时三棱锥A-PBB1的体积最大,过点B1作B1H⊥AB,垂足为H,记B1H=d,
∴.(8分)
延长AA1,BB1交于点S,连接SP,则直线SP即为直线l,二面角A1-l-B即为二面角A1-SP-B.
以O1为坐标原点,O1P,O1B1,O1S所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图,
则P(1,0,0),A1(0,-1,0),S(0,0,),
∴).(10分)
设平面A1SP的一个法向量为m=(x,y,z),
则
令z=1,则x=,1),(12分)
设平面BSP的一个法向量为n=(a,b,c),
则
令c=1,则a=,1),(14分)
∴cos=,(16分)
由图可知,二面角A1-l-B为锐二面角,
故二面角A1-l-B的余弦值为.(17分)
19.解析　(1)①因为=100,所以Y~N(1 000,102),(2分)
因为980=1 000-2×10,
所以P(Y≤980)=P(Y≤μ-2σ)==0.022 75.(6分)
②由①知P(Y≤980)=0.022 75,
庞加莱计算25个面包的平均质量为978.72 g,978.72<980,而0.022 75<0.05,为小概率事件,小概率事件基本不会发生,这就是庞加莱举报该面包师的理由.(10分)
(2)设取出黑色面包个数为ξ,则ξ的可能取值为0,1,2,(11分)
则P(ξ=0)=,
P(ξ=1)=,
P(ξ=2)=,(14分)
所以ξ的概率分布为
ξ 0 1 2
P
(16分)
所以E(ξ)=0×.(17分)
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