2024-2025学年江苏省苏州市六校联考高二年级12月调研测试
数学试题
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.在等差数列中,已知,,则等于( )
A. B. C. D.
2.斜率为,且经过点的直线方程为( )
A. B. C. D.
3.已知是抛物线上一点,是抛物线的焦点,则( )
A. B. C. D.
4.设是椭圆的上任一点,点,则的最大值为( )
A. B. C. D.
5.已知是双曲线上的点,,是其左、右焦点,且若的面积为,则( )
A. B. C. D.
6.已知圆,点,若圆上存在点使得,则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.已知等差数列的前项和为,若数列满足:对任意的,都有,且,则( )
A. B. C. D.
8.如图,已知双曲线:的左、右焦点分别为,,是上位于第一象限内的一点,且直线与轴的正半轴交于点,的内切圆在边上的切点为,若,则双曲线的离心率为( )
A. B.
C. D.
二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9.已知等比数列的前项和为,公比为,且满足,,则( )
A.
B. 若,则
C.
D. 若,则当最小时,
10.已知点,,动点与、两点连线的斜率分别为、,且为常数,下列结论正确的有( )
A. 若,则动点一定在椭圆上
B. 若,则动点一定在双曲线上,且双曲线的焦点在轴
C. 若,则的取值范围是
D. 若,为坐标原点,且直线上的存在点使得,则
11.已知直线经过抛物线:的焦点,且与交于,两点,过,分别作直线的垂线,垂足依次为,,若长的最小值为,则下列结论正确的有( )
A.
B. 若的倾斜角为,点在第一象限,则
C. 若,则的斜率为
D. 若点,在上,且,则
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12.已知等比数列满足,,则___________.
13.在平面直角坐标系中,已知,为圆上两点,点,且,则线段的长的取值范围为___________.
14.已知双曲线的左,右焦点分别为,,点在双曲线上,且满足,倾斜角为锐角的渐近线与线段交于点,且,则的值为____.
四、解答题:本题共5小题,共60分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知与两坐标轴均相切,且过点.直线过点交圆于两点.
求圆的方程;
若,求直线的斜率.
16.本小题分
已知抛物线:的焦点为,点在抛物线上,若的外接圆与抛物线的准线相切,且该圆的面积为.
求抛物线的方程;
过焦点的两条直线分别与抛物线交于、和、,若,求四边形面积的最小值.
17.本小题分
已知双曲线的离心率,虚轴在轴上且长为.
求双曲线的标准方程;
已知椭圆,若,分别是,上的动点,且,求的值,以及的最小值.
18.本小题分
已知数列满足,.
求数列的通项公式;
若数列的前项和为,,求;
设,求的值其中表示不超过的最大整数.
19.本小题分
椭圆的焦距为,且经过点.如图,椭圆的右顶点为,上顶点为,直线与直线平行且交椭圆于点、两点,连接、交于点.
求椭圆的方程;
若直线、的斜率分别为、,证明为定值;
证明:点在一条定直线上.
参考答案
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15.解:因为 与两坐标轴均相切,且过点 ,
,
则 ,得 ,
或 ,又 ,故 ,
则 的方程为 ,
, 是 的中点,
作 于 ,设 , 则
故 ,得 ,即 ,
设 ,即 ,
则圆心 到 的距离为 ,得 ,
故 .
16.解:设 的外接圆圆心为 ,则 在 的中垂线上,
故 到准线的距离为 ,
圆的面积为 ,则圆的半径为 ,故 ,得 ,
故抛物线 的方程为;
抛物线 的方程为,则焦点为 ,
由题意可知直线 、 的斜率均存在且不为,
设 , ,
, , , ,
由 得 ,
即 ,
则 , ,
故 ,
同理 ,
则四边形面积
当且仅当 时等号成立
所以四边形面积的最小值为.
17.解:因为双曲线的虚轴在 轴,则设双曲线 的标准方程为 ,
由题意得 , ,又 , ,
双曲线 的标准方程为 .
当 垂直于 轴时, , ,则
当 不垂直于 轴时,设直线 的方程为 ,则直线 的方程为 ,
联立方程 ,得 , ,
联立方程 ,得 , ,
则
又 ,
,
当且仅当 时等号成立
故 的最小值为.
18.解:,
,
又,则,
故为常数列,,即.
,,
则
,
,
,
则,
,
即,
因为,故,,
则.
19.解:椭圆焦点分别为 、 ,则
,故
又 , ,故椭圆 .
证明:设 ,
, ,则
设 ,联立 得 ,
则 ,且 ,
故
.
即 为定值
证明: ,
联立得 ,即 ,
则 ,
又 ,故 ,
故点 在直线 上
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