2024-2025学年江苏省苏州市六校联考高一年级12月调研测试数学试题（含答案）

2024-2025学年江苏省苏州市六校联考高一年级12月调研测试
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集是实数集，，，则阴影部分所表示的集合是( )
A. B. C. D.
2.函数的图象大致是( )
A. B.
C. D.
3.关于的一元二次不等式有实数解的一个必要不充分条件的是( )
A. B. C. D.
4.声音的等级单位：与声音强度单位：满足喷气式飞机起飞时，声音的等级约为若喷气式飞机起飞时声音强度约为汽车穿梭在马路上声音强度的倍，则汽车穿梭在马路上声音的等级约为( )
A. B. C. D.
5.若，则函数的最小值为( )
A. B. C. D.
6.已知定义在上的函数图象关于轴对称，记，，，
则( )
A. B. C. D.
7.已知函数有两个零点，，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知定义在上的连续函数，满足则方程的解的个数为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，下列说法正确的是( )
A. 的最大值为 B. 的最小值为
C. 的最小值为 D. 的最大值为
10.定义，若函数，则( )
A. 的最大值是；
B. 若有个不同的实数解，则；
C. 在区间上的值域为；
D. 若在区间上的值域为，则的最大值为
11.对于任意两个正数，，记曲线直线，，轴围成的曲边梯形的面积为，并约定和，德国数学家莱布尼茨最早发现关于，下列说法正确的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.满足关系，的集合的个数为 ．
13.若函数图象关于点成中心对称，则 ．
14.已知函数的定义域是且，当时，，且，满足不等式的的取值范围为__________．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
计算下列各式的值：
；
16.本小题分
记集合，集合，
求、和；
若，，且中只有两个整数元素，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知定义在奇函数，满足，且当时，．
求；
求时，函数的解析式；
当时，的最小值为，求实数的值．
18.本小题分
汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离并根据车速转化为所需时间，当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车．若将报警时间划分为段，分别为准备时间、人的反应时间、系统反应时间、制动时间，相应的距离分别为，，，，如下图所示．当车速为米秒，且时，通过大数据统计分析得到下表给出的数据其中系数随地面湿滑程度等路面情况而变化，．
阶段 准备 人的反应 系统反应 制动
时间 秒 秒
距离 米 米
请写出报警距离米与车速米秒之间的函数关系式；并求当，在汽车达到报警距离时，若人和系统均未采取任何制动措施，仍以此速度行驶的情况下，汽车撞上固定障碍物的最短时间；
若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于米，则汽车的行驶速度应限制在多少米秒？
19.本小题分
已知函数，函数与互为反函数．
讨论的奇偶性；
若存在，使成立，试求的取值范围；
求证：函数仅有个零点，且．
参考答案
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15.解：原式 ；
原式
原式

16.解：，，
，， ，
， ；
由可知集合不是集合的子集，
由中只有两个整数元素，可知 ，
，解得，
故实数的取值范围为

17.解：由题知
时， ， 是奇函数，
所以 ；
又 时， ，
由
得
令 ，
的最小值，等价于 ， 的最小值
当 ， ，不符合；
当 ， ，即 ；
当 ， ，即 ，不符合．
综上， 满足题意

18.解：由题意得，，
，
当时，，
则秒当且仅当时等号成立．
即此种情况下汽车撞上固定障碍物的最短时间约为秒；
要求对任意，恒成立，
即对任意，，即恒成立．
由，得，
，即，解得．
．
即汽车的行驶速度应限制在米秒以下．
19.解： ， ，定义域为，
，
故函数 为奇函数
令 ，则存在 使得 ，
存在 使得 或 ．
即存在 使得 ，
，或 ；
证明： ，定义域为 ．
因为 ，
，
故存在零点 ，使得 ，
又因为 是增函数，所以 仅有个零点 ，且 ．
要证： ，即证： ，
令 ，显然函数 在定义域 上单调递增，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，则 ．
所以 ，故 ，得以证明．

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